(SKKN mới NHẤT) SKKN định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải nhanh một số dạng bài tập tích phân ở mức độ vận dụng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Người thực hiện: Phạm Văn Quí Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ, NĂM 2018 download by : skknchat@gmail.com MỤC LỤC 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Đối với giáo viên 2.2.2 Đối với học sinh 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phương pháp giải nhanh tốn tích phân phương pháp đổi biến số 2.3.2 Phương pháp giải nhanh tốn tích phân phương pháp tích phân phần 2.3.3 Phương pháp giải nhanh tốn tích phân liên quan đến đồ thị diện tích hình phẳng 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm hội đồng đánh giá xếp loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT cấp cao xếp loại từ C trở lên download by : skknchat@gmail.com Trang 1 1 1 3 4 13 17 20 20 20 21 22 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Bài tốn tích phân tốn thường xuất kỳ thi, ln quan tâm đặc biệt học sinh giáo viên Hơn từ năm học 2016 – 2017 Bộ giáo dục chuyển mơn tốn sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan nên tốn tích phân trở nên đa dạng phong phú, đồng thời kiến thức trải rộng có tính phân hóa cao Mặt khác hình thức thi trắc nghiệm khách quan nên phần lớn tốn tích phân u cầu phải suy luận logic sử dụng máy tính cầm tay, đặc biệt câu hỏi mức độ vận dụng thường làm cho giáo viên học sinh gặp khó khăn việc tìm tịi lời giải Ngoài ra, tài liệu tham khảo cho dạng tốn chưa có xuất rời rạc toán đơn lẻ đề thi thử Do việc tổng hợp đưa phương pháp giải nhanh dạng toán cần thiết cho học sinh q trình ơn thi THPT quốc gia Xuất phát từ thực tế trên, với số kinh nghiệm trình giảng dạy tham khảo số tài liệu, mạnh dạn chọn đề tài “ Định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải nhanh số dạng tập tích phân mức độ vận dụng” nhằm giúp em hiểu có kỹ giải tốt tập để đạt kết tốt kì thi 1.2 Mục đích nghiên cứu Thơng qua việc nghiên cứu toán giúp học sinh hiểu, định hướng cách làm tập, biết vận dụng lý thuyết để giải số toán tích phân mức độ vận dụng cách xác nhanh chóng Từ kích thích khả tư duy, ham hiểu biết học sinh môn học 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Kiến thức chương nguyên hàm, tích phân ứng dụng chương trình tốn THPT - Hệ thống hướng dẫn phương pháp giải nhanh tốn tích phân phương pháp đổi biến - Hệ thống hướng dẫn phương pháp giải nhanh số tốn tích phân bẳng phương pháp tích phân phần - Hệ thống hướng dẫn phương pháp giải nhanh số tốn tích phân liên quan đến đồ thị diện tích hình phẳng 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí thuyết - Phương pháp nghiên cứu tài liệu sản phẩm hoạt động sư phạm - Phương pháp tổng hợp - Phương pháp thống kê, so sánh NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Những kiến thức tích phân download by : skknchat@gmail.com Khái niệm tích phân Cho hàm số liên tục K nguyên hàm hai số thuộc K Nếu K hiệu số: đến kí hiệu là: Tính chất tích phân Giả sử hàm số , Khi ta có: gọi tích phân liên tục K từ ba số thuộc K 1) 2) 3) 4) 5) với 6) Nếu 7) Nếu Một số phương pháp tính tích phân a Phương pháp đổi biến số: Trong có đạo hàm liên tục K, hàm số cho hàm hợp xác định K; b Phương pháp tích phân phần: liên tục hai số thuộc K download by : skknchat@gmail.com Trong hàm số có đạo hàm liên tục K, hai số thuộc K Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng * Nếu hàm số liên tục đoạn giới hạn đồ thị hàm số diện tích hình phẳng , trục hồnh hai đường thẳng là: * Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số liên tục đoạn hai đường thẳng , là: 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Đối với giáo viên - Trước tích phân chương trình thi quốc gia (từ năm 2009 – 2016) áp dụng phương pháp đổi biến số tích phân phầnvà đặc biệt em học sinh kiểm tra kết máy tính cầm tay - Hiện với đề án thi giáo dục Thông qua đề minh họa Bộ đưa đề thi thử sở, trường, câu hỏi phần tích phân xuất nhiều hơn, rộng Đặc biệt câu khó, khó lạ (mức độ vận dụng cao) mà trước chưa xuất xuất tương đối nhiều Tuy nhiên lại chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu vấn đề nguồn tham khảo giáo viên hạn chế - Các giáo viên chưa có nhiều thời gian nghiên cứu dạng tốn mới, chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy định hướng cho học sinh giải tốn tích phân mức độ vận dụng 2.2.2 Đối với học sinh - Trường THPT Hậu Lộc đóng địa bàn có nhiều xã khó khăn kinh tế, khó khăn việc học tập kiến thức sở mơn tốn em hầu hết tập trung mức độ trung bình - Với lớp toán vận dụng, em thường thụ động việc tiếp cận phụ thuộc nhiều vào kiến thức giáo viên cung cấp chưa có ý thức tìm tịi, sáng tạo tìm niềm vui, hưng phấn giải toán - Số lượng tài liệu tham khảo cho em cịn - Việc thi trắc nghiệm địi hỏi học sinh không hiểu chất tốn mà cịn phải tìm cách giải nhanh để đạt kết tối đa download by : skknchat@gmail.com - Học sinh cịn lúng túng nhiều dạng tốn tích phân mức độ vận dụng em chưa tiếp xúc nhiều, chưa định hướng phương pháp đắn nên chưa có nhiều kĩ giải loại tập Trước tình hình tơi muốn đưa ý tưởng giải tốn vận dụng phần tích phân cách “ định hướng” cho học sinh cách giải số tập tích phân cách “chính xác” “nhanh chóng”, giúp em phát triển tư kích thích ham học tập em 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phương pháp giải nhanh tốn tích phân phương pháp đổi biến số Bài 1: Nếu f(x) liên tục [0;3] và A * Phân tích: B C Bài tốn u cầu tính đến Giải: Tính: Đổi cận: Tính : D.3 , giả thiết lại cho biểu thức liên quan , ta định hướng cho học sinh tạo mối liên hệ cách đổi biến: Đặt: (*) (tích phân khơng phụ thuộc vào biến) Mặt khác: (**) Từ (*) (**) Chọn D download by : skknchat@gmail.com Bài2: Nếu f(x) > thỏa mãn đúng ? A B Mệnh đề nào sau C D * Phân tích:Giả thiết tốn cho mối liên hệ lại ta định hướng cho học sinh biến đổi tỉ số quen thuộc tích phân Mặt khác đề u cầu tính nên ta tính tích phân * Giải: Ta có Chọn C Bài 3: Cho A * Phân Tích: B C Tính D Đề cho lại yêu cầu tính hướng cho học sinh đổi biến ta định * Giải:Đặt Đổi cận: (tích phân khơng phụ thuộc vào biến) download by : skknchat@gmail.com Mặt khác: Chọn A Bài4: Cho A -20 * Phân tích: y = f(x) có đạo hàm liên tục [ 1; 2] thỏa mãn B -10 Đề cho Tính D C 10 ta nghĩ đến việc đổi biến * Giải: Đặt Đổi cận: Ta có: (Vì ) Chọn C Bài5: Cho nghiệm? A B * Phân tích: Khi đó phương trình C D Để xác định số nghiệm phương trình xác định hàm số có ta phải Như từ giả thiết toán ta phải chuyển download by : skknchat@gmail.com tốn tìm ngun hàm Mặt khác ta có: nên ta định hướng cho học sinh tìm nguyên hàm cách đổi biến * Giải: Ta có: Mặt khác Phương trình có hai nghiệm Chọn A 2.3.2 Phương pháp giải nhanh tốn tích phân phương pháp tích phân phần Bài 1: (Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018) Cho