Phịng GD- ĐT Thạnh Hóa Trường THCS ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA KHỐI MƠN: Tốn Thời gian: 150 phút Câu 1: ( 4đ) 1 2x x 1 2x x x x Cho biểu thức P = : x x 1 x x 1 x a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn P c) Tính giá trị P với x = d) Tìm giá trị lớn a P > a Câu 2( 5đ) Cho hình chữ nhật ABCD Đường phân giác góc B cắt đường chéo AC thành hai đoạn 72 75 Tính kích thước hình chữ nhật Câu 3: ( 5đ) Bài 1: ( 2đ) a) Giải phương trình sau: x x x x x x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x x x 1 x 1 Bài 2: ( 3đ) Hai bến sông A B cách 40 km Một ca nơ xi dịng từ A đến B quay A với vận tốc riêng không đổi hết tất 15 phút Khi ca nô khởi hành từ A lúc đó, khúc gỗ trơi tự từ A theo dịng nước gặp ca nô đường trở điểm cách A 8km Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước Câu 4: ( 3đ ) Cho (0;R) điểm M cố định khơng nằm đường trịn Qua M vẽ cát tuyến cắt đường tròn A B Chứng minh tích MA.MB khơng phụ thuộc vào vị trí cát tuyến Câu 5: ( 3đ ) a) Chứng minh rằng: 1 1 1 2 2 a b a b a b ab b) Tìm số nguyên x để 199 x x số phương chẵn ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN Câu 1: a) ĐKXĐ: x > , x b) P = = = = = = c) P = d) P = Mà 0,25đ x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x 1 x 1 : 1 x x x x 1 x x 1 x : x x x x x x 1 x x x x : x 1 1 x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x x 1 x 1 x 1 x x x (1.5 đ) bước 0.25 đ 1 2 x 1 x 63 3 2 3 2 2 x 1 x Nên P bước 0,25đ 0,25đ x 1 x 0,25đ x 1 x P dấu “ =” xảy x x 1 x Nhưng x = khơng thỗ mãn ĐKXĐ Vậy P > Suy giá trị lớn a để P > a a = B 0,25đ 0,25đ 0,25đ C Câu 2:( 5đ) E A D ThuVienDeThi.com (1 đ) ( đ) Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác ABC có : EC EA AB CB EA EC AB CB (1) AB CB AB (1đ) (2) suy CB AB AB CB CB 16 16 Hay 72 75 = (1đ) Áp dụng tính chất dãy tỉ số suy Mà AC= AE+ EB = Vậy BC= 10.4 8 72 + , AB= 75 AC 25 AC CB 16 BC (0,5 đ) = 10 3.BC 6 (0,5đ) Kích thước hình chữ nhật 6m,8m Câu 3: ( 5đ) Bài 1: ( 2đ) a) x 1 x x 4 5 3 Vế trái Vế trái Dấu “ = ” xảy x x Mỗi ý 0,25đ c) Ta có A x x x 1 x 1 2 x x 1 A A3 Vậy Giá trị nhỏ A Mỗi ý 0,25đ Bài 2: ( 3đ) Gọi vận tốc riêng ca nơ x km/h Gọi vận tốc dịng nước y km/h.( x > y > ) Vận tốc ca nơ xi dịng x + y ( km/h) Vận tốc ca nơ ngược dịng x – y ( km/h) 0,25đ ThuVienDeThi.com (1 đ) Theo đề ta có hệ phương trình: 40 x y 40 x y 40 x y 32 x y y 1đ ( phương trình 0,5đ) 40 40 x y x y x y 0,5đ x 36 thỏa mãn điều kiện ẩn y Giải hệ ta 1đ ( chia nhỏ 0,25đ) Vậy vận tốc riêng ca nô 36 km/h, vận tốc dòng nước km/h 0,25đ C B Câu 4: ( 3đ ) (0,5 đ) M A D * Trường hợp M nằm đường trịn Vẽ đường kính CD qua M , nằm M D ADM CBM có : BAD = BCD = ½ sđ BD (0,5đ) CBA = CDA = ½ sđ AC suy ADM CBM (g-g) MA MD MA.MB MC.MD (OC OM ).(OD OM ) ( R OM ).( R OM ) (0,5 đ) MC MB 2 MA.MB R OM MA.MB không đổi * Trường hợp M nằm ngồi đường trịn (0,5đ) M C D A B Kẻ cát tuyến MCD qua O , giả sử nằm Mvà D ThuVienDeThi.com Xét hai tam giác MCB MAD có A DM = CBM M chung (0,5 đ) MCB MAD MC MB MA MD MA.MB MC.MD (OM OC ).(OM OC ) OM R Vậy MA.MB không đổi (0,5 đ) Từ trường hợp ta thấy MA.MB= / R OM / khơng đổi Do MA MB khơng phụ thuộc vào vị trí M (* trường hợp đạt 1,5 đ) Câu 5: ( 3đ ) a) ( 1đ) Bình phương hai vế ta được: 1 1 1 2 2 2 2 2 a b a b a b a b ab a a b b a b 0 a b ab ab a b 00 Bước đầu 0,5đ, hai bước sau bước 0,25đ b) Đặt 199 x x 2n (n N ) 0,25đ 200 x 1 4n 0,25đ 4n 200 4n 16 n ( n N ) 0,25đ Với n = phương trình vơ nghiệm Với n = ta x1= 13; x2 = – 15 Với n = ta x3 = ; x4 = – Vậy x 15; 3;1;13 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ThuVienDeThi.com ... tốc ca nơ xi dịng x + y ( km/h) Vận tốc ca nô ngược dòng x – y ( km/h) 0,25đ ThuVienDeThi.com (1 đ) Theo đề ta có hệ phương trình: 40 x y 40 x y 40 x y 32 x y y 1đ (... b a b 0 a b ab ab a b 00 Bước đầu 0,5đ, hai bước sau bước 0,25đ b) Đặt 199 x x 2n (n N ) 0,25đ 200 x 1 4n 0,25đ 4n 200 4n 16 n ( n N )... Trường hợp M nằm ngồi đường trịn (0,5đ) M C D A B Kẻ cát tuyến MCD qua O , giả sử nằm Mvà D ThuVienDeThi.com Xét hai tam giác MCB MAD có A DM = CBM M chung (0,5 đ) MCB MAD MC MB MA MD MA.MB