Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Đề tài: "Một số kinh nghiệm Giải toán cực trị đại số" Phần thứ mở đầu I Lý chọn đề tài: Nh đà biết, toán học nói chung chơng trình toán THCS nói riêng, dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ dạng toán khó, lại hay thờng gặp kì thi GV lẫn HS Mặc dầu vậy, cha có mét tµi liƯu nµo cã thĨ cung cÊp cho ta đầy đủ phơng pháp, dạng toán thờng gặp cha có phơng pháp tìm cực trị tối u cho dạng toán bậc THCS (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đà đợc làm quen với loại toán với dạng chuyên đề Tuy nhiên, tìm hiểu thêm số đồng nghiệp thấy không dễ dàng với HS Với lí nh vậy, đà tìm hiểu, xây dựng đề tài Một số kinh nghiệm giải toán cực trị Đại số Với mong muốn đợc trình bày vài kinh nghiệm giảng dạy để đồng nghiệp tham khảo, mong đợc đóng góp chân thành để đề tài đợc phát huy hiệu II nhiệm vụ mục đích nghiên cứu: Nhiệm vụ nghiên cứu: - Đa kiến thức giá trị cực trị, số sai lầm thờng mắc phải - Đề xuất số phơng pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải - Lựa chọn phơng pháp giải hợp lý Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả phân tích, xem xét toán dới dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác, cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho tập để học sinh phát huy đợc khả t linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải toán, tạo đợc lòng say mê, sáng tạo, ngày tự tin, không tâm lý ngại ngùng toán cực trị ********************************************************************************* Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Mục đích nghiên cứu: Tác giả muốn đa sáng kiến với mục đích giúp cho học sinh đồng nghiệp có cách nhìn tổng quát cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Thông qua ví dụ cụ thể ban đọc vận dụng phơng pháp nêu vào toán cụ thể Do việc biến đổi để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ toán khác khác nên thân rút công thức, hay phơng pháp cụ thể áp dụng cho tất toán mà thông qua tập cụ thể để đồng nghiệp HS có cách nhìn phù hợp giải tập tơng tự III Đối t ợng ph ơng pháp nghiên cứu: Đối tợng nghiên cứu: - Học sinh THCS (chủ yếu học sinh lớp 8, 9) Ph ơng pháp nghiên cứu: - Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết học tập học sinh - Thực nghiệm giảng dạy chuyên ®Ị cho c¸c líp båi dìng häc sinh giái to¸n lớp 8, với nhóm chuyên môn thực - Điều tra, đánh giá kết học tập học sinh sau thực nghiệm giảng dạy chuyên đề - Trao ®ỉi ý kiÕn víi ®ång nghiƯp ********************************************************************************* Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Phần thứ hai nội dung đề tài I Kiến thức bản: Định nghĩa: Cho biểu thức đại số F(x,y,) xác định miền D M , m R Ta nói: M giá trị lớn (hoặc m giá trị nhỏ nhất) f (x, y, ) D điều kiện sau đợc tho¶ m·n: i) Víi mäi x, y, D F(x,y, ) M (hoặcF(x,y, ) ³ m ), ii) Tån t¹i x0, y0, ∈ D cho F(x0,y0, ) = M (hoặc = m) Chú ý: Để tranh sai lầm thờng mắc phải làm loại toán này, ta cần nhấn mạnh khắc sâu điều kiện