KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN, NĂM HỌC 2013 - 2014 MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) UBND HUYỆN NGỌC HỒI PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC Đề bài: Bài 1: (6,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức sau: a) A 10 24 40 60 48 12 b) B 3x x 1 20 13 160 x 1 2) Cho biểu thức: P : x 1 x 2 x3 x 2 x2 a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P Bài 2: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: 3x x 2) Tìm x, y nguyên thỏa mãn: y x y Bài 3: (3,5 điểm) a b c 1) Cho a, b, c khác Tính giá trị biểu thức: A ab bc ca c2 a b2 2) Cho đường thẳng có phương trình 3m – my = (2m+1).x – (1) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng (1) ln qua điểm cố định Tìm tọa độ điểm cố định đó? Bài 4: (5,0 điểm) 1) Cho (O ; R) điểm S cố định với OS= 2R Từ S vẽ tiếp tuyến SA, SB cát tuyến SCD đến đường tròn a) Chứng minh rằng: SC SD = SA2 b) Tính SC SD theo R c) Tính độ dài SC SD theo R cho biết CD = R 2) Gọi a,b,c độ dài cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Chứng minh rằng: sin A a 2 bc Bài 5: (1,5 điểm) Tìm x, y số thực khác thỏa mãn x y Tìm giá thị nhỏ giá trị lớn M xy y x 1 - Hết Họ tên thí sinh: ……………………………………………………………………… Số báo danh: ……………………………………………………………………………………… ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MƠN: TỐN UBND HUYỆN NGỌC HỒI PHỊNG GD&ĐT Hướng dẫn gồm trang Nội dung Bài 3 5 2 A 10 24 40 60 a = 2 3 2 2 1,5 3.1 B 2 5.1 2 2.2 2 1 1 2 2 2 1 2 b 2 3 2 3 22 2.2 Điểm 2 2 2 1,5 2 ĐKXĐ x 0; x 3x x x 1 1 : P x 1 x 2 x3 x 2 x2 a 3x x x x x x : x 1 x2 x 1 x 2 x x 2 x x 1 x x x 1 x 2 x x 1 x 2 x 1,5 x2 x 1 Với điều kiện: x 0; x P x2 x 1 3 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 ( x 1) b 2 32 x 1 Dấu “ = “ xẩy x 1 x 1 x x 1 mãn ĐKXĐ Vậy Min P = x 3x x Đk: x Nếu : x < Phương trình vô nghiệm ThuVienDeThi.com thỏa 1,5 x x x x x x x x 1 Nếu x Thì x x 4 x 1 x 1 Đối chiếu với điều kiện có x = thỏa mãn phương trình có nghiệm y x y y x y y ( x y 2) x, y nguyên nên y ;( x y 2) nguyên từ suy y U (3) 1; 1;3; 3 Từ ta có bảng y+2 -1 -3 x –y + -3 -1 y -1 -3 -5 x 0 Vậy cặp số (x, y) cần tìm là: (0; 1) ; (0;-1) Ta có x3 y z 3xyz x y z x y z xy yz zx suy ra: x y z x3 y z 3xyz 1 1 1 1 a b c a b c a b c ab bc ca 1 1 1 Nên ta có: A abc abc.3 c a b a b c a b c 3m – my = (2m+1).x – (1) Gọi M(x0 ; y0) điểm cố định cần tìm, ta có: 3m–my0= (2m+1)x0 – 3, m 3m – 2mx0– my0 = x0 - m(3 - 2x0 –y0)= x0 – m(3 - 2x0 –y0) – (x0 – 3) = 3 x0 y0 x 3 x0 y0 3 1,5 Vậy (x0 ; y0) = (3;-3) điểm cố định cần tìm A C S D O I B a SAC SDA (g-g) SA SC SA2 SC.SD SD SA ThuVienDeThi.com b Áp dụng đl Pitago vào tam giác SAO vng A, ta có: SA2 SO OA2 2 R R 3R 2 SC.SD 3R (1) c Ta có: SD – SC = CD = R (2) Từ (1), (2) suy ra: SC+ SD = R 15 (3) R( 15 3) (đvd) R( 15 3) SC (đvd) Từ (2), (3) suy SD A Kẻ phân giác AD; kẻ BH vng góc với AD H Kẻ CK vng góc với AD K H D B 2 K C A BH CK BH CK BD CD BC AB AC AB AC AB AC AB AC BC a AB AC bc Sin xy xy x y xy x y M 2M y x 1 y x 1 x y 1 x y 1 x y 1 y x 2 xy x y y x 1 1 M 2 2 2 ; ; dấu xầy (x; y) ; 2 1 1 Vậy MinM ; MaxM= 2 2M Chú ý: Mọi cách giải đúng, ngắn gọn cho điểm tối đa tương ứng ThuVienDeThi.com 1,5 ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013- 2014 MƠN: TỐN UBND HUYỆN NGỌC HỒI PHỊNG GD&ĐT Hướng dẫn gồm trang Nội dung Bài... x 1 mãn ĐKXĐ Vậy Min P = x 3x x Đk: x Nếu : x < Phương trình vơ nghiệm ThuVienDeThi.com thỏa 1,5 x x x x x x x x 1 Nếu x Thì x ... điểm cố định cần tìm A C S D O I B a SAC SDA (g-g) SA SC SA2 SC.SD SD SA ThuVienDeThi.com b Áp dụng đl Pitago vào tam giác SAO vng A, ta có: SA2 SO OA2 2 R R 3R 2