ΥΒΝD TỈNH ΤΗℑΙ ΝΓΥΨ⊇Ν SỞ ΓΙℑΟ DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ ΧΗ⊆ΝΗ THỨC KỲ ΤΗΙ CHỌN HỌC ΣΙΝΗ GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2011 − 2012 ΜΝ : ΤΟℑΝ HỌC Thời γιαν: 150 πητ (κηνγ kể thời γιαν γιαο đề) (Đề τηι gồm χ⌠ 01 τρανγ) Β◊ι (4 điểm) Giải phương τρνη: 2 2σιν ξ ταν ξ χοτ ξ Β◊ι (4 điểm) υ1 Χηο δψ số υν ξ〈χ định υν1 υν 2υν Τm χνγ thức số hạng tổng θυ〈τ υν δψ số ν Ν ∗ Β◊ι (4 điểm) ΧΑΦ Χηο ταm γι〈χ nhọn ΑΒΧ, τρν cạnh ΒΧ lấy χ〈χ điểm Ε, Φ σαο χηο γ⌠χ ΒΑΕ , gọi Μ, Ν λ◊ ηνη chiếu ϖυνγ γ⌠χ Φ τρν χ〈χ đường thẳng ΑΒ ϖ◊ ΑΧ, κο δ◊ι ΑΕ cắt đường τρ∫ν ngoại tiếp ταm γι〈χ ΑΒΧ D Chứng mινη tứ γι〈χ ΑΜDΝ ϖ◊ ταm γι〈χ ΑΒΧ χ⌠ diện τχη νηαυ Β◊ι (4 điểm) Χηο tập hợp Α 1;2;3; ;18 Χ⌠ βαο νηιυ χ〈χη chọn ρα số τρονγ tập Α σαο χηο hiệu ηαι số bất κ τρονγ số κηνγ nhỏ Β◊ι (4 điểm) Χηο χ〈χ số dương α, β, χ thoả mν α β χ Chứng mινη rằng: α 1 β 1 χ 1 3 β2 χ2 α Hết Họ ϖ◊ τν : Số β〈ο δανη : ThuVienDeThi.com ĐÁP ℑΝ ςℵ BIỂU ĐIỂM ĐỀ ΤΗΙ CHỌN HỌC ΣΙΝΗ GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH ΜΝ: ΤΟℑΝ NĂM HỌC: 2011 − 2012 Β◊ι Β◊ι Giải phương τρνη: Lời giải 2 2σιν ξ ταν ξ χοτ ξ χοσ ξ Lời giải : Điều kiện : σιν ξ ταν ξ χοτ ξ Điểm 1 2σιν ξ χοσ ξ Τα χ⌠ : ταν ξ χοτ ξ σιν ξ σιν ξ Dο phương τρνη χηο tương đương với : 1đ 2 σιν ξ σιν ξ σιν ξ 1 σιν ξ σιν ξ σιν ξ σιν ξ ( Thỏa điều kiện (1) ) σιν ξ Giải χ〈χ phương τρνη τρν τα : ξ Β◊ι κ ; ξ 12 1đ 1đ κ ; ξ 5 κ κ Ζ 12 1đ Χηο δψ số υν ξ〈χ định υ1 ∗ υ υ 4 υ ν Ν ν ν1 ν Τm χνγ thức số hạng tổng θυ〈τ υν δψ số Lời giải: Đặt ξν 2υν ν Ν ∗ Τα χ⌠ ξν ϖ◊ ξ 2υν , ν Ν ν Τηαψ ϖ◊ο giả thiết, τα được: ξν21 1 ξν2 ξν 9 ∗ ξν2 ηαψ υν ξν21 ξν2 ξν 3 ξν 1 ξν ThuVienDeThi.com 1đ Συψ ρα: ξν 1 ξν ν Ν ∗ ( Dο ξν , ν Ν ∗ ) Ηαψ 3ν 1 ξν 1 3ν ξν 4.3ν , ν Ν ∗ Đặt ψν 3ν ξν , ν Ν ∗ Τα χ⌠: ψν 1 ψν 4.3ν , ν Ν ∗ Từ ψν 1 ψ1 3ν 3ν 1 3 , ν Ν ∗ Ηαψ ψν 1 ψ1 2.3ν 1 , ν Ν ∗ Τηεο χ〈χη đặt τα χ⌠: ξ1 ψ1 ψν 2.3ν Συψ ρα: ξν ν 1 , ν Ν ∗ 1 Dο υν ν 1 ν 2 , ν Ν ∗ 2 3 1đ 1đ 1đ Β◊ι Χηο ταm γι〈χ nhọn ΑΒΧ, τρν cạnh ΒΧ lấy χ〈χ điểm Ε, Φ σαο χηο γ⌠χ , gọi Μ, Ν λ◊ ηνη chiếu ϖυνγ γ⌠χ Φ τρν χ〈χ ΒΑΕ ΧΑΦ đường thẳng ΑΒ ϖ◊ ΑΧ, κο δ◊ι ΑΕ cắt đường τρ∫ν ngoại tiếp ταm γι〈χ ΑΒΧ D Chứng mινη tứ γι〈χ ΑΜDΝ ϖ◊ ταm γι〈χ ΑΒΧ χ⌠ diện τχη νηαυ Lời giải: A M B O E N F 0,5đ C D ΧΑΦ , ΕΑΦ Ταχ⌠ Đặt ΒΑΕ Σ ΑΒΧ ΑΦ 1 ΑΒ ΑΦ σιν ΑΧ ΑΦ σιν ΑΒ.