Đề thi học sinh giỏi TOÁN 6

TRẠCH ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 2 NĂM HỌC: 20212022 Môn: Toán 6 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm) Thực hiện phép tính một cách hợp lí: a) A = b) B = c) C = Câu 2: (2,5 điểm) Tìm x  N, biết: a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2x 1) = 225 b) c) (2x + 1)3 = 125 Câu 3: (1,5 điểm) Trong một buổi đi tham quan, số nữ đăng kí tham gia bằng 14 số nam. Nhưng sau đó một bạn nữ xin nghỉ, một bạn nam xin đi thêm nên số nữ đi tham quan bằng 15 số nam. Tính số học sinh nữ và học sinh nam đã đi tham quan. Câu 4: (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a) Chứng tỏ rằng OA < OB. b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao? c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB). Câu 5: (1,5 điểm) Chứng tỏ rằng: a) 10n + 23 ⁝ 9 b) Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố và là hai số lẻ liên tiếp (chẳng hạn: 3 và 5, 11 và 13, …). Chứng minh rằng số tự nhiên lớn hơn 4 và nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6. Hết PHÒNG GDĐT QUẢNG TRẠCH HƯỚNG DẪN CHẤM CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 2 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 20212022 Môn: Toán 6

PHỊNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH CỤM CHUN MƠN SỐ ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM NĂM HỌC: 2021-2022 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm) Thực phép tính cách hợp lí: 1 1 + + + + 99.100 a) A = 1.2 2.3 3.4 1 + + + + b) B = 9 14    1    1− ÷ 1− ÷ 1− ÷  1− ÷ c) C =  21 28 36   1326  Câu 2: (2,5 điểm) Tìm x ∈ N, biết: a) + + + + + … + (2x -1) = 225 18 2x.2x+1.2x+ = 1000 0:5 123 18 chữsố0 b) c) (2x + 1)3 = 125 Câu 3: (1,5 điểm) Trong buổi tham quan, số nữ đăng kí tham gia số nam Nhưng sau bạn nữ xin nghỉ, bạn nam xin thêm nên số nữ tham quan số nam Tính số học sinh nữ học sinh nam tham quan Câu 4: (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB a) Chứng tỏ OA < OB b) Trong ba điểm O, M, N điểm nằm hai điểm cịn lại? Vì sao? c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) Câu 5: (1,5 điểm) Chứng tỏ rằng: a) 10n + 23 ⁝ b) Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố hai số lẻ liên tiếp (chẳng hạn: 5, 11 13, …) Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số ngun tố sinh đơi chia hết cho Hết PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH CỤM CHUYÊN MÔN SỐ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2021-2022 Mơn: Tốn Chú ý: Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình Câu Ý a) (0,75 điểm) b) (0,75 điểm) Câu (2,5 điểm) Đáp án 1 1 + + + + 99.100 A = 1.2 2.3 3.4 = =1– = 1 + + + + B = 9 14 = = = = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 c) (1,0 điểm)    1    1− ÷ 1− ÷ 1− ÷  1− ÷ 21 28 36 1326       C=        1− ÷. 1− ÷. 1− ÷  1− ÷ =  6.7   7.8  8.9   51.52  5.8 6.9 7.10 50.53 6.7 7.8 8.9 51.52 = 5.6.7 50 8.9.10 53 = 6.7.8 51 7.8.9 52 53 = 51 265 = 357 Câu (2,5 điểm) Điểm a) (1,0 điểm) Với x ∈ N ta có 2x – số lẻ Đặt A = + + + + + … + (2x – 1) ⇒ A tổng số lẻ liên tiếp từ đến 2x – Số số hạng A là: (2x – – 1) : + = x (Số hạng) ⇒ A = [(2x – 1) + 1] x : = x2 Mà A = 225 ⇒ x2 = 225 = 152 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b) (0,75 điểm) ⇒ x = 15 Vậy x = 15 2x 2x + 2x + = 1000 … : 518 0,25 18 chữ số x + x + 1+ x + 2 = 10 10 10 … 10 : … 18 thừa số 10 0,25 18 thừa số 23x + = (10 : ).(10 : 5) (10 : 5) … (10 : 5) 0,25 18 thừa số (10 : 5) 23x + = … 18 thừa số 3x + c) (0,75 điểm) 18 =2 0,25 ⇒ 3x + = 18 3x = 18 – 3x = 15 x = 15 : x=5 Vậy x = (2x + 1)3 = 125 (2x + 1)3 = 53 0,25 2x + = 0,25 2x = x=2 0,25 Tổng số học sinh nam nữ dự định tham quan tham quan nên ta lấy làm đơn vị 0,25 1 Số hs nữ đăng kí tham quan số nam nên tổng số 0,25 Số hs nữ tham quan tổng Câu (1,5 điểm) số nam tham quan nên 0,25 số Số nữ dự định nhiều số nữ là: học sinh - 1 = 30 0,25 tổng số hay 0,25 Tổng số hs 30 = 30 (học sinh) Số hs nữ tham quan là: 30 = (học sinh) 1: 0,25 Số hs nam tham quan là: 30 – = 25 (học sinh) Câu (2,0 điểm) Hình vẽ (0,5 điểm) a) (0,5 điểm) o m a n b 0,5 Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm O B, 0,25 suy ra: ⇒ OA < OB 0,25 b) (0,5 điểm) c) (0,5 điểm) a) (0,75 điểm) Câu (1,5 điểm) b) (0,75 điểm) Ta có M N thứ tự trung điểm OA, OB, nên : 0,25 OA OB ⇒ OM = ; ON = 2 Vì OA < OB, nên OM < ON Hai điểm M N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm 0,25 hai điểm O N Vì điểm M nằm hai điểm O N, nên ta có : ⇒ OM + MN = ON 0,25 ⇒ MN = ON − OM suy : OB − OA AB ⇒ MN = = 0,25 2 hay : Vì AB có độ dài khơng đổi, nên MN có độ dài khơng đổi, hay độ 0,25 dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) Ta có 10n + 23 = 10n + = 1000…8 0,5 n số số có tổng chữ số nên chia hết cho 0,25 Giả sử a số tự nhiên lớn nằm hai số nguyên tố sinh đôi => a số chẵn => a ⁝ 0,25 Mặt khác, ba số tự nhiên liên tiếp ln có số chia hết a ⁝ (vì số liền trước liền sau số nguyên tố lớn 0,25 nên không chia hết cho 3) Vậy a ⁝ 2.3 hay a ⁝ 0,25 ... định nhiều số nữ là: học sinh - 1 = 30 0,25 tổng số hay 0,25 Tổng số hs 30 = 30 (học sinh) Số hs nữ tham quan là: 30 = (học sinh) 1: 0,25 Số hs nam tham quan là: 30 – = 25 (học sinh) Câu (2,0 điểm)...  1− ÷ 21 28 36 13 26       C=        1− ÷. 1− ÷. 1− ÷  1− ÷ =  6. 7   7.8  8.9   51.52  5.8 6. 9 7.10 50.53 6. 7 7.8 8.9 51.52 = 5 .6. 7 50 8.9.10 53 = 6. 7.8 51 7.8.9... QUẢNG TRẠCH CỤM CHUN MƠN SỐ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2021-2022 Mơn: Tốn Chú ý: Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng