(SKKN mới NHẤT) SKKN dạy một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ở lớp 8

MỤC LỤC 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài : 1.2 Mục đích nghiên cứu: 1.3 Đối tượng nghiên cứu: 1.4 Phương pháp nghiên cứu: 1.5 Những điểm mới của sáng kiến 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lý luận : 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện 2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 16 KẾT LUẬN 17 3.1 Kết luận: 17 3.2 Kiến nghị đề suất biện pháp: 17 4.Tài liệu tham khảo, Một số kí hiệu viết tắt Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đã được đánh giá xếp loại download by : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình THCS, Tốn học chiếm vai trị quan trọng Tốn học khơng giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả tìm tịi khám phá tri thức, vận dụng hiểu biết vào thực tế, sống mà Tốn học cịn cơng cụ giúp em học tốt môn khoa học khác góp phần giúp em phát triển cách tồn diện Từ vai trị quan trọng mà việc giúp em học sinh u thích, say mê Tốn học, giúp em học sinh giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức kèm cặp, phụ đạo cho học sinh yếu mơn Tốn yêu cầu tất yếu giáo viên dạy Tốn nói chung Nhất đất nước ta thời kỳ cơng nghiệp hố, đại hố, cần người động, sáng tạo có hiểu biết sâu rộng Trong chương trình tốn THCS toán Bất đẳng thức chiếm vị trí quan trọng Ở lớp bậc THCS em bắt đầu học Bất đẳng thức, việc giải loại tốn địi hỏi phải vận dụng cách hợp lí, độc đáo nhiều cách giải Vì tốn Bất đẳng thức thường xuyên xuất SGK, sách nâng cao khối lớp Nó tốn hay giúp học sinh phát triển trí thơng minh, sáng tạo, khả tư Toán học cao Mặt khác, năm gần đây, kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT đặc biệt thi vào trường THPT chuyên thường gặp toán Bất đẳng thức phong phú đa dạng mang tính ứng dụng thực tiễn cao qua đó góp phần hình thành cho học sinh thói quen tìm giải pháp tối ưu cho cơng việc sống sau Tuy nhiên, Qua thực tiễn giáo viên dạy tốn trường THCS tơi nhận thấy phần đơng em học mơn Tốn rất sợ giải các bài toán về bất đẳng thức lí sau đây: - Không thuộc kiến thức không nắm vững kiến thức về bất đẳng thức - Lí quan trọng em chưa biết cách làm toán bất đẳng thức, chính xác là các em chưa nắm được phương pháp giải các bài toán bất đẳng thức, chưa biết cách trình bày lời giải cho đúng, chưa biết cách vận dụng các bất đẳng thức vào giải toán Bởi chọn đề tài: “Dạy số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 8.” Nhằm mong muốn nâng cao chất lượng dạy học đại trà và chất lượng học sinh giỏi 1.2 Mục đích nghiên cứu : Với mong muốn tìm giải pháp cho học sinh nắm vững phương pháp giải toán bất đẳng thức, từ đó yêu và chủ động tích cực học toán qua đó nâng cao chất lượng học Toán đại trà chất lượng mũi nhọn Thông qua đó hình thành kỹ tư logic, tối ưu giải quyết vấn đề gặp phải cuộc sống 1.3.Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp trường THCS Hàm Rồng năm học 2017 -2018 download by : skknchat@gmail.com 1.4.Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp đọc tài liệu SGK, sách tham khảo, tài liệu mạng - Phương pháp đàm thoại trực tiếp - Nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm giáo dục thông qua thực tế dạy học Trên sở lý thuyết nghiên cứu các phương pháp, các giải pháp dạy học giải các bài toàn bất đẳng thức điển hình để từ đó học sinh vận dụng vào giải số toán bất đẳng thức 1.5 Những điểm mới của sáng kiến Các phương pháp giải bất đẳng thức được sắp xếp theo thứ tự thường gặp hơn, Các bài toán bất đẳng thức giảng dạy có tính khái quát hóa, mở rộng từ dễ đến khó dần, có tính kế thừa vận dụng để rèn kỹ năng, làm cho việc tiếp thu của học sinh trở nên dễ NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN Đề tài: “Dạy số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 8.”mang nội dung vô sâu sắc việc giáo dục kỹ năng, phẩm chất trí ṭ thơng qua mơn Tốn Để hình thành cho học sinh kỹ tìm giải pháp tối ưu cho nhiều dạng toán mà em gặp sau Các toán chứng minh bất đẳng thức phong phú , đa dạng có mặt nhiều kỳ thi quan trọng thi học kỳ 2, thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi vào trường chuyên lớp chọn Việc nắm được phương pháp và kỹ giải các bài toán bất đẳng thức là yếu tố hết sức quan trọng giúp các em có thành tích cao, có kết quả học tập cao học tập, các kỳ thi Trong viết này, tơi hy vọng đóng góp thêm số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh “Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 8.” 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực tiễn dạy học mơn Tốn Trường THCS Hàm Rờng phương pháp giải tốn học sinh khối yếu nhiều đặc biệt chứng minh bất đẳng thức Trong năm học vừa qua, nhà trường phân cơng giảng dạy tốn Qua thời gian giảng dạy thấy ý thức học tập tự giác, sáng tạo học sinh chưa cao, em quen với kiểu học làm thụ động, với lí sau đây: - Khơng thuộc kiến thức khơng nắm vững kiến thức, trình bày làm lúng túng khơng biết trình bày cho - Các em chưa biết cách làm Tốn mà ta gọi phương pháp, phương pháp đặc trưng cho dạng Toán Hơn mơi trường gia đình xã hội ảnh hưởng nhiều đến học tập em như: - Một số học sinh có phụ huynh làm ăn xa, làm công nhân, nên thời gian giám sát, theo dõi, đôn đốc học tập em chưa tốt - Một số gia đình có hồn cảnh khó khăn nên chưa đầu tư nhiều vào việc học em, loại sách tham khảo khơng có download by : skknchat@gmail.com - Phong trào hiếu học địa phương chưa thực lớn mạnh nên em theo trào lưu mà khơng có tâm học - Mợt sớ em còn bị lôi cuốn bởi các trò chơi điện tử, còn bị các trào lưu mà các mạng xã hội tác động làm các em bị lôi cuốn vào các hình tượng, thần tượng ảo dẫn đến lười học, xao nhãng học tập 2.3 GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 2.3.1 GIẢI PHÁP: Để thực hiện, áp dụng số giải pháp sau: - Soạn cách đầy đủ, chi tiết, phân dạng dạy theo đối tượng Mỗi dạng toán bất đẳng thức sẽ trình bày theo hình thức từ dễ đến khó dần, các bài toán bất đẳng thức được phát triển theo hướng từ đơn giản đến phức tạp Các bài toán bất đẳng thức sau khó được phát triển, khái quát hóa từ bài toán trước, bài toán quen thuộc mà học sinh đã nắm được trước đó qua đó giúp học sinh hứng thú và cảm thấy các bài toán bất đẳng thức đỡ khó hơn, từ đó yêu, hứng thú học, giải toán bất đẳng thức - Hướng dẫn học sinh học tập Cho học sinh nắm vững kiến thức sách giáo khoa, có đủ dạng tốn, bên cạnh cịn mở rộng tài liệu khác để củng cố, nâng cao Nghiên cứu, phân loại dạng tập cho phù hợp với đối tượng học sinh phần kiến thức cụ thể - Tổ chức cho các em học tập chuyên đề này bằng các lồng ghép vào các tiết luyện tập phần bất đẳng thức giờ luyện tập chính khóa, các buổi dạy phụ đạo cho các đối tượng học sinh tùy theo đối tượng và khả tiếp thu của học sinh để đưa bài tập ở các mức độ khác nhau, Đồng thời hướng dẫn định hướng cho học sinh khá giỏi tự học, tự nghiên cứu các dạng toán tại nhà - Thực giảng dạy theo phương pháp hướng người học làm trung