TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN TỔ: TỐN TIN ĐỀ CHÍNH THỨC Số báo danh ……………… KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2015-2016 Mơn thi: TỐN 11 Ngày thi: 10/03/2016 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có 06 câu, gồm 01 trang Câu 1: (6,0 điểm) x ) C b) Tam giác ABC có đặc điểm thỏa mãn: tan A tan B cot 2 c) Giải phương trình: x 3 x x 17 Câu 2: (4,0 điểm) a) Chọn ngẫu nhiên số có chữ số có dạng abcde tính xác suất để chọn số thỏa mãn a b c d e 2 a) Giải phương trình lượng giác: sin x cos x sin x sin ( x n b) Tìm hệ số x khai triển biểu thức: P ( x) [ x 3(1 )] Biết n số nguyên dương thỏa mãn: 3C n 1 8C n 3C n 1 Câu 3: (2,0 điểm) u1 * Cho dãy số (u n ) : ;n N 2u n 1 u n 1 a) Chứng minh dãy ( v n ): v n u n cấp số nhân lùi vơ hạn b) Tính lim u n Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình vng cạnh a, tâm O Gọi S điểm mặt phẳng (ABCD) cho SB = SD Gọi M điểm tùy ý AO với AM = x mặt phẳng () qua M song song với SA BD cắt SO, SB, AB N, P, Q a) Tứ giác MNPQ hình ? b) Cho SA = a Tính diện tích MNPQ theo a x Tính x để diện tích MNPQ lớn Câu 5: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vng ABCD ,biết điểm A có tung độ dương, đường thẳng AB có phương trình: x y 18 , điểm M ( 21 ;1) thuộc cạnh BC,đường thẳng AM cắt đường thẳng CD N thỏa mãn BM.DN = 25.Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD Câu 6: (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: a + b + c = b2 a2 c2 Chứng minh rằng: + + b c2 c a2 a b2 (Giám thị coi thi khơng giải thích thêm) HẾT ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG KHỒI 11 MƠN TỐN CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015-2016 Câu Ý a Hướng dẫn-Đáp án sin x cos x sin 2 x sin ( x ) sin x cos x sin 2 x 2[1 cos( a x)] 0,5 0,5 sin x (sin x 1)(cos x 2) cos x 0,5 k 2 (k Z )(2) C sin C cos A cos B C sin cos C cos( A B) cos( A B) cos(A-B)=1 A B k 2 (k Z ) < A,B < suy A = B ABC cân đỉnh C sin C gt cos A cos B c sin x cos x cos x 2(1 sin x) cos x(sin x 1) 2(1 sin x) sin x x b Điểm cos Điều kiện : x 1 với điều kiện phương trình x 3 x x 17 x x x 15 x3 ( x 3)(3 x 5) ( x 3)( x 5) x 1 x 1 3x ) x x ( x 1 Vậy phương trình có nghiệm x = Gọi B biến cố cần tính xác suất Khơng gian mẫu 9.10 (do a ) a mà a mà số bé nên b,c,d,e khác không.vậy a, b,c,d,e số chọn số từ đến xếp thứ tự nhất.có trường hợp xảy sau: +Trường hợp 1:Chọn a b c d e số cách xếp thứ tự phần tử chọn phần tử nên có C 95 số tạo thành a b c d e +Trường hợp 2: Chọn có số nên cần chọn số a b c d e số xếp thứ tự có 2.C 94 số +Trường hợp 3: a b c d e có cặp số (a = b;c = d)nên cần chọn số khác số xếp thứ tự có C 93 số 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy có tất B = C 95 + 2.C 94 + C 93 77 15000 (n 1)n(n 1) Từ gt suy : 3(n 