Hình học không gian cổ ñiển trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học18476

Hình h c khơng gian c n kỳ thi n sinh đ i h c Trích t ñ thi n sinh ð i h c kh i A-2014 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh b ng a, SD = 3a Hình chi u vng góc c a S lên m t ph ng ñáy (ABCD) trung ñi m c a c nh AB Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD kho ng cách t A ñ n m t ph ng (SBD) Hư ng d n gi i G i H trung ñi m c a AB, suy SH ⊥ ( ABCD ) Do đó: SH ⊥ HD Ta có ( ) SH = SD − DH = SD − AH + AD = a Suy VS ABCD = SH S ABCD = a3 G i K hình chi u vng góc c a H lên BD E hình chi u vng góc c a H lên SK Ta có  BD ⊥ HK ⇒ BH ⊥ ( SHK )   BD ⊥ SH Suy BD ⊥ HE mà HE ⊥ SK ⇒ HE ⊥ ( SBD ) Ta có: HK = HB.sin KBH = HS HK a Suy HE = HS + HK = a Do ñó: d ( A; ( SBD ) ) = 2d ( H ; ( SBD ) ) = 3HE = 2a Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i B-2014 Cho lăng tr ABC.A’B’C’ có đáy tam giác đ u c nh a Hình chi u vng góc c a A’ lên m t ph ng (ABC) trung ñi m c a c nh AB, góc gi a đư ng th ng A’C m t ph ng ñáy b ng 600 Tính theo a th tích c a kh i lăng tr ABC.A’B’C’ kho ng cách t ñi m B ñ n m t ph ng (ACC’A’) Hư ng d n gi i G i H trung ñi m c a AB, A ' H ⊥ ( ABC ) A ' CH = 600 Do A ' H = CH tan A ' CH = tr VABC A' B 'C ' = 3a Do th tích kh i lăng 3a G i I hình chi u vng góc c a H lên AC; K hình chi u vng góc c a H lên A’I Suy HK = d ( H , ( ACC ' A ' ) ) Ta có: HI = AH sin IAH = 3a 1 52 13a ; = + = ⇒ HK = 2 HK HI HA ' 9a 26 ThuVienDeThi.com Do đó: d ( B; ( ACC ' A ') ) = 2d ( H ; ( ACC ' A ') ) = HK = 13a 13 Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i D-2014 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân t i A, m t ph ng bên SBC tam giác ñ u c nh a m t ph ng (SBC) vng góc v i m t ph ng đáy Tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABC kho ng cách gi a hai ñư ng th ng SA, BC Hư ng d n gi i BC a = 2 3a a S∆ABC = BC AH = SH ⊥ ( ABC ) , SH = 2 3a Th tích c a kh i chóp VS ABC = SH S∆ABC = 24 G i H trung ñi m c a BC, suy AH = G i K hình chi u vng góc c a H lên SA, Suy HK ⊥ SA Ta có BC ⊥ ( SAH ) ⇒ BC ⊥ HK Do đó: HK đư ng vng góc chung c a BC SA 1 16 3a = + = Do đó: d ( BC ; SA ) = HK = 2 HK SH AH 3a Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i A-2013 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông t i A, ABC = 300 , SBC tam giác đ u c nh a Ta có m t bên SBC vng góc v i đáy Tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABC kho ng cách t ñi m C ñ n m t ph ng (SAB) Hư ng d n gi i G i H trung ñi m c a BC, suy SH ⊥ BC Mà ( SBC ) vng góc v i ( ABC ) theo giao n BC, nên SH ⊥ ( ABC ) Ta có: a a ; AC = BC sin 300 = ; 2 a AB = BC.cos 300 = a3 Do đó: VS ABC = SH AB AC = 16 BC = a ⇒ SH = Tam giác ABC vuông t i A H trung ñi m c a BC nên HA = HB Mà SH ⊥ ( ABC ) , suy SA = SB = a G i I trung ñi m c a AB, suy SI ⊥ AB ThuVienDeThi.com Do đó: SI = SB − AB a 13 3V 6V a 39 Suy : d ( C ; ( SAB ) ) = S ABC = S ABC = = 4 S ∆SAB SI AB 13 Trích t ñ thi n sinh ð i h c kh i B-2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a M t SAB tam giác ñ u n m m t ph ng vng góc v i m t ph ng đáy Tính th tích kh i chóp S.ABCD tính kho ng cách t A ñ n m t ph ng (SCD) theo a Hư ng d n gi i G i H trung ñi m c a AB, suy SH vng góc v i AB SH = a Mà m t ph ng (SAB) vng góc v i m t ph ng (ABCD) theo giao n AB, nên SH ⊥ ( ABCD ) Do đó: VS ABCD = SH S ABCD = a3 Do AB song song v i CD H thu c AB nên d ( A, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) G i K trung m c a CD I hình chi u vng góc c a H SK Ta có: HK ⊥ CD Mà SH ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SHK ) CD ⊥ HI Do ñó: HI ⊥ ( SCD ) Suy ra: d ( A, ( SCD ) ) = HI = SH HK = a 21 SH + KH Trích t ñ thi n sinh ð i h c kh i D-2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi c nh a, c nh bên SA vng góc v i đáy, BAD = 1200 , M trung ñi m c a c nh BC SMA = 450 Tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABCD kho ng cách t D ñ n m t ph ng (SBC) Hư ng d n gi i BAD = 1200 ⇒ ABC ⇒ ∆ABC ñ u a a3 ⇒ AM = ⇒ S ABCD = 2 ∆SAM vuông t i A có SMA = 450 ⇒ ∆SAM vng t i a A SA = AM = a3 Do đó: VS ABCD = SA.S ABCD = Do AD song song v i BC nên d ( D, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC) ) G i H hình chi u vng góc c a A SM  AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAM )  SA ⊥ BC Ta có:  ⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH Ta có: AH = AM a a = ⇒ d ( D, ( SBC ) ) = 4 Trích t đ thi n sinh Cao ñ ng-2013 Cho lăng tr ñ u ABC.A’B’C’ có AB = a ñư ng th ng A’B t o v i ñáy m t góc b ng ThuVienDeThi.com 600 G i M N l n lư t trung ñi m c a c nh AC B’C’ Tính theo a th tích c a kh i lăng tr ABC.A’B’C’ đ dài MN Hư ng d n gi i AA ' ⊥ ( ABC ) ⇒ A ' BA góc gi a A’B v i ñáy Suy ra: A ' BA = 600 ⇒ AA ' = AB tan A ' BA = a Do VABC A ' B 'C ' = AA '.S∆ABC = 3a G i K trung ñi m c a c nh BC Suy ∆MNK vuông t i K, có AB a = , NK = AA ' = a 2 a 13 Do đó: MN = MK + NK = MK = Trích t ñ thi n sinh ð i h c kh i A-2012 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đ u c nh a Hình chi u vng góc c a S lên m t ph ng (ABC) H thu c c nh AB cho HA = HB Góc gi a hai đư ng th ng SC m t ph ng (ABC) b ng 600 Tính th tích c a kh i chóp S.ABC tính kho ng cách gi a hai ñư ng th ng SA BC theo a Hư ng d n gi i Ta có: SCH góc gi a SC m t ph ng (ABC) Suy SCH = 600 a a a 21 HC = HD + CD = , SH = HC tan 600 = 3 G i D trung ñi m c a c nh AB Ta có: HD = , CD = a 1 a 21 a a = VS ABC = SH S ∆ABC = 3 12 K Ax song song v i BC, g i N K l n lư t hình chi u vng góc c a H lên Ax SN Ta có BC song song v i m t ph ng (SAN) BA = HA Nên d ( SA, BC ) = d ( B, ( SAN ) ) = d ( H ( SAN ) ) Ta có: Ax ⊥ ( SHN ) ⇒ Ax ⊥ HK Do đó: HK ⊥ ( SAN ) ⇒ d ( H , ( SAN ) ) = HK AH = 2a a , HN = AH sin 600 = , HK = 3 SH HN SH + HN 2 = a 42 a 42 v y d ( SA, BC ) = 12 Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i B-2012 Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC v i SA = 2a , AB = a G i H hình chi u vng góc c a A lên c nh SC Ch ng minh SC vuông góc v i m t ph ng ( ABH ) Tính th tích c a kh i chóp S.ABH theo a Hư ng d n gi i ThuVienDeThi.com G i D trung ñi m c a c nh AB O tâm c a tam giác  AB ⊥ CD nên AB ⊥ ( SCD ) , Do AB ⊥ SC  AB ⊥ SO ABC Ta có  M t khác SC ⊥ AH , Suy SC ⊥ ( ABH ) a a a 33 , OC = nên SO = SC − OC = 3 SO.CD a 11 11a = ⇒ S ∆ABH = AB.DH = Do đó: DH = SC Ta có: CD = Ta có: SH = SC − HC = SC − CD − DH = 7a 11a Do đó: VS ABH = SH S∆ABH = 96 Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i D-2012 Cho hình h p đ ng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân A ' C = a Tính th tích c a kh i t di n ABB’C’ kho ng cách t ñi m A ñ n m t ph ng (BCD’) theo a Hư ng d n gi i Tam giác A’AC vuông cân t i A A ' C = a nên A ' A = AC = a a Do đó: AB = B ' C ' = 2 1 a3 VABB 'C ' = B ' C '.S ∆ABB ' = B ' C ' AB.BB ' = 48 G i H chân ñư ng cao k t A c a tam giác A’AB Ta có  AH ⊥ A ' B ⇒ AH ⊥ ( A ' BC ) Nghĩa :   AB ⊥ BC AH ⊥ ( BCD ') ⇒ AH = d ( A, ( BCD ') ) Ta có: 1 a = 2+ Do đó: d ( a, ( BCD ') ) = AH = 2 AH AB AA' Trích t đ thi n sinh Cao đ ng kh i A-2012 Cho kh i chóp S.ABC có ñáy ABC tam giác vuông cân t i A, AB = a 2, SA = SB = SC Góc gi a đư ng th ng m t ph ng (ABC) b ng 600 Tính th tích c a kh i chóp S.ABC theo a Hư ng d n gi i G i H trung ñi m c a BC ⇒ HA = HB = HC K t h p v i gi thi t SA = SB = SC ⇒ SH ⊥ BC , ∆SHA = ∆SHB = SHC  SH ⊥ ( ABC )   SAH = 60 Tam giác ABC tam giác vuông cân t i A AC = AB = a ⇒ BC = 2a ⇒ AH = a Tam giác SHA vuông 1 3a3 SH = AH × tan 600 = a ⇒ VS ABC = AB AC.SH = 3 ThuVienDeThi.com G i O;R l n lư t tâm bán kính c a m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC Suy O thu c ñư ng th ng SH, nên O thu c m t ph ng (SBC) Do đó: R bán kính ñư ng tròn ngo i ti p tam giác SBC Xét tam giác SHA ta có: SA = có đ dài c nh b ng 2a Suy : R = SH = 2a ⇒ ∆SBC tam giác ñ u sin 600 2a 2a = sin 60 Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i A-2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân t i B, AB = BC = 2a; hai m t ph ng ( SAB ) ( SAC ) vuông góc v i m t ph ng (ABC) G i M trung ñi m c a AM; m t ph ng qua SM song song v i B, c t AC t i N Bi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) (ABC) b ng 600 Tính th tích c a kh i chóp S.BCNM kho ng cách gi a hai đư ng th ng AB SN theo a Hư ng d n gi i Hai m t ph ng (SAB) (SAC) vng góc v i (ABC) ⇒ SA ⊥ ( ABC ) AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC ⇒ SBA góc gi a hai