Toán Chinh phục Hình hoïc tọa độ phẳng oxy20680

tọa độ phẳng Oxy ( ) ThuVienDeThi.com MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bài 1: ∆ABC nội tiếp đường trịn đường kính AD, M(3; −1) trung điểm cạnh BC Đường cao kẻ từ B ∆ABC qua điểm E(−1; −3) , điểm F(1;3) nằm đường thẳng AC Tìm tọa độ đỉnh A viết phương trình cạnh BC biết D(4; −2) Hướng dẫn tìm lời giải + Trước hết, gặp loại tập mà A? tam giác nội tiếp đường tròn, kiện cho đường cao tam giác ta thường nghĩ đến việc tạo hình bình hành cách: - Nếu tam giác có đường cao ta việc kẻ đường kính qua đỉnh cịn lại (khơng chứa đường cao kia) H - Nếu tam giác có đường kính qua đỉnh đường cao ta kẻ đường cao thứ (bài toán ta làm vậy) + Với toán ta tạo điểm H M(3;-1) B trực tâm ∆ABC ⇒ ta chứng minh BHCD hình bình hành (cái quen phải không - tự làm nhé) + Công việc chuẩn bị xong, ta làm theo bước suy luận sau nhé: - Thấy H trung điểm AC ⇒ H(2; 0) - Lập phương trình BH (qua điểm H E) ⇒ BH : x − y − = - Lập phương trình DC (qua D // BH) ⇒ DC : x − y − = - Lập phương trình AC (qua F ⊥ BH ) ⇒ AC : x + y − = - Tọa độ C = AC ∩ DC , giải hệ ⇒ C(5; −1) - Lập phương trình BC qua điểm M C ⇒ BC : y + = - Lập phương trình AH (qua H ⊥ BC ) ⇒ AH : x − = - Tọa độ A = AH ∩ AC , giải hệ ⇒ A(2; 2) E(-1;-3) F(1;3) C D(4;-2) Bài 2: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (C), đường phân giác ngồi A cắt đường trịn (C) M(0; −3), N(−2;1) Tìm tọa độ điểm B, C biết đường thẳng BC qua E(2; −1) C có hồnh độ dương Hướng dẫn tìm lời giải + Trước hết ta thấy AN ⊥ AM (t.c phân giác góc kề bù) ⇒ đường trịn (C) có tâm I(−1; −1) trung điểm MN, bán kính R = MN 2 = ⇒ (C) : ( x + 1) + ( y + 1) = + Như đến thấy để tìm tọa độ B, C ta cần thiết lập phương trình đường thẳng BC cho giao với đường tròn (C) Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com Trang MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG + Quan sát tiếp thấy BC qua E(2;-1) rồi, ta cần tìm VTCP VTPT ổn khơng ! Nếu vẽ hình xác ta dự đốn BC ⊥ MN !!! (ta chứng minh nhanh nhé: A1 = A ⇒ MB = MC ⇒ M N(-2;1) điểm BC ⇒ H trung điểm BC ( H = MN ∩ BC ) ⇒ BC ⊥ MN (q hệ đường kính dây cung - hình học lớp 9)) + Như vậy, tóm lại, đường thẳng BC qua E, A ⊥ MN ⇒ BC : x − 2y − = + Cuối cùng, ta cần giải hệ phương trình 6  I B E(2;-1) H 7 gồm (C) ∩ BC ⇒ B(−2; −3), C  ; −  5  C M(0;-3) Bài 3: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O(0;0) Gọi M(-1;0, N(1;1) chân đường vng góc kẻ từ B, C ∆ABC Tìm tọa độ đỉnh A, B, C ∆ABC , biết điểm A nằm đường thẳng ∆ có phương trình : 3x + y - = Hướng dẫn tìm lời giải 3x+y-1=0 + Ta thấy A ∈ ∆ ⇒ A(a;1 − 3a) , cần x thiết lập phương trình để tìm a + Vẽ hình xác ta dự đốn AO ⊥ MN (Thật vậy: ta c.minh nhanh A sau: kẻ tiếp tuyến Ax ⇒ ⊥ AO (*), có xAC = ABC = sdAC , mà ABC = AMN (do M(-1;0) tứ giác MNBC nội tiếp) ⇒ xAC = AMN ⇒ (**) ⇒ AO ⊥ MN ) N(1;1) / /MN (**) Từ (*) Giải phương trình : O(0;0) AO.MN = ⇒ a = ⇒ A(1; −2) C + Đường thẳng AB qua A, N B ⇒ AB : x − = + Đường thẳng AC qua A, M ⇒ AC : x + y + = + Đường cao BM qua M ⊥ AC ⇒ BM : x − y + = + Tọa độ B = AB ∩ BM ⇒ B(1; 2) , tương tự ⇒ C(−2;1) Như điểm quan trọng phát AO ⊥ MN Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com Trang MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bây ta vận dụng PP làm tương tự sau nhé: Bài : Cho ∆ABC nội tiếp đường trịn tâm