Toán 11 Phần: Giới hạn26028

Giới Hạn Toán GT 11 Giới Hạn A Kiến thức sách giáo khoa I Giới hạn dãy số Dãy số có giới hạn a Định nghĩa: Ta nói dãy số u n  có giới hạn 0, kí hiệu lim u n   (hay lim u n  ), với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương b Tính chất: lim  0; lim 1    ; lim q n  | q | 1 n n | u n | v n c Định lí: Cho hai dãy số u n , v n :  lim v n    lim u n  (1) Dãy số có giới hạn hữu hạn a Định nghĩa: Ta nói dãy số u n  có giới hạn số thực L, kí hiệu lim u n  L , lim u n  L   lim u n  L  lim u n  L   b Các định lí: • Cho (un) mà un = c, n : lim u n  c lim | u n || L | • limun = L   • Nếu lim u n  L lim u n  L, lim v n  M thì: lim u n  v n   L  M; lim u n v n   L.M; lim k.u n  k.L (k  ฀ ); lim  v  u  w n , n •  n n lim v n  lim w n  L L  ฀   lim u n  L un L  (M  0) M (2) • Dãy (un) tăng bị chặn có giới hạn; Dãy (vn) giảm bị chặn có giới hạn (3) c Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn • Sn  u1  u1q  u1q   u1q n 1  u1  qn ; 1 q • S  u1  u1q  u1q   u1q n 1   limSn  lim u1 u  qn  ; 1 q 1 q Dãy số có giới hạn vơ cực a Dãy số có giới hạn  Ta nói dãy (un) có giới hạn +∞, kí hiệu limun = +∞, với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Kết quả: lim n  ;lim n  ;lim n   b Dãy số có giới hạn - ∞ Ta nói dãy (un) có giới hạn - ∞, kí hiệu limun = -∞, với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm c Các quy tắc tìm giới hạn vơ cực • Quy tắc nhân lim u n lim v n lim u n v n  lim u n lim v n lim u n v n                  +     • Quy tắc chia lim u n  L  + có dấu lim v n  0, v n  có dấu  +  lim un  + ThuVienDeThi.com Giới Hạn +    + Toán GT 11     II Giới hạn hàm số Giới hạn hữu hạn a Giới hạn hữu hạn Cho x  a; b  f hàm số xác định tập a; b  \ x  Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L, kí hiệu xlim f x   L , x dần đến x (hoặc điểm x ), với dãy số x n  tập x a; b  \ x  mà lim x n  x , ta có lim f x n   L b Giới hạn vô cực lim f x    dãy x n  tập a; b  \ x  mà lim x n  x lim f x n    xx Giới hạn hàm số vô cực Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định khoảng a;   Ta nói hàm f có giới hạn số thực L x dần đến +∞, kí hiệu xlim f x   L , với dãy số x n  khoảng a;   mà  ta có lim f x n   L Các định lí a Định lí 1: Giả sử xlim f x   L lim g x   M L, M  ฀  Khi đó: x xx lim x n   , 0 • xlim f x   g x   L  M x  • xlim f x .g x   L.M x  • xlim  k.f x   k.L k  ฀  x  • xlim x 0 0 f x  g x   L M M b Định lí 2: Giả sử xlim f x   L Khi đó: x • xlim | f x  || L | ; x f x  L ; • xlim   x • Nếu f x   với x  J \ x , J khoảng chứa x L  lim f x   L x  x0 c Định lí 3: Giả sử J khoảng chứa x f, g, h ba hàm số xác định tập hợp J \ x  Khi đó:   x  J \ x : g x   f x   h x   lim f x   L  lim g x  lim h x  L x  x0  x  x0   x  x0   Giới hạn bên a Định nghĩa: • Giả sử hàm f xác định khoảng x ; b , x  ฀ Ta nói hàm f có giới hạn bên phải số thực L x dần đến x0, kí hiệu: lim f x   L , với dãy số x n  khoảng x ; b  mà lim x n  x x  x 0 , ta có lim f x n   L • Giả sử hàm f xác định khoảng a; x , x  ฀ Ta nói hàm f có giới hạn bên trái số thực L x dần đến x0, kí hiệu: lim f x   L , với dãy số x n  khoảng a; x  mà lim x n  x x  x 0 , ta có lim f x n   L • Các định nghĩa lim f x   ; lim f x   ; lim f x   ; lim f x    phát biểu tương tự x  x 0 x  x 0 x  x 0 x  x 0 b Định lí: f x   L • lim f x   lim f x   L  xlim x x  x 0 x  x 0 • xlim | f x  |   lim xx x 0 0 f x  ThuVienDeThi.com Giới Hạn Quy tắc tìm giới hạn vô cực a Quy tắc nhân lim g x   L  lim f x       +  Các dạng vô định Khi tìm lim f x  g x  lim f x   L  x  x0 x  x0 có dấu +     b Quy tắc chia lim f x .g x  x  x0 x  x0 , lim f x g x  , lim f x   g x   , , 0.,    ,  dạng vơ địn, kí hiệu Tốn GT 11 lim g x   x  x0 có dấu + + g(x) có dấu +   +   lim x  x0 f x  g x      x  x ; x  x 0 ; x  x 0 ; x  ; x   ta gặp lúc ta khơng dùng định lí giới hạn quy tắc tìm giới hạn vô cực Phép biến đổi định lí quy tắc biết gọi phép khử dạng vơ định B Các dạng tốn Dạng 1: Tìm giới hạn dãy số Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất định lí giới hạn dãy số 8n  3n n2 Ví dụ 1: Tìm: lim Giải: 8n  3n  lim    2 n n 2n  3n  Tìm: lim n  lim Ví dụ 2: Giải: 2  2n  3n  n n   2 lim  lim 1 n  1  n  Ví dụ 3: Tìm: lim n   n  Giải:   lim n   n   lim  2n n 1 n 1  lim Dạng 2: Chứng minh lim u n  Phương pháp giải: Sử dụng định lí: | u n | v n Cho hai dãy số u n , v n :  lim v n    lim u n   v n  u n  w n , n  lim u n  L  lim v n  lim w n  L L  ฀  Ví dụ: Chứng minh: lim 1 n n Giải: 1 n Ta có: cos n n cos n  n 2 1 1  1 n n  1 (1); (2) 0 lim n 1 n 0 nên lim Dạng 3: Chứng minh lim u n tồn Phương pháp giải: Sử dụng định lí Dãy (un) tăng bị chặn có giới hạn; ThuVienDeThi.com cos n n 0 Giới Hạn Toán GT 11 Dãy (vn) giảm bị chặn có giới hạn Ví dụ: Chứng minh dãy số u n  cho u n  Giải: Ta có n n  1 n n  1 u n 1 n    1, n un n n n   2    Ngoài ra, n  ฀ * : u n   0, n n  1 có giới hạn Do dãy u n  giảm nêu dãy u n  bị chặn Vậy dãy u n  có giới hạn Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp giải: Sử dụng cơng thức: S  Ví dụ: Tính tổng S    Giải: u1 ,| q | 1 q 1   n  22 2 Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn, với q   u1  Vậy: S  Dạng 5: Tìm giới hạn vơ cực Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vơ cực Ví dụ: Tìm: lim Giải: Cách 1: u1  2 1 q 1 2n  4n  3n   n n Ta có:  n n3 3 Lại có lim  2     2  0, lim   n n n n    2   2n  4n  n n lim  lim   3n   n n3 2n  4n  lim  lim 3n  2   0    n  ฀ *  n n3 nên suy ra: Cách 2:    n  2     2  n  n 2n  4n  n n   lim  lim  lim  n 1  3n  2  3 n 3    n n   Ta có: Lại có lim n  ;lim      4   2   3 n n     lim 2n  4n   lim  n n n  1 3n   3 3 n  n 2  Dạng 6: Tìm giới hạn