định nghĩa, ý đến miền giá trị biến Rèn phản xạ sau: + Chứng tá F(x,y, ) ≤ M (hc F(x,y, ) ³ m ) víi mäi x, y, ∈ D + ChØ sù tån t¹i x0, y0, ∈ D ®Ĩ F(x0,y0, ) đạt cực trị Ta ký hiệu MaxA giá trị lớn A, MinA giá trị nhỏ A II Những sai lầm th ờng gặp giải toán cực trị: Sai lầm chứng minh điều kiện 1: Ví dụ 1: Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc: A= 4x - 4x + Lời giải sai: Phân thức A có tử số số không đổi nên A có giá trÞ lín nhÊt mÉu nhá nhÊt Ta cã: 4x2 - 4x + = (2x -1)2 + ³ 4, "x Þ £ 3, "x 4x2 - 4x + Þ Max A = Û x = ********************************************************************************* Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhng khẳng định A có tử số số không đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ mà cha đa nhận xét tử mẫu số dơng Ta ®a mét vÝ dơ: XÐt biĨu thøc B = x -4 Víi lËp ln “ph©n thøc B có tử không đổi nên có giá trị lớn nhÊt mÉu nhá nhÊt”, mÉu nhá nhÊt b»ng - x = , ta sÏ ®i ®Õn: max B = - 1 kh«ng phải giá trị lớn B , chẳng hạn với x = - Mắc sai lầm không nắm vững tính chất bất đẳng thức: Đà máy móc áp dụng quy tắc so sánh phân số có tử số mẫu số số tự nhiên sang hai phân số có tử mẫu số nguyên Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 4x2 - 4x + = (2x -1)2 + ³ nªn tử mẫu A số dơng Hoặc tõ nhËn xÐt trªn suy A > , A lớn nhá nhÊt Û 4x2 - 4x + nhá nhÊt A Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ của: A = x2 + y biÕt x + y = Lêi gi¶i sai: Ta cã: A = x2 + y ³ 2xy Do ®ã, A nhá nhÊt Û x2 + y = 2xy ⇔x = y = Khi ®ã MinA = 22 + 22 = Phân tích sai lầm: Đáp số không sai nhng lập luận mắc sai lầm Ta chứng minh ®ỵc f (x, y) ³ g(x, y) , chø cha chứng minh đợc f (x, y) m với m số Ta đa vị dụ: Với lập luận nh trên, từ bất đẳng thức x ³ 4x - sÏ suy ra: x2 nhá nhÊt Û x2 = 4x - Û (x - 2)2 = Û x = DÉn ®Õn: Minx2 = Û x = DƠ thÊy kÕt qu¶ phải là: Min x2 = x = (1) Lời giải đúng: (x + y)2 = 42 Û x2 + 2xy + y2 = 16 Ta cã: ³ (2) (x - y)2 ³ Þ x2 - 2xy + y2 Ta l¹i cã: Tõ (1) , (2) : 2(x2 + y)2 ³ 16 Þ x2 + y ³ MinA = ⇔ x = y = VËy Sai lÇm chøng minh điều kiện 2: ********************************************************************************* Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Ví dụ 1: Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa: A = x + x Lêi giải sai: ổ A = x + x = ỗx + 1ư x+ è ÷ - 4ø ỉ =ỗ x+ ố ử2 ữ 2ứ - VËy MinA = - Ph©n tÝch sai lÇm: Sau chøng minh f (x) ³ - , cha chØ trêng hỵp xÈy dÊu ®¼ng thøc f (x) ³ - XÈy dấu đẳng thức x = - , vô lý Lời giải đúng: Để tồn x phải có x Do A = x + x ³ Min A = x = Ví dụ 2: Tìm giá trị lín nhÊt cđa: A= xyz(x + y)( y + x)(z + x) Víi x, y, z ³ vµ x + y + z = Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 4ab Ê (a + b)2 4(x + y)z £ (x + y + z)2 = 4(x + z)x £ ( y + z + x)2 = 4(x + x) y £ (z + x + y)2 = Nh©n tõng vÕ (do hai vÕ không âm) 64xyz(x + y)( y + x)z + x) £ MaxA = 64 Ph©n tÝch sai lầm: Sai lầm chỗ cha đợc trờng hợp xẩy dấu đẳng thức Điều kiện để A = lµ: 64 ìx + y = z ï y+z=x ï ìx = y = z = ï íz + x = y íx + y + z =1 ïx + y + z =1 ï ï ********************************************************************************* ï ïx, y, z ³ ỵ ỵx, y, z Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** mâu thuẫn Lời giải đúng: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: = x + y + z ³ 3.3 xyz = (x + y) + ( y + z) + (z + x) ³ 3.3 (1) (x + y)( y + z)(z + x) (2) Nh©n tõng vÕ (1) với (2) vế không âm) ổ ử3 29.3 Aị AÊỗ ữ ố9ứ ổ2 MaxA = ỗ ö3 ÷ è9 ø Ûx=y=z= III mét sè ph ơng pháp giải toán tìm cực trị đại số Ph ơng pháp tam thức b ậc hai: a, Nội dung phơng pháp: Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai dạng bình phơng biểu thức chứa biến số hạng tự b, Ví dụ: Dạng 1: Tìm cực trị tam thức bậc hai Ví dụ: 1/ Tìm giá trị nhỏ A = x2 - 8x + 2/ Tìm giá trị nhá nhÊt cña B = 2x2 - 4x + 3/ Tìm giá trị có C = -3x2 - 4x +1 4/ Cho tam thøc bËc hai P = ax + bx + c -Tìm giá trị nhỏ P a > -Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa P nÕu a < HD giải: Nhận xét: Các biểu thức dạng tam thøc bËc hai 1/ A = x2 - 8x + = (x - 4)2 -15 ³ -15 Þ A = -15 Û x = 2/ B = 2x2 - 4x + = 2(x -1)2 -1 ³ -1 Þ B = -1 Û x = ********************************************************************************* Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** ỉ x - 2ư 7 Þ max C = Û x = 3/ C = -3x - 4x + = -3ỗ ữ 3ứ è 4/ P = ax æ + bx + c = aỗ x ố + Nếu a > : P = - b + a x+ + cư ÷ b2 - 4ac £ 3 ổ b = aỗ x - ố x= ÷ b2 - 4ac - 2a ø 4c b 4a2a + NÕu a < : max P = - b2 - 4ac Ûx= b 4a2a D¹ng 2: Tìm giá trị lớn nhỏ đa thức bậc cao: VD1: Tìm giá trị nhỏ A = (x2 + x +1)2 HD: MinA Û Min(x2 + x + 1) Bài toán dạng đặc biệt toán sau: (x)] 2k B= [f (k ẻ N ) VD2: Tìm giá trị nhỏ C = x(x − 3)(x − 4)(x − 7) HD: Dùng phơng pháp đổi biến Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phân thức mà có tử lµ h»ng sè, cã mÉu lµ tam thøc bËc hai VD: Tìm giá trị lớn M = 4x2 - 4x + -Dạng phải ý đến dấu tử thức Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phân thức có mẫu bình phơng nhị thức VD: Tìm giá trị nhỏ cña P = x2 + x +1 (x +1)2 HD: P =1- + x +1 (x + 1) ********************************************************************************* Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị §S” ******************************************************************************** y= §Ỉt ỉ cã P = y x+1 MinP = , 1ö - y +1 = ỗ y - ữ 2ứ ố + ³ 4 4Ûy= 2Ûx=1 C¸ch 2: ViÕt P díi d¹ng tỉng cđa mét sè víi mét biĨu thức không âm: P= 4x2 - 4x + 4(x + 1) ổ x -1 = +ỗ ữ ỗ ữ ố 2(x + ứ MinP = Û x = ³ , 4 Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức quan hệ biến: VD: Tìm giá trị lớn biểu thức A = 3xy - x2 - y2 BiÕt x, y lµ nghiệm phơng trình: 5x + y = 10 Gi¶i: Ta cã: 5x + y = 10 Û y = 10 − 5x 2 ÞA= + 160x -100) = (-59x 59 é = æ 59 ổ ỗ-x 4ố 6400ự x - 80 ử2 ờ- ç ÷ + 4ê è ë 59 ø ú-25 =- 3481 ú û 160 + ÷ 59 ø 59 ổ ỗx - 4ố - 25 80 ử2 ữ + 59 ø ì 59 ỉ 125 ÛA= 59 - çx è 80 ÷ 59 ø 125 £ 59 1600 59 - 25 80 x VËy max A = 125 Ûïí = 59 59 ï ï y ợ 95 = 59 c, Tiểu kết: Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phơng pháp tam thức bậc hai nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị Rèn kỹ giải toán, đổi biến cách linh hoạt phù hợp với loại toán để biến đổi toán dạng khác dạng tam thức bậc hai Ph ơng pháp miền giá trị hàm số: a, Nội dung phơng pháp: ********************************************************************************* Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Xét toán sau: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (x) với x Gọi y0 giá trị tuỳ ý hàm số xét miền đà cho, tức hệ phơng trình (ẩn x ) sau cã nghiÖm: (1) f (x) = y0 x ∈D (2) Tuỳ dạng hệ (1) , (2) mà ta có điều kiện có nghiệm thích hợp Trong nhiều trờng hợp, điều kiện đa dạng a Ê y0 Ê b (3) Vì y0 giá trÞ bÊt kú cđa f (x) nỊn tõ (3) ta thu đợc: Min f (x) = a Max f (x) = b ®ã x ∈ D Nh vËy thực chất phơng pháp đa phơng trình bậc hai sử dụng điều kiện D b, Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trÞ lín nhÊt cđa: A= x - x +1 x + x +1 Gi¶i: BiĨu thøc A nhËn giá trị phơng trình ẩn x sau có nghiệm: a = x2 - x +1 (1) + x +1 x Do x + x + nên (1) ax2 + ax + a = x2 - x + Û)(a -1)x2 + (a + 1)x + (a -1) = 0(2) + TH1: NÕu a = th× (2) cã nghiƯm x = + TH2: NÕu a ¹ để (2) có nghiệm, cần đủ D ³ , tøc lµ: (a +1)2 - 4(a -1)2 ³ Û (a + + 2a - 2)(4 + - 2a + 2) ³ Û (3a -1)(a - 3) £ Û £ a £ (a ¹ 1) Víi a = a = nghiệm (2) là: − x = (a + 1) = (a +1) 2(a -1) 2(1 a) ********************************************************************************* Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Với a = x = 1, víi a = th× x = Gộp hai trờng hợp ta cã: MinA = Û x = , MaxA = ⇔ x = −1 C¸ch kh¸c: A = 3x2 + 3x + - 2x2 - 4x - = - 2(x + 1) £ x2 + x + x2 + x + Þ max A = Û x = -1 A = 3x2 - 3x + = x2 + x + + 2(x2 - 2x + 1) =1 + 2(x -1)2 ³1 3(x2 + x + 1) 3x2 + 3x + 3(x2 + x + 1) 3(x2 + x +1) Þ MinA = 3Ûx=1 Mở rộng: Bài toán cho dới dạng khác, là: 1/ Chứng minh: Ê x2 - x +1 £ 3 x2 + x +1 2/ Tìm điều kiện để phơng trình sau có nghiệm (vô nghiÖm): x2 - x + - m = x2 + x + c, Tiểu kết: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số biểu thức đa hàm số phơng pháp miền giá trị thờng đợc đa phơng trình tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm Phơng pháp có u điểm tìm cực trị thông qua việc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm, thông qua việc giúp cho học sinh rèn kỹ giải phơng trình Ph ơng pháp sử d ụng bất đẳng thức quen thuộc: a Nội dung phơng pháp: Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm sè ì f (x) £ M , "x Ỵ D M = Maxf (x) $ ợ x0 ẻ D : f (x0 = M ********************************************************************************* 10 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** ỡ f (x) ³ M , "x Ỵ D m = Min f (x) ớợ$x0 ẻ D : f (x0 = m Nh vậy, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (x) miền D đó, ta tiến hành theo hai bớc: + Chứng minh bất đẳng thức + Tìm giá trị x0 ẻ D cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức tìm đợc trở thành đẳng thức Nếu sử dụng bất đẳng thức nh Côsi, Trêbsep, Bunhiacôpxki giá trị nh thờng đợc tìm thấy nhờ phần cách phát dấu đẳng thức ấy, cần có nhận