I(1;2), bán kính R = Chân đường cao kẻ từ B, C H(3;3), K(0;-1) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tứ giác BCHK, biết A có tung độ dương” Hướng dẫn tìm lời giải + Đường trịn (C) tâm I, bán kính R = có phương 2 trình ( x − 1) + ( y − ) = 25 + Ta thấy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK có tâm M trung điểm BC, đường kính BC (do H(3;3) BKC = BHC = 900 ) Như vấn đề định K(0;-1) tốn tìm tọa độ B, C I(1;2) + Theo toán giới thiệu lần trước, ta chứng minh AI ⊥ KH ⇒ AI đt qua I, AI ⊥ KH ⇒ AI có phương trình: 3x + 4y − 11 = C B + Tọa độ A = AI ∩ (C) , giải hệ có A(−3;5) + Đường thẳng AB qua A, K ⇒ AB : 2x + y + = + Tọa độ B = AB ∩ (C) , giải hệ có B(1; −3) , suy luận D tương tự có C(6; 2) Vậy đường trịn ngoại tiếp tứ giác BCHK có tâm M trung điểm BC, đường kính A 2 7  1 25  BC có phương trình:  x −  +  y +  = 2  2  Bài 5: (KD-2014) Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn, D(1;-1) chân đường phân giác A , AB có phương trình 3x + 2y − = , tiếp tuyến A có phương trình ∆ : x + 2y − = Hãy viết phương trình BC Hướng dẫn tìm lời giải + Với kiện đề cho, trước hết ta xác định tọa độ A A = ∆ ∩ AB ⇒ A(1;3) + Đường thẳng BC qua D(1;-1) nên để lập phương trình BC ta cần tìm tọa độ điểm thuộc BC Gọi E = ∆ ∩ BC ⇒ E ∈ ∆ ⇒ E ( − 2x; x ) x+2y-7=0 3x+2y-9=0 E B Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com C D(1;-1) Trang MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG + Bây cần thiết lập phương trình để tìm x, vẽ hình xác cho ta dự đốn ∆EAD cân E ⇒ giải phương trình ED = EA tìm x = ⇒ E(5;1) (chứng minh ∆EAD cân E sau: D1 = C1 + DAC (góc ngồi ∆ADC ), mà sdAB , DAC = A ⇒ D1 = A1 + A = EAD ⇒ ∆EAD cân E) + Đường thẳng BC qua điểm E D ⇒ BC : x − 2y − = C1 = A1 = Bây ta vận dụng PP làm tương tự sau nhé: Bài : “Cho ∆ABC có đỉnh A(1;5) Tâm đường trịn nội tiếp ngoại tiếp ∆ABC lần 5    lượt I(2; 2), K  ;3  Tìm tọa độ B, C” Hướng dẫn tìm lời giải Mỗi hình học tọa độ phẳng thi ĐH có “nút thắt” riêng, làm để tìm “nút thắt” “cởi nút thắt” Câu trả lời : Phải học nhiều, làm nhiều, chịu khó tổng hợp kiến thức tư theo kinh nghiệm tích lũy SAU ĐÂY TA SẼ ĐI TÌM “NÚT THẮT” CỦA BÀI TỐN LẦN TRƯỚC NHÉ ! + Ta lập đường tròn (C) ngoại A(1;5) tiếp ∆ABC có tâm K, bán kính AK 2 1 B (C) + Đường thẳng AI qua A, I I(2;2) 5 1 ⇒ AI : 3x + y − = ⇒ D = AI ∩ (C) ⇒ D  ;  2 2 5 25  ⇒ (C) :  x −  + ( y − 3) = 2  K( ;3) C D + Bây ta cần chứng minh BD = DI = CD ⇒ B, C nằm đường tròn (T) tâm D, bán kính DI ⇒ tọa độ B, C giao đường tròn (C) (T) (Thật vậy, ta chứng minh ý (*) - yếu tố định tốn !!! - Ta có A1 = A ⇒ DB = DC ⇒ DB = DC - Mà I1 = A1 + B1 (góc ngồi ∆ABI ), lại có A1 = A , A = B3 = sdDC , B1 = B2 ⇒ I1 = B2 + B3 = IBD ⇒ ∆BDI cân D ⇒ DB = DI - Từ (1) (2) ⇒ BD = DI = CD ) 2 5   10  + Như đường trịn (T) tâm D, bán kính DI có phương trình:  x −  +  y −  = 2  2   B(4;1), C(1;1) + {B, C} = (C) ∩ (T) ⇒   B(1;1), C(4;1) Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com Trang MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bài 7: Cho ∆ABC có tâm đường trịn bàng tiếp góc A K(2; −9) , đỉnh B(−3; −4), A(2; 6) Tìm tọa độ đỉnh C Hướng dẫn tìm lời giải A(2;6) + Ta thấy C = AC ∩ BC , ta cần tìm phương trình đường thẳng AC BC * Bước 1: Tìm phương trình AC - Đường thẳng AC qua A B’ (trong B’(7;4) điểm đối xứng B qua phân giác AK: x - = 0) E ⇒ AC : 2x + 5y − 