m t ph ng (SBC) m t ph ng (ABC) ⇒ SBA = 600 ⇒ SA = AB tan SBA = 2a M t ph ng qua SM song song v i BC, c t AC t i N ⇒ MN // BC N trung ñi m c a BC AB = a; BM = =a 2 ( BC + MN ) BM = 3a Di n tích : S BCNM = 2 Th tích VS BCNM = S BCNM SA = a 3 K ñư ng th ng ∆ ñi qua N, song song v i AB H AD ⊥ ∆ ( D ∈ ∆ ) ⇒ AB // ( SND ) AC MN = ⇒ d ( AB; SN ) = d ( AB, ( SND ) ) = d ( A, ( SND ) ) H AH ⊥ SD ( H ∈ SD ) ⇒ AH ⊥ ( SND ) ⇒ d ( A, ( SND ) ) = AH  AH ⊥ SD ⇒ d ( AB, SN ) = AH =  AD = MN = a Tam giác SAD vuông t i A:  SA AD SA2 + AD = 2a 39 13 Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i B-2011 Cho lăng tr ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình ch nh t, AB = A, AD = a Hình chi u vng góc c a m A1 lên m t ph ng (ABCD) trung v i giao ñi m c a AC BD Góc gi a hai m t ph ng ( ADD1 A1 ) (ABCD) b ng 600 Tính th tích c a kh i lăng tr ñã cho kho ng cách t ñi n B1 ñ n m t ph ng ( A1 BD ) theo a Hư ng d n gi i G i O giao ñi m c a AC BD ⇒ A1O ⊥ ( ABCD ) OE ⊥ AD  A1 E ⊥ AD G i E trung ñi m c a AD ⇒  Suy A1EO góc gi a hai m t ph ng ( ADD1 A1 ) (ABCD) ⇒ A1EO = 600 ThuVienDeThi.com AB a tan A1 EO = 2 = AB AD = a Suy ra: A1O = OE tan A1 EO = Di n tích đáy S ABCD Th tích VABCD A ' B ' C ' D ' = S ABCD × A1O = 3a Ta có B1C // A1 D ⇒ B1C // ( A1 BD ) ⇒ d ( B1 , ( A1 BD ) ) = d ( C , ( A1 BD ) ) = CH Suy d ( B1 ( A1 BD ) ) = CH = CD.CB CD + CB 2 = a Trích t ñ thi n sinh ð i h c kh i D-2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông t i B, BA = 3a, BC = 4a , m t ph ng (SBC) vuông góc v i m t ph ng (ABC) Bi t SB = 2a SBC = 300 Tính th tích c a kh i chóp S.ABC kho ng cách t ñi m B ñ n m t ph ng (SAC) theo a Hư ng d n gi i H SH ⊥ BC ⇒ ( SBC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ BC ; SH = SB.sin SBC = a 12 Di n tích: S ABC = BA.BC = 6a Th tích VS ABC = S ABC SH = 2a 3 H HD ⊥ AC ( D ∈ AC ) , HK ⊥ SD ( K ∈ SD ) ⇒ HK ⊥ ( SAC ) ⇒ HK = d ( H , ( SAC ) ) BH = SB.cos SBC = 3a ⇒ BC = HC ⇒ d ( B, ( SAC ) ) = 4d ( H , SAC ) Ta có AC = BA2 + BC = 5a; HC = BC − BH = a ⇒ HD = BA HK = SH HD SH + HD = HC 3a = AC 3a 14 V y d ( B, ( SAC ) ) = HK = 6a 7 Trích t ñ thi n sinh Cao ñ ng kh i A-2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân t i B, AB = a, SA vng góc v i m t ph ng (ABC), góc gi a hai m t ph ng (SBC) (ABC) b ng 300 G i M trung ñi m c a c nh SC Tính th tích c a kh i chóp S.ABM theo a Hư ng d n gi i ThuVienDeThi.com  SA ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC  AB ⊥ BC Ta có  Do ñó: góc gi a hai m t ph ng (SBC) (ABC) b ng SBA = 300 1 VS ABM = VS ABC = SA AB.BC 12 BC = AB = a; SA = AB tan 300 = V y VS ABM = a 3 a3 36 Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i A-2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a G i M N l n lư t trung ñi m c a c nh AB AD; H giao ñi m c a N DM Bi t