xét thích hợp b, Các bất đẳng thức thờng dùng: 1/ a2 Tổng quát a k 0, k nguyên dơng Xẩy dấu đẳng thức a = 2/ - a2 £ Tỉng qu¸t (-a)2k £ 0, k nguyên dơng Xẩy dấu đẳng thức a = 3/ a Xẩy dấu đẳng thøc ⇔ a = 4/ a £ a £ a Xẩy dấu đẳng thức a = 5/ a + £ a + b XÈy dÊu ®¼ng thøc Û ab ³ (a, b cïng dÊu) b a - ³ a + b XÈy dÊu ®¼ng thøc Û ab ³ (a, b cïng dÊu) b a + b + c £a +b +c XÈy dấu đẳng thức ab 0; bc 0; ac ³ ; - ab ³ Þ Ê Xẩy dấu đẳng thức a = b a b 7/ a + b ³ với a, b dấu Xẩy dấu đẳng thøc ⇔ a = b a b 6/ a ³ b; 8/ Bất đẳng thức Côsi: + Đối với sè d¬ng a, b bÊt kú a + ³ b ab (hc a2 + b2 ³ 2ab) XÈy dấu đẳng thức a = b + Đối víi "a ³ 0; i = 1, , n : a1 + a2 + + an 9/ BÊt đẳng thức Bunhia côpxki: n n a a a 2 ********************************************************************************* 11 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Nếu (a1 , a2 , an ) (b1 , b2 , bn ) sè tuú ý, ta cã: (a + a 2 +, + a n n ) (b + b +, + b ) ³ (a b + a b + + a b )2 n i n 1 2 DÊu b»ng xÈy Û a = a j (víi quy íc r»ng nÕu = th× bi = ) b bj i 10/ BÊt đẳng thức Trêbsép + Nếu a1 a2 ³ an , b1 ³ b2 ³ ³ bn n(a1b1 + a2b2 an bn ) ³ (a1 + a2 + an ).(b1 + b2 + bn ) DÊu b»ng xÈy Û = a j hc bi = bj ; , b j t ý + NÕu th× a1 ³ a2 ³ ³ an , b1 ³ b2 ³ ³ bn n(a1b1 + a2b2 an bn ) ³ (a1 + a2 + an ).(b1 + b2 + bn ) DÊu b»ng xÈy Û = a j hc bi = bj ; , b j tuú ý c, C¸c vÝ dơ: VD1: Cho biĨu thøc xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc P = x4 + y + z Giải áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpsxki đối víi (x, y, z) vµ ( y, z, x) = (xy + yz + zx)2 £ (x2 + y + z )( y2 + z + x2 ) Þ £ (x2 + y2 + z )2 (1) Mặt khác, (1, 1, 1) vµ x2 , y , z ), ta cã: (1.x2 +1.y2 + 1.z )2 £ (12 + 12 +12 )2 ( y + z + x4 ) Tõ (1) vµ (2) suy ra: £ 3( y + z (2) + x4 ) = 3P Þ P ³ VËy MinP ìx = y =z ï x x ïy = Ûí 1 ï = = ïy x z ịx=y=z ợ VD2: Tìm giá trị lớn nhÊt cña: + a/ A = biÕt x + y = x -1 y-2 ********************************************************************************* 12 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** b/ B = x -1 + y-2 x y Giải: a/ Điều kiện: x 1; y Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm tổng: a + b ab lại muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức: a + b Ê 2(a + b2 ) A = x -1 + y - £ 2(x -1 + y - 2) = Cách khác: Xét A2 dùng bất đẳng thức Côsi b/ §iỊu kiƯn: x ³ 1; y ³ £a + b a b Bất đẳng thức Côsi cho phép làm trội tích: Ta xem biểu thức: x -1, tích: y-2 x -1 y-2 = 1.(x -1) = 2.( y - 2) + x -1 x -1 1.(x -1) x = x Ê Theo bất đẳng thức Côsi: MaxB = + 2+ = 2x = 2+y- 2 y - = 2( y - 2) £ = = y y 2y 2 ìx -1 = ìx = x =2 ợ -2 VD3: Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: Ûí y ỵ =4 A= x - + x - Gi¶i: Ta cã: A = x - + x - ³ x - + - x = Þ MinA = Û (x - 2)(3 - x) ³ Ê x Ê ********************************************************************************* 13 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Chú ý: Giải toán linh hoạt biến đổi x - = - x để áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Cách khác: Xét khoảng giá trị x