sở giáo dục - đào tạo quảng ninh kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp năm học 2004-2005 đề thi thức môn : Toán (bảng A) Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Số BD: Chữ ký GT Bài 1: 1) Chứng minh không tồn số tự nhiên n thoả mÃn: n2 + 2006 số phương 2) Giải phương trình: x = x Bài 2: Cho số thực x, y thoả mÃn điều kiện sau: x + x + x2 = y + y + y2 Chøng minh r»ng: x = y Bµi 3: Gäi a tham số thực cho phương trình x2 - 3ax - a = cã hai nghiƯm ph©n biƯt lµ x1 vµ x2 3ax x12 3a a2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 3ax1 x 22 3a a2 Bài 4: Gọi O tâm đường tròn tiếp xúc với cạnh AB, BC, CD, DA tứ giác ABCD Qua A, B, C, D vẽ ®êng th¼ng dA, dB, dC, dD cho dA OA, dB OB, dC OC, dD OD Các cặp đường thẳng dA dB, dB dC, dC dD, dD dA tương ứng cắt điểm K, L, M, N 1) Chứng minh ba điểm K, O, M thẳng hàng 2) Đặt OK = k, OL = l, OM = m TÝnh ®é dµi ON theo k, l, m HÕt - DeThiMau.vn híng dÉn chÊm thi HSG tỉnh năm học 2004-2005 môn toán lớp - bảng a Sơ lược lời giải Bài Cho điểm Bài 1.1 Giả sử tồn số tự nhiên n thoả mÃn n2 + 2006 số phương điểm n2 + 2006 = m2 với m số tự nhiên => (m-n)(m+n) = 2006 (*) Khi ®ã: - nÕu m n khác tính chẵn lẽ (m-n)(m+n) lẻ Mâu thuẫn với (*) - m n tính chẵn lẽ (m-n)(m+n) chia hết cho 4, 2006 không chia hết cho Cũng mâu thuẫn với (*) Tóm lại giả sử không Vậy không tồn số tự nhiên n thoả mÃn n2 + 2006 số phương 1,0 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,5 đ Bài 1.2 ĐK: x3 + (*) điểm Biến đổi phương trình đà cho (1) x 2 = ( x 1)( x x 1) 0,5 đ Đặt ( x 1) = u; ( x x 1) = v (1) => u2 + v2 = x2 + Khi ®ã (1) trë thµnh: 2(u2 + v2) = 5u.v => u = 2v ; u = v/2 0,5 đ 0,75 đ Thay vào (1); giải phương trình; tìm được: x = 37 37 x = 2 1,0 đ Thử thấy giá trị thoả mÃn điều kiện (*) Vậy phương trình đà cho có hai nghiệm: x = 5 37 5 37 vµ x = 2 0,25 đ Bài Giả sử có x, y tho¶ m·n x + x + x2 = y + y + y2 ®iĨm 0,25 ® => x 1; y 1,0 đ - Nếu x=1=y x = y (đpcm !) - Nếu x, y không đồng thời = cách nhân với BT liên hợp, được: x + x + x2 = y + y + y2 ( x - y2 ) + ( x 1 - y ) + (x2 - y2) = (x2- y2)/( x + y ) +(x - y)/( x + y )+(x2-y2) = (x - y).((x+y)/( x + y ) +1/( x + y ) +x+y)= x - y = x = y (v× : (x+y)/( x + y ) + 1/( x + y 1 ) + x + y > 0) VËy x, y thoả mÃn đẳng thức x = y Chó ý: Cã thĨ ch/m x = y cách loại trừ khả x < y; x > y Do phương trình x2 - 3ax - a = có hai nghiệm phân biệt x1 x2 nên Bài điểm ta có : 9a2 + 4a > (1) ; x12 - 3ax1 - a = x22 - 3ax2 - a = ; x1 + x2 = 3a => x12 = 3ax1 + a ; x22 = 3ax2 + a (2) DeThiMau.vn 1,0 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® 1,0 ® Sơ lược lời giải Bài Khi đó: A = 3ax x12 3a a2 a2 9a 4a = 3ax1 x 22 3a a2 9a 4a a2 Theo (1) th× 9a2 + 4a > nên áp dụng BĐT Côsi, ta ®ỵc A A = 9a2 + 4a = a2 a = -1/2 DƠ kiĨm tra thấy với a = -1/2 x1 = -1 x2 = -1/2 Vậy Anhỏ = 2, đạt a = -1/2 ; x1 = -1 vµ x2 = -1/2 Bài Cho điểm 0,5 đ 1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ Hình vẽ: Dễ thấy AKBO, BLCO, CMDO DNAO tứ giác nội tiếp 1) điểm đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tương ứng phân giác góc A, B, C, D cđa tø gi¸c ABCD Cã KOL + LOM = - OKB - OLB + - OLC - OMC = - BAO - BCO + - CBO - CDO = 2 - ( A + B + C + D )/2 = 2 - = Từ suy điểm K, O, M thẳng hàng Chứng minh tương tự trên, ta N, O, L thẳng hàng 2) điểm Ta chøng minh tø gi¸c KLMN néi tiÕp ThËt vËy, cã: NKL + NML = AKO + OKB + DMO + OMC = (1/2).( A + B + C + D ) = Từ chứng minh OK.OM = ON.OL Do ®ã ON = (OK.OM)/OL hay ON = k.m/l 1,5 ® 1,0 ® 1,0 ® 0,5 ® 0,25 ® 1,25 ® 1,0 ® 0,5 ® C¸c chó ý chấm: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết không vượt số điểm dành cho câu phần Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 đ phải thống tổ chấm Điểm toàn tổng số điểm phần đà chấm, làm tròn chấm thi TN Sở Giáo dục - Đào tạo Qu¶ng Ninh DeThiMau.vn ...hướng dẫn chấm thi HSG tỉnh năm học 2004-2005 môn toán lớp - bảng a Sơ lược lời giải Bài Cho điểm Bài 1.1 Giả sử tồn số tự... lời giải Bài Khi ®ã: A = 3ax x12 3a a2 a2 9a 4a = 3ax1 x 22 3a a2 9a 4a a2 Theo (1) 9a2 + 4a > nên áp dụng BĐT Côsi, ta A A = 9a2 + 4a = a2 a = -1/2 DƠ kiĨm tra thÊy víi... 1,0 ® 0,5 đ Các ý chấm: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác điểm tối đa Các cách giải khác cho ®iĨm Tỉ chÊm trao ®ỉi vµ thèng nhÊt