34 = (Trong q trình học ta có kinh nghiệm: gặp đường phân giác điểm, ta lấy điểm đối xứng qua đường phân giác - hy vọng bạn cịn nhớ) * Bước 2: Tìm phương trình BC Suy luận tương tự ta có: Đường thẳng BC qua B A’ (trong A’ điểm đối xứng A qua phân giác BE) + Giải hệ C = AC ∩ BC Đáp số C(5;0) B' B(-3;-4) C A' K(2;-9) Bài 8: ∆ABC nội tiếp đường trịn tâm I(2;1), bán kính R = Trực tâm H(-1;-1), độ dài BC = Hãy viết phương trình BC Hướng dẫn tìm lời giải A + Đây toán quen thuộc “tam giác nội tiếp đường tròn, cho biết trực tâm”, ta nghĩ đến việc tạo hình bình hành cách kẻ đường kính AD ⇒ BHCD hình bình hành (bạn tự xem lại cách chứng minh nhé) ⇒ MI đường I H trung bình ∆AHD ⇒ AH = 2.MI (một kết quen thuộc) + Với suy luận trên, ta tìm tọa độ A trước tiên Thật vậy, gọi A(x;y) B C M AH = 2.IM = CI − BM = 52 − = Ta có:  D AI = , giải hệ  x = −1 ⇒ ⇒ A(−1;5) ⇒ D(5; −3) ⇒ M(2; −2) (do I trung điểm AD, M trung điểm HD) y = + Như vậy, sau có điểm A, M ta thấy đường thẳng BC qua M, vng góc với AH ⇒ BC : y + = Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com Trang MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bài 9: ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm I(-2;0), A(3;-7), trực tâm H(3;-1) Xác định tọa độ C biết C có hồnh độ dương Hướng dẫn tìm lời giải + Hồn tồn với phương pháp lập luận trên, ta có kết AH = 2.MI ⇒ AH = 2.IM , gọi M(x;y) giải phương trình AH = 2.IM A ⇒ x = −2, y = ⇒ M(−2;3) I H B C M + Đường thẳng BC qua điểm M, vng góc với AH ⇒ BC : y − = + Đường tròn (C) tâm I, bán kính R = IA có phương trình : ( x + ) + y = 74 + Tọa độ B, C giao BC (C), giải hệ ta có C −2 + 65;3 (chú ý x C > nhé) ( ) Như qua toán trên, bạn cần ghi nhớ kết quan trọng sau: Nếu H, I trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC , M trung điểm BC ta có: AH = 2.IM (đây điểm nút vấn đề) Tiếp theo mạch tư tưởng đó, ta nghiên cứu sau có cách khai thác tương tự Bài 10: Cho hình chữ nhật ABCD, qua B kẻ đường thẳng vng góc với AC H Gọi E, F, G trung điểm đoạn thẳng CH, BH AD Biết D  17 29   17  E  ;  ; F  ;  , G (1;5 ) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABE  5   5 Hướng dẫn tìm lời giải + Đây toán phát triển theo mạch tư dạng E + ∆ABE có F trực tâm, gọi I tâm H đường tròn ngoại tiếp ∆ABE , M trung điể AB G = 2.IM (xem lại ta chứng minh trên) F I Do tọa độ E, F biết, để có I ta cần tìm tọa độ M, mà M trung điểm AB nên ta cần tìm tọa A B M độ A, B (đây điểm nút toán này) + Ta thấy EF đường trung bình ∆HCB ⇒ AG = FE Như gọi A(x;y) giải phương trình AG = FE ⇒ x = 1; y = ⇒ A(1;1) + Tiếp theo lập phương trình đt AE qua A, E ⇒ AE : −2x + y + = + Đường thẳng AB qua A vng góc với EF ⇒ AB : y − = + Đường thẳng BH qua F vng góc với AE ⇒ BH : x + 2y − = D C ⇒ B = BH ∩ AB ⇒ B(5;1) ⇒ M(3;1) + Giải phương trình = 2.IM ⇒ I(3;3) Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com Trang MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bài 11: Cho ∆ABC có trực tâm H, đường trịn ngoại tiếp ∆HBC có phương trình ( x + 1) + y = Trọng tâm G ∆ABC thuộc Oy Tìm tọa độ đỉnh ∆ABC biết BC có phương trình x − y = B có hồnh độ dương Hướng dẫn tìm lời giải + Trước hết ta có tọa độ B, C giao điểm đường tròn ( x + 1) + y = thẳng BC : x − y = Giải hệ phương trình  −1 + 17 −1 + 17  ⇒ B  ;  ; 2    −1 − 17 −1 − 17  C  ;  2   A H B K đường O G C M D + Bây việc khó khăn