Giải đáp Toán cấp 326821

www.MATHVN.com GI I ÁP TOÁN C P HÀM S L Y TH A, HÀM S M VÀ HÀM S LÔGARIT PH N CÔNG TH C BI N ( T rang – 11 ) I O HÀM ( T rang 13 – 16 ) GI I H N ( T rang 16 – 17 ) www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com TÍNH N I U VÀ CÁC B T NG TH C ( T rang 18 – 43 ) GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com L Y TH A, HÀM S PH N 1: HÀM S I CÁC CÔNG TH C BI N M VÀ HÀM LÔGARIT I L Y TH A (Gi s bi u th c có ngh a): m  1) a  2) a  n  n 4)  a   a 3) a n  n a m a   a a  a 5) a a   a   6)   a   7)  ab   a b 8)     b a b Chú ý: +) Khi xét l y th a v i s m s m nguyên âm c s ph i khác +) Khi xét l y th a v i s m khơng ngun c s ph i d ng A CÁC VÍ D MINH H A Ví d 1: Tính giá tr bi u th c sau: 1) A =  2) B = (0, 04) 4) D = 43 21 2 3 5) E = 1,5  (0,125)  3) C =  0,5  625 4 81 5 12 6) F =   18 27 0,25  1 2   4 847 847  6 27 27 6 Gi i: 3 1) A =    2    23   23  22  12 2) B = (0, 04) 1,5  (0,125)        25  4  1 3) C =  0,5   6250,25     4 1  1   8  3 2  5    19  3   21    4 3   3    53  2  121  11  2         4    19 3 (3)3 19  3   19  5    11      10 27  2   27 4) D = 43 2.21 2.23  262 2.22 5) E = 81 5 12   18 27 6) F = 6  F3     24  16 35.3 2.3 35 3 1  101  2   3.2 3    10 3    3 847 847  6 Ta áp d ng h ng đ ng th c :  a  b   a  b3  3ab  a  b  27 27 847 847 847 847  847 847   6  6  33  6  6 27 27 27 27  27 27    T rang www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com 1  19  3 3 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com  F3  12  3 36  847 F  12  5F  F3  5F  12    F  3  F2  3F  4  27  F = ho c F2  3F   (vô nghi m) V y F = n gi n bi u th c sau (gi s bi u th c có ngh a): Ví d 2: 35 1) A = a 24  a b 4 2) B =    b a   a   a a   12 4) D = 1    : a b      b b    1   1  a b a  b   14 a  3) C =   : a b   1 1   b   a  a 2b4 a  b4       5) E =  a  b     b b2    :  b  2b a a    13  a b   :2 a  b  6) F =    b a  ab   32   12 a b a  b2 8) H =    ab       a  b 2  a  b        ab  ab  b  7) G =  ab  : a b a  ab  b  ab  Gi i: 1) A = a2 4 3 1  b 3 9) I =   a    a  a  ab  4b  a  8a b 1    3 a   a a    a   a  a     35  a b 2) B =    b a   35  7 4 1 1     a   b   b   b5 b                  a   b a   a   a          1 1     1 1 1 2 2   a b a b   a  ab a  b   14 b  3) C = :a b  :a  b4    1  1 1    b  2 a     a  b    a  a  b4  a4  b4   a a b     1 a  b  a  a 2b2  1   a2  a4  b4    1   a b2  a2  b2  a b a   1 1   b a b   b  2  a  a b  a b    2    a a   12 a 4) D = 1    :  a  b   1   : b b  b        b b2    :  b  2b a a   a a a b  b b a b   5) E =  a  b        a b a b     b a b b   : b    a   www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com  a b  T rang  a b   b :  a    b  a b    GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com 2    13    a b a b     ab   :2 a  b     : 6) F =    b a ab ab  3  a  a   3 ab a3b ab   ab a b  1 ab  ab  b a ab  ab  ab ab  7) G =  ab   : a b a  ab  b  ab a  ab ab  b b  ab   a ab a b a ab  a  ab ab  b a a b    a b a b  8) H =   ab    1   a b  a  b   3 2        a b b   a b a b  a 1   12     1  a  b   a  a 2b2  b   1 a2  b2       2  a b 1 1        a2  b2    a2  b2   a2  b2          2  12  a b  a  2a b  b   1 =  1 1     2 a b  a b      3 1  a  a  8b  a  8a b b 3 9) I =   a    1  a  a  ab  4b  a  a b  4b 3   a    b   a  3 3 a  ab  4b 3 a a a  23 b 1  a  23 b    a  a    a   a  b   a   ab   b    a  a  b   a   ab   b   3 3 3 3 3 2 3  a a 0 B BÀI LUY N Bài 1: Tính giá tr bi u th c sau:  3 1) A =  32     2) B = 7 4  2  4) D =    (0, 2)0,75    Bài 2: 5) E =        1    3) C =    :  :  :  3.2 4.3             23 2 (18)7 24.(50)3 (225)4 (4)5 (108) 6) F = n gi n bi u th c sau (gi s bi u th c có ngh a): a 1) A = a a a 2) B = 3 a 3) C = a4  a4 a4  a4  b  1  b2 b2  b  4) D = T rang  a3b a6b www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com 10 3 :10 2  (0, 25)0  10 2 (0, 01)3 ( 1) a 2 1 23.2 1  53.54  (0, 01)2 10 2 2 1 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com   a  1 LÔGARIT: Gi s bi u th c có ngh a  log a b có ngh a   b   1) log a  5) a 2) log a a  3) log a b  loga c  log a (bc) 4) log a b  log a c  log a b c log a b    log a b   6) log a b  log a b   b  log a b  log a b    log a b.log b a   log a b  log a  b 7) log a b.logb c  log a c   log c  log a c  b log a b +) Lôgarit th p phân : log10 b  log b  lg b +) Lôgarit t nhiên ( lôgarit Nêpe) : log e b  ln b ( e  2, 71828 )  loga b Chú ý: A CÁC VÍ D MINH H A Ví d 1: Tính giá tr bi u th c sau:  1) A = log3 log 4) D =    2  3 2log5 log5 7) G = lg 25 5) E=  49 1 2log2 10) J =  log7  36 27 3) C = log 5.log 25 2) B = log 3.log3 36 e log6 ln3 1  log 27  log125 81 25 8) H = log6 4 log8 2  27 log9 2 log8 27 0,25 0,5log9 11) K = log (log 8) 13) M  log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 14) N  lg(tan10 )  lg(tan 20 )   lg(tan 880 )  lg(tan 890 ) Gi i:  1) A = log log 2) B = log 3) C = log 5.log 25 4) D = 5) E   9    1 2  log  log   log    log  log 32  2 6 3  22  3.log3 36  log 2log5 36  log 62 62  15  3  log 1 5.log 33  (5)    log3 5.log5  27  2  2   33    3log3 1  log 27  log125 81 25 log3 3 5 1  log 1 33  log 34 5   52   log log 36 2log 71  10log99 9) I = lg  81  27      81 12) L = log 2013 log (log 256)  log0,25  log9 (log 64) 6) F = log3 2 1 log5 3 log5 3 5 T rang 1 2log5 5 www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com log5 32  5.5  5.9  45 GV: THANH TÙNG 6) F = log 3 2  log 32  7) G = lg 25  27 0947141139 – 0925509968 log9 2 log8 27  www.MATHVN.com  log 3 2  log 32   3  2log   log  3    log5  49 log7 e ln http://www.facebook.com/giaidaptoancap3  3    log 2 2  23 log3 log       log 33    log 3   23     log 1  2  1   3 2        lg  52  log5    72 log7     lg  5log5 62  7log7 82           lg 62  82   lg102     1 log6 8) H = log8 4    10log99  32 log3    22  log log 36 2log 71 9) I = lg  81  27    lg       log 54 log 63 log 71   lg  3  3  3   lg   1 2log 10) J   36 log6 0,250,5log9  81  log  34  log3 62  99  log3    33 log 62 log 82  99   82  99  2log 71  3    54  63  71  lg  29  71  lg100    22  1 2log  2 22 4log 2 6    62 log6 log6  log3 0,25  log    34     3 7 11) K = log (log 8)  log  log 23   log 3    12) L = log 2013 log (log 256)  log0,25  log9 (log 64)   log 2013 log (log 28 )  log 0,25 log9 (log 43 )   1 3 1  log 2013  log  log 0,25  log9 3   log 2013  log 22 23  log   log 2013     