SH vng góc v i m t ph ng (ABCD) SH = a Tính th tích c a kh i chóp S.CDNM kho ng cách gi a hai ñư ng th ng DM SC theo a Hư ng d n gi i Th tích c a kh i chóp S.CDNM SCDNM = S ABCD − S AMN − SBC 1 AM AN − BC.BM 2 2 5a a a = a2 − − = 8 = AB − V y VSCDNM = SCDNM SH = 3a 24 Kho ng cách gi a hai ñư ng th ng DM SC ∆ADM = ∆DCN ⇒ ADM = DCN ⇒ DM ⊥ CN k t h p v i ñi u ki n DM ⊥ SH ⇒ DM ⊥ ( SHC ) H HK ⊥ SC ( K ∈ SC ) ⇒ HK đo n vng góc chung c a DM SC Do đó: d ( DM , SC ) = HK  CD 2a HC = =  CN 3a  Ta có :  ⇒ d ( DM , SC ) = 19 3a  HK = SH HC = 2  19 SH + HC Trích t Cho hình lăng tr tam giác ñ (ABC) b ng 600 G i G tr cho bán kính m t c u ngo ñ thi n sinh ð i h c kh i B-2010: u ABC.A’B’C’ có AB = a , góc gi a hai m t ph ng (A’BC) ng tâm c a tam giác A’BC Tính th tích c a kh i lăng tr i ti p t di n GABC theo a Hư ng d n gi i ThuVienDeThi.com Th tích kh i lăng tr G i D trung ñi m c a BC ta có: BC ⊥ AD ⇒ BC ⊥ A ' D ⇒ ADA ' = 600 3a a2 Ta có: AA ' = AD.tan ADA ' = ; S ABC = 3a Do đó: VABC A ' B 'C ' = S ABC × AA ' = Bán kính m t c u ngo i ti p t di n GABC G i H tr ng tâm c a tam giác ABC, suy ra: GH // AA ' ⇒ GH // ( ABC ) G i I tâm c a m t c u ngo i ti p t di n GABC, ta có I giao m c a GH v i ñư ng trung tr c c a AG m t ph ng (AGH G i E trung m c a AG, ta có: R = GI = GE.GA GA2 = 2GH GH Ta có 7a AA ' a a ; GA2 = GH + AH = = ; AH = 3 12 7a 7a Do đó: R = × = 2.12 a 12 GH = Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i D-2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a, c nh bên SA = a; hình chi u vng góc c a ñ nh S lên m t ph ng (ABCD) ñi m H thu c ño n AC, AH = AC G i CM ñư ng cao c a tam giác SAC Ch ng minh M trung ñi m c a SA tính th tích c a kh i t di n SMBC theo a Hư ng d n gi i Ch ng minh M trung ñi m c a SA a a 14 ; SH = SA2 − AH = 4 3a ; SC = SH + HC = a ⇒ SC = AC HC = AH = Do đó: tam giác SAC cân t i C, Suy M trung ñi m c a SA Tính th tích c a kh i t di n SBCM M trung ñi m c a SA suy 1 S SCA ⇒ VSBCM = VB.SCA = VS ABC 2 a 14 ⇒ VSBCM = S ABC × SH = 48 S SCM = Trích t đ thi n sinh Cao đ ng kh i A-2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a, m t ph ng (SAB) vng góc v i m t ph ng đáy, SA = SB, góc gi a đư ng th ng SC m t ph ng ñáy b ng 450 Tính th tích c a kh i chóp S.ABCD theo a ThuVienDeThi.com Hư ng d n gi i G i I trung ñi m c a AB Ta có SA = SB ⇒ SI ⊥ AB Mà hai m t ph ng (SAB) m t ph ng (ABCD) vng góc v i nên suy SI ⊥ ( ABCD ) Góc gi a SC m t ph ng (ABCD b ng SCI = 450 , Suy SI = IC = IB + BC = a Th tích c a kh i chóp a3 (đơn v" th tích) VS ABCD = SI S ABCD = Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i A-2009: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng t i A D; AB = AD = 2a , CD = a ; góc gi a hai m t ph ng (SBC) (ABCD) b ng 600 G i I trung ñi m c a c nh AD Bi t hai m t ph ng (SBI) (SCI) vng