VD4: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x -1 + x - + + x - 2000 Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức: a + b Ê a + b 1000 cặp giá trị tuyệt đối Ta cã: y = ( x -1 + x - 2000 ) + ( x - + x -1999 ) + + ( x - 999 + x -1000 ) y1 = ( x -1 + x - 2000 ) ³ 1999 Þ y1 = 1999 Û x Ỵ y [1 ; 2000] = ( x - + x -1999 ) ³ 1997 Þ y2 = 1997 Û x Ỵ ] 2000 Y1000 = ( x - 999 + x -1000 ) ³ Þ Y1000 = Û x Ỵ 1000 [2 ; [999, ] VËy Min y = + + + + 1999 = 10002 = 1000000 , đạt đợc x ẻ[ 999, 1000] Mở rộng: Từ toán ta toán sau: 1/ Tìm miền giá trị hàm số: y = x -1 + x - + + + x - 2004 2/ Chứng minh bất đẳng thøc: y = x -1 + x - + + x - 2004 106 3/ Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x -1 + x - + + x - 2002 d, Tiểu kết: Sử dụng bất đẳng thức đòi hỏi tính linh hoạt cao, có nét riêng biệt, quy tắc chung để vận dụng Vì cần cho học sinh làm quen với nhiều loại tập này./ Ph ơng pháp dùng ẩn ph ụ: Đối với dạng toán này, biết cách dùng ẩn phụ giúp nhìn nhận vấn đề cách rõ ràng Ví dụ 1: HÃy tìm giá trị lớn2 giá2 trị bé biểu thức x +y2 2 2 víi ®iỊu kiƯn: (x -y +1) + 4x y -x -y = 0.(1) Lời giải: Điều kiện (1) biến đổi đợc dạng(x2+y2)2-3(x2+y2)+1+4x2=0 (2) (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x(3) ********************************************************************************* 14 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Đặt u=x2+y2 Khi từ (3) ta cã u2-3u+1 £ (4) Hay (3- )/2 Ê u Ê (3+ )/2 Giá trị lớn cđa biĨu thøc x2+y2 lµ (3+ )/2 x=0 Giá trị bé biểu thức x2+y2 (3- )/2 x=0 VÝ dô 2: Cho hai sè x,y thay đổi thoả mÃn (x+y)xy=x2+y2-xy.Tìm giá trị lín nhÊt 1 cđa biªu thøc C= x3 + y3 1 Lời giải: 1 Đặt t= x + y Tõ gi¶ thiÕt cã x + y = x 1 1 1 + y Suy C=t2 vµ x + y = ( x + y )2+ ( x - y )2 1 - xy (chia c¶ hai vÕ cho x2y2) ³ 1 ( x + y ) ( Đẳng thức xÈy x = y ) Þ 4t ³ t2.Suy £ t £ nªn t2 Ê 16 Từ suy C đạt giá trị lín nhÊt b»ng 16 vµ chØ x=y= 2 Cách 2:Có thể đặt u=x+y,v=x.y(điều kiện u 4v) IV số Bài tập tự luyện: 1/ Tìm giá trÞ nhá nhÊt (lín nhÊt) cđa biĨu thøc sau: a/ A = 4x2 − 20x + 35 b/ B = 2x2 + 3x + 2/ Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc sau: a/ A = (x −1)(x − 2(x − 3)(x − 5) b/ B = x2 − 2x + y + y + 3/Cho phơng trình: ( 3m2 + 2m + 1)x2 (2m2 + 10m + 3)x cã nghiÖm −1 = x1 , x2 Tìm giá trị lớn tổng x1 + x2 4/ Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau: a/ y = x2 + x + x +1 b / y = x2 + x + x2 + 5/ Tìm giá trị lớn biĨu thøc: A = (1 −x)2 −x)3 víi x≤ (1 (HD: áp dụng bất đẳng thức Côsi với − x − x + x + x + x ; ; ; ; ) 6/ Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = 3x + số không âm: 9x2 ********************************************************************************* 15 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** (HD: áp dụng bất đẳng thøc Bunhia víi (1;1); (3x; - 9x2 ) 7/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = 51 - 4x -1 8/ Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: N = x + x -1 9/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a/ A = x2 - 2x + + x2 - 6x + b/ B = 