log 2013    2   2   2   13) M  log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log  log 7.log 6.log 5.log 4.log 3.log  log  14) N  lg(tan10 )  lg(tan 20 )   lg(tan 880 )  lg(tan 890 )  lg(tan10 )  lg(tan 89 )   lg(tan 20 )  lg(tan 880 )    lg(tan 44 )  lg(tan 460 )   lg(tan 450 )  lg  tan10.tan 890   lg  tan 20.tan 880    lg  tan 44 0.tan 46   lg  tan 450   lg  tan10.cot10   lg  tan 20.cot 20    lg  tan 440.cot 440   lg  tan 450   lg1  lg1   lg1  lg1       Ví d 2: n gi n bi u th c sau (gi s bi u th c đ u có ngh a):  1) A = log a a a a 3) C = lg log a3 a a  2) B =  log a b  log b a   log a b  log ab b  log b a  4) D = log  2a    log a  a log a  log2 a 1 log a  3log a  1  T rang www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com  log 22 a GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com Gi i:  1) A = log a a 24 a 35  16  14      14   log a  a  a    log a  a a   log a a               a  log a  a a a     2) B   log a b  logb a   log a b  log ab b  log b a    log a b     log a b.log b a  log ab b.log b a   log a b    log a b  1 log 2a b  log a b   1  log ab a    log a b log a b  log a b  1  log a b   1   1  log a ab     log a b  1 log a b   log b    log b 1   1  a a log a b  log a b   log a b  3) C = lg log a a  lg log a3 4) D = a.a  5 1  lg log  a   lg log 3 a 10  lg   lg  1 a 10 10  a3  a3 log  2a    log a  a    log a log a log a 1 log a  3log a  1    2log a  log a  log a  1  8log 22 a 3log a  3log a  1   log 22 a  3log a  1 log 22 a  3log a  Ví d 3: Cho log a b  ; log a c  2 Tính log a x bi t: 1) x  a 3b c 2) x  a4 b c3 3) x  log a a bc Gi i: Cho log a b  ; log a c  2 1) V i x  a 3b c   1  log a x  log a a 3b c  log a a  log a b  log a c   2log a b  log a c   2.3   2   2 2) V i x  a4 b c3  log a x  log a 3) V i x  log a a4 b 1 a b  log  log  log a c   log a b  3log a c     2   1 a a c 3 a bc a c b3  log a x  log a a bc a cb  log a a 2b c 1 a b 3c  log a a3c 8  log a a  log a b  log a c b3  5  log a b  log a c     2   8 3 3 T rang www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com a cb3 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com Ví d 4: Hãy bi u di n theo a ( ho c c b ho c c) bi u th c sau: 1) A = log 20 0,16 bi t log  a 2) B = log 25 15 bi t log15  a   3) C = log 40 bi t log    a  5 5) E = log 35 28 bi t log14  a log14  b 4) D = log (21, 6) bi t log  a log  b 6) F = log 25 24 bi t log 15  a log12 18  b 49 7) G = log125 30 bi t lg  a lg  b 8) H = log bi t log 25  a log  b 9) I = log140 63 bi t log  a ; log3  b ; log  c 10) J = log 35 bi t log 27  a ; log8  b ; log  c Gi i: 1) A = log 20 0,16 bi t log  a log   3log   3a Ta có: A = log 20 0, 04  log 20  log (2 2.5)  log  a 2) B = log 25 15 bi t log15  a Ta có: a  log15  log3  3.5  1 1 a  log3    a a  log3 1 a 1 log 15 log (3.5)  log a      B = log 25 15   a 1  a  log 25 log 52 2log a   3) C = log 40 bi t log    a  5  3a   Ta có: a  log    log   log  log    5 22 3a 3 log 40 log (23.5)  log   3a  C = log 40     log 10 log (2.5)  log  3a  3a 4) D = log (21, 6) bi t log  a log  b 2.33 log  21,    3log  log   3a  b  Ta có: D = log (21, 6)  log log  2.3  log 1 a log 5) E = log35 28 bi t