Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học: 20152016 môn thi: Toán 1121813

TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN TỔ: TỐN TIN ĐỀ CHÍNH THỨC Số báo danh ……………… KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2015-2016 Mơn thi: TỐN 11 Ngày thi: 10/03/2016 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có 06 câu, gồm 01 trang Câu 1: (6,0 điểm)  x  ) C b) Tam giác ABC có đặc điểm thỏa mãn: tan A  tan B  cot 2 c) Giải phương trình: x   3 x  x  17 Câu 2: (4,0 điểm) a) Chọn ngẫu nhiên số có chữ số có dạng abcde tính xác suất để chọn số thỏa mãn a  b  c  d  e 2 a) Giải phương trình lượng giác: sin x cos x  sin x   sin ( x n b) Tìm hệ số x khai triển biểu thức: P ( x)  [ x  3(1  )] Biết n số nguyên dương thỏa mãn: 3C n 1  8C n   3C n 1 Câu 3: (2,0 điểm) u1  * Cho dãy số (u n ) :  ;n N 2u n 1  u n  1 a) Chứng minh dãy ( v n ): v n  u n  cấp số nhân lùi vơ hạn b) Tính lim u n Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình vng cạnh a, tâm O Gọi S điểm mặt phẳng (ABCD) cho SB = SD Gọi M điểm tùy ý AO với AM = x mặt phẳng () qua M song song với SA BD cắt SO, SB, AB N, P, Q a) Tứ giác MNPQ hình ? b) Cho SA = a Tính diện tích MNPQ theo a x Tính x để diện tích MNPQ lớn Câu 5: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vng ABCD ,biết điểm A có tung độ dương, đường thẳng AB có phương trình: x  y  18  , điểm M ( 21 ;1) thuộc cạnh BC,đường thẳng AM cắt đường thẳng CD N thỏa mãn BM.DN = 25.Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD Câu 6: (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: a + b + c = b2 a2 c2  Chứng minh rằng: + + b  c2 c  a2 a  b2 (Giám thị coi thi khơng giải thích thêm) HẾT ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG KHỒI 11 MƠN TỐN CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015-2016 Câu Ý a Hướng dẫn-Đáp án sin x cos x  sin 2 x   sin (  x  )  sin x cos x  sin 2 x   2[1  cos( a  x)]  0,5 0,5 sin x   (sin x  1)(cos x  2)    cos x  0,5   k 2 (k  Z )(2) C  sin C  cos A cos B  C sin  cos C  cos( A  B)  cos( A  B)  cos(A-B)=1  A  B  k 2 (k  Z ) < A,B <  suy A = B  ABC cân đỉnh C sin C gt   cos A cos B c   sin x cos x  cos x  2(1  sin x)   cos x(sin x  1)  2(1  sin x)   sin x   x  b Điểm cos Điều kiện : x  1 với điều kiện phương trình x   3 x  x  17  x    x  x  15  x3   ( x  3)(3 x  5)   ( x  3)(  x  5)  x 1  x 1   3x   )  x   x   ( x 1  Vậy phương trình có nghiệm x = Gọi B biến cố cần tính xác suất Khơng gian mẫu   9.10 (do a  ) a  mà a mà số bé nên b,c,d,e khác không.vậy a, b,c,d,e số chọn số từ đến xếp thứ tự nhất.có trường hợp xảy sau: +Trường hợp 1:Chọn a  b  c  d  e số cách xếp thứ tự phần tử chọn phần tử nên có C 95 số tạo thành a  b  c  d  e +Trường hợp 2: Chọn  có số nên cần chọn số a  b  c  d  e số xếp thứ tự có 2.C 94 số +Trường hợp 3: a  b  c  d  e có cặp số (a = b;c = d)nên cần chọn số khác số xếp thứ tự có C 93 số 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy có tất B = C 95 + 2.C 94 + C 93 77 15000 (n  1)n(n  1) Từ gt suy : 3(n  1)  4(n  1)(n  2)  , n   n  11 Theo khai triển nhị thức newton ta có  P(B)  ( C 95 + 2.C 94 + C 93 )/( 9.10 ) = b ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 11 1 P( x)  [ x  3(1  )]11   C11k ( x )11k 3k (1  ) k k 0 x x 11  C ( x) k 0 k 11 11 k (1) i 11 k k k i i C =  C11  C k (1) x i i 0 k 0 i 0 x k Xét phương trình = k i k 0,5 11 k i 11  k  i  4;0  i  k  11  k  2i   k  1; i  k  3; i   0,5 0,5 0,5 Suy hệ số x 3C111 C11 (1)  33 C113 = 4422 a 1 1 1 Ta có : v n 1  u n 1   (u n  1)   u n   (v n  1)   v n 2 2 2 v1  u1   suy v n cấp số nhân lùi vô hạn công bội q  b 1 Ta có v n  v1 ( ) n 1  2( ) n 1 suy lim v n  2 suy lim u n  lim(v n  1)  a Tứ giác MNPQ hình ?: Ta có : SB = SD   SBC =  SDC (c-c-c) S Gọi I trung điểm SC   IBC =  IDC  IB = ID   IBD cân I  IO  BD N I Mà OI // SA  SA  BD (*) P ( ) // BD Ta có :  BD  ( ABO) ( )  ( ABO)  MQ   MQ // BD Tương tự :  NP // BD (2) Từ (1) (2) , suy MQ // NP // BD Mặt khác : ( ) // SA  SA  ( SAO) ( )  ( SAO)  MN   MN // SA 0,5 0,5 M Q B 0,5 D A (1) 0,5 O (3) C (4) Tương tự :  PQ // SA (5) Từ (4) (5) , suy MN // PQ // SA (6) Từ (3) , (6) (*), suy MNPQ hình chữ nhật Vậy : MNPQ hình chữ nhật b Tính diện tích MNPQ theo a x: Ta có : S MNPQ  MQ.MN 0,5 Tính MQ : Xét tam giác AQM : Ta có : ˆ  45 A  ˆ Q  45  ˆ M  90  AQM cân M MQ = AM = x 0,25 Tính MQ : Xét tam giác SAO : Ta có : MN//SA MN OM  AS OA  a x OM  a  a  x MN  AS OA a 2 ThuVienDeThi.com 0,25  S MNPQ  MQ.MN  x.(a  x )  x (a  x ) 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x a  x  ( x  a  x ) )  a ² x (a  x )  S MNPQ a² a²   4  S MNPQmã  Đẳng thức xảy x  a  x  a² x a a  2  M 0,25 trung điểm AO Vậy : x  a S MNPQ đạt giá trị lớn ABM đòng dạng với NDA AB ND suy   BM DA Ta có A B M AB.DA=BM.ND=25  AB  DA  Phương trình đường thẳng BM: C D 21 4( x  )  3( y  1)  hay 4x - 3y - 24 = 4 x  y  24  Tọa độ điểm B nghiệm hệ :  suy B(6;0) 3 x  y  18  A  AB  A(2  4t ;3  3t ) ;AB=5 suy t   A(2;3) (2  4t  6)  (3  3t )  25   t   A(10;3)(loai ) Ta có BM  mà BC =  BM = BC Suy C(3 ;-1) 4 AB = DC suy D(-1 ;2) N 3 ab bc ca ab bc ca BĐT  a +b+c + +  2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca Sử dụng BĐT si ta có ab ab b a     a  b 2 a b bc bc c b  ab bc ca b a c b a c    + +    2 2 2  bc ab bc ca b c ca ca a c     c  a 2 c a b(a  1)  c(b  1)  a (c  1) (a  b  c)  (Do ab +bc + ac   )  đpcm Dấu xảy  a  b  c  Lưu ý : Học sinh làm khác đáp án cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,5 ThuVienDeThi.com ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG KHỒI 11 MƠN TỐN CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015-2016 Câu Ý a Hướng dẫn-Đáp án sin x cos x  sin 2 x   sin (  x... ab +bc + ac   )  đpcm Dấu xảy  a  b  c  Lưu ý : Học sinh làm khác đáp án cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,5 ThuVienDeThi.com ... từ đến xếp thứ tự nhất.có trường hợp xảy sau: +Trường hợp 1:Chọn a  b  c  d  e số cách xếp thứ tự phần tử chọn phần tử nên có C 95 số tạo thành a  b  c  d  e +Trường hợp 2: Chọn  có số