Chuyên đề 4: Đường tròn27884

ΧΗΥΨΕℜΝ ∇Εℵ ∇√¬ΝΓ ΤΡΟ¬Ν ∇ε∑ τm πηνγ τρνη χυα mοτ 〉νγ τρον τα χα◊ν λυ ψ: Πηνγ τρνη χυα 〉νγ τρον (Χ) ταm Ι(α, β) βαν κνη Ρ λα : (ξ − α) + ( ψ − β ) = Ρ2 Πηνγ τρνη χυα (Χ)  δανγ κηαι τριε∑ν : ξ2 + ψ2 – 2αξ – 2βψ + χ = ( ηαψ ξ2 + ψ2 + 2αξ + 2βψ + χ = 0) ϖι χ = α2 + β2 – Ρ2 Ρ2 = ⇔ α + β2 − χ Dο 〉ο τα πηαι χο 〉ιε◊υ κιεν α2 + β2 – χ ≥ Πηνγ τρνη τηαm σο〈 χυα 〉νγ τρον ταm Ι(α, β) βαν κνη Ρ λα: ⎧ ξ = α + Ρ χοσ τ ⎨ ⎩ ψ = β + Ρ σιν τ (τ ∈ Ρ) ∇ε∑ ϖιε〈τ πηνγ τρνη τιε〈π τυψε〈ν ϖι mοτ 〉νγ τρον τα χα◊ν πηαν βιετ : α) Τρνγ ηπ βιε〈τ τιε〈π 〉ιε∑m : τα δυνγ χονγ τηχ πηαν 〉οι τοα 〉ο : Τιε〈π τυψε〈ν ( Δ ) ται τιε〈π 〉ιε∑m Μ0(ξ0, ψ0) ϖι : − 〉νγ τρον (Χ) : ( ξ − α ) + ( ψ − β ) = Ρ2 λα 2 (ξ0 – α) (ξ – α) + (ψ0 – β) (ψ – β) = Ρ2 − 〉νγ τρον (Χ) : ξ2 + ψ2 – 2αξ – 2βψ + χ = λα ξ0ξ + ψ0ψ – α(ξ0 + ξ) – β(ψ0 + ψ) + χ = β) Τρνγ ηπ κηονγ βιε〈τ τιε〈π 〉ιε∑m, τα απ δυνγ τνη χηα〈τ : ∇νγ τηανγ ( Δ ) τιε〈π ξυχ ϖι 〉νγ τρον ταm Ι βαν κνη Ρ ⇔ δ( Ι , Δ ) = Ρ χ) 〉νγ τρον (Χ) : ( ξ − α ) + ( ψ − β ) = Ρ2 χο τιε〈π τυψε〈ν χυνγ πηνγ ϖι Οψ λα ξ = 2 α ± Ρ Νγοαι τιε〈π τυψε〈ν ξ = α ± Ρ, mοι τιε〈π τυψε〈ν κηαχ ϖι 〉νγ τρον ( Χ) 〉ε◊υ χο δανγ ψ = κξ + m ηοαχ δανγ ψ = κ ( ξ –ξ0 ) + ψ0 νε〈υ τιε〈π τυψε〈ν 〉ι θυα ( ξ0 , ψ0 ) λα 〉ιε∑m ναm νγοαι 〉νγ τρον ς δυ ThuVienDeThi.com Τρονγ mατ πηανγ Οξψ χηο Α(–2, 0), Β(0, 4) α) ςιε〈τ πηνγ τρνη 〉νγ τρον (Χ) θυα 〉ιε∑m Ο, Α, Β β) ςιε〈τ πηνγ τρνη χαχ τιε〈π τυψε〈ν ϖι 〉νγ τρον (Χ) ται Α, Β χ) ςιε〈τ πηνγ τρνη χαχ τιε〈π τυψε〈ν ϖι (Χ) πηατ ξυα〈τ τ 〉ιε∑m Μ(4, 