hàm số Phương pháp giải: Sử dụng định lí quy tắc 1  Ví dụ 1: Tính: lim  x.sin  x 0 Giải:  x Xét dãy x n  mà x n  0, n lim x n  Ta có: f x n   x n sin   Vì lim | x n |  lim f x n   Do lim  x.sin   x 0 x Ví dụ 2: Tính: xlim  x  x 1  x    ThuVienDeThi.com | x n | xn        Giới Hạn Giải: Ta có: xlim  x Ví dụ 3: Tính: xlim   x2  x   x2  x   x  lim x x  x 1  x x   3x   x Toán GT 11  lim x  x 1 x  x 1  x  1  lim x  1 x 1  1 x x2  Giải: Ta có: xlim  x   3x   x  lim x  3x  x  3x   x  lim x  1 3 x x  lim  x  x  3x   1  1 1 x x x 3 (Chú ý: x   ta xét x < 0, nên x   x ) Dạng 7: Chứng minh xlim f x   (Hoặc L) x Phương pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp Giả sử J khoảng chứa x f, g, h ba hàm số xác định tập hợp J \ x  Khi đó:   x  J \ x : g x   f x   h x   lim f x   L  lim g x  lim h x  L x  x0  x  x0   x  x0   Ví dụ: Chứng minh: xlim  Giải: Ta ln có: | f x  | x sin x 0 1 x4 x sin x x2 x2 x2    f x   4 1 x 1 x 1 x 1 x4 1 2 2 x2 x x  0; lim x   lim x  lim x   lim x sin x  lim lim lim   x   x x  x   x x  x   x x   x x   x 1 1 4 x x Dạng 8: Tìm giới hạn bên Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn bên x3 Ví dụ 1: Cho hàm số f x    víi x  1 2x  víi x  1 Giải: Tìm xlim f x  1 Ta có: lim f x   lim 2x  3  12   1 (1)   x  1 x  1 lim  f x   lim  x  1 x  1 x  1 (2) Từ (1) (2) suy xlim f x   1 1   f x    x   1  x  Ví dụ 2: Cho hàm số a Tìm lim f x  x 2 x  x  b Tìm lim f x  x 1 Giải: f x   lim a lim x 2 x 2 b lim f x  x 1 1  x 1 Ta có: khơng tồn lim f x  x 1 lim f x   lim x 1 x 1 1 1  ; lim f x   lim    lim f x   lim f x  x x x 1 x 1   1 x 1 x ThuVienDeThi.com suy Giới Hạn Toán GT 11 (Chú ý: xlim f x  tồn lim f x   lim f x   L lim f x   L ) x xx xx xx  0  0 Dạng 9: Tìm giới hạn vơ cực Phương pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vơ cực 4x  Ví dụ: Tính xlim  Giải: lim x    x     lim | x |  x  x  x  4x   lim x  | x |  lim  Vì xlim  x  Dạng 10: Khử dạng vô định Phương pháp giải Khi tìm giới hạn dạng xlim x    lim 4x    x  x2 P x  Q x  , với xlim P x   lim Q x   : x xx 0 • Với P(x), Q(x) đa thức nguyên theo x ta chia tử P(x) mẫu Q(x) cho x  x • Nếu P(x), Q(x) chứa dấu thức theo x ta nhân tử P(x) mẫu Q(x) cho lượng liên hiệp Ví dụ 1: Tìm: lim x 2 Giải: x  9x  14 x2 x  x   x  9x  14  lim  lim x    5 x 2 x x 2  x2 x2 4x 2 2: Tìm: lim x 0 4x lim Ví dụ Giải: 4x 2  lim x 0 4x lim x 0 Ví dụ 3: Tìm: lim x 1 Giải: x7 2 lim  lim x 1 x 1 x 1 x 1 2x   x2 2  lim x 2 Ví dụ 5: Tìm: lim x 1 Giải: 3  x  1 x   x 0   x    x    x  7  x   4 Giải: x 2  x   2 x   Ví dụ 4: Tìm: lim x 2 lim x 0 x7 2 x 1  lim   x  2  x  2 lim  x   lim 1  4x   x   4x   x     x   16   lim x 1  x   23 x  1 x    x    12 2x   x2 2  2x   3 2x   3 x   2 lim 2x   9 x   2 lim  x   2 2x    x   2 x   2 2x   3 x   4 2x   3 x 2 x  3x  x 1   x  1 3x    x3 1 x  3x  3x     lim  lim   lim    