ΧD ΑΧ.ΒD 4Ρ 2 (Ρ−λ◊ β〈ν κνη đường τρ∫ν ngoại tiếp ταm γι〈χ ΑΒΧ) (1) Diện τχη tứ γι〈χ ΑDΜΝ λ◊ Σ ΑΜDΝ 1 ΑΜ ΑD.σιν ΑD ΑΝ σιν( ) 2 ThuVienDeThi.com 1,5 đ = ΑD ΑΦ χοσ .σιν ΑΦ χοσ σιν ΑΦ ΑD ΑΦ σιν 2 ΑD.ΒΧ (2) 4Ρ 1,5 đ ς tứ γι〈χ ΑΒDΧ nội tiếp τρονγ đường τρ∫ν νν τηεο định λ Πτολεmε τα χ⌠ : 0,5 đ ΑΒ.ΧD + ΑΧ.ΒD = ΑD.ΒΧ (3) Từ (1), (2), (3) τα χ⌠ điều phải chứng mινη Β◊ι Χηο tập hợp Α 1;2;3; ;18 Χ⌠ βαο νηιυ χ〈χη chọn ρα số τρονγ tập Α σαο χηο hiệu ηαι số bất κ τρονγ số κηνγ nhỏ Lời giải: Τα cần τm số phần tử tập Τ σαυ: Τ (α1 ,α , ,α ) : α1 α α ; α ι 18; α ι α ϕ 1đ Ξτ tập hợp Η (β1 ,β , ,β5 ) : β1 β β5 ; βι 14 Ξτ 〈νη xạ φ χηο tương ứng (α1 ,α , ,α ) với (β1 ,β , ,β5 ) 1,5 đ ξ〈χ định σαυ: β1 α1 ,β α 1,β3 α 2,β α 3,β5 α Dễ thấy κηι φ λ◊ σονγ 〈νη, συψ ρα Τ Η Mặt κη〈χ (β1 ,β , ,β5 ) τρονγ Η λ◊ tổ hợp chập 14 phần tử Dο Η Χ14 2002 Vậy Τ 2002 Β◊ι Χηο χ〈χ số dương α, β, χ thoả mν α β χ Chứng mινη rằng: α 1 β 1 χ 1 3 β2 χ2 α Lời giải: Bất đẳng thức τρν tương đương với: α 1 β 1 χ 1 α 1 β χ α β χ 333 β2 χ2 α2 α 1.β β 1.χ χ 1.α Ηαψ β2 χ2 α2 Βψ τα δνγ bất đẳng thức ΑΜ – ΓΜ χηο χ〈χ mẫu thức: α 1β2 β 1χ χ 1α α 1β2 β 1χ χ 1α β2 χ2 α2 2β 2χ 2α α 1β β 1χ χ 1α 2 ThuVienDeThi.com 1,5 đ αβ βχ χα α β χ ς αβ βχ χα 2 ThuVienDeThi.com A M B O E N F ThuVienDeThi.com C Đặt ΒΑΕ ΧΑΦ , ΕΑΦ 2 Τα χ⌠ ΣΑΒΧ ΑΒ ΑΦ σιν ΑΧ ΑΦ σιν = ΑΦ ΑΒ.ΧD ΑΧ.ΒD 4Ρ (Ρ−λ◊ β〈ν κνη đường τρ∫ν ngoại tiếp ταm γι〈χ ΑΒΧ) (1) Diện τχη tứ γι〈χ ΑDΜΝ λ◊ Σ ΑΜDΝ 1 ΑΜ ΑD.σιν ΑD ΑΝ σιν( ) = 2 = ΑD ΑΦ χοσ .σιν ΑΦ χοσ σιν ΑΦ ΑD ΑΦ σιν 2 ΑD.ΒΧ (2) 4Ρ ς tứ γι〈χ ΑΜDΝ nội tiếp τρονγ đường τρ∫ν νν τηεο định λ Πτολεmε τα χ⌠ ΑΒ.ΧD + ΑΧ.ΒD = ΑD.ΒΧ (3) Từ (1), (2), (3) τα χ⌠ điều phải chứng mινη ThuVienDeThi.com ...ĐÁP ℑΝ ςℵ BIỂU ĐIỂM ĐỀ ΤΗΙ CHỌN HỌC ΣΙΝΗ GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH ΜΝ: ΤΟℑΝ NĂM HỌC: 2 011 − 2012 Β◊ι Β◊ι Giải phương τρνη: Lời giải 2 2σιν ξ ταν ξ... 1β β 1χ χ 1α 2 ThuVienDeThi.com 1,5 đ αβ βχ χα α β χ ς αβ βχ χα 2 ThuVienDeThi.com A M B O E N F ThuVienDeThi.com C Đặt ΒΑΕ ΧΑΦ , ΕΑΦ ... 2υν , ν Ν ν Τηαψ ϖ◊ο giả thi? ??t, τα được: ξν21 1 ξν2 ξν 9 ∗ ξν2 ηαψ υν ξν21 ξν2 ξν 3 ξν 1 ξν ThuVienDeThi.com 1đ Συψ ρα: ξν 1 ξν