20 cách giải cho một bài toán đơn giản24451

20 CÁCH GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN Nguyễn Xuân Thành, ĐHBKHN Ở cấp THCS ta làm quen với định lí quen thuộc tam giác ABC cân có AM vừa trung tuyến vừa đường phân giác.Bài toán chứng minh khơng khó nhiên câu hỏi đặt có cách để chứng minh tốn này.Chắc hẵn có nhiều cách chứng minh tốn này.Khi cịn học lớp 12 mày mị, lục lọi, để tìm 20 cách giải cho toán trên, tất nhiên cách giải khác có số cách dựa vào định lí kiến thức  PHẦN 1:GIẢI THEO KIẾN THỨC TRUNG HỌC CƠ SỞ Cách 1: �� �� Vì AM phân giác nên �� = �� Mặt khác AM trung tuyến nên MB=MC Suy AB=AC,nghĩa tam giác ABC cân Cách 2: Kẻ ME⊥ AB MF⊥AC.Vì AM phân giác nên theo tính chất đường phân giác ta có ME=MF.Từ suy ∆MEB=∆MFC (cạnh huyền-cạnh góc vng)⇒��� = ���⇒� = �.Vậy ∆ABC cân B Cách A N M C Lấy điểm N thoả mãn M trung điểm AN⇒∆AMC=∆NMB (c.g.c)⇒AC=BN (1) Và ��� = ��� �à �� �à �ℎâ� ��á� �ê� ��� = ���⇒��� = ���⇒∆BAN cân B nên AB=BN (2) Từ (1) (2) ta có AB=AC.Vậy ∆ABC cân ThuVienDeThi.com Cách 4: A I B C M �� �� �� Kẻ MI AB, Áp dụng định lí Talet ta có �� = �� = �� = ⇒AB=2MI AC=2AI.(1) Do MI AB⇒��� = ��� = ��� (do AM phân giác) ⇒∆IAM cân⇒AI=IM (2) Từ (1) (2) ⇒AB=AC.Do ∆ABC cân Cách A J E I C B M Kẻ phân giác BE EJ BC Gọi I giao điểm AM BE Theo định lí Talet từ giả thiết: �� �� �� �� �� �� = �� = �� = �� = �� ⇒AB=AC Vì ∆ABC tam giác cân Cách 6: A Kẻ trung tuyến BN gọi G trọng tâm ∆ABC Thế AC=2AN GB=2GN �� N �� Do AG phân giác nên �� = �� = ⇒AB=2AN G Do AB=AC=2AN Vậy ∆ABC cân B M C ThuVienDeThi.com Cách 7: A E B C M Giả sử AB>AC⇒tồn điểm E cạnh AB cho AE=AC.Dễ dàng nhận thấy ∆AEM=∆ACM (c.g.c)⇒ME=MC.Mà theo giả thiết MB=MC ⇒ME=MB⇒∆MBE cân M Nên � = ��� = 180° ‒ ��� = 180° ‒ ��� = 180° ‒ �⇒� + � = 180° ⇒Vơ lí Vậy AB ≤ AC.Lập luận tương tự xét với trường hợp AB ��� + ��� + ��� + ��� > 90° + 90° =180° (vì tam giác BKA ACH tam giác vng).⇒Vơ lí tổng góc tam giác 180°⇒LOẠI TH2:H,K A khác phía qua BC.Lúc ta lại có � + � + � < �Ạ� + ��� + ��� + ��� = 90° + 90° = 180°⇒Vô lí⇒LOẠI ThuVienDeThi.com Vậy H,K khác phía qua BC hình vẽ Lúc ∆BKM=∆CHM (hai tam giác vng có cạnh huyền có cặp góc nhọn �� �� �� nhau)⇒BK=CH.Mặt khác ∆AKB~∆AHC (g.g.g)⇒�� = �� = �� = 1⇒�� = �� �à �� = ��⇒∆��� �â� �à � ≡ �.Vậy tam giác ABC cân  Tiếp theo ta chứng minh công thức mà ta đặt cho cơng thức T: (cơng thức in đậm) � Nếu lấy D tia đối tia MA thoả mãn ���= Thật ta có ��� = ��� ��� AM.MD= � ( = MB.MC) ⇒∆AMB~∆CMD(g.g.g) �� ⇒�� = A �� �� ��2 ⇒MA.MD=MB.MC= Như công thức T chứng minh Công thức sử dụng số cách sau B Cách 11: C D E Type equation here � Lấy D điểm nằm tia đối tia MA thoả mãn ��� = Thế theo cơng thức T ⇒MA.MD=MB.MC (1) M � Mặt khác gọi E điểm nằm tia đối tia MA thoả mãn ��� = Tương tự cách chứng minh cơng thức T ta có MA.ME=MB.MC (2) Từ (1) (2) suy D ≡ E Lúc ta có ��� = ���⇒∆DBC cân⇒��� = ��� ⇒∆ABD=∆ACD(g.c.g) ⇒AB=AC Vậy tam giác ABC cân ThuVienDeThi.com A Cách 12: Kẻ CD⊥AC (D ∈ AM) DB’⊥AB (B’ ∈ AB) Do AD phân giác nên DB’=DC (1) ⇒∆AB’D=∆ACD(cạnh huyền -cạnh góc vng) B’ B ⇒AB’=AC (2) I C M D Từ (1) (2)⇒AD đường trung trực tam giác B’C Gọi I giao điểm AD CB’.Suy IB’=IC.Mặt khác MB=MC nên theo định lí Talet đảo IM BB’.Và điều xảy mà I ≡ � �à � ≡ �'.Thế nên kết hợp với (2) ta có AB=AC suy tam giác ABC cân Cách 13: Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi D điểm cung nhỏ BC A ⇒ cung nhỏ DB=cung nhỏ DC ⇒AD phân giác góc BAC Nghĩa AD ≡ AM Mặt khác DM⊥BC⇒AM⊥BC ⇒∆AMB=∆AMC (c.g.c) ⇒AB=AC B M Vậy tam giác ABC cân A D ThuVienDeThi.com C  PHẦN II:GIẢI THEO KIẾN THỨC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Cách 14: Đặt ��� = ��� = � A Áp dụng định lí cosin: ��2 = ��2 + ��2 ‒ 2.��.��.���� ��2 = ��2 + ��2 ‒ 2��.������ Trừ vế theo vế đẳng thức với ý MB=MC ⇒��2 ‒ ��2 + 2��.������ ‒ 2��.������ = M B C ⇒(AB-AC)(AB+AC-2AM.cos�)=0 (1) Mà ta có AM.cos� < �� �à ��.���� < �� nên AB+AC-2AM.cos� > Do (1) xảy AB-AC=0 hay AB=AC.Nghĩa tam giác ABC cân Cách 15: Đặt ��� = ��� = ∂ Áp dụng định lí sin: �� �� = ���∂ ���� �� �� = ���∂ ���� Thế mà MB=MC nên từ đẳng thức suy sinB=sinC ⇒� = � (1) � = 180° ‒ � (2) Tuy nhiên � + � + � = 180° nên (2) bị loại.Vậy nên (1) tức tam giác ABC cân Cách 16: Đặt ��� = ��� = ∂ A Do MB=MC nên diện tích(dt) ∆ABM=dt∆AMC (1) Mà dt∆ABM=2.��.��.���∂ (2) Và dt∆ACM=2.��.��.���∂ (3) Từ (1) (2) (3) suy AB=AC.Vậy ∆ABC cân ThuVienDeThi.com B M C Cách 17: y Trong cách dùng phương pháp gắn B trục toạ độ Gắn A làm gốc toạ độ M A AM làm trục hồnh x Trục tung Ay ⊥AM C Vì AM phân giác nên AB AC đối xứng qua AM ⇒Phương trình AB: y=kx ⇒Phương trình AC: y=-kx Gọi B(b,kb) C(c,-kc).Vì M trung điểm BC nên tung độ M y=(kb-kc)/2 Mà M thuộc trục hoành nên tung độ =0 ⇒(kb-kc)/2=0 ⇒ b=c ⇒ AB=AC Vậy tam giác ABC cân Cách 18: Gọi H trực tâm tam giác ABC � Trên tia đối tia MA lấy D thoả mãn ��� = A Đặt BC=2a, áp dụng công thức T ta có AM.MD=MB.MC=�2 ⇒��.