góc v i m t ph ng (ABCD) Tính th tích c a kh i chóp S.ABCD theo a Hư ng d n gi i ( SIB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SI ⊥ ( ABCD )  ( SIC ) ⊥ ( ABCD ) K IK ⊥ BC ( K ∈ BC ) ⇒ BC ⊥ ( SIK ) ⇒ SKI = 600 Di n tích hình thang ABCD : S ABCD = 3a T#ng di n tích tam giác ABI CDI 3a 3a b ng , suy S∆IBC = 2 2S 5a 15a BC = ( AB − CD ) + AD = a ⇒ IK = ∆IBC = ⇒ SI = IK tan SKI = 5 BC 3 15a Th tích c a kh i chóp S.ABCD: V = S ABCD SI = Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i B-2009: Cho hình tr tam giác ABC.A’B’C’ có BB ' = a , góc gi a đư ng th ng BB’ m t ph ng (ABC) b ng 600 ; tam giác ABC vuông t i C BAC = 600 Hình chi u vng góc c a B’ lên m t ph ng (ABC) trùng v i tr ng tâm c a tam giác ABC Tính th tích c a kh i t di n A’ABC theo a Hư ng d n gi i ThuVienDeThi.com G i D trung ñi m c a AC G tr ng tâm c a tam giác ABC ta có B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ B ' BG = 600  a  B ' G = BB '.sin B ' BG = ⇒ BD = 3a   BG = a  Tam giác ABC có: AB AB ΑB , AC = ⇒ CD = 2 AB AB 9a 3a 13 9a ; S ∆ABC = Ta l i có: BC + CD = BD ⇒ + = ⇒ AB = 16 16 26 104 9a Th tích c a kh i t di n A’ABC: VA ' ABC = VB ' ABC = B ' G.S∆ABC = 208 BC = Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i D-2009: Cho hình lăng tr đ ng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông t i B, AB = a; AA ' = 2a; A ' C = 3a G i M trung ñi m c a ño n th ng A’C’, I giao ñi m c a AM A’C Tính theo a th tích c a kh i t di n IABC kho ng cách t ñi m A ñ n m t ph ng (IBC) Hư ng d n gi i H IH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ IH ⊥ ( ABC ) ; IH ñư ng cao c a t di n IABC Suy IH // AA ' ⇒ IH CI 2 4a = = ⇒ IH = AA ' = 3 AA ' CA ' AC = A ' C − A ' A2 = a 5; BC = AC − AB = 2a Di n tích tam giác ABC: S∆ABC = AB.BC = a 2 V y th tích c a kh i t di n IABC: 4a V = IH S ∆ABC = H AK ⊥ A ' B ( K ∈ A ' B ) Vì BC ⊥ ( ABB ' A ') nên AK ⊥ BC Suy AK ⊥ ( IBC ) Kho ng cách t A ñ n m t ph ng (IBC) AK AK = S ∆AA ' B = A' B AA ' AB A ' A2 + AB = 2a 5 Trích t đ thi n sinh Cao đ ng kh i A-2009: Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có AB = a, SA = a G i M, N P l n lư t trung ñi m c a c nh SA, SB CD Ch ng minh r ng ñư ng th ng MN vng góc v i đư ng th ng SP Thính theo a th tích c a kh i t di n AMNP Hư ng d n gi i ThuVienDeThi.com Ta có MN song song v i CD SP vng góc v i CD suy MN vng góc v i SP G i O tâm c a đáy ABCD Ta có : SO = SA2 − OA2 = VAMNP a 1 1 a3 = VABSP = VS ABCD = SO AB = 8 48 Trích t ñ thi n sinh ð i h c kh i A-2008: Cho lăng tr tam giác ABC.A’B’C’ có ñ dài c nh bên b ng 2a, ñáy ABC tam giác vuông t i A, AB = a, AC = a hình chi u vng góc c a ñ nh A’ lên m t ph ng (ABC) trung ñi m c a c nh BC Tính theo a th tích c a kh i chóp A’.ABC tính cosin c a góc gi a hai ñư ng th ng AA’, B’C’ Hư ng d n gi i G i H trung