x 1 x x x 1 x 1 x 1   x 1  3x    lim  x  x   x 1  x  1 3x      3    lim  x  x     3   x 1  3x      ThuVienDeThi.com x 2 Giới Hạn Ví dụ 6: Tìm: xlim 1 Giải: Tốn GT 11 x  1 x  1 Đặt t  12 x   x   t12  x  t12  2, ®ã x  1 th× t  Do đó: x  1 x 1 x  1 lim Ví dụ 7: Tìm: lim x 1  lim t 1 t  1t  t  1 t3 1 t2  t 1    lim lim 2 t  t 1 t  1t  1t  1 t 1 t  1t  1 x 7  x 3 x 1 Giải:  x   2  x   2 lim  x 7  x 3  lim lim x 1 x 1 x 1 3  x 1 x 1      x   23 x 3  lim    x 1  x  1  x   x    x  1 x          1    1  1  lim  x 1  3 x    12  x    x       Khi tìm giới hạn dạng xlim  P x  Q x  x7 2 x   2   x 1 x 1   , ta lưu ý: • Đặt x m (m bậc cao nhất) làm nhân tử chung tử P(x) mẫu Q(x) • Sử dụng kết quả: xlim  Ví dụ 1: Tìm: xlim  Giải: 0( x với   ) 3x  4x  2x  x  3  3x  4x  x x 3 lim  lim x  2x  x  x  1 2   x x x  x   3x  3x Ví dụ 2: Tìm: xlim  x  x   3x  lim x   3x Giải: xlim  Ví dụ 3: Tìm: xlim  lim x  1  3 1  x x2   3 3 x 8x  3x   x 4x  x   3x Giải:  1  1 8x  3x   x 1 x x3  lim  1 x   3 4x  x   3x  4  3 x x 3 8 Tìm giới hạn hàm số sau: lim x 3 x  5x  x  8x  15 lim1 x 2x  5x  3x  3x  8x  6x  x  2x  lim x 1 x  2x  2 lim x 1 lim x 1 lim x 0 C Bài tập tự luận 8x  6x  5x  lim x 3 x  3x  x  4x  1  x 1  2x 1  3x   x ThuVienDeThi.com lim x 2 lim x 0 x  4x  4x  x  3x x  2x  4x  x  8x  16 1  x 1  2x 1  3x  1  nx   x Giới Hạn Tìm giới hạn hàm số sau: lim x2 x 2 3 x  lim x 7 3 x2  lim x 2 4x  x2 lim x 2 x  1 10 lim x 0 1 x  1 x x 13 lim x 3 x  2x   x  2x  x  4x  11 lim x 1 2 x 1 x 0 3x    4x  x  x 0 1 x2 1 x 0 x2 x   x 7 5 lim x 2 x2 lim 2x   3x  x 1 12 lim x 1 x  3x  2 x   x  16  x 14 lim x 0 1 x2 1 x lim x 1 3 lim x 3 2 x 1 x2  x 1 x 1 2x   lim Toán GT 11 15 lim x 1 x   x2  x 1 x2 Tìm giới hạn hàm số sau: lim x 1 x 7  x 3 x  3x  2 lim x 0 x  11  8x  43 2x  3x  lim x 1 xlim 2 lim x 0 1 x   x x lim x 0  x3   x x 1  2x   3x lim x 0 x2  4x  6x  x lim x 1 1 x  1 x x x    x2 x Tìm giới hạn hàm sè sau: xlim  2x  3x  4x  x  5x  2x  x  xlim  xlim  2x  3 3x   50 2x  1 xlim  20 x2  x 1 2x  x  30 x  2x  3x xlim  4x  x 2 Tìm giới hạn hàm số sau: x x  x  x  1 2x    4x  4x   xlim xlim      x  x   x  xlim    x  4x   2x  xlim   lim  x   x   x    2x  3 4x   xlim     lim x 4x   8x   x    3x  110x   5x   x 1 x  x x  x xlim     x  3x   3x   xlim   D Bài tập trắc nghiệm DÃy số có giới hạn DÃy số sau có giới hạn khác 0? a n b c n 2n  n d cos n n D·y số sau có giới hạn 0? a   n b     n c      3 DÃy số sau có giới h¹n b»ng 0? a 0,909 n b 1, 012 n DÃy số sau giới hạn? a 0,99 n b 1n 1 n d    a  n4 c 1, 013n d 1,901n c 0,99 n d 0,89 n c – d Khi ®ã L b»ng b  DÃy số sau có giới hạn khác 0? a 2n b c n n  3 n Gäi L  lim 4   3 ThuVienDeThi.com 1 n n D·y sè có giới giạn hữu hạn d n  4n Cho u n  Khi ®ã un b»ng 5n 3 a b  5 n n 5 Cho u n  n Khi ®ã limun b»ng a Giới Hạn Tốn GT 11 b Gäi L  lim  cos 2n n a c d  c d