log14  a log14  b Ta có: a  log14  b  log14  log7  2.7   1 1 a  log     log a a log log  1 a  b   log  b(1  log 2)  b 1   log  7.2   log a  a  log 28 log (7.2 )  log  E = log 35 28     log 35 log (7.5)  log 1 a a  2a b ab 1 a  T rang www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com 6) F = log 25 24 bi t log 15  a log12 18  b log 18 log  2.3   2log (2) b  log12 18    log 12 log  22.3  log log 15 log  log (1) Ta có: a  log 15   log  log  2b b2  2b 2b  a  ab  T (1)  log  a 1  log 3  log   a  1 log  a   a  1 a b2 b2 b  3 b 5 log 24 log    log b2  F = log 25 24         b a ab log 25 log 2log 4b  2a  2ab  b2 T (2)  b (2  log 3)   log  (b  2) log   2b  log  7) G = log125 30 bi t lg  a lg  b lg 30 lg  3.10   lg 1 a  10     Ta có: b  lg  lg     lg  lg   b  G = log125 30  lg125 3lg 1  b  lg    5 49 bi t log 25  a log  b log log log Ta có: a  log 25     log  ab log 25 log 2b 8) H = log 49 72 log 49   log   2.2 ab   12ab   H = log  1 b log b log log 3 9) I = log140 63 bi t log  a ; log  b ; log  c log Ta có : log  log 3.log  ab  I = log140 63  log  32.7  log 63 log  log 2a  c    log 140 log  5.7   log  log  ab  c 10) J = log 35 bi t log 27  a ; log  b ; log  c log log log   a  log 27  log 27  3log  3c  log  3ac log 35 log  log 3ac  3b  2  J = log 35     log  log 1 c b  log  log  log  log  3b  log Ví d 5: Tính giá tr c a bi u th c: 1) A = log b a b bi t log a b  a 2) B = a4  a4 a a T rang  b  2  b2 b b  www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com bi t a  2013  ; b   2012 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com Gi i: 1) A = log A = log  b bi t log a b  a b  log a b a b a 1  3    log a b  2) B = a4  a4 a a B=  b  4 a a a a   b a a2  3log b b a  log a b a  1    log b a  2   1   log a b  1 2  log a b log a b  1 3      log a b   log a b   log a b   log a b   3    b b a  b2 b b b  log  2  bi t a  2013  ; b   2012 b b b  2  a 1  a 2   b 1  b   a 1  a   b  2 1  b  1  a   1  b   a  b  2013    2012  Ví d 6: Ch ng minh r ng (v i gi thi t bi u th c đ u có ngh a): log a b  log a c 2a  3b lg a  lg b log c log a 3) N u 4a  9b  4ab lg 2) a b  c b 1) log ac (bc)    log a c 4) N u a  4b  12ab log 2013 (a  2b)  2log 2013  (log 2013 a  log 2013 b) 1 lg b ; b  10 5) N u a  10 b c 7) log 2a  log 2a c b 1 lg c 6) N u a  log12 18 ; b  log 24 54 thì: ab  5(a  b)  c a b 8) Trong s : log 2a ; log 2b log 2c ln có nh t m t s l n h n b c a b c a c  10 Gi i: 1) log ac (bc)  2) a logb c  log a b  log a c  log a c log a c b t a Ta có: log 3) N u 4a  9b  4ab lg 1 lg a bc log a  bc  log a b  log a c log a bc    log ac (bc ) (đpcm)  log a c log a a  log a c log a  ac  a logb c  a t log a log c  a b  c b (đpcm) t  t log log log a a a c  bt  c b  bt b  b b  a t 2a  3b lg a  lg b  Ta có: 4a  9b  ab  a  12ab  9b  16ab   2a  3b  2 2  2a  3b   16ab     ab   2 2a  3b a  3b lg a  lg b  a  3b  (đpcm)  lg   lg a  lg b  lg    lg  ab   lg 4   T rang 10 www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com 4) N u a  4b  12ab log 2013 ( a  2b)  log 2013  (log 2013 a  log 2013 b) 2 2  a  2b  Ta có: a  4b  12 ab  a  4ab  4b  16ab   a  2b   16 ab     ab    a  2b   log 2013    log 2013  ab    