tâm - Bồi dưỡng học sinh thì phải thường xuyên kiểm tra, đánh giá, sửa lỗi, an ủi, động viên học sinh trình giảng dạy lớp để em thêm tự tin, hứng thú học tập 2.3.2 CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 2.3.2.1 Các kiến thức bản cần vận dụng a Định nghĩa bất đẳng thức [1] a nhỏ b, kí hiệu a < b, a – b < a lớn b, kí hiệu a > b, a – b > a nhỏ b, kí hiệu a b, a - b a lớn b, kí hiệu a b, a - b b Các tính chất bất đẳng thức [5] Tính chất 1: a > b b b, b > c a>c Tính chất 3: a > b a+c>b+c a>b a–c>b-c a+c>b a>b-c 0 download by : skknchat@gmail.com Tính chất 4: a > c, b > d a+b>c+d a > b, c < d a-c b, c > c > b.c a > b, c < a.c < b.c Tính chất 6: a > b 0, c > d a.c > b.c Tính chất 7: a > b > a >b a>b a > b với n lẻ > a > b với n chẵn 2.3.2.2 Một số phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a Phương pháp dùng định nghĩa: Để chứng minh bất đẳng thức A > B, ta xét hiệu A - B, suy A - B > 0.[3] Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e số thực [9] Chứng minh rằng: Giải Ta có Xét hiệu Do Suy với mọi a, b; với mọi a, c; với mọi c, b Dấu “ = ” xảy Ví dụ 2: Cho a, b số thực dương Chứng minh rằng: (a + b) (a + b ) (a + b ) [4] Giải: Xét hiệu: (a + b) (a + b ) - (a + b ) = a(a +b ) + b (a +b ) - a - b = a + ab + ba + b - a - b = - a - b + ab + ba = a(b - a ) + b (a - b ) = a(b - a ) - b (b - a ) = - (a - b) (a- b) (a + ab + b ) = - (a - b) (a + ab + b ) Vì a, b, số thực dương nên: (a –b )2 Suy ra: 0, a + ab + b > Dấu “=” xảy a = b download by : skknchat@gmail.com Cho học sinh các bài tập rèn luyện có cùng dạng cách làm phát triển nâng cao dần từ bài tập đã làm để học sinh luyện giải tại lớp và ở nhà Bài 1: Cho a, b, c, d, e  R Chứng minh các bất đẳng thức sau: [9] a) b) [5] c) d) [8] e) [7] f) k) a + b + c + d + e a (b + c + d + e) Hướng Dẫn a) Nhân hai vế với 2, rồi xét hiệu VT - VP  => Đpcm b ) Xét hiệu VT – VP = c) d) Xét hiệu => Đpcm => Đpcm   f) Xét hiệu => Đpcm => Đpcm k ) Xét hiệu => Đpcm Bài : Cho a, b, c  R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) [7] b) ; với a, b  c) d) e) , với a, b, c > f) g) ; với a, b  ; với ab  h) với ab > Hướng Dẫn: Thực hiện xét hiệu các vế của bất đẳng thức download by : skknchat@gmail.com a) ; => Đpcm với a, b  => Đpcm b) Xét hiệu VT- VP = …= c) Xét hiệu VT- VP = …= d) Xét hiệu VT- VP = …= vì => Đpcm => Đpcm e) Chú ý: Xét hiệu VT- VP = …= f) Xét hiệu VP- VT = …= => Đpcm => Đpcm g) Xét hiệu VT- VP = …= h) Xét hiệu VT- VP = …= => Đpcm b Phương pháp biến đổi tương đương Để chứng minh bất đẳng thức A > B, ta biến đổi tương đương (dựa vào tính chất bất đẳng thức) A > B … C > D cuối đạt bất đẳng thức C >D Khi ta kết luận A > B Ví dụ : Cho a, b số thực Chứng minh rằng Giải : Ta có Bất đẳng thức bất đẳng thức Mặt khác phép biến đổi tương đương Vậy bất đẳng thức phải bất đẳng thức Dấu “=” xảy a = b Hướng dẫn, yêu cầu học sinh giải các bài toán sau : Bài tập Cho a, b, c, d  R.) Áp dụng bất đẳng thức a2  b2  2ab (*) chứng minh bất đẳng thức sau: a) a4  b4  c4  d4  4abcd b) (a2  1)(b2  1)(c2  1)  8abc c) (a2  4)(b2  4)(c2  4)(d2  4)  256abcd Hướng Dẫn a) Sử dụng ; a2b2  c2d2  2abcd => Đpcm b) Sử dụng a2  1 a ; b2  1 b ; c2  1 c => Đpcm c) Sử dụng a2   a ; b2   b ; c2   c ; d2   d => Đpcm Ta đưa ví dụ mở rộng và bài tập ứng dụng sau download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Giải Ta có Vì ; ; Suy Dấu “ = ” xảy a=b=c Hướng dẫn, yêu cầu học sinh giải các bài toán sau : Bài tập 4: Cho a, b, c  R Áp dụng bất