th× L số sau đây? b c 1 1 ,  , , , 2n d n 1 10 Tỉng cđa cấp số nhân vô hạn a b c  1 1 , , 27 3n b d  n 11 Tổng cấp số nhân vô hạn , , a , , lµ c 1 1 ,  , , , , 18 2.3n 1 d n 1 12 Tỉng cđa cÊp số nhân vô hạn a b c 1 13 Tỉng cđa cấp số nhân vô hạn: 1, , , , , a  b lµ 1 d n 1 2n 1 , c DÃy số có giới hạn vô cùc 14 KÕt qu¶ L  lim 5n  3n  lµ a  b – c – 15 BiÕt L  lim 3n  5n  3 th× L b»ng a  b c 16 lim 3n  2n   b»ng a  b – c – 17 3 lim 4n  2n  5n  2n  a 3n  2n  lim 4n  2n  19 b  2n  2n  4n  2n  b 5n  3n 4n  2n  d  d  c – d c d  b»ng b  c d b  c d 11 a 21 lim d  b»ng a 20 lim d b»ng a  18 lim ThuVienDeThi.com Giới Hạn 22 a  2n  3n lim 4n  2n  a b c d  c u n  4n  3n d u n  3n  n c u n  3n  n d u n  n  4n c d  b 10 c 10 d b c a b 26 Kết lim  n  10  n  a +∞  2n  4n 4n  5n  a 28 Nếu lim u n  L lim u n  a L + b L + 29 Nếu lim u n  L lim a 2n  31 32 n3  n 6n  a 34 lim n c L8 b 10000 L 2 d L8 c d  c 5000 d bao nhiêu? 1  n2  b c b c  bao nhiêu? b n  sin 2n n 5 a d L  d  a +∞ 35 lim c L  bao nhiêu? n d  bao nhiêu? un  b a 3 2n  5 a 104 n lim 10  2n a      n lim 2n 33 lim b L 30 lim c b 4n   n  2n  27 Kết lim d 23 Dãy số sau có giới hạn  ? a u n  3n  n b u n  n  4n 24 Dãy số sau có giới hạn - ∞? a u n  n  3n b u n  3n  2n 25 lim Toán GT 11 d c d – 1 c d 1  2n 5n  3n c số sau đây? b 36 Dãy số sau có giới hạn 0? a u n  n  2n 5n  3n b 37 Dãy số sau có giới hạn +∞?  2n 5n  3n 10 ThuVienDeThi.com d u n  n2  5n  3n Giới Hạn a u n   2n 5n  5n n  2n 5n  5n b 9n  7n n  n2 b u n  Toán GT 11 c u n  38 Dãy số sau có giới hạn +∞? a u n  2007  2008n n 1 1 n 5n  c u n  2008n  2007n d u n  n2  5n  5n d u n  n  39 Trong giới hạn sau đây, giới hạn – 1? a lim 2n  2n  b lim 2n  2n  b lim 2n  n3  b lim 2n  2n  c lim 2n  2n  2n d lim 2n  2n  2n  3n 2n  c lim 2n  3n 2n  n d lim  2n 2n  c lim 2n  3n 2n  n d lim  2n 2n  40 Trong giới hạn sau đây, giới hạn 0? a lim 41 Trong giới hạn sau đây, giới hạn  ? 2n  3n 2n  1 số sau có giới hạn ? n  2n  2n un  b u n  5n  5n  5n L  lim  n n   n   L   a lim 42 Dãy a 43 Nếu   a   n 4n   n  2n  cos 2n 9 3n n d b c d  b 29 c d c d  Khi L bằng  2n  n  2n a 50 c c  có kết b Dãy số sau có giới hạn  ? 3 n  3n 2n  n a u n  b u n  9n  n  3n  c u n  Giới hạn hàm số 51 xlim x  x   1 a 52 xlim 3x  3x  8 2 n  2n  3n  2n  d u n  b c d  b c d 10 b c d  b c a 2 53 54 x  3x  lim x 1 x 1 a 1 3x  x  lim x 1 x2 a  2n 5n  5n a  47 lim b  a 46 lim d u n  d   n2    a   2n 5n  b  44 Gọi L  lim  n 45 lim c u n  11 ThuVienDeThi.com d  n  2n  3n  4n  Giới Hạn 3x  2x 5x  3x  1 a 3x  x lim x 1 x  x  a x  x3 lim x 2 x  x  a  x  2x lim x 1 2x  3x  a  12 x  x3 lim x 2 x  x  10 a  Toán GT 11 55 lim x 1 56 57 58 59 b c  b c d b 12 c d  b  c  b  10 c d  d  d  b c d 5 b c 4x  2x  60 xlim 1 a 61 xlim 1 x 1 x 3 2 a 2x  x  2x  x  2x a 2 b 1 3x  2x  lim x  5x  3x  a b 3x  2x lim x  5x  3x  2 