hàm số liên tục thỏa mãn , có đạo hàm và Tính A B C D * Phân Tích: Nếu chưa tiếp xúc với tốn thực chất tốn khó định hướng Nhưng ta phân tích kỹ tốn ta có hướng giải toán sau: - Giả thiết cho: nên ta sử dụng tích phân phần cách đặt (vì đề cho ) - Sau sử dụng tích phân phần ta tính Như ta biết nên ta biến đổi đến đẳng thức download by : skknchat@gmail.com Tuy nhiên khơng ngẫu nhiên ta lại có biểu thức mà ta phải có kỹ thuật làm xuất sau: + Ta muốn có dạng: Vậy ta có: * Giải: Xét tích phân: Đặt ta có: Mặt khác ta có: Vì: Đẳng thức phải xảy nên ta có: mà Chọn A download by : skknchat@gmail.com - Cụ thể sau: Đặt đó: - Ta muốn có dạng: Vậy ta có: * Giải: Xét tích phân: ta có: Đặt Mặt khác ta có: Vì: Đẳng thức phải xảy nên ta có: mà Chọn B 10 download by : skknchat@gmail.com * Nhận xét: Với định hướng biến đổi kỹ thuật thêm đưa tích phân dạng để đánh giá xác định hàm từ suy hàm số tính tích phân mà suy luận phức tạp hay sử dụng đến bất đẳng thức tích phân (khơng nêu chương trình THPT) Bài 3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn , Tính A B C D * Phân tích: Bài tốn tương tự 2, có khác biệt nhỏ tính tích phân từ đến , giả thiết tương ta giải hoàn toàn tương tự - Từ giả thiết - Ta ta tính muốn có dạng: Vậy ta có: * Giải: Xét tích phân: ta có: 11 download by : skknchat@gmail.com Đặt Mặt khác ta có: Vì: Đẳng thức phải xảy nên ta có: mà Chọn C Bài 4: Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn , Tính A B C D * Phân tích: Bài tốn tương tự trên, có khác biệt nhỏ giả thiết tương tự vấn đề chỗ 12 download by : skknchat@gmail.com cần ta tính đưa biểu thức giải hồn tồn tương tự - Ta đưa dạng: Vậy ta có: * Giải: Xét tích phân: Đặt ta có: Mặt khác ta có: Vì: Đẳng thức phải xảy nên ta có: 13 download by : skknchat@gmail.com mà Chọn D * Nhận xét chung: Qua bốn tập ta thấy toán dễ dàng giải ta biết kỹ thuật đưa tích phân dạng 2.3.3 Phương pháp giải nhanh toán tích phân liên quan đến đồ thị diện tích hình phẳng Bài 1: Cho hàm số hình bên (với có đồ thị ) Biết Tính A B C D * Phân tích: Đề yêu cấu tính nên ta nghĩ đến việc tính , giả thiết tốn cho vào đồ thị, ta giải tốn sau: nên ta phải tính dựa * Giải: Ta có: Mặt khác từ đồ thị ta có: diện tích hình chữ nhật có hai kích thước nên: Chọn C 14 download by : skknchat@gmail.com Bài 2:(Đề thi thử THPT Chuyên Hà Tĩnh) Đồ thị hàm số y  f  x  đoạn  3;5 hình vẽ (phần cong đồ thị phần Parabol ) Tính A I 53 B I 97 C  1;3 I Vậy a  b  c  a  1  b    b   y   x  x  2  2a c   4a  2b  c  4  toán 2 ;  qua D  0;  , qua C  1;3 có đỉnh  f  x  dx    x   dx     x  4 dx     x 2 95 qua E 3;0  D  0;  , x  2 , x  Với 1 qua  , nên có pt: C  1;3 nên có phương trình: y   x  ; I diện tích hình phẳng giới hạn 1 ,  , Parabol  P  * Giải:Ta có nên D  qua D  0;  , C  1;3 Parabol có đỉnh A  2;  Vì cần tìm được giải A  2;  43 diện tích hình phẳng giới hạn 1 * Phân Tích:Từ đồ thị ta thấy qua E  3;0  , D  0;  ; C I  x  dx  97 15 download by : skknchat@gmail.com Chọn B Bài 3: (Đề thi THPTQG 2017)Cho hàm số thị hàm số Đồ hình bên Đặt Mệnh đề ? A B C D * Phân tích:Đề yêu cầu so sánh giá trị nên ta nghĩ đến việc xét hiệu lập bảng biến thiên hàm số Mặt khác đồng thời Một điều ta cần phải nhận điểm thể đồ thị gồm thẳng hàng nằm đường thẳng Vì ta hồn tồn áp dụng diện tích hình phẳng để so sánh giá trị Giải: Ta có Ta vẽ đường thẳng Như ta có: Chọn đáp án C * Nhận xét: Bài toán giải cách