Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện, năm học 2013 2014 môn: Toán 927719

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN, NĂM HỌC 2013 - 2014 MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) UBND HUYỆN NGỌC HỒI PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC Đề bài: Bài 1: (6,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức sau: a) A  10  24  40  60  48   12 b) B   3x  x  1   20  13  160  x 1 2) Cho biểu thức: P       : x 1 x 2  x3 x 2  x2 a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P Bài 2: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình:  3x  x 2) Tìm x, y nguyên thỏa mãn:  y   x   y Bài 3: (3,5 điểm) a b c 1) Cho a, b, c khác    Tính giá trị biểu thức: A  ab bc ca   c2 a b2 2) Cho đường thẳng có phương trình 3m – my = (2m+1).x – (1) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng (1) ln qua điểm cố định Tìm tọa độ điểm cố định đó? Bài 4: (5,0 điểm) 1) Cho (O ; R) điểm S cố định với OS= 2R Từ S vẽ tiếp tuyến SA, SB cát tuyến SCD đến đường tròn a) Chứng minh rằng: SC SD = SA2 b) Tính SC SD theo R c) Tính độ dài SC SD theo R cho biết CD = R 2) Gọi a,b,c độ dài cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Chứng minh rằng: sin A a  2 bc Bài 5: (1,5 điểm) Tìm x, y số thực khác thỏa mãn x  y  Tìm giá thị nhỏ giá trị lớn M   xy y  x 1 - Hết Họ tên thí sinh: ……………………………………………………………………… Số báo danh: ……………………………………………………………………………………… ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MƠN: TỐN UBND HUYỆN NGỌC HỒI PHỊNG GD&ĐT Hướng dẫn gồm trang Nội dung Bài     3   5  2 A  10  24  40  60  a =  2 3  2  2  1,5       3.1  B 2     5.1   2   2.2    2      1      1   2    2   2    1  2   b 2 3  2 3 22  2.2  Điểm 2 2 2 1,5 2 ĐKXĐ x  0; x   3x  x   x 1 1     : P   x 1 x 2  x3 x 2  x2 a   3x  x   x   x   x  x  : x 1 x2  x  1 x  2 x x 2 x   x  1 x   x      x  1 x  2 x   x  1 x  2 x  1,5 x2 x 1 Với điều kiện: x  0; x  P x2 x 1 3    x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1  ( x  1) b 2 32 x 1 Dấu “ = “ xẩy x 1   x 1   x  x 1 mãn ĐKXĐ Vậy Min P =   x    3x  x Đk: x  Nếu : x < Phương trình vô nghiệm ThuVienDeThi.com      thỏa 1,5  x  x   x  x  x  x    x  x  1  Nếu  x  Thì x    x  4    x 1  x  1 Đối chiếu với điều kiện có x = thỏa mãn phương trình có nghiệm  y   x   y   y   x  y     y  ( x  y  2)  x, y nguyên nên  y  ;( x  y  2) nguyên từ suy y   U (3)  1; 1;3; 3 Từ ta có bảng y+2 -1 -3 x –y + -3 -1 y -1 -3 -5 x 0 Vậy cặp số (x, y) cần tìm là: (0; 1) ; (0;-1) Ta có x3  y  z  3xyz  x  y  z x  y  z  xy  yz  zx  suy ra: x  y  z   x3  y  z  3xyz 1 1 1 1        a b c a b c a b c ab bc ca 1 1 1 Nên ta có: A     abc      abc.3  c a b a b c a b c   3m – my = (2m+1).x – (1) Gọi M(x0 ; y0) điểm cố định cần tìm, ta có: 3m–my0= (2m+1)x0 – 3,  m 3m – 2mx0– my0 = x0 -  m(3 - 2x0 –y0)= x0 –  m(3 - 2x0 –y0) – (x0 – 3) = 3  x0  y0   x 3    x0    y0  3 1,5 Vậy (x0 ; y0) = (3;-3) điểm cố định cần tìm A C S D O I B a  SAC   SDA (g-g)  SA SC   SA2  SC.SD SD SA ThuVienDeThi.com b Áp dụng đl Pitago vào tam giác SAO vng A, ta có: SA2  SO  OA2  2 R   R  3R 2  SC.SD  3R (1) c Ta có: SD – SC = CD = R (2) Từ (1), (2) suy ra: SC+ SD = R 15 (3) R( 15  3) (đvd) R( 15  3) SC  (đvd) Từ (2), (3) suy SD  A Kẻ phân giác AD; kẻ BH vng góc với AD H Kẻ CK vng góc với AD K H D B 2 K C A BH CK BH  CK BD  CD BC      AB AC AB  AC AB  AC AB  AC BC a   AB AC bc Sin  xy xy  x  y  xy  x  y  M  2M     y  x 1 y  x 1 x  y 1 x  y 1 x  y 1 y  x   2 xy    x  y     y  x   1 1 M  2  2   2 ; ; dấu xầy (x; y)  ;    2    1 1 Vậy MinM  ; MaxM= 2    2M    Chú ý: Mọi cách giải đúng, ngắn gọn cho điểm tối đa tương ứng ThuVienDeThi.com 1,5 ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013- 2014 MƠN: TỐN UBND HUYỆN NGỌC HỒI PHỊNG GD&ĐT Hướng dẫn gồm trang Nội dung Bài... x 1 mãn ĐKXĐ Vậy Min P =   x    3x  x Đk: x  Nếu : x < Phương trình vơ nghiệm ThuVienDeThi.com      thỏa 1,5  x  x   x  x  x  x    x  x  1  Nếu  x  Thì x  ... điểm cố định cần tìm A C S D O I B a  SAC   SDA (g-g)  SA SC   SA2  SC.SD SD SA ThuVienDeThi.com b Áp dụng đl Pitago vào tam giác SAO vng A, ta có: SA2  SO  OA2  2 R   R  3R 2 