đẳng thức: a2  b2  c2  ab  bc  ca (1) Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a  b c)2  3(a2  b2  c2) c) (a  b c)  3(ab bc  ca) Hướng dẫn a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) 2 b) a  b  c   a  b c   2 b) a  b  c   a  b c   4  d) a  b  c  abc(a  b c)  c) Khai triển, rút gọn, đưa (1) d) Sử dụng (1) hai lần a4  b4  c4  abc(a  b c) c Phương pháp sử dụng bất đẳng thức thông dụng + Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) [5] Với x 0, y Dấu “=” xảy x = y Chứng minh: - Ta có với x 0, y Xét hiệu Dấu “=” xảy x = y + Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-x-ki (Bunhiacopxki) [5] Với số a, b, x, y ta có: (a + b )(x + y ) (ax + by) Dấu “=” xảy ay = bx Chứng minh: Xét hiệu: (a + b )(x + y ) - (ax + by) = a x + a y + b x + b y - a x - b y - 2axby download by : skknchat@gmail.com = a y - 2axby + b x = (ay - bx) Dấu “=” xảy ay = bx + Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối [4] Với số a, b R ta có: + Dấu “=” xảy a.b Chứng minh: Ta có: + (1) với a, b a + + b a + 2ab + b (vì vế khơng âm) 2ab ab (2) Vì bất đẳng thức (2) nên bất đẳng thức (1) Dấu “=” xảy a.b Ví dụ Cho a, b, c > Chứng minh (1) [9] Giải : Ta có Vì theo BĐT cauchy ta có Dấu “ = ” xảy a = b = c > Hướng dẫn cho học sinh vận dụng ví dụ để giải bài toán sau: Bài tập 5: a) Cho a, b, c >0 Chứng minh BĐT sau b) Cho x, y, z > thoả Tìm GTLN biểu thức: c) Cho a, b, c > thoả P= Tìm GTNN biểu thức: d) Cho a, b, c > thoả Chứng minh: Hướng dẫn : a) Áp dụng (1) ta được: download by : skknchat@gmail.com  VT  Chú ý: b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: P= = Suy ra: P  Ta có: *Chú ý: Bài tốn tổng qt sau: Cho x, y, z > thoả k số dương cho trước Tìm GTLN biểu thức: P= c) Ta có: P  d) VT  =  Chú ý: Ví dụ 6: Cho a, b > Chứng minh (1) [4] Giải : Ta có a, b >0 vì Dấu “ = ” xảy a = b Bài tập 6: Áp dụng bất đẳng thức chứng minh các bất đẳng thức sau a) ; với a, b, c > b) ; với a, b, c > c) Cho a, b, c > thoả mãn download by : skknchat@gmail.com Chứng minh: d) ; với a, b, c > e) Cho x, y, z > thoả mãn Chứng minh: f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: Hướng dẫn : a) Áp dụng (1) ba lần ta được: Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) c) Áp dụng a) b) ta được: d) Theo (1):  Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z  đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c Áp dụng (1) ta được: Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm Ví dụ 7: Cho A = 2x(16 – 2x) < x < Chứng minh rằng: A Giải: - Với < x < 2x > ; 16 – 2x > 64 Theo bất đẳng thức CơSi ta có: 64 2x(16 – 2x) Hay 2x(16 – 2x) 64 Hay A 64 Dấu “=” xảy 2x = 16 – 2x x = với a + b =1 m + n = [7] Giải: Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-x-ki ta có: Ví dụ 8: Chứng minh : (am + bn) ( a + b )( m + n ) (am + bn) Dấu “=” xảy : an = bm download by : skknchat@gmail.com 10 Ví dụ 9: Cho số x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + xz = Chứng minh rằng: x + y + z Giải: Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-x-ki ta có: (xy + yz + xz) (x +y +z )(x +y +z ) 16 (x +y +z ) (1) Ta lại có: (x +y +z ) 1(1 + + 1) (x +y +z ) = 3(x +y +z ) Từ (1) (2) suy ra: 16 3(x +y +z ) 3(x +y +z ) 16 (2) x +y +z Ví dụ 10 : Cho: A = Chứng minh rằng: A Giải: Ta có: A = = Theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : A= =1 Hay : A với x Dấu “=” xảy : 2004 d Phương pháp dùng tính chất bất đẳng thức Ví dụ 11 : Cho a, b, c, > Chứng minh với x [2] x 2005 (1).