log 2013  a  2b   2log 2013   log 2013 a  log 2013 b    log 2013 ( a  2b)  log 2013  (log 2013 a  log 2013 b) (đpcm) 2 5) N u a  10 1 lg b Ta có: a  10 b  10 ; b  10 1 lg b 1 lg c 1 lg a c  10  lg a  lg101lg b  1 lg c  lg b  lg10 1 lg c  1 lg a   lg b     lg b lg a lg a (1) (2)  lg c lg a  1 lg a T (1) (2)    lg c     10lg c  101lg a  c  101lg a (đpcm) lg a  lg c lg a  1  lg a 1 6) N u a  log12 18 ; b  log 24 54 thì: ab  5( a  b)  Ta có: a  log12 18  log 18 log  2.3   2log  2a    a   log    log  log  (1) log 12 log  22.3   log a2 log 54 log  2.3   3log  3b b  log 24 54     b   log    3log  log  b 3 log 24 log    log T (1) (2)  7) log 2a  2a  3b   1  2a  b    1  3b  a    ab  5( a  b)  (đpcm) a  b 3 b c  log 2a c b 2 2 1 b  b  c  c c c   Ta có : log   log a   log a       log a    log a   log a2 c  c   b  b b  b    (đpcm) a 8) Trong ba s : log 2a b c a b ; log 2b log 2c ln có nh t m t s l n h n b c c a a Áp d ng công th c ý 7) ta có: log 2a b c b a c ; log 2b  log 2b  log 2a b c c a b c c ; log 2c a b a  log 2c a b a c a b b c a  b c a  log log 2b log 2c  log 2a log 2b log 2c   log a log b log c   12  b c a c a b  bc a b c a b c a c a c a b  Trong ba s không âm: log 2a ; log 2b log 2c ln có nh t m t s l n h n b c a b c a a b T rang 11 www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com (2) GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com B BÀI LUY N Bài 1: Tính giá tr bi u th c sau: 1) A = log 5 25 4) D = 532log5 7) G = 3) C = log 2) B = log 8.log 25 5) E = log5 1 log9 4  49 log7 2 log2 3 log 2 2log 27 6) F = 4log2  9) I  8) H = log3 6.log8 9.log log 27  125  log 5 10) J = log  log 400  3log 45 3 11) J  (27 log log log 4.log log 4.log 5 log 25 49 log )(81  8log4 )  log16 25.5log5 1  1 log log log 12) K  log  log  27  log 21 16    log tan 12 Bài 2: n gi n bi u th c sau (gi s bi u th c đ u có ngh a): log 1) A = log a b  logb a   log a b  log ab b  logb a 2) B = a3 a.log a a log a a Bài 3: Hãy bi u di n theo a ( ho c c b ho c c) bi u th c sau: 1) A = log 28 bi t log  a 2) B = log 16 bi t log12 27  a 3) C = log 49 32 bi t log 14  a 4) D = log 54 168 bi t log 12  a log12 24  b 121 6) F = log bi t log 49 11  a log2  b 5) E = log 30 1350 bi t log 30  a log 30  b 7) G = log3 135 bi t log  a log  b Bài 4: Tính giá tr c a bi u th c: 1) A = log b ab a bi t log a b  2) B = c log c  log  a a b3c  Bài 5: Ch ng minh r ng (v i gi thi t bi u th c đ u có ngh a): 1) log a c   log a b log ab c 2) N u a  b  c log b c a  log c b a  log c b a.log c b a ab 3) N u a  b  ab log   log a  log b  4) N u a  9b  10 ab log  a  3b   log   log a  log b  T rang 12 www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com bi t log a b  log a c   GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com II O HÀM  a x  '  a x ln a   2)  a u  '  u ' a u ln a   eu  '  u ' e u  x x  e  '  e  x  '   x 1  1)  u  '   u  1 u '   u' n  u '  n n 1 n u      log a x  '  x ln a  u' u'  3)  log a u  '    ln u  '  u ln a u    ln x  '  x  Chú ý : 4)  u v  '  u v ( v ln u ) ' (T ng quát c a (1) (2)) A CÁC VÍ D MINH H A Ví d 1: Tính đ o hàm c a hàm s sau: 1) y  x  x 2) y  e x  e3 x 1  5cos x sin x 3) y   x  x   