a  b 5 3x  2x lim x  5x  3x  a  b 1 2 d  62 xlim  63 64 65 66 xlim  3x  4x  9x  5x  a 68 xlim 1 x  4x  7x  9x  d  c  d  c  d b c d b c 35 d  15 x  4x  3x x  16x  c d a 67 xlim 2 c 12 ThuVienDeThi.com Giới Hạn a 69 | x 3| lim x  3 3x  a x 1 d  c d  c Giới hạn bên b  x3 3x  x 70 lim b Toán GT 11 a 1 d  c  d  b c d  b c  d  b c 1 d  c d  b x2 x 1 x  1 a  x2 1 lim x 1 x  a  x  2x  lim x 2 x  2x c 71 lim  72 73 b a  74 lim x  0 2x  x 5x  x a  75 lim x 1 a x  4x  x3  x 1 b  x  3x  5x  76 Cho hàm số: f x    víi x  víi x  2 a 11 c 1 2x  2x víi x  3  x  3x víi x  78 Cho a 79 Cho  b 77 Cho hàm số f x    a – Khi lim f x  bằng: x 2 Khi lim f x  x 1 b –3 c –2 2  x  x   hàm số y  f x    x  Khi lim f x  x 1 1 x   1 b  c 8  x2 1 víi x   hàm số: f x     x Khi lim f x  x 1  2x  víi x   a –1 80 Cho hàm số a  d 13 b c  2x víi x   f x     x   3x  víi x  d d  d  Khi lim f x  x 1 b c 13 ThuVienDeThi.com d  Giới Hạn Toán GT 11 Một vài quy tăc tìm giới hạn vơ cực (dạng vơ định) 2x  3x  81 Cho L  lim Khi x 1 1 x2 1 a L  b L  x2  82 Cho L  xlim Khi 2 2x  3x  4 a L  b L   5 x  3x  83 lim x 2 2x  a  b x  12x  35 84 lim x 2 x 5 a  85 lim x 5 x  12x  35 5x  25 4x   x  2 a  88 xlim x  x d  b c d  5 c d  c d  b  5 x  2x  a  t 1 t 1 a  t4  a4 lim t a t  a a 4a y4  lim y 1 y  b b x d L   a 89 xlim x  2 87 xlim  x   x    2 d  c b x  2x  3x a c L  a  86 xlim  c L   c d  d  c b c d b c d  b 3a c 4a d  b c b c –1 d  b c d  90 lim t 1 91 92 a  3x  x x  6x  a  93 xlim  94 xlim  4x   x  2x  a d 14 ThuVienDeThi.com Giới Hạn x 1  x  x 1 x 95 lim x 0 a x 1 96 xlim 1 x 3 2 x  2x  15 2x  10 x  2x  15 2x  10 c  d  b c d  b –4 c d  b –1 c d  b –2 c  a –8 98 lim x 5 b –1 a  97 xlim 5 Toán GT 11 a –4 x  9x  20 2x  10 a  3x  2x lim x  5x  x  a  x3  lim x 1 x  x 99 lim x 5 100 101 d  c  d  b –1 c d b c d  c d b x   x   c d  b c d  b c d  a –3 102 xlim x  5  x x3 1 104 x  3x  lim x 1 x3 1 a  2x  x lim x  x  a  105 xlim   a  3x  7x 106 lim x 3 a 107 lim x 1 a 2x  3 a 103 b b  3 2 x 3 1 x2 b c d  108 Nối ý cột bên trái với ý cột bên phải để khẳng định Cột trái Cột phải x  2x  15 2x  10 x  3x  10 lim x 5 2x  10 lim x 3 a)  b) 15 ThuVienDeThi.com Giới Hạn x  2x  15 3x  15 x  3x  10 lim x 5 2x  10 Toán GT 11 lim x 5 c) d) e) 16 ThuVienDeThi.com .. .Giới Hạn +    + Toán GT 11     II Giới hạn hàm số Giới hạn hữu hạn a Giới hạn hữu hạn Cho x  a; b  f hàm số xác định tập a; b  x  Ta nói hàm số f có giới hạn số... Phương pháp giải: Sử dụng định lí Dãy (un) tăng bị chặn có giới hạn; ThuVienDeThi.com cos n n 0 Giới Hạn Toán GT 11 Dãy (vn) giảm bị chặn có giới hạn Ví dụ: Chứng minh dãy số u n  cho u n  Giải:... ThuVienDeThi.com suy Giới Hạn Toán GT 11 (Chú ý: xlim f x  tồn lim f x   lim f x   L lim f x   L ) x xx xx xx  0  0 Dạng 9: Tìm giới hạn vơ cực Phương pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn