10 cách giải cho 1 hệ phương trình

Heä phöông trình giaûi ñöôïc baèng 10 caùch Baøi toaùn. Giaûi heä phöông trình . Giaûi Ñieàu kieän : . Caùch 1: Töø heä phöông trình ñaõ cho, ta suy ra (*) Xeùt haøm soá ; . Suy ra haøm soá ñoàng bieán treân . Töø (*) ta coù . Theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình . Vaäy heä phöông trình coù nghieäm . 9 7 4 (1) 9 7 4 (2)

10 cách giải cho hệ phương trình - Trần Tuấn Anh www.MATHVN.com Hệ phương trình giải 10 caùch  x9  7 y 4  (1)  y9  7x 4  (2) Bài toán Giải hệ phương trình  Giải 9  x  Điều kiện :  9  y  Cách 1: Từ hệ phương trình cho, ta suy x9  7x   Xét hàm số f t  f ' t   Suy haøm số f t Từ (*) ta có y9  7 y x9  7 y  y9  7x (*) t    t  9  t  7 ; t9  7t  0, t   9;7  đồng biến  9;7   f  x   f  y   x  y Thế vào (1) ta thu phương trình x    x   x    x  x   x  16   x2  2x  63  x   y    x2  2x  63     x  9  y  9  x  9  x  ;  y  9  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 10 cách giải cho hệ phương trình - Trần Tuấn Anh www.MATHVN.com Cách 2: Hệ phương trình cho tương đương với hệ phương trình sau          x9  7 y 4  y9  7x 4     x x9  7 y y9  2  x    y  x   y  16     x    y  y   x  16   16  16  x  y  x   y     x  y  y   x   x   y  y   x  7x  xy  63  y  y  xy  63  9x  16x  16 y  x  y Theá vào (1) ta thu phương trình x    x   x    x  x   x  16   x2  2x  63  x   y    x2  2x  63     x  9  y  9  x  9  x  ;  y  9  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  Cách 3: Giải hệ phương trình cho xét trường hợp sau : TH1: Nếu x  y ta có x9  7 y  x9  y  vaø  y   x suy  x9  7 y 4  y    x mà  nên  (vô lí)  y9  7x 4  TH2: Nếu x  y ta có TranTuanAnh858@gmail.com x9  y  vaø  y   x suy www.DeThiThuDaiHoc.com Page 10 cách giải cho hệ phương trình - Trần Tuấn Anh www.MATHVN.com x9  7 y  TH3: Neáu  x9  7 y 4  y    x maø  nên  (vô lí)  y9  7x 4  xy , vào (1) ta thu phương trình x    x   x    x  x   x  16   x2  2x  63  x   y    x2  2x  63     x  9  y  9  x  9  x  ; y  9  y   Vậy hệ phương trình có nghiệm  Cách 4: Từ hệ phương trình cho ta có    x9  7x  7 y   y   (*) Ta coù :  x9  7x   y9  7 y  Từ (3) (4) ta có  16  x   x  16 suy x    x  (3);  16  y   y  16 suy y    y  (4) x9  7x  y    y  Vậy để (*) xảy (3) (4) phải đạt dấu        x  9   x   x   x    x    x    y   y   y    y     y  9   y   TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 10 cách giải cho hệ phương trình - Trần Tuấn Anh Thay  x; y  www.MATHVN.com  9; 9 ;  9;7 ; 7;7 ; 7; 9 vào hệ phương trình cho ta có  x  9  x  ;  y  9  y  nghiệm hệ phương trình  Cách 5: Đặt u  x9 0;v 7 y 0; z  y   ; t   x  Ta thu hệ phương trình : u  v   z  t   2 u  t  16  z2  v2  16  Từ (1) vaø (2)  u  v  z  t (1) (2) (3) (4) (5) ; Từ (3) (4)  u2  t2  z2  v2  u2  v2  z2  t2   u  v u  v   z  t  z  t  (6) Từ (5) (6) ta u  v  z  t    u  v u  v   z  t  u  v   u  v u  v   z  t  z  t     u  v  u  v   z  t     u  v   z  t   (vì u  v   )    u  z  v  t (7) Mặt khác, từ (5)  u  v  z  t  u  z  t  v (8) Từ (7) (8)  u  z  v  t  t  v  v  t vaø u  z TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 10 cách giải cho hệ phương trình - Trần Tuấn Anh www.MATHVN.com  x9  y9    x  y  7x  7 y  Thế x  y vào (1) ta thu phương trình : x    x   x    x  x   x  16   x2  2x  63  x   y    x2  2x  63     x  9  y  9  x  9  x  ;  y  9  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  Cách 6: Từ hệ phương trình cho ta có     x9  7x  7 y   y   (*) t    t , t   9;7   Xét hàm soá f t  f ' t  t9  7t  7t  t9 , t   9;7  ; t   t f '  t     t  t    t  t   t  1   9;7        Ta coù f 9  4; f  4; f 1   M in f  t   f  9   f 7    f  x   f  y     Do đó, (*) xảy 9;7    f  x     x; y    9; 9  ; 7;7  ;  9;7  ; 7; 9   f  y   ta coù         Thay x; y 9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9 vào hệ phương trình cho ta có TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 10 cách giải cho hệ phương trình - Trần Tuấn Anh www.MATHVN.com  x  9  x  ;  y  9  y  nghiệm hệ phương trình  Cách 7: Từ hệ phương trình cho ta có  Xét hàm số f t  f ' t     x9  7x  7 y   y   (*) t    t , t   9;7   t9  7t  7t  t9 , t   9;7  ; t   t f '  t     t  t    t  t   t  1   9;7  Bảng biến thiên 9 x 1 f '  x + f  x - 4      Từ bảng biến thiên ta suy M in f t  f 9  f  9;7    f  x   f  y   M in f  t   2.4  9;7   Do đó, (*) xảy ta có  f  x   x9  7x 4      x; y    9; 9  ; 7;7  ;  9;7  ; 7; 9    f  y   7 y  y9 4          Thay x; y 9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9 vào hệ phương trình cho ta có TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 10 cách giải cho hệ phương trình - Trần Tuaán Anh www.MATHVN.com  x  9  x  ;  y  9  y  nghiệm hệ phương trình  Cách 8:  x9  7 y 4  (1)  y9  7x 4  (2) Xét hệ phương trình  Đặt x  m  y , (điều kiện tồn thức  x  m  0; x  m   ) Ta thu hệ phương trình với ẩn m x laø :  x9  7xm   x    x  m  x   x  m  16      xm9  7x   x  m    x  x  m   x  16   m  x   x  m    m  x  m   x   (3) (4) Từ (3) suy m   m  từ (4) suy m  Vậy để (3) (4) đồng thời xảy ta phải có m  Vậy hệ (3), (4) trở thành  x   x      x   x   x   x   x     7x 0   x  9  x7  Maø x  m  y với m  nên x  y  x  9  x  ;  y  9  y  Kết luận: hệ phương trình cho có nghiệm  Cách 9: TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 10 cách giải cho hệ phương trình - Trần Tuấn Anh www.MATHVN.com   x9  7 y 4    Ta coù  y9  7x 4      x  1    y  1     y  1    x  1  Đặt x   u; y   v Ta thu hệ phương trình với ẩn u v :  u8  8v     v8  8u   9  x  8  x   Do  neân  9  y  8  y   8  u  , suy  8  v     Ta thu hệ phương trình  2 Ta lại ñaët u  cos2a ; v  cos2b với a, b  0; với ẩn a b laø :   cos 2a    cos 2b     cos 2a  1  1  cos 2b    cos 2b    cos 2a     cos 2b  1  1  cos 2a              cos2 a  sin b  4 cos a  sin b       cos2 b  sin a   4 cos b  sin a    cos a  sin b     cos a  sin b  cos b  sin a  (*)  cos b  sin a   Do cos a  cos2 a; sin b  sin2 b; cos b  cos2 b; sin a  sin2 a 2 2 neân cos a  sin b  cos b  sin a  cos a  sin b  cos b  sin a  Vậy (*) xảy ta có : TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 10 cách giải cho hệ phương trình - Trần Tuấn Anh www.MATHVN.com  cos a   sin b    cos b   sin a   cos a cos a  cos2 a cos a  cos2 a    2  sin b   sin b  sin b sin b  sin b    ( lưu ý a, b  0;  ) 2  cos b  2 cos b  cos b cos b  cos b  2   sin a  sin a sin a  sin a   sin a  cos a    cos a   sin b  cos a  cos a  cos a  cos a        sin b  sin a  sin a  sin a  sin a    ; ; ;  cos b  cos b  cos b  cos b  cos b   cos b  sin b  sin b  sin b  sin b       sin a    sin a  Laïi cos2 a  sin2 a  1; cos2 b  sin2 b  nên ta cần xét với cos a  cos a  cos a  cos a  ; ; ;  cos b  cos b  cos b  cos b  1  cos 2a 0  cos a  cos 2a  1    TH1:  cos b  cos 2b  1 1  cos 2b    u  8  x   8  x  9 (thỏa mãn toán)    v  8  y   8  y  9 1  cos 2a 0  cos a  cos 2a  1    TH2:  cos b  cos 2b  1  cos 2b    u  8   v   x   8   y   TranTuanAnh858@gmail.com  x  9 ( không thỏa mãn toán)  y  www.DeThiThuDaiHoc.com Page 10 cách giải cho hệ phương trình - Trần Tuấn Anh www.MATHVN.com 1  cos 2a 1  cos a     TH3:  cos b  1  cos 2b    cos 2a   cos 2b  1 u  x   x  ( không thỏa mãn toán)    v  8  y   8  y  9 cos a   TH4:  cos b   u    v  1  cos 2a 1      cos 2b  1   x     y   cos 2a   cos 2b  x  (thỏa mãn toán)  y   x  9  x  ;  y  9  y  Kết luận: hệ phương trình cho có nghiệm  Cách 10:  x9  7 y 4  (1)  y9  7x 4  (2) Xét hệ phương trình  Đặt x  m  y , ta coù :  y    x  m   x   m ; y    x  m    x  m  Laïi 9  x  nên để tồn thức bậc hai ta cần có 7  m   m   9 m    m  Với m  x  y m  Theá x  y vào (1) ta thu phương trình : TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 10 10 cách giải cho hệ phương trình - Trần Tuấn Anh www.MATHVN.com x    x   x    x  x   x  16   x2  2x  63  x   y    x2  2x  63     x  9  y  9  x  9  x  ;  y  9  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  Bài viết của: Trần Tuấn Anh – TranTuanAnh858@gmail.com TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 11 .. .10 cách giải cho hệ phương trình - Trần Tuấn Anh www.MATHVN.com Cách 2: Hệ phương trình cho tương đương với hệ phương trình sau          x9  7... vào hệ phương trình cho ta có TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 10 cách giải cho hệ phương trình - Trần Tuấn Anh www.MATHVN.com  x  9  x  ;  y  9  y  nghiệm hệ phương. .. vào hệ phương trình cho ta có TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 10 cách giải cho hệ phương trình - Trần Tuấn Anh www.MATHVN.com  x  9  x  ;  y  9  y  nghiệm hệ phương