UBND tỉnh bắc ninh Sở giáo dục đào tạo Đề thức đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán (Dnh cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 09 tháng 07 năm 2010 Bi (1,5 điểm): Cho hàm số y f x x x có đồ thị (P) 1/ Chứng minh hàm số f(x) nghịch biến với x thuộc R 2/ Tìm tọa độ giao điểm đồ thị (P) với đường thẳng y 2x 3/ Vẽ đồ thị (P) Bài (2,0 điểm): Cho phương trình: x 2x x m 1/ Giải phương trình m = 2/ Tìm m để phương trình ®· cho cã ®óng hai nghiƯm Bµi (2,0 ®iĨm): 1/ Cho hai sè d¬ng x, y tháa m·n: x y xy Tính 2/ Tìm số nguyên dương x, y thỏa mÃn: x y 1 x y Bµi (3,0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Kẻ đường cao AA, BB, CC Gọi S diện tích tam giác ABC S diện tÝch cđa tam gi¸c A’B’C’ 1/ Chøng minh r»ng AO vu«ng gãc víi B’C’ 2/ Chøng minh S PR , P chu vi tam gi¸c A’B’C’ 3/ Chøng minh hƯ thøc: cos A cos B cos 2C S' S Bài (1,5 điểm): 1/ Hai số 22010 52010 viết liên tiếp Hỏi có tất chữ số 2/ Cho tam giác ABC có đường phân giác BE hợp với c¹nh AC mét gãc · · 450 (gãc BEA 450 ) Vẽ đường cao AD tam giác ABC Chøng minh gãc EDC b»ng 450 - HÕt -(Đề gồm có 01 trang) Họ tên thí sinh: ………Sè b¸o danh: ……………… ThuVienDeThi.com Híng dÉn chÊm thi môn toán đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2010 2011 - Thí sinh làm theo cách khác đáp ứng yêu cầu cho đủ điểm - Việc chi tiết hoá điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm ®ỵc thèng nhÊt héi ®ång chÊm - Sau cộng điểm toàn bài, điểm để lẻ đến 0,25 điểm Bài ý Nội dung Điểm 1 + Với x< , ta có y f x x x x , hàm số nghịch biến x < 0,25 (1,5 điểm) + Với x 0, ta có y f x x x x , hàm số nghịch biến x 0,25 Vậy hàm số nghịch biến với x thuộc R PT hoành độ giao điểm (P) đường thẳng y 2x là: x x 2x x(2 x ) PT có nghiệm: x1 0; x 2; x =2 0,25 y1 0; y 4; y3 Vậy tọa độ giao điểm (P) đường thẳng y 2x là: A 2; ; O 0;0 ; B 2; 4 + Đồ thị y x x qua điểm: x y x x 0,25 y 21 1 0,25 x y + Vẽ đồ thị cho 0,25 đ (2 điểm) 0,25 + Với m = 1, ta có pt: x – 2x x x – 1 0,25 2 0,25 x 1 x 1 + PT có nghiệm x = x = + x 2x x m x x x m * Do vế phương trình khơng âm nên: P trình (*) ( x x 2) 4( x m) ( x x 2) (2 x 2m) ( x x 2m 2) ( x 2m) x x 2m 1 2 x 2m Pt (1) có ' 2m 2m 2(1 m) + Nếu m < ' pt (1) có nghiệm cịn pt (2) vơ nghiệm Nên pt cho có nghiệm + Nếu m = pt có nghiệm (phần 1) + Nếu m > pt (1) có ' nên vơ nghiệm, cịn pt (2) có nghiệm đối Vậy với m R pt cho có nghiệm ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (2 điểm) + Ta có x y xy + Đặt x y 3 y x x t , ta có: t t 3t t y 3 3 ; t2 2 x 73 x 73 y y + Vì x, y số nguyên dương, vai trò x, y Khơng tính tổng qt, giả sử x y 1 Dễ thấy x >2 (1) x 1 + Mặt khác x (2) x y x Từ (1) (2) ta có x = x = Với x = thay vào pt cho ta tìm y = Với x = thay vào pt cho ta tìm y = Vậy pt cho có nghiệm (x ; y) = (3 ; 6), (6 ; 3) , (4 ;4) t1 (3 điểm) + Vẽ tiếp tuyến At A, phía AC so với AB » · CBA · Ta có: CAt sdAC · ·' B' A (do tứ giác C + Mặt khác: CBA BC’B’C nội tiếp) · C ·' B' A CAt B’C’//At + Mà AO At (t.c tiếp tuyến) AO B’C’ + Tương tự ta có OB A’C’ OC A’B’ 1 SOB’AC’ OA.B'C ' B'C '.R 2 1 SOA’BC’ OB.A 'C ' A 'C '.R 2 1 SOB’CA’ OC.B'A ' B'A '.R 2 1 SABC R(A ' B' B'C ' C ' A ') P.R 2 S S S' S Ta có: AB'C' BC'A ' CA 'B' S SABC SABC SABC SAB'C' SAB'C' SAB'B AC ' AB' AC ' AB' Mà cos A SABC SAB'B SABC AB AC AC AB S S Tương tự: BC'A ' cos B và: C'A 'B' cos C SABC SABC S' (đpcm) cos A cos B cos C S ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,5 điểm) Giả sử 22010 có k chữ số 52010 có p chữ số số chữ số phải tìm k + p Ta thấy: 10k – < 22010 < 10k 10p-1 < 52010 < 10p 10k + p – < 102010 < 10k+p k + p – < 2010< k + p k + p – = 2010 k + p = 2011 Vậy hai số 22010 52010 viết liên tiếp có 2011 chữ số 0,25 0,25 0,25 + Qua E vẽ EM AC (M thuộc BC) · · 450 450 BEM Vì AEB + Dễ thấy ABE = MBE (g-c-g) EA = EM AEM vuông cân E · EAM 450 + Mặt khác tứ giác ADME nội tiếp đường trịn đường kính AM · · EDC EAM 450 (đpcm) ============Hết=========== ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 ...Hướng dẫn chấm thi môn toán đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2 010 2011 - Thí sinh làm theo cách khác đáp ứng yêu cầu cho đủ điểm - Việc chi tiết... phải tìm k + p Ta thấy: 10k – < 22 010 < 10k 10p-1 < 52 010 < 10p 10k + p – < 102 010 < 10k+p k + p – < 2 010< k + p k + p – = 2 010 k + p = 2011 Vậy hai số 22 010 52 010 viết liên tiếp có 2011... cos C S ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,5 điểm) Giả sử 22 010 có k chữ số 52 010 có p chữ số số chữ