�� =‒ �2 (1) Ta có �� = 2(�� + ��) H Và �� = 2(�� + ��) B M Có điều M trung điểm BC Nhân vế theo vế hai đẳng thức ta để ý H trực tâm tam giác ABC ta có được:��.�� = =4(��.�� + ��.��) = (�� + ��).(�� + ��) ThuVienDeThi.com D C =4{��(�� + ��) + ��(�� + ��)} =4��(�� ‒ ��) =4��2 = �2 (2) Cộng hai vế (1) (2) suy ��.�� + ��.��=0 ⇒��.(�� + ��)=0 ⇒�� + ��=0 ⇒M trung điểm DH suy A,H,M,D thẳng hàng ⇒AM đường cao tam giác ABC Nên ∆AMB=∆AMC(g.c.g)⇒AB=AC.Do ∆ABC cân Cách 19: � Lấy D tia đối tia MA thoả mãn ��� = Theo cơng thức T ta có AM.MD=MB.MC (1) A Xét tam giác AMB CMD có ��� = ���,��� = ��� Nên suy ��� = ��� ⇒∆AMB~∆ACD(g.g.g) �� �� ⇒�� = �� ⇒ AM.AD=AB.AC (2) Lấy (2)-(1) vế theo vế : AB.AC-MB.MC=AM.AD-AM.MD=��2 Đặt AB=c,AC=b,BC=a ta có :bc - B =��2 4� Nhưng mà theo cơng thức đường trung tuyến thì: 1 Thế nên: bc-4�2 = 2(�2 + �2) ‒ 4�2 ��2 = 1 (� + �2) ‒ �2 ⇒(� ‒ �)2 = 0⇒b=c ⇒AB=AC ThuVienDeThi.com M D C Vậy tam giác ABC cân Cách 20: Cách cuối xét từ toán tổng quát để suy toán trường hợp riêng nó.Xét tam giác ABC có trung tuyến AM phân giác AD.Thế toán ban đầu trường hợp riêng mà AM ≡ AD Đặt AB=c,AC=b,BC=a,BD=x,CD=y.⇒x+y=a (1) A Hoàn toàn tương tự cách 19 ta ln có : ��2 = AB.AC-BD.DC=bc-xy.(3) �� �� � � Từ tính chất phân giác nên:�� = ��⇒� = � (2) �� �� Từ (1) (2) suy x=(� + �) y=(� + �) (5) Thay vào (3) ��2=bc AM trung tuyến nên �2�� (� + �)2 ��2 = B D M C 1 (� + �2) ‒ �2 [2(� + �)2 ‒ �2] Xét hiệu ��2 ‒ ��2 = 4(� ‒ �)2 (� + �)2 Như AM vừa trung tuyến vừa phân giác AM ≡ AD ��2 ‒ ��2 = 0.(4) Để ý a,b,c cạnh tam giác nên 2(�2 + �2) > �2 đúng.Nghĩa (4) xảy (� ‒ �)2 = hay b=c Vậy tam giác ABC cân  Ta làm ngắn gọn cách sau: �� Khi mà AM vừa trung tuyến vừa phân giác AM ≡ AD⇒DB=DC= � ⇒x=y=2 (6) Từ (5) (6) giải ta đưa kết b=c.Tức ∆ABC cân Lời kết: hết !!!! ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com ... �2 ⇒(� ‒ �)2 = 0⇒b=c ⇒AB=AC ThuVienDeThi.com M D C Vậy tam giác ABC cân Cách 20: Cách cuối xét từ toán tổng quát để suy toán trường hợp riêng nó.Xét tam giác ABC có trung tuyến AM phân giác AD.Thế... nên �� = �� = ⇒AB=2AN G Do AB=AC=2AN Vậy ∆ABC cân B M C ThuVienDeThi.com Cách 7: A E B C M Giả sử AB>AC⇒tồn điểm E cạnh AB cho AE=AC.Dễ dàng nhận thấy ∆AEM=∆ACM (c.g.c)⇒ME=MC.Mà theo giả thiết MB=MC... ⇒∆AMB~∆CMD(g.g.g) �� ⇒�� = A �� �� ��2 ⇒MA.MD=MB.MC= Như công thức T chứng minh Công thức sử dụng số cách sau B Cách 11: C D E Type equation here � Lấy D điểm nằm tia đối tia MA thoả mãn ��� = Thế theo