7) Γιαι α) Πηνγ τρνη 〉νγ τρον (Χ) χο δανγ : ξ2 + ψ2 – 2αξ – 2βψ + χ = ∇νγ τρον (Χ) θυα 〉ιε∑m Ο, Α, Β νεν : ⎧χ = ⎪ ⎨4 + 4α + χ = ⎪ ⎩16 − 8β + χ = ςαψ (Χ) : ⇔ ⎧χ = ⎪ ⎨α = −1 ⎪β = ⎩ ξ2 + ψ2 + 2ξ – 4ψ = Χαχη κηαχ: Ταm γιαχ ΑΒΧ ϖυονγ ται Ο νεν χο ταm λα τρυνγ 〉ιε∑m χυα ΑΒ ϖα 〉νγ κνη λα ΑΒ νεν πτ δνγ τρον (Χ) λα: ( ξ + )2 + ( ψ − )2 = 1 ΑΒ2 = ( + 16 ) = 4 Χαχη κηαχ: Ταm γιαχ ΑΒΧ ϖυονγ ται Ο νεν ϖι M ( x, y ) ∈ (C ) τα χο ΑΜ.ΒΜ = ςαψ πτ 〉νγ τρον ( Χ ) λα ( ξ − ξΑ )( ξ − ξΒ ) + ( ψ − ψΑ )( ψ − ψΒ ) = β) Πηνγ τρνη τιε〈π τυψε〈ν ϖι (Χ) ται : Τιε〈π 〉ιε∑m Α(–2, 0) λα : –2ξ + 0.ψ + (–2 + ξ) – 2(0 + ψ) = ⇔ Τιε〈π 〉ιε∑m Β(0, 4) λα : ξ + 2ψ + = 0.ξ + 4.ψ + (0 + ξ) – 2(4 + ψ) = ⇔ ξ + 2ψ – = χ) ∇νγ τρον (Χ) : ξ2 + ψ2 + 2ξ – 4ψ = χο ταm Ι(–1, 2) ϖα βαν κνη Ρ = + 22 − = Ηαι τιε〈π τυψε〈ν χυνγ πηνγ ϖι Οψ λα ξ = α ± Ρ = −1 ± Ηαι τιε〈π τυψε〈ν ναψ κηονγ θυα Μ(4, 7) ςαψ πηνγ τρνη τιε〈π τυψε〈ν θυα Μ(4, 7) χο δανγ: (Δ) : ψ – = κ(ξ – 4) ⇔ κξ – ψ + – 4κ = (Δ) τιε〈π ξυχ ϖι 〉νγ τρον (Χ) ⇔ δ( Ι , Δ ) = Ρ ThuVienDeThi.com ⇔ − κ − + − 4κ κ +1 = ⇔ 4κ2 – 10κ + = ⇔ − 5κ = ⇔κ=2 ηαψ κ= κ2 + 1 ςαψ χο τιε〈π τυψε〈ν ϖι 〉νγ τρον (Χ) πηατ ξυα〈τ τ 〉ιε∑m Μ(4, 7) ϖι πηνγ τρνη λα : κ=2 κ= ⇒ 2ξ – ψ – = ⇒ ξ – ψ + = ς δυ (∇Η ΚΗΟℑΙ Β−2003) Τρονγ mατ πηανγ ϖι ηε τοα 〉ο ∇εχαχ ϖυονγ γοχ Οξψ χηο ταm γιαχ ΑΒΧ χο ΑΒ=ΑΧ, BAC = 900 Βιε〈τ Μ(1,–1) λα τρυνγ 〉ιε∑m χανη ΒΧ ϖα Γ( ; 0) λα τρονγ ταm ταm γιαχ ΑΒΧ Τm τοα 〉ο χαχ 〉νη Α , Β, Χ Γ λα τρονγ ταm ΔΑΒΧ ⇔ ΑΓ = 2ΓΜ 2 ⎧2 ⎧ξ Α = ⎪ − ξ Α = 2(1 − ) = ⇔ ⎨3 ⇔ Α (0, 2) 3 ⇔ ⎨ ⎩ψ Α = ⎪⎩ −ψ Α = 2(−1 − 0) = −2 ΠΤ: ΒΧ θυα Μ (1, −1) ⊥ ΑΜ = (1, −3): ξ – 3ψ – = ΠΤ 〉.τρον (Χ) ταm Μ, βαν κνη Ρ = ΑΜ= + = 10 (ξ – 1)2 + (ψ + 1)2 = 10 ⎧ξ − 3ψ − = Τοα 〉ο Β, Χ τηοα : ⎨ 2 ⎩(ξ − 1) + (ψ + 1) = 10 ⎧ξ = 3ψ + ⎧ ξ = −2 ⎧ξ = ∨ ⎨ ⇔⎨ ⇔ ⎨ 2 ⎩ψ = ⎩ ψ = −2 ⎩(3ψ + 3) + (ψ +1) = 10 ⇔ (ψ +1) = ςαψ Β (4, 0); Χ(−2, −2) ηαψ Β(−2, −2); Χ (4, 0) ς δυ (∇Η ΚΗΟℑΙ D−2003) Τρονγ mατ πηανγ ϖι ηε τοα 〉ο ∇εχαχ ϖυονγ γοχ Οξψ χηο 〉νγ τρον (Χ): (ξ – 1)2 + (ψ – 2)2 = ϖα 〉νγ τηανγ δ: ξ – ψ – = ςιε〈τ πηνγ τρνη 〉νγ τρον (Χ’) 〉ο〈ι ξνγ ϖι 〉νγ τρον (Χ) θυα 〉νγ τηανγ δ Τm τοα 〉ο χαχ γιαο 〉ιε∑m (Χ) ϖα (Χ’) Γιαι (Χ1) χο ταm Ι (1, 2), Ρ = Γοι Ι’ λα 〉ο〈ι ξνγ Ι θυα (δ) Γοι (Δ) λα 〉νγ τηανγ θυα Ι ϖα (Δ) ⊥ (δ) (Δ) : ξ + ψ – = (Δ) ∩ (δ) = Η(2, 1) Η λα τρυνγ 〉ιε∑m χυα ΙΙ’ ξ +1 ⎧ ⎪⎪2 = ⎧ξ = ⇒ ⎨ Για σ Ι’ (ξ, ψ) τη ⇒ ⎨ ⎩ψ = ⎪1 = ψ + ⎪⎩ ⇒ Ι’ (3, 0); Ρ’ = Ρ = (Χ’) : (ξ – 3)2 + ψ2 = ThuVienDeThi.com ⎧⎪(ξ − 1)2 + (ψ − 2)2 = ⎧(ξ − 3)2 + ψ = ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩(ξ − 3) + ψ = ⎩ξ − ψ − = Γιαι ηε ⎨ ⎧ξ = ψ + ⇔ ⎨ ⎩2ψ − 4ψ = ⎧ξ = ⎧ξ = ∨ ⎨ ⎩ψ = ⎩ψ = ⇔ ⎨ ςαψ γιαο 〉ιε∑m χυα (Χ) ϖα (Χ’) λα Α (1, 0) ϖα Β (3, 2) Τρονγ mατ πηανγ ϖι ηε τοα 〉ο Οξψ, χηο ηαι 〉νγ τηανγ ς δυ (∇Η ΚΗΟℑΙ Α−2005) δ1 : ξ – ψ = ϖα δ2 : 2ξ + ψ – = 0.Τm τοα 〉ο χαχ 〉νη ηνη ϖυονγ ΑΒΧD βιε〈τ ρανγ 〉νη Α τηυοχ δ1, 〉νη Χ τηυοχ δ2 ϖα χαχ 〉νη Β, D τηυοχ τρυχ ηοανη Γιαι Α ∈ δ1 ⇔ Α (m; m) Χ ∈ δ2 ⇔ Χ (ν; – 2ν) ς Β, D ∈ Οξ ϖα ΑΒΧD λα ηνη ϖυονγ νεν : ⎧m = ν ⎩ m = 2ν − Α ϖα Χ 〉ο〈ι ξνγ νηαυ θυα Οξ ⇔ ⎨ ⎧m = ⎩ν = ⇔ ⎨ Συψ ρα Α(1; 1), Χ(1; −1) Γοι (Χ) λα 〉νγ τρον 〉νγ κνη ΑΧ ⇒ Πηνγ τρνη (Χ) : (ξ–1)2 +ψ2=1 Β ϖα D λα γιαο 〉ιε∑m (Χ) ϖα Οξ νεν τοα 〉ο χυα Β, D 2 ⎧ λα νγηιεm χυα ηε : ⎪⎨(ξ − 1) + ψ = ⎪⎩ψ = ⎧ξ = ∨ ξ = ⇔ ⎨ Συψ ρα Β (0; 0), D(2; 0) ηαψ Β(2; 0), D(0; 0) ⎩ψ = ςαψ Α(1; 1), Β (0; 0), Χ(1; −1), D(2; 0) ηαψ Α(1; 1), Β(2; 0), Χ(1; −1), D(0; 0) ς δυ (∇Η ΚΗΟℑΙ Β−2005)Τρονγ mατ πηανγ ϖι ηε τοα 〉ο Οξψ, χηο ηαι 〉ιε∑m Α(2; 0), Β(6; 4) ςιε〈τ πηνγ τρνη 〉νγ τρον (Χ) τιε〈π ξυχ ϖι τρυχ ηοανη ται 〉ιε∑m Α ϖα κηοανγ χαχη τ ταm χυα (Χ) 〉ε〈ν 〉ιε∑m Β βανγ Γιαι Γοι Ι (ξ; ψ) λα ταm χυα (Χ) Τα χο : (Χ) τιε〈π ξυχ Οξ ται Α ⇒ IA ⊥ i = (1; 0) ⇔ ξ – = ⇔ξ=2 ΙΒ = ⇔ (ξ – 6)2 + (ψ – 4)2 = 25 ⇔ (2 – 6)2 + (ψ – 4)2 = 25 ⇔ (ψ – 4)2 = ⇔ ψ – = ±3 ⇔ ψ = ηαψ ψ = Τρνγ ηπ 1: Ι(2; 7) ⇒ Ρ = δ(Ι, Οξ) = Συψ ρα πτ (Χ) : (ξ – 2)2 + (ψ – 7)2 = 49 Τρνγ ηπ 2: Ι (2; 1) ⇒ Ρ = δ(Ι, Οξ) = ⇒ πτ (Χ) : (ξ – 2)2 + (ψ – 1)2 = ς δυ (∇Εℵ D√∉ Β ΚΗΟℑΙ Α −2002) Τρονγ mατ πηανγ ϖι ηε τοα 〉ο ∇ε◊χαχ ϖυονγ γοχ Οξψ, χηο ηαι 〉νγ τρον: (Χ1) : ξ2 + ψ2 – 10ξ = 0; (Χ2) : ξ2 + ψ2 + 4ξ – 2ψ – 20 = ThuVienDeThi.com 1) ςιε〈τ πηνγ τρνη 〉νγ τρον 〉ι θυα χαχ γιαο 〉ιε∑m χυα (Χ1), (Χ2) ϖα χο ταm ναm τρεν 〉νγ τηανγ ξ + 6ψ – = 2) ςιε〈τ πηνγ τρνη τιε〈π τυψε〈ν χηυνγ χυα χαχ 〉νγ τρον (Χ1) ϖα (Χ2) Γιαι 1) Πηνγ τρνη χηυm 〉νγ τρον θυα χαχ γιαο 〉ιε∑m χυα (Χ1), (Χ2) λα : m(ξ2 + ψ2 – 10ξ) + ν(ξ2 + ψ2 + 4ξ – 2ψ – 20) = ϖι m2 + ν2 > 2 ⇔ (m + ν)ξ + (m + ν)ψ + (4ν – 10m)ξ – 2νψ – 20ν = ⎛ 4ν − 10m ⎞ 2ν 20ν ⇔ ξ2 + ψ2 + ⎜ ψ− =0 ⎟ξ − m+ν m+ν ⎝ m+ν ⎠ ν ⎞ ⎛ 5m − 2ν ; ⎟ ⎝ m + ν m + ν⎠ Χο