tìm tọa độ A(x;y) theo trình tự suy luận sau: - Điểm G(0;a) thuộc Oy trọng tâm ∆ABC , sử dụng công thức trọng tâm ⇒ A(−1; y) - Gọi O I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ∆HBC ⇒ I O đối xứng qua BC (*), từ ta lập phương trình OI qua I(-1;0) vng góc BC ⇒ OI : x + y + = - Ta có, tọa độ  1 M = OI ∩ BC ⇒ M  − ; −  ⇒ O(0; −1)  2 A' I - Mặt khác OA = (bằng với bán kính đường trịn (C)) - đường tròn tâm O đường tròn tâm I đối xứng qua BC nên bán kính Giải phương trình OA = ⇒ A 1; −1 + 2 A 1; −1 − 2 ( ) ( ) Chắc bạn thắc mắc chỗ (*), ta giải thích nhé: + Do tứ giác BHCD hình bình hành (vấn đề chứng minh hoài rồi) ⇒ M trung điểm HA’ + Gọi D điểm đối xứng H qua BC ⇒ ADA ' = 900 (do KM đường trung bình ∆HDA ' , mà KM ⊥ HD ⇒ DA ' ⊥ HD ) ⇒ D ∈ (O) ⇒ (O) ngoại tiếp ∆BDC + Đường tròn (I) ngoại tiếp ∆BHC , mà ∆BHC đối xứng với ∆BDC qua BC ⇒ đường tròn tâm I đường tròn tâm O đối xứng qua BC ⇒ I O đối xứng qua BC (*) Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com Trang MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bài 12: ∆ABC cân A, gọi D trung điểm AB, D có tung độ dương, điểm  11   13  I  ;  tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Điểm E  ;  trọng tâm ∆ADC Điểm  3  3 M(3; −1) ∈ DC, N(−3;0) ∈ AB Tìm tọa độ A, B, C Hướng dẫn tìm lời giải + Trước tiên ta viết phương trình DC qua M vng góc với EI ⇒ DC : x − = (Tôi giải tích DC ⊥ EI để bạn hiểu: - Gọi F, H, K trung điểm BC, AC, AD ⇒ E = DH ∩ CK - Gọi G trọng tâm ∆ABC A K ⇒G= ∩ CD - Ta có E D CE CG = = ⇒ GE / /AB , mà CK CD AB ⊥ DI ⇒ GE ⊥ ID H - Lại có DE / /BC   ⇒ GI ⊥ DE ⇒ I trực GI ⊥ BC  tâm ∆DGE ) I G + Tiếp theo ta tìm tọa độ D : D ∈ DC ⇒ D(3; x) , giải phương trình DN.DI = ⇒ x = ⇒ D(3;3) + Ta viết tiếp phương trình AB (qua N, D) M(3;-1) N(-3;0) ⇒ AB : x − 2y + = C B + Đường thẳng AF qua I vng góc với DE ⇒ :x−y−2=0 F + Giải hệ A = AB ∩ ⇒ A(7;5) ⇒ B(−1;1) (do D trung điểm AB) + Đường thẳng BC qua B vng góc với IA ⇒ BC : x + y = + Giải hệ C = BC ∩ ⇒ C(3; −3) (Lưu ý đường thẳng CD qua M D - bạn tự viết nhé) Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com Trang MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bài 13: Cho ∆ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC G trọng tâm ∆ABM , điểm D(7;-2) điểm nằm đoạn MC cho GA = GD Tìm tọa độ điểm A, lập phương trình AB, biết hồnh độ A nhỏ AG có phương trình 3x - y - 13 = Hướng dẫn tìm lời giải Bước 1: Tìm tọa độ A + Ta tính khoảng cách B d(D; AG) = 10 + A ∈ AG ⇒ A(a;3a − 13) 3x-y-13=0 + Ta có gọi N trung điểm AB, ∆BMA vuông cân M nên NM đường trung trực G M N AB ⇒ GA = GB , mà GA = GD(gt) ⇒ GA = GB = GD ⇒ G tâm D(7;-2) đường tròn ngoại tiếp ∆ABD ⇒ AGD = 2.ABD = 900 (liên hệ góc tâm góc nội tiếp đường trịn tâm G ngoại tiếp ∆ABD ) ∆AGD vuông cân C A G ⇒ AD = 2.DG = 2.10 = 20 (giải thích chút xíu: ∆AGD vng G ⇒ d(D; AG) = DG = 10 ) a = > a = ⇒ A(3; −4) Giải phương trình AD = 20 ⇒  Bước 2: Lập phương trình đường thẳng AB Đường thẳng AB khơng dễ lập nên TH ta dựa vào góc đường thẳng để giải + Gọi VTPT đường thẳng AB n AB = (a; b) , đường thẳng AG có VTPT n AG = (3; −1) + Ta có c NAG = c (n AB ) ; n AG = 3a − b a + b 10 + Mặt khác NG = NM = NA, AG = NA + NG = ( 3.NG ) + NG = NG 10 3a − b NA 3 = ⇒ = 2 AG 10 10 a + b 10 b = ⇒ 6ab + 8b = ⇔  3a = −4b - Với b = 0, chọn a = ⇒ AB : x − = - Với 3a = -4b, chọn a = 4, b = - ⇒ AB : 4x − 3y − 24 = ⇒ c NAG = * Nhận thấy AB có phương trình 4x − 3y − 24 = d(A; AB) < 10 ⇒ G nằm ∆ABC (loại) Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com Trang MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bài 14: Cho hình chữ nhật ABCD có AB, AD tiếp xúc với đường trịn (C) có phương  16 23  trình : x + y + 4x − 6y + = , đường thẳng AC cắt (C) M  − ;  N, với  5  N ∈ Oy Biết S∆AND = 10 Tìm tọa độ A, B, C, D biết A có hồnh độ âm, D có hồnh độ dương Hướng dẫn tìm lời giải Q D P A + Công việc chuẩn bị: theo đề ta đường trịn (C) có tâm I(−2;3), R = 2, N(0;3) ∈ Oy N I(-2;3) M E B C + Lập phương trình AC (đi qua N M) : x + 2y − = + A ∈ AC ⇒ A ( − 2a; a ) , chứng minh APIQ hình vuông (P, Q tiếp điểm AD, AB với (C)) ⇒ AI = AQ + QI = 22 + 22 = 2  a = ⇒ A(−4;5) Giải phương trình ⇒  13  13  a = ⇒ A  ;  , xA >  5  + Gọi VTPT AD n = (m; n) ⇒ AD : m(x + 4) + n(y − 5) = ⇔ mx + ny + 4m − 5n =  m = ⇒ AD : y − = ⇒ D(d;5)  n = ⇒ AD : x + = ⇒ x D = −4 < Mà d(I; AD) = ⇒ ⇒ 2mn = ⇔  d = ⇒ D(6;5) d = −14 < + Lại có S∆AND = 10 ⇒ AD.d(N; AD) = 10 ⇒ ⇒  + Như lập phương trình DC qua A D ⇒ DC : x − = ⇒ C = AC ∩ CD , giải hệ ⇒ C(6; 0) + Chỉ tọa độ điểm B cuối cùng: gọi E = AC ∩ BD ⇒ E trung điểm AC  5   BD ⇒ E 1;  ⇒ B(−4;0) Bài 15: Cho hình thang ABCD có đáy AD // BC, AD = 3.BC Phương trình đường thẳng AD x − y = Điểm E(0;2) trung điểm AB, điểm P(1;-2) nằm đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh hình thang, biết hình thang có diện tích điểm A, D có hồnh độ dương Hướng dẫn tìm lời giải + Đường thẳng EF qua E B C // AD ⇒ : x − y + = + Ta có F E(0;2) BK = 2.EH = 2.d(E; AD) = = 2 P(1;-2) A H K D x-y=0 Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com Trang 10 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG + Mặt khác SABCD = ⇔ + Điểm F ∈ BC + AD BK = ⇔ ⇒ F(x; + x) , giải phương trình BK = ⇔ = 2   17  F  ;  9   = ⇒x=± ⇒   1 2 F  − ; −    4  17  * TH1: F  ;  , ta lập đường thẳng CD qua điểm F, P ⇒ CD : −5x + y + = 4  7 7  11 27  ⇒ D = CD ∩ AD , giải HPT ⇒ D  ;  ⇒ C  ;  (do F trung điểm CD) 4 4 4  * TH2: Các bạn tự làm tương tự Bài 16: Cho hình vng ABCD có tâm I(1;-1) điểm M thuộc CD cho MC = 2.MD Đường thẳng AM có phương trình 2x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A Hướng dẫn tìm lời giải A B + Trước hết ta tính + Do A ∈ AM ⇒ A(x; 2x − 5) , vấn đề phải IH = d(I; AM) = = I(1;-1) H 2x-y-5=0 thiết lập phương trình để tìm x !!! + Ta thấy ∆AIH vng H, tính AI (hoặc AH) có phương trình ẩn x Thật vậy, em quan sát suy luận sau đây: - Em chứng minh ( ) A1 + A = 450 ⇒ tan A1 + A = ⇔ tan A1 + tan A − tan A1.tan A C D M DM 1 - Mà tan A = = , thay vào (*) ⇒ tan A1 = AD IH ⇒ AH = ⇒ AI = AH + IH = - Lại có: ∆AIH vng H ⇒ tan A1 = AH  13  13  x = ⇒ A ;   - Bây giải phương trình AI = ⇒   5  x = ⇒ A(1; −3) Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com Trang 11 =1 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bây xem lại đề thi khối A-2012 có cách khai thác làm tương tự (trong đáp án BGD khó hiểu) Bài 17: (KA-2012) Cho hình vng ABCD, M trung điểm BC N thuộc CD cho = A  11  Điểm M  ;  , AN : 2x − y − = Tìm tọa độ A  2 Hướng dẫn tìm lời giải + Do A ∈ AN ⇒ A ( x; 2x − 3) B + Tính khoảng cách AH = d(M; AN) = + Bây ta cần tính đoạn AM để thiết lập phương trình tìm x sau: - Ta có 11 M( ; ) 2 2x-y-3=0 ( A1 + A + A3 = 900 ⇒ A = 