10/ Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: x+ é y + (x - y) ù (HD: y(x-y) £ ê ë ú û xy(x - y) x x x2 = x + - x + x +1 - víi x>y>0 ; x+ x = + x + x + x ³4 4 27 ) PhÇn thø ba KÕt luËn Trong phạm vi sáng kiến thân đà cố gắng, mạnh dạn trình bày kinh nghiệm giải toán cực trị đại số nh Có ví dụ đà đa vài cách giải khác để bạn đọc tiện so sánh tìm hớng thích hợp trình giải tuơng tự Để triển khai sáng kiến cách có hiệu trớc hết cần cung cấp cho học sinh cách tờng minh khái niệm mẻ, kiến thức trừu tợng mà chơng trình SGK cha đề cập tới nh: Khái niệm " Miền nghiệm ", Bất đảng thức cô-Si, Bunhiacopski, Đồng thời, cần chọn toán từ đơn giản, đến phức tạp để học sinh làm quen dạng toán cách tự nhiên hiệu Bên cạnh cần phải ý sai lầm thờng gặp thống kê tập vận dụng để học sinh lựa chọn phơng pháp phù hợp, có lời giải xác Trong đề tài có số dạng toán mà trình nghiên cứu thân cha thể nêu đợc cách giải tổng quát mà thông qua ví dụ minh hoạ mong bạn đọc t sáng tạo Tuy nhiên đà quen thuộc dạng toán ta tìm phơng pháp cụ thể cho dạng toán để phát triển nhân rộng Sau năm ứng dụng đề tài vào chơng trình dạy học, thấy việc giải tập cực trị đợc học sinh giải linh hoạt có giải ngắn gọn dễ hiểu, em dễ tiếp thu vận dụng, số học sinh giải đợc nhiều toán tìm cực trị tơng đối khó Do đó, ********************************************************************************* 16 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** thân mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiƯm nµy Hy väng r»ng, nã sÏ gióp cho quý vị đồng nghiệp, em học sinh bạn yêu toán điều thú vị bổ ích Mặc dầu trình tìm tòi, học hỏi, đà cố gắng chọn lọc kiến thức cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu nhng không tránh khỏi hạn chế, sai sót, mong đồng chí, đồng nghiệp em học sinh bảo, đóng góp ý kiến để sáng kiến kinh nghiệm đợc hoàn chỉnh Tôi xin chân thành cảm ơn! ********************************************************************************* 17 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Danh mục tài liệu tham khảo: Tuyển tập toán "30, 45 năm toán học tuổi trẻ" hội toán học Việt Nam biên soạn Sách "Bồi dỡng đại số cho học sinh lớp 8" nhóm tác giả: Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều biên soạn Sách giáo khoa toán 8, toán Sách giáo viên toán 8, toán Tuyển tập "Các dạng toán dành cho học sinh THCS" tác giả Phan Duy Khải biên soạn Một số cn t¹p chÝ “ThÕ giíi ta” ********************************************************************************* 18 Ngun Văn Tuấn GV THCS Yên Bình ... Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhng khẳng định A có tử số số... Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị ĐS ******************************************************************************** mâu thuẫn Lời giải đúng: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không... giá trị hàm số: a, Nội dung phơng pháp: ********************************************************************************* Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải toán cực trị