[2] Giải Ta có với a > , b > ) ( Chia vế cho Vậy suy (1) Yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức ví dụ để làm bài toán sau : Bài tập vd 11 : Cho a, b, c, d > Chứng minh bất đẳng thức sau: [9] a) b) c) Hướng dẫn : a) Sử dụng (1), ta được: ; download by : skknchat@gmail.com 11 ; Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm ( Điều phải chứng minh ) b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: Tương tự: ; ; Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm Ví dụ 12: Chứng minh Với a, b ta có: a + b + Giải: a + b + ab + 2(a + b) 2a + 2b + 2ab + 4(a + b) (Nhân vế với 2) 2a + 2b + - 2ab - 4a - 4b (a - 2ab + b ) + (a - 4a + 4) + (b - 4b + 4) (a - b) + (a – 2) + (b - 2) Với a, b Dấu “=” xảy a = b = ab + 2(a + b) Ví dụ 13: Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z [8] Chứng minh rằng: Giải: Nhân vế bất đẳng thức: x + y + z với Ta bất đẳng thức: (x + y + z) ( 1+( ) +1+( ) ) +1+( Vì x > 0, y > 0, z > nên ta có: ) 2, >0 6( ) 6( ) 2, Vì bất đẳng thức (1) tương đương với: 6( ) 3+2+2+2 6( ) Dấu “=” xảy x = y = z = Ví dụ 14: Cho a, b số dương Chứng minh rằng: a + b ab(a + b) [9] download by : skknchat@gmail.com 12 Giải: Ta có a + b ab(a + b) (a + b) (a - ab + b ) ab(a + b) (Chia vế cho a + b > 0) (a - ab + b ) ab (a - 2ab + b ) (a - b) Đúng với a, b Dấu “=” xảy a = b Ví dụ 15: Cho x, y số dương, thỏa mãn điều kiện: x + y Chứng minh rằng: x + y < Giải: Ta có x + y < (x - y)(x + y ) < (x - y) (Nhân vế với x – y > ) (x - y)(x + y ) < x + y x (x + y ) - y(x + y ) < x + y x +xy -x y - y < x +y -2y + xy - x y < - y (x + 2y - xy) < y (x + 2y - xy) > (Nhân vế với – ) y[( x - ) - +2y ]>0 y[( x - ) - + y[( x - ) - ]>0 x-y>0 y ]>0 Với x, y Vậy : x + y < Ví dụ 16: Cho x, y, z số dương, thỏa mãn điều kiện: x + y + z = Chứng minh rằng: Giải: Ta có (x + y - z) x + y + z 2(yz - x y + xz) 2(yz - x y + xz) yz - x y + xz (Vì : x + y + z = ) (Chia vế cho ) yz - x y + xz yz - x y + xz < (Chia vế cho xyz > ) Ví dụ 17: Cho số a, b thỏa mãn điều kiện: a + b = Chứng minh rằng: a + b [5] download by : skknchat@gmail.com 13 Giải: Ta có: a + b = (a + b) = a + 2ab + b = Ta lại có : (a - b) a - 2ab + b Cộng (1) (2) theo vế ta được: 2(a + b ) a +b Dấu “=” xảy a = b = Ví dụ 18: Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = Chứng minh rằng: x + y xyz Giải: Ta có : (x - y) x +y 2xy x + y + xy 4xy (Cộng vế với 2xy > ) (x + y) 4xy Suy ra: [(x + y) + z ] 4(x + y)z 16 4(x + y)z (vì : x + y + z = 4) 16 (x + y) (x + y) z (Nhân vế với x + y > ) Theo (1) (x + y) 4xy Nên: 16 (x + y) (x + y) z 4.4xyz 16 (x + y) 16xyz x + y xyz e Phương pháp chứng minh phản chứng Ví dụ 19: Chứng minh khơng có số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức sau: a+ ; b+ ; c+ [9] Giải: Giả sử tồn số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức : a+ ; b+ ; c+ Cộng vế bất đẳng thức ta được: a+ + b+ +c+ (a + ) + (b+ 0, b > 0, c > nên: a + Như : (a + ) + (b+ ) 1; 4b(1 - c) > 1; 4c(1 - a) > 14 download by : skknchat@gmail.com Giải: Giả sử tồn số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức : 4a(1 - b) > 1; 4b(1 - c) > 1; 4c(1 - a) > Nhân theo vế bất đẳng thức ta được: 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) > (*) Ta lại có: 4a(1 - a) – = 4a - 4a – = - (2a – 1) Suy ra: 4a(1 - a) (1) Tương tự ta có: 4b(1 - b) (2) 4c(1 - c) (3) Từ giả thiết phản chứng từ a, b, c dương , suy ra: – a > 0; – b > 0; – c > Do nhân theo vế bất đẳng thức (1); (2); (3) ta được: 