e x 4) y  ln  x  1  log  x  x  1 5) y  ln x  x4  6) y  log    x4 1 x  ln(2 x  1) ln x  ln x 9) y  7) y  log  8) y    x  x  ln x 2x 1   ex  e x 11) y  ln x   x  log (sin x) 12) y  log x (2 x  1) 10) y  x  x 13) y  (2 x  1) x 1 e e   Gi i: 1 1) y  x  x  y'  3 x x x 2 x 1  x x  x  (áp d ng công th c  u  '  n uu' n n n 1 ) 2) y  e x  e3 x 1  5cos x sin x  y'  ex ex  3.e3x 1  ( sin x  cos x).5cos x sin x ln  ex  3e3 x 1  (sin x  cos x).5cos x sin x ln 3) y   x  x   e x  y '   x   e x   x  x   e x  x 2e x 4) y  ln  x  1  log  x  x  1  y'  2x 2x 1  2 x   x  x  1 ln 2 x  5) y  ln x  y '  3 x ln x 3 ln x 2.(ln x)  x  4   x4  6) y  log    y'  x4    x4  x  16  ln   ln  x4 T rang 13 www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com  1 x  7) y  log   x    8) y  ln x  ln x  x  ln x  1  x  1 x  1 x  1 x x x   1  x x   4x  y'     1 x 1 x 1 x 2x ln10 ln10 x ln10 x x x 1 x  ln x  1  ln x   1  ln x   ln x 2 x  y'  x  x   2 x x x 1  ln x  1  ln x  '   x  ln10 2x 1  ln  x  1  ln  x  1 ln(2 x  1) 2x 1 x  9) y   y'   2x 1 2x 1  x  1 x  ex  e x 10) y  x  x e e e  y'   x  e x    e x  e  x  e x e  x 2  1  e x  e x  x  x  cos x   cot x ln x   x sin x ln  x2 ln x  ln  x  1 x ln x  x  ln x  ln  x  1     x 12) y  log x (2 x  1)   y '  2x 1  2 ln x ln x x  x  1 ln x 11) y  ln x   x  log (sin x ) 13) y  (2 x  1) x 1  ln y  ln  x  1   y'  x 1   x  1 ln  x  1 (*)  x  1 y'  ln  x  1  y 2x 1 (đ o hàm v c a (*) )   x  1  x 1  y '  ln  x  1    x  1 2x 1   Ví d 2: Ch ng minh đ ng th c sau: 1) y '' y ' y  v i y  e  x sin x 1  x  ln x  ln x 5) x y '  x y  v i y  x (1  ln x) 3) xy '  y ( y ln x  1) v i y    2) xy '  e y v i y  ln    1 x  4) y  xy ' x y ''  v i y  sin(ln x )  cos(ln x ) 6) y  xy ' ln y ' v i y  x2  x x   ln x  x  2 Gi i: 1) y '' y ' y  v i y  e  x sin x  y '  e  x sin x  e  x cos x  e  x  cos x  sin x  Ta có: y  e sin x   x x x  y ''  e  cos x  sin x   e   sin x  cos x   2e cos x x  y '' y ' y  2e x cos x  2e  x  cos x  sin x   2e x sin x  (đpcm)   2) xy '  e y v i y  ln    1 x  T rang 14 www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com    Ta có: y  ln   y' 1 x  3) xy '  y ( y ln x  1) v i y  1  x  1 x x  xy '  1   1 x 1 x 1     xy '  e y (đpcm)   ln  1 x e y  e  1 x    1 x  1  1    1  x   x  Ta có: y   y' 2  x  ln x 1  x  ln x  x 1  x  ln x  1  x  ln x  1  x    xy '  1  x  ln x     xy '  y( y ln x  1) (đpcm)   x   ln    y y ln x    1       x  ln x   x  ln x  1  x  ln x 2  4) y  xy ' x y ''  v i y  sin(ln x )  cos(ln x ) 1 cos(ln x)  sin(ln x)   y '  x cos(ln x)  x sin(ln x)  x  Ta có: y  sin(ln x)  cos(ln x)        x sin(ln x)  x cos(ln x)  x   cos(ln x)  sin(ln x)  2cos(ln x)  y ''   x2 x2   y  xy ' x y ''  sin(ln x)  cos(ln x)  cos(ln x)  sin(ln x)  cos(ln x)  (đpcm) 5) x y '  x y  v i y  Ta có: y '   ln x x (1  ln x)    x 1  ln x   1  ln x  x     1  ln x  x  x   x 1  ln x    ln x  ln x 1  ln x  x 1  ln x    ln x x 1  ln x   1  ln x   ln x 2 2 x y '  x  2 x 1  ln x   1  ln x    x y '  x y  (đpcm) 2 2 1  ln x   2 1  ln x  1  ln x      1 x y 1  x 2 x (1  ln x) (1  ln x) 1  ln x   x2  x x   ln x  x  2 x 1 x2  1 x  x  x2  Ta có: y '  x   x   x  2 x2   x  x2  6) y  xy ' ln y ' v i