ñi m c a c nh BC Suy  A ' H ⊥ ( ABC )   1 a + 3a = a  AH = BC = 2  Do đó: A ' H = A ' A2 − AH = 3a = 3a ⇒ A ' H = a a3 V y VA ' ABC = A ' H × S∆ABC = (đơn v" th tích) Trong tam giác vng A’B’H có: HB ' = A ' B '2 + A ' H = 2a nên tam giác B’BH cân t i B’ ð t ϕ góc gi a hai đư ng th ng AA’ B’C’ ϕ = B ' BH V y cos ϕ = a = 2.2a Trích t ñ thi n sinh ð i h c kh i B-2008: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh 2a, SA = a , SB = a m t ph ng (SAB) vng góc v i m t ph ng đáy G i M, N l n lư t trung ñi m c a c nh AB, BC Tính theo a th tích c a kh i chóp S.BMDN tính cosin c a góc gi a hai đư ng th ng SM DN Hư ng d n gi i G i H hình chi u vng góc c a S lên AB, suy SH ⊥ ( ABCD ) Do đó, SH đư ng cao c a hình chóp S.BMDN Ta có: SA2 + SB = a + 3a = AB nên tam giác SAB tam giác vuông t i S Suy a AB = a Do tam giác SAM tam giác ñ u, suy SH = 2 Di n tích c a t giác BMDN S BMDN = S ABCD = 2a 2 a3 (đvtt) Th tích c a kh i chóp S.BMDN V = SH × S BMDN = 3 SM = ThuVienDeThi.com K ME song song v i DN ( E ∈ AD ) a Suy AE = ð t α góc gi a hai đư ng th ng SM DN Ta có ( SM , ME ) = α Theo đ"nh lý ba đư ng vng góc ta có : SA ⊥ AE Suy ra: SE = SA2 + AE = a a , ME = AM + AE = 2  SME = α  a  Tam giác SME tam giác cân t i E nên  = cos α = a   Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i D-2008: Cho lăng tr ñ ng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a , c nh bên AA ' = a G i M trung ñi m c a c nh BC Tính theo a th tích c a kh i lăng tr ABC.A’B’C’ kho ng cách gi a hai ñư ng th ng AM, B’C Hư ng d n gi i T gi thi t ta suy tam giác ABC tam giác vng cân t i B Th tích c a kh i lăng tr VABC A ' B 'C ' = AA '× BC = a .a = a (ñvtt) G i E trung ñi m c a BB’ Khi ñó m t ph ng (AME) song song v i B’C nên kho ng cách gi a hai ñư ng th ng AM, B’C b ng kho ng cách gi a B’C m t ph ng (AME) Nh n th%y, kho ng cách t B ñ n m t ph ng (AME) b ng kho ng cách t C ñ n m t ph ng (AME) G i h kho ng cách t B ñ n m t ph ng (AME) Do t di n BAME có BA, BM,BE đơi m t vng góc v i nên: 1 1 1 a ⇒ = + + = ⇒h= = + + 2 2 h BA BM BE h a a a a V y: kho ng cách gi a hai ñư ng th ng B’C AM b ng a 7 Trích t đ thi n sinh Cao đ ng-2008: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, BAD = ABC = 900 ; AB = BC = a , AD = 2a , SA vng góc v i ñáy SA = 2a G i M, N l n lư t trung ñi m c a SA SD Ch ng minh r ng BCNM hình ch nh t tính th tích c a kh i chóp S.BCNM theo a Hư ng d n gi i Ta có: MN đư ng trung bình c a tam giác SAD, suy MN song song v i AD MN =  MN // BC ⇒ BCNM hình bình hành (1) AD ⇒   MN = BC ThuVienDeThi.com M t khác  BC ⊥ AB ⇒ { BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ BM   BC ⊥ SA ( 2) T (1) (2) ta suy BCNM hình ch nh t Ta có: S BCNM = S ∆BCM ⇒ VS BCNM = 2VS BCM 1 1 a3 VS BCM = VC SBM = CB.S ∆SBM = CB.S ∆SAB = CB SA AB = 6 a V y Vs BCNM = (đvtt) Trích t đ thi n sinh ð i h c A-2007 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng c nh a, m t bên SAD tam giác ñ u n m m t ph ng vng góc v i ñáy G i M, N, P l n lư t trung ñi m c a c nh SB,BC,CD Ch ng minh AM vng góc v i BP tính th tích c a kh i t di n CMNP Hư ng d n gi i G i H trung ñi m c a AD Do tam giác SAD tam giác ñ u nên SH vng góc v i AD Do m t ph ng (SAD) vng góc v i m t ph ng (ABCD) nên SH vng góc v i BP (1) Xét hình vng ABCD ta có: ∆CDH = ∆BCP ⇒ CH ⊥ BP ( ) T (1) (2) ta suy BP ⊥ ( SHC ) Vì  MN // SC ⇒ ( AMN ) // ( SHC )   AN // CH ⇒ BP ⊥ ( AMN ) ⇒ BP ⊥ AM K MK vng góc v i m t ph ng (ABCD), (K thu c vào m t ph ng (ABCD)) Ta có: Vì MK = SH = a ; SCNP VCMNP = MK SCNP a 3a = CN × CP = ⇒ VCMNP = (đvtt) 96 Trích t đ thi n sinh ð i h c B-2007 Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a E ñi m ñ i x ng c a D qua trung ñi m c a SA, M trung ñi m c a AE, N trung ñi m c a BC Ch ng minh MN vuông góc v i BD tính theo a kho ng cách gi a hai ñư ng th ng MN AC Hư ng d n gi i G i P trung m c a SA Ta có MNCP hình bình hành nên MN song song v i m t ph ng (SAC) M t khác, BD vuông góc v i m t ph ng (SAC) nên BD vng góc v i MN ThuVienDeThi.com Vì MN song song v i m t ph ng (SAC) nên d ( MN , AC ) = d ( N , ( SAC ) ) 1 a d ( B; ( SAC ) ) = BD = 4 a V y d ( MN ; AC ) = = Trích t đ thi n sinh ð i h c D-2007 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy hình thang ABC = BAD = 900 , BA = BC = a; AD = 2a C nh bên SA vng góc v i m t ph ng ñáy SA = a G i H hình chóp vng góc c a A lên SB Ch ng minh tam giác SCD tam giác vng tính theo a kho ng cách t H ñ n m t ph ng (SCD) Hư ng d n gi i G i I trung ñi m c a AD Ta có: IA = ID = IC = a ⇒ CD ⊥ AC M t khác, CD ⊥ SA , Suy CD vng góc SC nên tam giác SCD tam giác vuông t i C Trong tam giác vng SAB ta có: SH SA2 SA2 2a 2 = = = = 2 SB SB SA + AB 2a + a G i d1 , d l n lư t kho ng cách t B H ñ n m t ph ng (SCD) d SH 2 = = ⇒ d = d1 d1 SB Ta có: d1 = 3VB.SCD SA × S BCD = S SCD S SCD S BCD = 1 AB.BC = a 2 1 SC.CD = SA2 + AB + BC IC + ID = a 2 2 a a Suy d1 = V y kho ng cách t H ñ n m t ph ng (SCD) d = d1 = 3 S SCD = ThuVienDeThi.com ... ThuVienDeThi.com Do đó: SI = SB − AB a 13 3V 6V a 39 Suy : d ( C ; ( SAB ) ) = S ABC = S ABC = = 4 S ∆SAB SI AB 13 Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i B-2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình. .. S∆ABH = 96 Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i D-2012 Cho hình h p đ ng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân A ' C = a Tính th tích c a kh i t di n ABB’C’ kho ng cách t ñi m A ñ n... 7a 7a Do đó: R = × = 2.12 a 12 GH = Trích t đ thi n sinh ð i h c kh i D-2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a, c nh bên SA = a; hình chi u vng góc c a đ nh S lên m t ph ng (ABCD)