900 − A1 + A H D ⇒ cot A = cot 900 − A1 + A  = tan A1 + A   ( C N ) ) ( ) 1 DN BM + + = ⇒ A = 450 AD AB ⇒ cot A = = = DN BM 1 − tan A1.tan A − 1− AD AB HM =3 - Xét ∆AHM vuông H ⇒ AM = sin 45 - Giải phương trình AM = ⇒ x = ? ⇒ A ? tan A1 + tan A Bài 18: (KA-2013) Cho hình chữ nhật ABCD có M đối xứng với B qua C Điểm N(5; −4) hình chiếu vng góc B DM Điểm C nằm đường thẳng 2x + y + = 0, A(−4;8) Tìm tọa độ B C Hướng dẫn tìm lời giải + Điểm C ∈ d ⇒ C(x; −2x − 5) A(-4;8) B + Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD ⇒ I trung điểm AC I d:2x+y+5=0 D C N(5;-4) M Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com  x − −2x +  ⇒ I ;    + Ta dễ dàng chứng minh IN = IA , giải phương trình ⇒ x = ⇒ C (1; −7 ) + Đến ta lập phương trình AC (đi qua điểm A C), điểm B điểm đối xứng N qua AC ⇒ B(−4; −7) Trang 12 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Cách khác: A(-4;8) + Điểm B C ∈ d ⇒ C(x; −2x − 5) , I d:2x+y+5=0 vẽ hình xác, dự đốn rằng: AN ⊥ NC ⇒ AN.NC = , giải phương trình D ⇒x⇒C C (Ta chứng minh AN ⊥ NC sau: Chứng minh ADMC hình bình hành ⇒ AC ⊥ NB Trong ∆ANM có C trung điểm BM, EC // NM ⇒ N(5;-4) M E trung điểm BN ⇒ ∆ABC = ∆ANC ⇒ ANC = 900 ) B ∈ BN (trong BN đường thẳng qua N vng góc BC = CN + Để tìm tọa độ B ta giải hệ  với AC) Bài 19: Cho hình chữ nhật ABCD, A(5; −7), C ∈ d : x − y + = Đường thẳng qua D trung điểm M AB có phương trình ∆ : 3x − 4y − 23 = Tìm tọa độ B, C biết x B > Hướng dẫn tìm lời giải B + C ∈ d ⇒ C(x; x + 4) + Do M trung điểm AB C ⇒ d(C; ∆ ) = 2.d(A; ∆ ) , 3x-4y-23=0 I M x-y+4=0 giải phương trình  x = ⇒ C(1;5) ⇒  x = −79 < D A(5;-7) 2m − 23  3m −    , mà M trung điểm AB ⇒ B  2m − 5;     + Gọi I tâm hình chữ nhật ⇒ I(3; −1) trung điểm AC, I trung điểm BD ⇒ từ ta biểu diễn tọa độ D thông qua ẩn m Lại có D thuộc ∆ nên giải phương  33 21  trình D ∈ ∆ ⇒ B  ;   5    + Ta có M ∈ ∆ ⇒ M  m; Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com Trang 13 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bài 20: Cho đường tròn (C) : ( x − ) + y = Tìm M thuộc trục tung cho qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (C) (A, B tiếp điểm) Biết AB qua E(4;1) Hướng dẫn tìm lời giải Bài tập cung cấp cho bạn phương pháp lập phương trình đường thẳng dựa theo ý tưởng quỹ tích + Do M ∈ Oy ⇒ M(0; m) A + Đường tròn (C’) ngoại tiếp tứ giác MAIB có tâm  a F  2;  trung điểm MI,  2 M I(4;0) F bán kính R'= MI 16 + a = 2 a  ⇒ (C ') : ( x − ) +  y −  2  16 + a = B E(4;1) + Ta có tọa độ A, B giao (C) (C’) nghiệm hệ phương trình : ( x − )2 + y =   a  16 + a ⇒ −4x + ay + 12 =  ( x − ) +  y −  = 2   + Từ suy AB có phương trình −4x + ay + 12 = , mà E thuộc AB ⇒ m = ⇒ M(0; 4) Bài 21: Cho hình vng ABCD, tia đối tia DA lấy điểm P cho ABP = 600 Gọi K, M, N trung điểm BP, CP, KD Tìm tọa độ D biết tọa độ M(1;2), N(1;1) Hướng dẫn tìm lời giải P + Đây loại tốn mà hình khơng có phương trình cạnh nên ta sử dụng phương pháp tính độ dài cạnh hình vng Nếu gọi cạnh hình vng x, ta có: M(1;2) - Đoạn MN có độ dài - Gọi E trung điểm CK D C N(1;1) K ⇒ ME / /PB; ME = E - ∆PAB vuông A, PBA = 600 ⇒ PB = 2x ⇒ ME = NE = A 1 PK = PB; MEN = PBA = 600 B x , mà DC x = ⇒ ∆MEN ⇒ MN = ME = NE = ⇒ x = 2 + Như ta tính cạnh hình vng 2, ta suy luận để tìm tọa độ D - Gọi D(a;b), mà đề cho điểm M, N biết tọa độ rồi, Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com