y  =x 2x2 1 x 1    x  x2 1 x  x 1    x 1  x x2  x 1   x 1   x  x  1 x 1   x  x2 1  xy ' ln y '  x x  x   ln x  x   x  x x   ln x  x     y  xy ' ln y ' (đpcm) 2 y  x  x x   ln x  x   x  x x   ln x  x    T rang 15 www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com  GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com B BÀI LUY N Bài 1: Tính đ o hàm c a hàm s sau: x 1 3) y  xe 1) y  x  x  2) y  (2 x  1)e 5) y  e3 x 1.cos x 6) y  (sin x  cos x)e x 2x x2  x  ln( x  1) 8) y  x 1 4) y  7) y  1  ln x  ln x 11) y  ( x  x ) log (2 x  e  x  x ) 12) y  ln sin(3x  1)  10) y  x ln x  9) y  e x ln(cos x) x x Bài 2: Ch ng minh đ ng th c sau:  x2 1) xy '  (1  x ) y v i y  xe 3) y ''' 13 y ' 12 y  v i y  e4 x  2e  x 5) y '' y ' y  e x v i y  x e x 2 2) y ' y  e x v i y  ( x  1)e x 4) y 'cos x  y sin x  y ''  v i y  esin x xy 6) y '   e x ( x  1) v i y  ( x  1)(e x  2013) x 1 III GI I H N ex 1 1 x 0 x ln(1  x) 1 x 0 x x  1 1) lim     lim 1  x  x  e x  x 0  x 3) lim 2) lim A VÍ D MINH H A Ví d : Tính gi i h n sau: x 1  x 1  2) lim   x  x    x e 1 7) lim x 0 x  1 x  x  1) lim   x   x   x 3 e  e3 6) lim x 0 2x e x  e x 4) lim x  sin x ln x  3) lim x e x  e 8) lim x 0 ln(1  x) tan x 9) lim x 10 lg x  x  10 Gi i:  x  1) L1  lim   x   x   x x   x   Ta có: L1  lim   lim 1    x   x   x    x   1  L1  lim 1   t   t  1 t   lim t  x t:  1 t  1 1    t  lim t   x  (1  t ) 1   1 x t  x  ; t      1      t  t  T rang 16 t  1  1.e e www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com ln(1  x ) 5) lim x 0 2x GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com  x 1  2) L2  lim   x  x    x 1    lim 1   x   x2    x  3t   t x2 t  x  ; t   x 1  1  L2  lim    x   t 3 t    1   1   lim  1    1     e  e6 x    t    t   t 3 ln x  x e x  e 3) L3  lim x  t  e ln(t  e)  ln e t t  xe   L3  lim  lim t 0 t 0 t  x  e; t    t  te ln    ln      e   lim   e    t 0 t t e e    e ex  x 2x 2x 2x e x  e x e  lim e   lim e   lim e   1  4) L4  lim  lim x 0 sin x x  sin x x  e x sin x x0 sin x x x0 x sin x e x 1 x .e x 2x  ln(1  x ) x  ln(1  x ) ln(1  x3 )  lim  lim    1.0  x x x 0 2x 2 x3  x3 x 5) L5  lim    e5 x    e5 x  5e3  e5 x 3  e3 5e3 5e3  lim    6) L6  lim e   lim   x 0 x0 x 0 2x 2 x    x       e x  1 x    ex  ex 1 7) L7  lim  lim  lim  x 0 x x x   x  x   x     1.0       ln(1  x)  ln(1  x) ln(1  x) ln(1  x) 8) L8  lim  lim  lim  lim  cos x   .2.1  x 0 x0 x0 x 0 sin x sin x sin x tan x  2x  x x 2cos x x cos x   lg x  9) L9  lim x 10 x  10    t   t  10  lg  lg       x  t  10 lg(t  10)  lg10 10  10    L9  lim  lim   lim    t: t  x  10   t 0 t 0 t 0 t t t 10  10   x  10; t    10 B BÀI LUY N Tính gi i h n sau:  1 1) lim 1   x   x x 1 x e2 x  x 0 3x 2) lim ex  e x 1 x  3) lim T rang 17 esin x  esin x x 0 x 4) lim www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com   5) lim x  e x  1 x    GV: THANH TÙNG IV TÍNH 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com N I U VÀ CÁC B T NG TH C *) Tính đ n u: *) Các b t đ ng th c: a b  a c 1)  a    bc log a b  log a c  0  a   0  a    0  b  b  log a b    3) log a b    a  a     b   0  b  a b  a c 2) a    bc log a b  log a c    a  b    4)  a  b      a  b    A CÁC VÍ D MINH H A Ví d 1: Khơng dùng b ng s máy tính so sánh c p s sau: 1)  0,01    2)   2 1000 4) log3 log 7) 0, 0, 8) 626 13) log 2011 2012 log 2012 2013     2 3)  5 6)   7 5) log log3 11 2log 5 log 10) 2 2  3 1 9) log 0,4 log 0,2 0,34 1 log 80 15  15) log log10 11 11) 3log 1,1 log 0,99 12) log 14) log13 150 log17 290 Gi i: 1)  0, 01   2)   2  2 1000     2  0,01   102      Ta có:    3  10 ; 1000  103    Ta có:  2     2 2     2   0, 01   1000 4) log3 log 1 4 1       ; Ta có:   1  1 0    1;   Ta có: log  log3   log 2  log  log3  log 5) log log3 11 Ta có: log  log   log3  log3 11  log  log 11 3)  3 1   T rang 18  www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com  3 1 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com 5 6)   7 7) 0, 8)   5  0     5 Ta có:        1 7 0      và 0,   2  2    36 36       Ta có:       0,  1       Ta có:  3  10) Ta có:  23     3   3  32  3 2 3  log 0,4  log0,2 0,34 626 2log 5 log 2 2 log 25log 2 log 25 25 625 626     9 2log log  626 log6 1,1  30  log 1,1   Ta có:   3log6 1,1  log 0,99 log 0,99  1 log 0,99   11) 3log 1,1 log 0,99 12) log  0,   log 0,4  0  0,  1; Ta có:  0  0,  1;   0,34  log 0,2 0,34  9) log 0,4 log 0,2 0,34 2log  log  0, 1 log 80 2 15   1 log 80  log 31 80  log 80  log 81  1  Ta có:   log  log 1 80 15  log  log 21 15   log 15   log 16   15  13) log 2011 2012 log 2012 2013     Ta ln có : log n  n  1  log n 1  n   v i n  (*) Th t v y : +) Ta có :  n  1  n  n     n  n     log n1  n  1  log n1  n  n    2 hay  log n1 n  log n1  n   (1) +) Áp d ng B T Cauchy ta có : log n1 n  log n1  n    log n1 n.log n1  n   (2) ( (2) không x y d u ''  " log n 1 n  log n1  n   ) +) T (1) (2)   log n1 n.log n1  n     log n 1 n.log n1  n     log n 1  n    log n  n  1  log n 1  n   (đpcm) log n 1 n Áp d ng (*) v i n  2011  log 2011 2012  log 2012 2013 T rang 19 www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 14) log13 150 log17 290 Ta có: log13 150  log13 169   log17 289  log17 290  log13 150  log17 290 www.MATHVN.com 15) log log10 11 Ta ln có : log a ( a  1)  log a 1 ( a  2) v i  a  (*) Th t v y :… (các b n xem ph n ch ng minh ý 13) ho c cách khác Ví d ý 4) ) Áp d ng liên ti p (*) ta đ c : log  log  log  log  log  log  log 10  log10 11 hay log  log10 11 (đpcm) 1 B=   6 log 3.log15 A 14 log log 0,3 Ví d 2: Xác đ nh d u c a bi u th c sau: log6 2 log 3 31 Gi i: A 5  1;   log  15  1;   log  15   log 3.log15 14 14 0 Ta có: 0   1;   log 0  A 14 5  log log 0,3  7 0  0,  1;   log 0,3   2 log 3.log15 14 log log 0,3 1 B=   6 log6 2 log 1   6 31 3 log6  log Ta có: log  log  log  log  log 1   6 log6 125 124 1    Mà: 8 6   61  log6 log6  log  6 log6  5 125 M t khác:    3 2 31 1  B=   6 log6  log 3 31 124  31 0 Ví d 3: S p x p s sau theo th t gi m d n: 1) ;  23  log 64  log9 ; ; 23 2) log ; log  ; log 4 ; log Gi i: 1) ;  23  Ta có: log64  22 ; Mà:  log9 ; ; 23 log 23 64      2 T (1) (2) :  1 log 22 log9   2  23 M t khác:   2 log  3log 2  2    hay 4   26   1 log9  2     ; 23  23 4 log3 log3  23     2  26  2  23 log64 2 log log64 (1) (2)  th t gi m d n là: T rang 20 log www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com ;  ; log64   ; 2