lập bảng biến thiên hàm số , tuynhiên lập bảng biến thiên ta xác định giá trị 16 download by : skknchat@gmail.com lớn , việc so sánh cịn phải suy luận thêm chọn hướng giải áp dụng tích phân so sánh triệt để Bài 4: (Đề thi THPTQG 2017)Cho hàm số Đồ thị hàm số Đặt đúng? A C hình bên .Mệnh đề B D * Phân tích: Về tốn dạng với có khác biệt khơng đáng kể điểm đề thể đồ thị nằm đường thẳng , , đồng thời khoảng đồ thị nằm bên khoảng đồ thị nằm trrn đường thẳng Vì ta cần lưu ý tính tích phân dựa vào đị thị cho giải toán Giả i: Ta có: Ta vẽ đường thẳng +) S1 S2 Như ta có: Chọn đáp án A 17 download by : skknchat@gmail.com Bài 5:Cho hàm số có đồ thị hàm số nhỏ hàm số A C hình vẽ Tìm giá trị lớn đoạn B D y * Phân Tích: Về phương pháp để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ ta phải giải phương trình đoạn so sánh giá trị hàm số điểm vừa tìm giá trị Ở phương trình 3 O 2 x Như nghiệm phương trình đường thẳng hồnh độ giao điểm đồ thị Các nghiệm nhận trực quan hình vẽ điểm , thể đồ thị nằm đường thẳng Như toán trở thành so sánh giá trị nghĩa toán trở dạng quen thuộc hai Giải: Ta có: , Ta vẽ đường thẳng hoặc Ta có: +) 18 download by : skknchat@gmail.com Như ta có: Chọn đáp án B * Nhận xét chung: Để giải dạng toán ta phải vận dụng linh hoạt định nghĩa tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng khả đọc đồ thị cách linh hoạt 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng thành công lớp 12 trường THPT Hậu Lộc mang lại kết tích cực học sinh đồng nghiệp giáo viên - Đối với thân sau nghiên cứu kĩ kiến thức liên quan phần tích phân, đặc biệt tốn tích phân mức độ vận dụng, giúp tơi có kiến thức kinh nghiệm việc giảng dạy cho em Từ định hướng cho em cách phát tư việc giải toán mức độ vận dụng cao - Với đồng nghiệp, việc sử dụng tài liệu nhỏ tài liệu để tham khảo hướng dẫn cho học sinh giải tốn tích phân mức độ vận dụng - Đối với học sinh sau áp dụng cách tiếp cận việc giải toán giúp học sinh phát triển tư Học sinh có khả định hướng cách làm với dạng tập khó khác Học sinh tự tin trình làm bài, tạo hứng thú cho em trình học tập Việc làm tập tích phân nói chung tích phân mức độ vận dụng cao em trở nên nhanh chóng xác Cụ thể tơi cho em số kiểm tra phần tích phân trình trước sau áp dụng phương pháp giải tập số phức, kết sau: Bài kiểm tra số 1: ( Trước áp dụng sáng kiến) Đề bài: Câu 1: Cho A Tính B C Câu 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục A D thỏa mãn , Tính B C D 19 download by : skknchat@gmail.com Câu 3: Cho hàm số Đồ thị hàm số hình bên Đặt đúng? A B C D Kết quả: Lớp 12B2 12B6 y Mệnh đề Sĩ số 40 41 3 O 2 Đúng câu SL 23 Đúng câu Tỉ lệ 20% 56.1% SL 25 14 Tỉ lệ 62.5 % 34.1 % x Đúng câu Đúng câu SL SL 0 Tỉ lệ 17.5 % 9.8% Tỉ lệ 0% 0% Bài kiểm tra số 2: ( Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm) Câu 1:Cho A Tính B C Câu 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục A thỏa mãn , Tính B Câu 3: Cho hàm số bằng: D C Đồ thị hàm số D hình vẽ Đặt Mệnh đề đúng? 20 download by : skknchat@gmail.com A C Kết quả: Lớp Sĩ số B D Đúng câu Đúng câu Đúng câu Đúng câu SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ 12B2 40 0% 5% 17.5 % 31 77.5 % 12B6 41 0% 13 31.7 % 17 41.4% 11 26.9% So sánh kết thu từ hai bảng ta thấy sau áp dụng phương pháp giải nhanh học sinh làm tốt khả tư phát triển Điển hình có câu khó dạng gặp em làm tốt KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua việc vận dụng đề tài nghiên cứu vào trình giảng dạy học tập học sinh thu đươc kết tích cực bảng số liệu phân tích Đề tài giúp cho giáo viên nhiều việc truyền đạt tư tưởng, phương pháp kiến thức cho học sinh Bản thân học sinh giảng dạy thông qua đề tài giúp em phát triển tư duy, biết định hướng để giải toán Khơi dậy em niềm thích thú, ham học hỏi đặc biệt giúp em đạt hiệu cao làm tập thi THPT quốc gia Việc áp dụng đề tài không dừng lại số toán số phức mức độ vận dụng cao, mà cịn mở rộng nhiều dạng toán khác Bản thân đề tài động lực cho giáo viên học sinh tìm tịi phát triển để có phương pháp cách truyền thụ kiến thức cảm hứng cho học sinh tốt 3.2 Kiến nghị Đối với sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa: Thơng qua việc chấm sáng kiến kinh nghiệm hàng năm, lựa chọn đề tài có chất lượng cần phổ biến rộng rãi cho trường tỉnh để trường có điều kiện tương đồng triển khai áp 21 download by : skknchat@gmail.com dụng hiệu Nên đưa SKKN có chất lượng vào mục “tài nguyên” sở để giáo viên tồn tỉnh tham khảo cách rộng rãi Đối với trường THPT Hậu lộc 3: Mỗi sáng kiến kinh nghiệm lựa chọn cần phổ biến rộng rãi phạm vi tổ, nhóm Cần có lưu thư viện để giáo viên học sinh tham khảo Đối với tổ chuyên môn: Cần đánh giá chi tiết mặt đạt được, hạn chế hướng phát triển đề tài cách chi tiết cụ thể để hoàn thiện sáng kiến Đối với đồng nghiệp: Trao đổi ý tưởng, kinh nghiệm hỗ trợ việc áp dụng rộng rãi sáng kiến lớp học Phản hồi mặt tích cực mặt hạn chế sáng kiến Đề tài nghiên cứu thời gian hạn chế, mong Hội đồng khoa học Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa nghiên cứu, góp ý bổ sung để sáng kiến hồn thiện Thanh Hóa, ngày 16 tháng năm 2018 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm tôi, không chép nội dung người khác Người viết sáng kiến Phạm Văn Quí TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK giải tích 12 nâng cao – Nhà xuất giáo dục 2009 Bài tập 13trang 153, SGK giải tích 12 nâng cao – Nhà xuất giáo dục 2009 Đề thi THPT Quốc gia năm 2017, Đề minh họa giáo dục đào tạo năm học 2017-2018 Website: http://www.dethithu.net Website: http://www.luyenthithukhoa.vn 22 download by : skknchat@gmail.com DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Phạm Văn Quí Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên, Trường THPT Hậu Lộc Cấp đánh Kết Năm học T giá xếp loại đánh giá Tên đề tài SKKN đánh giá T (Phòng, xếp loại (A, xếp loại Sở, Tỉnh ) B, C) Một số phương pháp giải Cấp Sở C 2007-2008 phương trình khơng mẫu mực Một số cách giải toán so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số Cấp Sở C 2013-2014 23 download by : skknchat@gmail.com Định hướng cho học sinh phát giải vấn đề với tốn tọa độ mặt phẳng từ tính chất đường tròn Cấp Sở B 2014-2015 24 download by : skknchat@gmail.com ... có khả định hướng cách làm với dạng tập khó khác Học sinh tự tin trình làm bài, tạo hứng thú cho em trình học tập Việc làm tập tích phân nói chung tích phân mức độ vận dụng cao em trở nên nhanh. .. dụng tài liệu nhỏ tài liệu để tham khảo hướng dẫn cho học sinh giải tốn tích phân mức độ vận dụng - Đối với học sinh sau áp dụng cách tiếp cận việc giải toán giúp học sinh phát triển tư Học sinh. .. tưởng giải tốn vận dụng phần tích phân cách “ định hướng? ?? cho học sinh cách giải số tập tích phân cách “chính xác” ? ?nhanh chóng”, giúp em phát triển tư kích thích ham học tập em 2.3 Các giải pháp