1) 4(n 1)(n 2) , n n 11 Theo khai triển nhị thức newton ta có P(B) ( C 95 + 2.C 94 + C 93 )/( 9.10 ) = b ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 11 1 P( x) [ x 3(1 )]11 C11k ( x )11k 3k (1 ) k k 0 x x 11 C ( x) k 0 k 11 11 k (1) i 11 k k k i i C = C11 C k (1) x i i 0 k 0 i 0 x k Xét phương trình = k i k 0,5 11 k i 11 k i 4;0 i k 11 k 2i k 1; i k 3; i 0,5 0,5 0,5 Suy hệ số x 3C111 C11 (1) 33 C113 = 4422 a 1 1 1 Ta có : v n 1 u n 1 (u n 1) u n (v n 1) v n 2 2 2 v1 u1 suy v n cấp số nhân lùi vô hạn công bội q b 1 Ta có v n v1 ( ) n 1 2( ) n 1 suy lim v n 2 suy lim u n lim(v n 1) a Tứ giác MNPQ hình ?: Ta có : SB = SD SBC = SDC (c-c-c) S Gọi I trung điểm SC IBC = IDC IB = ID IBD cân I IO BD N I Mà OI // SA SA BD (*) P ( ) // BD Ta có : BD ( ABO) ( ) ( ABO) MQ MQ // BD Tương tự : NP // BD (2) Từ (1) (2) , suy MQ // NP // BD Mặt khác : ( ) // SA SA ( SAO) ( ) ( SAO) MN MN // SA 0,5 0,5 M Q B 0,5 D A (1) 0,5 O (3) C (4) Tương tự : PQ // SA (5) Từ (4) (5) , suy MN // PQ // SA (6) Từ (3) , (6) (*), suy MNPQ hình chữ nhật Vậy : MNPQ hình chữ nhật b Tính diện tích MNPQ theo a x: Ta có : S MNPQ MQ.MN 0,5 Tính MQ : Xét tam giác AQM : Ta có : ˆ 45 A ˆ Q 45 ˆ M 90 AQM cân M MQ = AM = x 0,25 Tính MQ : Xét tam giác SAO : Ta có : MN//SA MN OM AS OA a x OM a a x MN AS OA a 2 ThuVienDeThi.com 0,25 S MNPQ MQ.MN x.(a x ) x (a x ) 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x a x ( x a x ) ) a ² x (a x ) S MNPQ a² a² 4 S MNPQmã Đẳng thức xảy x a x a² x a a 2 M 0,25 trung điểm AO Vậy : x a S MNPQ đạt giá trị lớn ABM đòng dạng với NDA AB ND suy BM DA Ta có A B M AB.DA=BM.ND=25 AB DA Phương trình đường thẳng BM: C D 21 4( x ) 3( y 1) hay 4x - 3y - 24 = 4 x y 24 Tọa độ điểm B nghiệm hệ : suy B(6;0) 3 x y 18 A AB A(2 4t ;3 3t ) ;AB=5 suy t A(2;3) (2 4t 6) (3 3t ) 25 t A(10;3)(loai ) Ta có BM mà BC = BM = BC Suy C(3 ;-1) 4 AB = DC suy D(-1 ;2) N 3 ab bc ca ab bc ca BĐT a +b+c + + 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca Sử dụng BĐT si ta có ab ab b a a b 2 a b bc bc c b ab bc ca b a c b a c + + 2 2 2 bc ab bc ca b c ca ca a c c a 2 c a b(a 1) c(b 1) a (c 1) (a b c) (Do ab +bc + ac ) đpcm Dấu xảy a b c Lưu ý : Học sinh làm khác đáp án cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,5 ThuVienDeThi.com ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG KHỒI 11 MƠN TỐN CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015-2016 Câu Ý a Hướng dẫn-Đáp án sin x cos x sin 2 x sin ( x... ab +bc + ac ) đpcm Dấu xảy a b c Lưu ý : Học sinh làm khác đáp án cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,5 ThuVienDeThi.com ... từ đến xếp thứ tự nhất.có trường hợp xảy sau: +Trường hợp 1:Chọn a b c d e số cách xếp thứ tự phần tử chọn phần tử nên có C 95 số tạo thành a b c d e +Trường hợp 2: Chọn có số