Trang 14 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG hướng suy nghĩ tính DN DM sau: DK PB , để ý ∆DPK có DPK = 300 , PK = = , cần tính PD để áp 2 dụng định lý hàm số cos ∆DPK tính DK - Ta có DN = Ở PD = AP − AD = PD − AB2 − AD = − , quay trở lại để áp dụng định lý hàm số cos ∆DPK ⇒ DK ⇒ DN = − (1) - Ta có DM = PC PD2 + DC2 = = − (2) 2  1  D  ;  2 + Cuối cùng, giải hệ phương trình gồm (1) (2) ⇒  D  ;     3   3   Bài 22: Cho hình thang vng ABCD vng A D có AB = AD < CD, B(1; 2) , đường thẳng BD có phương trình y = Biết đường thẳng d : 7x − y − 25 = cắt đoạn thẳng AD, CD M N cho BM ⊥ BC tia BN tia phân giác MBC Tìm tọa độ điểm D, biết D có hồnh độ dương Hướng dẫn tìm lời giải A M B(1;2) y-2=0 I D H N C d:7x-y-25=0 + Ta có d(B; d) = = 2 + Ta có ∆BMN = ∆BNC (do BN chung, MBN = CBN; BM = BC (do ∆BAM = ∆BHC) ⇒ BI = BH = 2 (2 đường cao tương ứng tam giác nhau) ⇒ BD = BH = (do ∆BDH vuông cân H) + Do D ∈ BD ⇒ D(b; 2) , giải phương  d = −3 < d = ⇒ D(5; 2) trình BD = ⇒  3 9   Bài 23: Cho hình thang vng ABCD vng A B có BC = 2.AD, H  ;  hình 5 chiếu vng góc B lên CD Xác định tọa độ điểm B, D hình thang, biết A(−3;1) , trung điểm BC điểm M nằm đường thẳng x + 2y − = Hướng dẫn tìm lời giải Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com Trang 15 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG A(-3;1) + M ∈ d ⇒ M(1 − 2x; x) + Do ADMB hình chữ nhật ⇒ tứ giác ADMB nội tiếp đường trịn đường kính DB, mà DHB = 900 ⇒ H thuộc đường trịn đường kính DB ⇒ điểm A, D, H, M, B nằm đường trịn đường kính DB ⇒ tứ giác AHMB nội tiếp ⇒ AHM = 900 (do ABM = 900 ) Đến ta giải phương trình D H( ; ) 5 O B C M HA.HM = ⇒ M(1;0) + Mà AM // DC (do ADMC hình bình hành) ⇒ đường thẳng DC d:x+2y-1=0 qua H song song với AM ⇒ DC : 5x + 20y − 39 =   1 + Ta có O  −1;  trung điểm AM, giải tiếp hệ    12   7 D − ;  ⇒ B − ; −   D ∈ DC  5  5 ⇒  OD = OA  D  ;  ⇒ B  − 13 ; −       5   5 5 Bài 24: Cho hình vng ABCD có A(3; 4) Gọi M, N trung điểm AD DC E giao điểm BN CM Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp ∆BME , biết BN có phương trình x − 3y + = điểm B có tọa độ nguyên Hướng dẫn tìm lời giải + Trước hết, quan sát hình vẽ ta thấy tập dạng này, ta chứng minh MC ⊥ BN ⇒ ∆BEM vuông E (bạn tự chứng minh điều làm vài lần rồi) ⇒ đường trịn ngoại tiếp ∆BEM có tâm I trung điểm MB, bán kính R = IB Như điểm định phải tìm tọa độ B I (ở đề cho B có tọa độ nguyên nên chắn phải suy nghĩ đến việc tìm tọa độ B rồi) + B ∈ BN : x − 3y + = ⇒ B(3b − 1; b) , ⇒ ta cần thiết lập phương trình để tìm b = ? Bây dừng tiếp tục quan sát hình xem bạn suy luận ! + Nếu gọi P trung điểm BC, Q = AP ∩ BN ⇒ chứng minh AP đường thẳng qua A ⊥ BN ⇒ AP : 3x + y − 13 =  19  + Tọa độ Q = AP ∩ BN , giải hệ có Q  ;  ⇒ AQ =  5 + Mà AQ = BE (do ∆AQB = ∆BEC ) ⇒ BE = 32 32 , lại có BE = 2.BQ , giải phương trình  b = ∉Z  BE = 2.BQ ⇒ ⇒ B(5; 2) (Đã tìm B - gần xong rồi)  b = Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com Trang 16 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG + Bây tìm I nhé: Gọi I trung điểm MB ⇒ I trung điểm AP (do ABPM hình chữ nhật) ⇒ I ∈ AP ⇒ I(x;13 − 3x) Để tìm x, bạn cần giải phương trình IA = BI ⇒ x = 7   5 10 Như tốn có đáp số  x −  +  y −  = 2  2  A(3;4) B I Q P M E D C N x - 3y + = Bài 25: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = AB , AB có phương trình 2x + y + = , H(0;1) trung điểm BC, M trung điểm AD I giao điểm AC BM Viết phương trình đường trịn qua điểm B, I, C A M D I 2x+y+4=0 B H(0;1) C Hướng dẫn tìm lời giải + Với dạng tập này, theo kinh nghiệm ta chứng minh ∆BIC vuông I (đây định thành công) Thật vậy: 1 AD AB AM 2 Ta có tan B1 = = = = , AB AB AB AB AB AB tan C1 = = = = BC AD AB 2 ⇒ B1 = C1 , mà B1 + B2 = 900 ⇒ C1 + B2 = 900 ⇒ BIC = 900 ⇒ ∆BIC vuông I + Như vậy, đường tròn qua điểm B, I, C có tâm H(0;1), bán kính = = d(H; AB) = Ta có đáp số cuối bài: x + ( y − 1) = Bài 26: Cho hình vuong ABCD, A(-1;2) Các điểm M, N trung điểm AD, BC E giao điểm BN CM Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp ∆BME biết B có hồnh độ lớn đường thẳng BN có phương trình : 2x + y − = Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com Trang 17 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Hướng dẫn tìm lời giải + Nhận thấy ∆BME vuông E (bạn xem lại cách chứng minh - dễ thơi) ⇒ đường trịn ngoại tiếp ∆BME có tâm F trung điểm BM, bán kính R = FB = FM Như ta phải tìm tọa độ B M * Bước 1: Tìm tọa độ B A(-1;2) M D K N F BN:2x+y-8=0 E H B C I + B ∈ BN ⇒ B(b,8 − 2b) , mà d ( A; BN ) = 2.(−1) + − 2 +1 = (bạn nhớ hình học tọa độ phẳng cho điểm biết tọa độ, đường thẳng có phương trình ta ln có thói quen tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, gợi ý quan trọng để tìm hướng giải) + Nếu gọi I trung điểm BC, H = AI ∩ BN ⇒ ∆ABI vuông B, đường cao BH 8  AB  AB2 + BI = AB2 +   = 4AB ⇒ AB = 5    = ⇒ AB2 = AH.AI = * Bước 2: Tìm tọa độ M + Gọi K = BN ∩ AD ⇒ D trung điểm AK (do KD DN = = ) KA AB ⇒ đường thẳng AK (đi qua A, vng góc AB) : x + = ⇒ K = AK ∩ BN ⇒ K(−1;10) ⇒ D(−1; 6) ⇒ M(−1; 4) 2 Vậy đáp số toán : ( x − 1) + ( y − 3) = Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com Trang 18 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bài 27: Cho ∆ABC có A(−1; 2), B(2; 0), C(−3;1) Gọi M điểm di động BC Gọi R1 ; R bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABM ∆ACM Hãy xác định tọa độ điểm M để R1 + R nhỏ Hướng dẫn tìm lời giải A(-1;2) R1 O1 R2 O2 C(-3;1) B(2;0) M + Áp dụng định lý hàm sin ∆AMB có : AB ( sin AMB ) = 2R1 ⇒ R = AB ( 2.sin AMB = ) 13 ( 2.sin AMB ) + Áp dụng định lý hàm sin ∆AMC có : AC ( sin AMC ) = 2R ⇒ R = ⇒ R1 + R = 13 ( 2.sin AMB ) AC ( 2.sin AMC + ( ) = ( 2.sin AMC ) ( 2.sin AMC ) ( ) ) + Mặt khác ta có : sin AMB = sin AMC (do AMB, AMC góc bù nhau) ⇒ R1 + R = 13 + ⇒ ( R1 + R )MIN ⇔ sin AMB   M 2.sin AMB ( ( ) ) ( ) ⇔ sin AMB = ⇒ AMB = 900 ⇒ AM ⊥ BC ⇒ M hình chiếu vng góc A BC Như vậy, bạn lập phương trình BC tìm hình chiếu vng góc A BC  33 17  đáp số M  ;   26 26  Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h ThuVienDeThi.com Trang 19 ... tìm tọa độ B M * Bước 1: Tìm tọa độ B A(-1;2) M D K N F BN:2x+y-8=0 E H B C I + B ∈ BN ⇒ B(b,8 − 2b) , mà d ( A; BN ) = 2.(−1) + − 2 +1 = (bạn nhớ hình học tọa độ phẳng cho điểm biết tọa độ, ... Trang MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bài 9: ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm I(-2;0), A(3;-7), trực tâm H(3;-1) Xác định tọa độ C biết C có hồnh độ dương Hướng dẫn tìm lời... ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bài 27: Cho ∆ABC có A(−1; 2), B(2; 0), C(−3;1) Gọi M điểm di động BC Gọi R1 ; R bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABM ∆ACM Hãy xác định tọa độ điểm