ταm Ι ⎜ ς ταm Ι ∈ δ : ξ + 6ψ – = ⇒ 5m − 2ν + 6ν − 6m − 6ν =0 m+ν ⇒ m = −2ν Χηο ν = ⇒ m = −2 ςαψ πηνγ τρνη 〉νγ τρον λα :ξ2 + ψ2 – 24ξ + 2ψ + 20 = 2) ςιε〈τ πηνγ τρνη χαχ τιε〈π τυψε〈ν χηυνγ χυα (Χ1), (Χ2) (Χ1) χο ταm Ι1(5; 0), βαν κνη Ρ1 = ⇒ I1I2 < R1 + R2 (Χ2) χο ταm Ι2(−2; 1), βαν κνη Ρ2 = ς (Χ1), (Χ2) χατ νηαυ ται 〉ιε∑m νεν χο τιε〈π τυψε〈ν χηυνγ ς ξ = ξο κηονγ τηε∑ λα τιε〈π τυψε〈ν χηυνγ νεν πτ ττ χηυνγ Δ χο δανγ : ψ = αξ + β ⇔ αξ – ψ + β = Δ τιε〈π ξυχ ϖι (Χ1) ⇔ δ(Ι1, Δ) = Ρ1 ⇔ ⏐5α + β⏐ α2 + =5 ⇔⏐5α + β⏐ = α + (1) Δ τιε〈π ξυχ ϖι (Χ2) ⇔ δ(Ι2, Δ) = Ρ2 ⇔ ⏐− 2α − + β⏐ α2 + ⇔ ⏐−2α – + β⏐ = α + (1) ϖα (2) ⇒ ⏐5α + β⏐ = ⏐−2α – + β⏐ ⎡5α + β = ⎣5α + β = ⇔⎢ Τηε〈 α = − =5 (2) ⎡ α=− ⎢ −2α − + β ⇔ ⎢ +2α + − β ⎢ β = −3α + ⎢⎣ + 25 − 25 ϖαο (1) τα χο : β1 = ; β2 = 7 ςαψ τα χο τιε〈π τυψε〈ν λα : ξ + 7ψ – + 25 = ξ + 7ψ – − 25 = Χαχη κηαχ: ς Ρ1 = Ρ2 ϖα 〉νγ τρον χατ νηαυ νεν τιε〈π τυψε〈ν χηυνγ τηανγ σονγ σονγ ϖι Ι1Ι2 = (−7;1) ςαψ πηνγ τρνη τιε〈π τυψε〈ν χο δανγ : ξ + 7ψ+m = (Δ) δ(Ι1, Δ) = ⇔ ⏐5 + m⏐ = + ⇔ m = – ± 25 πηνγ τρνη τιε〈π τυψε〈ν λα ξ + 7ψ – ± 25 = ThuVienDeThi.com λα 〉νγ ςαψ ΓΗΙ ΧΗΥ∧ : Βαι 〉νγ τρον τρονγ χηνγ τρνη λπ 12 βαο γο◊m χαχ ϖα〈ν 〉ε◊ χηνη λα : Τm πηνγ τρνη 〉νγ τρον; χαχ βαι τοαν λιεν θυαν 〉ε〈ν ϖ∫ τρ τνγ 〉ο〈ι γι⌡α〉νγ τηανγ ϖα 〉νγ τρον, γι⌡α ηαι 〉νγ τρον; πηνγ τχη χυα mοτ 〉ιε∑m 〉ο〈ι ϖι 〉νγ τρον; τρυχ 〉ανγ πηνγ χυα ηαι 〉νγ τρον κηονγ 〉ο◊νγ ταm Νγοαι ρα χον χο mοτ σο〈 χαυ ηοι λιεν θυαν 〉ε〈ν πηνγ τρνη ξ2 + ψ2 + 2Αξ + 2Βψ +Χ = (1) Χηανγ ηαν τm 〉ιε◊υ κιεν 〉ε∑ (1) λα πηνγ τρνη 〉νγ τρον Τ πηνγ τρνη (1) τm ταm ϖα βαν κνη χυα 〉νγ τρον, τm τηαm σο〈 〉ε∑ βαν κνη τηοα mοτ 〉ιε◊υ κιεν ναο 〉ο Σαυ 〉αψ, χηυνγ τοι χη 〉ε◊ χαπ 〉ε〈ν χαχη τm πηνγ τρνη 〉νγ τρον νοι τιε〈π ταm γιαχ ϖα ϖαι νγ δυνγ τρυχ 〉ανγ πηνγ χυα ηαι 〉νγ τρον κηονγ 〉ο◊νγ ταm ∇αψ λα ϖα〈ν 〉ε〈 χαχ εm τηνγ “ σ” κηι γαπ πηαι Α/ Χαχη τm πηνγ τρνη 〉νγ τρον νοι τιε〈π ταm γιαχ ΑΒΧ : Τρχ ηε〈τ χα◊ν λυ ψ : • Ταm 〉νγ τρον νοι τιε〈π ταm γιαχ λα γιαο 〉ιε∑m χυα ηαι 〉νγ πηαν γιαχ τρονγ • Μυο〈ν τm πηνγ τρνη 〉νγ τρον τα τm ταm Ι (α ; β) ϖα βαν κνη Ρ Κηι 〉ο πηνγ τρνη 〉νγ τρον χο δανγ (ξ – α)2 + (ψ – β)2 = Ρ2 • Χηο κ λα σο〈 τηχ κηαχ 1, τα χο : ξ Α − κξ Β ⎧ ⎪⎪ξ Μ = − κ ΜΑ = κ ΜΒ ⇔ ⎨ ⎪ψ = ψ Α − κψ Β ⎪⎩ Μ 1− κ 1/ (Ι) Νε〈υ 〉ε◊ βαι χηο βιε〈τ τοα 〉ο Α, Β, Χ τη : • Γοι D λα χηαν 〉νγ πηαν γιαχ τρονγ κε τ Α χυα A ταm γιαχ ΑΒΧ Τα χο : DΒ = − I B D C Σ δυνγ χονγ τηχ (Ι) ϖι κ = − ΑΒ DΧ ΑΧ ΑΒ τα ξαχ 〉∫νη 〉χ τοα 〉ο 〉ιε∑m D ΑΧ • Γοι Ι λα ταm 〉νγ τρον νοι τιε〈π ταm γιαχ ΑΒΧ τη Ι χηνη λα χηαν 〉νγ πηαν γιαχ τρονγ κε τ Β χυα ταm γιαχ ΑΒD Τα χο : ΙΑ = − ΒΑ ΙD ΒD Σ δυνγ χονγ τηχ (Ι) ϖι κ = − ΒΑ λα ξαχ 〉∫νη 〉χ τοα 〉ο ταm Ι ΒD Χον βαν κνη 〉νγ τρον νοι τιε〈π ταm γιαχ χηνη λα κηοανγ χαχη τ ταm Ι 〉ε〈ν mοτ τρονγ χανη χυα ταm γιαχ ΑΒΧ Χηυ ψ : Νε〈υ mοτ τρονγ βα 〉νη χυα ταm γιαχ τρυνγ ϖι γο〈χ τοα 〉ο ϖα ηαι 〉νη χον λαι ναm τρεν ηαι τρυχ τοα 〉ο τη χαχη γιαι 〉χ τηυ γον ην ϖ βιε〈τ τρχ 〉χ 〉νγ πηαν γιαχ τρονγ κε τ γο〈χ τοα 〉ο ∇νγ πηαν γιαχ χον λαι 〉χ τm τηονγ θυα τm χηαν 〉νγ πηαν γιαχ τρονγ νη 〉α⌡ τρνη βαψ  τρεν ThuVienDeThi.com