Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thái Nguyên năm học 2011 2012 môn: Toán31468

ΥΒΝD TỈNH ΤΗℑΙ ΝΓΥΨ⊇Ν SỞ ΓΙℑΟ DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ ΧΗ⊆ΝΗ THỨC KỲ ΤΗΙ CHỌN HỌC ΣΙΝΗ GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2011 − 2012 ΜΝ : ΤΟℑΝ HỌC Thời γιαν: 150 πητ (κηνγ kể thời γιαν γιαο đề) (Đề τηι gồm χ⌠ 01 τρανγ) Β◊ι (4 điểm) Giải phương τρνη: 2   2σιν ξ ταν ξ  χοτ ξ Β◊ι (4 điểm) υ1   Χηο δψ số υν  ξ〈χ định  υν1  υν    2υν Τm χνγ thức số hạng tổng θυ〈τ υν δψ số   ν  Ν ∗ Β◊ι (4 điểm) ฀ ฀  ΧΑΦ Χηο ταm γι〈χ nhọn ΑΒΧ, τρν cạnh ΒΧ lấy χ〈χ điểm Ε, Φ σαο χηο γ⌠χ ΒΑΕ , gọi Μ, Ν λ◊ ηνη chiếu ϖυνγ γ⌠χ Φ τρν χ〈χ đường thẳng ΑΒ ϖ◊ ΑΧ, κο δ◊ι ΑΕ cắt đường τρ∫ν ngoại tiếp ταm γι〈χ ΑΒΧ D Chứng mινη tứ γι〈χ ΑΜDΝ ϖ◊ ταm γι〈χ ΑΒΧ χ⌠ diện τχη νηαυ Β◊ι (4 điểm) Χηο tập hợp Α  1;2;3; ;18 Χ⌠ βαο νηιυ χ〈χη chọn ρα số τρονγ tập Α σαο χηο hiệu ηαι số bất κ τρονγ số κηνγ nhỏ Β◊ι (4 điểm) Χηο χ〈χ số dương α, β, χ thoả mν α  β  χ  Chứng mινη rằng: α 1 β 1 χ 1   3  β2  χ2  α Hết Họ ϖ◊ τν : Số β〈ο δανη : ThuVienDeThi.com ĐÁP ℑΝ ςℵ BIỂU ĐIỂM ĐỀ ΤΗΙ CHỌN HỌC ΣΙΝΗ GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH ΜΝ: ΤΟℑΝ NĂM HỌC: 2011 − 2012 Β◊ι Β◊ι Giải phương τρνη: Lời giải 2   2σιν ξ ταν ξ  χοτ ξ χοσ ξ   Lời giải : Điều kiện : σιν ξ   ταν ξ  χοτ ξ   Điểm 1 2σιν ξ  χοσ ξ Τα χ⌠ : ταν ξ  χοτ ξ   σιν ξ σιν ξ Dο phương τρνη χηο tương đương với : 1đ 2   σιν ξ   σιν ξ   σιν ξ  1 σιν ξ    σιν ξ    σιν ξ   σιν ξ   ( Thỏa điều kiện (1) ) σιν ξ   Giải χ〈χ phương τρνη τρν τα : ξ Β◊ι   κ ; ξ   12 1đ 1đ  κ ; ξ  5  κ κ  Ζ  12 1đ Χηο δψ số υν  ξ〈χ định υ1    ∗       υ υ 4 υ ν Ν ν  ν1 ν Τm χνγ thức số hạng tổng θυ〈τ υν δψ số  Lời giải:  Đặt ξν   2υν ν  Ν ∗ Τα χ⌠ ξν  ϖ◊ ξ   2υν , ν  Ν ν Τηαψ ϖ◊ο giả thiết, τα được: ξν21  1  ξν2       ξν  9  ∗ ξν2  ηαψ υν   ξν21   ξν2    ξν  3 ξν 1   ξν   ThuVienDeThi.com 1đ Συψ ρα: ξν 1  ξν  ν  Ν ∗ ( Dο ξν  , ν  Ν ∗ ) Ηαψ 3ν 1 ξν 1  3ν ξν  4.3ν , ν  Ν ∗ Đặt ψν  3ν ξν , ν  Ν ∗ Τα χ⌠: ψν 1  ψν  4.3ν , ν  Ν ∗ Từ ψν 1  ψ1  3ν  3ν 1   3 , ν  Ν ∗ Ηαψ ψν 1  ψ1   2.3ν 1 , ν  Ν ∗ Τηεο χ〈χη đặt τα χ⌠: ξ1   ψ1   ψν   2.3ν Συψ ρα: ξν   ν 1 , ν  Ν ∗ 1  Dο υν    ν 1  ν 2  , ν  Ν ∗ 2 3  1đ 1đ 1đ Β◊ι Χηο ταm γι〈χ nhọn ΑΒΧ, τρν cạnh ΒΧ lấy χ〈χ điểm Ε, Φ σαο χηο γ⌠χ ฀ ฀ , gọi Μ, Ν λ◊ ηνη chiếu ϖυνγ γ⌠χ Φ τρν χ〈χ ΒΑΕ  ΧΑΦ đường thẳng ΑΒ ϖ◊ ΑΧ, κο δ◊ι ΑΕ cắt đường τρ∫ν ngoại tiếp ταm γι〈χ ΑΒΧ D Chứng mινη tứ γι〈χ ΑΜDΝ ϖ◊ ταm γι〈χ ΑΒΧ χ⌠ diện τχη νηαυ Lời giải: A M B O E N F 0,5đ C D ฀ ฀ ฀  ΧΑΦ   , ΕΑΦ   Ταχ⌠ Đặt ΒΑΕ Σ ΑΒΧ  ΑΦ 1 ΑΒ ΑΦ σιν      ΑΧ ΑΦ σιν    ΑΒ.ΧD  ΑΧ.ΒD  4Ρ 2 (Ρ−λ◊ β〈ν κνη đường τρ∫ν ngoại tiếp ταm γι〈χ ΑΒΧ) (1) Diện τχη tứ γι〈χ ΑDΜΝ λ◊ Σ ΑΜDΝ  1 ΑΜ ΑD.σιν   ΑD ΑΝ σιν(   ) 2 ThuVienDeThi.com 1,5 đ = ΑD  ΑΦ χοσ    .σιν   ΑΦ χοσ  σιν       ΑΦ ΑD ΑΦ σιν 2     ΑD.ΒΧ (2) 4Ρ 1,5 đ ς tứ γι〈χ ΑΒDΧ nội tiếp τρονγ đường τρ∫ν νν τηεο định λ Πτολεmε τα χ⌠ : 0,5 đ ΑΒ.ΧD + ΑΧ.ΒD = ΑD.ΒΧ (3) Từ (1), (2), (3) τα χ⌠ điều phải chứng mινη Β◊ι Χηο tập hợp Α  1;2;3; ;18 Χ⌠ βαο νηιυ χ〈χη chọn ρα số τρονγ tập Α σαο χηο hiệu ηαι số bất κ τρονγ số κηνγ nhỏ Lời giải: Τα cần τm số phần tử tập Τ σαυ:   Τ  (α1 ,α , ,α ) : α1  α   α ;  α ι  18; α ι  α ϕ  1đ Ξτ tập hợp Η  (β1 ,β , ,β5 ) : β1  β   β5 ;  βι  14 Ξτ 〈νη xạ φ χηο tương ứng (α1 ,α , ,α ) với (β1 ,β , ,β5 ) 1,5 đ ξ〈χ định σαυ: β1  α1 ,β  α  1,β3  α  2,β  α  3,β5  α  Dễ thấy κηι φ λ◊ σονγ 〈νη, συψ ρα Τ  Η Mặt κη〈χ (β1 ,β , ,β5 ) τρονγ Η λ◊ tổ hợp chập 14 phần tử Dο Η  Χ14  2002 Vậy Τ  2002 Β◊ι Χηο χ〈χ số dương α, β, χ thoả mν α  β  χ  Chứng mινη rằng: α 1 β 1 χ 1   3  β2  χ2  α Lời giải: Bất đẳng thức τρν tương đương với: α 1 β 1 χ 1 α 1  β    χ    α β χ 333  β2  χ2  α2 α  1.β β  1.χ χ  1.α  Ηαψ     β2  χ2  α2 Βψ τα δνγ bất đẳng thức ΑΜ – ΓΜ χηο χ〈χ mẫu thức: α  1β2  β  1χ  χ  1α  α  1β2  β  1χ  χ  1α  β2  χ2  α2 2β 2χ 2α α  1β  β  1χ  χ  1α  2 ThuVienDeThi.com 1,5 đ  αβ  βχ  χα α  β  χ     ς αβ  βχ  χα  2 ThuVienDeThi.com A M B O E N F ThuVienDeThi.com C ฀ ฀ ฀ Đặt ΒΑΕ  ΧΑΦ   , ΕΑΦ   2 Τα χ⌠ ΣΑΒΧ  ΑΒ ΑΦ σιν      ΑΧ ΑΦ σιν  =  ΑΦ  ΑΒ.ΧD  ΑΧ.ΒD  4Ρ (Ρ−λ◊ β〈ν κνη đường τρ∫ν ngoại tiếp ταm γι〈χ ΑΒΧ) (1) Diện τχη tứ γι〈χ ΑDΜΝ λ◊ Σ ΑΜDΝ  1 ΑΜ ΑD.σιν   ΑD ΑΝ σιν(   ) = 2 = ΑD  ΑΦ χοσ    .σιν   ΑΦ χοσ  σιν       ΑΦ ΑD ΑΦ σιν 2     ΑD.ΒΧ (2) 4Ρ ς tứ γι〈χ ΑΜDΝ nội tiếp τρονγ đường τρ∫ν νν τηεο định λ Πτολεmε τα χ⌠ ΑΒ.ΧD + ΑΧ.ΒD = ΑD.ΒΧ (3) Từ (1), (2), (3) τα χ⌠ điều phải chứng mινη ThuVienDeThi.com ...ĐÁP ℑΝ ςℵ BIỂU ĐIỂM ĐỀ ΤΗΙ CHỌN HỌC ΣΙΝΗ GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH ΜΝ: ΤΟℑΝ NĂM HỌC: 2 011 − 2012 Β◊ι Β◊ι Giải phương τρνη: Lời giải 2   2σιν ξ ταν ξ...  1β  β  1χ  χ  1α  2 ThuVienDeThi.com 1,5 đ  αβ  βχ  χα α  β  χ     ς αβ  βχ  χα  2 ThuVienDeThi.com A M B O E N F ThuVienDeThi.com C ฀ ฀ ฀ Đặt ΒΑΕ  ΧΑΦ   , ΕΑΦ ...   2υν , ν  Ν ν Τηαψ ϖ◊ο giả thi? ??t, τα được: ξν21  1  ξν2       ξν  9  ∗ ξν2  ηαψ υν   ξν21   ξν2    ξν  3 ξν 1   ξν   ThuVienDeThi.com 1đ Συψ ρα: ξν 1  ξν 