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) (**) Điều mâu thuẫn với (*) Vậy không tồn số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức cho f Phương pháp quy nạp toán học Ví dụ 21: Chứng minh với số nguyên dương n : > 2n + (1) Giải: Với n = = ; 2n + = 2.3 +1 = Rõ ràng vế trái lớn vế phải Vậy (1) với n = Giả sử (1) với n = k (k n ; k 3), tức : > 2k + Ta phải chứng minh (1) với n = k + Tức : > 2(k + 1) + Hay: > 2k + Thật vậy: = 2 , mà > 2k + (theo giả thiết quy nạp) Do : > 2(2k+1) = (2k +3) + ( 2k + 1) > 2k +3 (vì : 2k + > ) Suy ra: > 2k+3 với k Kết luận: > 2n + với số nguyên dương n k) Phương pháp làm trội Dùng tính chất bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tổng hữu hạn tích hữu hạn + Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S= Ta biến đổi số hạng tổng quát hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: Khi đó: S= + Phương pháp chung tính tích hữu hạn: P = Ta biến đổi số hạng thương hai số hạng liên tiếp nhau: [9] Khi đó: P = Ví dụ 22 : Chứng minh với số tự nhiên , ta có: a) Giải : download by : skknchat@gmail.com 15 Ta có: , với k = 1, 2, 3, …, n –1 Vậy với số tự nhiên Bài tập VD 22: Chứng minh với số tự nhiên a) , ta có: [7] b) [7] c) Hướng dẫn a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: , với k = 1, 2, 3, …, n , với k = 2, 3, …, n , với k = 2, 3, …, n 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Khi bắt đầu học chứng minh bất đẳng thức nhiều học sinh bối rối, thường xuyên mắc phải sai lầm trình bày, lập luận tốn đơn giản , thơng qua buổi bồi dưỡng với cách ơn tập chi tiết, có hệ thống đặc biệt phân dạng loại toán , học sinh tiếp thu kiến thức cách chủ động , nắm vững kiến thức đồng thời học sinh nắm điểm trọng yếu kỹ vận dụng phương pháp vào toán, em làm tập cách linh hoạt, xác lập luận chặt chẽ logic Kết học tập em nâng lên rõ rệt thể rõ bài kiểm tra chương và tinh thần học tập tích cực không ngại gặp bài toán bất đẳng thức Từ xố cảm giác khó, phức tạp học sinh gặp dạng toán học sinh thấy dạng tốn quan trọng, phong phú khơng đơn điệu, giúp học sinh hứng thú học tốn Góp phần giúp em tự tin, làm tốt kỳ thi quan trọng tiếp theo, kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, thi vào trường chuyên, lớp chọn Trong thời gian hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm thân rút nhiều kinh nghiệm giảng dạy “ Bất đẳng thức” : Hệ thống tốt phương pháp vận dụng vào giải toán, chọn lựa toán phù hợp cho đối tượng học sinh từ đơn giản đến phức tạp Kết so sánh số liệu với thời điểm bắt đầu nghiên cứu Tình trạng TS Học sinh Học sinh Học sinh Ghi HS Khá - Giỏi Trung bình trung bình TS Tỉ lệ % TS Tỉ lệ % TS Tỉ lệ % Chưa áp dụng 60 28 46.7 18 30.0 14 23.3 Áp dụng 60 38 63.3 22 36.7 0 download by : skknchat@gmail.com 16 Kết cho thấy việc vận dụng phương pháp vào giảng dạy tốn giúp học sinh có kết cao học tập Đây là nội dung khó và có khối lượng kiến thức lớn của đề tài nên cảm thấy còn nhiều vấn đề chưa trình bày hết được sẽ tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện và cũng mong muốn sẽ nhận được thêm nhiều đóng góp để hoàn thiện để nó là tư liệu thân giảng dạy đề tài để đồng nghiệp nhà trường đóng góp xây dựng làm tư liệu chung quan KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: 3.1 Kết luận Phần “ chứng minh bất đẳng thức , lớp 8.” nội dung quan trọng, kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề cho học sinh học tốt kiến thức sau đặc biệt ứng dụng hiệu cho em lên lớp Trên số phương pháp thường dùng có hiệu học sinh lớp trường THCS , ôn tập cho em tạo tiền đề để sau em thi vào lớp 10 trường chuyên lớp chọn Mới đầu học sinh bở ngở việc chứng minh bất đẳng thức , thông qua buổi bồi dưỡng với cách ơn tập chi tiết, có hệ thống, đa số học sinh nắm vững phương pháp chứng minh bất đẳng thức vận dụng vào làm tập cách linh hoạt Tuy nhiên, khn khổ viết thời gian có hạn, khơng thể tránh sai sót nên Tơi mong nhận xét, góp ý cấp lãnh đạo, đồng nghiệp tổ chuyên môn 3.1.Kiến nghị: Trên phương pháp để giải toán “ Bất đẳng thức”, để học sinh nắm kiến thức có hứng thú học tập, giáo viên phải chọn lọc hệ thống kiến thức, hệ thống tập theo mức độ tăng dần, từ dễ đến khó, giúp học sinh phát huy khả suy luận tính độc lập sáng tạo Với dạng tốn khơng có quy tắc tổng qt song giải giáo viên đặc điểm mà có hướng giải để gặp tốn tương tự học sinh liên hệ Những sáng kiến kinh nghiệm có tính vận dụng tốt, đạt giải cao huyện mong Phòng Giáo Dục tạo điều kiện Cán bộ, giáo viên học hỏi kinh nghiệm Tôi xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hoá, ngày 15 tháng 04 năm 2018 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Trần Đức Thành download by : skknchat@gmail.com 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO, PHỤ LỤC TT Tên tài liệu tham khảo Tác giả [1] Sách giáo khoa tốn Tơn Thân (Chủ biên) [2] Sách tập tốn tập Tơn Thân (Chủ biên) [3] Sách : Ôn tập đại số Nguyễn Ngọc Đạm [4] Sách: Toán nâng cao toán Vũ Hựu [5] [8] Sách: Kiến thức nâng cao toán Nguyễn Ngọc Đạm Sách: Những toán nâng cao chọn Lê Thị Hương lọc toán Nguyễn Ngọc Đạm Sách: 500 toán chọn lọc toán Nguyễn Quang Hanh Ngơ Long Hậu Sách: Tốn nâng cao đại số Nguyễn Vĩnh Cận [9] Sách: Nâng cao phát triển tốn [6] [7] Vũ Bình MỢT SỚ KÍ HIỆU VIẾT TẮT - Đpcm : Điều phải chứng Minh - VT : Vế trái - VP : Vế phải - BĐT : bất đẳng thức download by : skknchat@gmail.com 18 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trần Đức Thành Chức vụ đơn vị công tác: Trường THCS Hàm Rồng TT Tên đề tài SKKN Hướng dẫn học sinh yếu kém giải các bài toán so sanh phân số Dạy học sinh lớp vận dụng định lý vi ét giải toán về phương trình bậc một ẩn Hướng dẫn học sinh lớp giải bài toán bằng cách lập phương trình Hướng dẫn học sinh giải các bài toán hình học bằng cách vẽ thêm đường phụ Hướng dẫn học sinh yếu kém giải toán về tỉ lệ thức Hướng dẫn học sinh yếu lớp sử dụng bảng tóm tắt giải tốn cách lập phương trình Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết Cấp Kết đánh đánh giá xếp Năm học giá xếp loại đánh giá xếp loại (A, (Phòng, loại B, Sở, C) Tỉnh ) Phòng A Phòng A 2000-2001 2001-2002 Sở GD C phòng 2005-2006 C 2007-2008 Phòng 2010-2011 Phòng B B 2014-2015 Phòng B 2015-2016 download by : skknchat@gmail.com 19 ... 2.3.2.2 Một số phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a Phương pháp dùng định nghĩa: Để chứng minh bất đẳng thức A > B, ta xét hiệu A - B, suy A - B > 0.[3] Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e số thực [9] Chứng. .. thêm số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh ? ?Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 8. ” 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực tiễn dạy học mơn Tốn Trường THCS Hàm Rờng phương pháp giải... xyz e Phương pháp chứng minh phản chứng Ví dụ 19: Chứng minh khơng có số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức sau: a+ ; b+ ; c+ [9] Giải: Giả sử tồn số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức