Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, giảng miễn phí Chun đề nâng cao VẼ HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Khi giải tốn hình học, nhiều khơng thể giải trực tiếp mà phải vẽ thêm hình phụ Việc vẽ thêm hình phụ để tạo "cầu nối" giả thiết kết luận công việc phổ biến Tùy thuộc vào toán, dạng toán mà chọn cách vẽ hình phụ khác Có nhiều cách tạo yếu tố phụ, song vẽ hình phụ dựa vào số định hướng sau : Nếu giả thiết có yếu tố trung điểm mà khơng vận dụng trực tiếp được, ta tạo thêm trung điểm đoạn thẳng để sử dụng tính chất đường trung bình tam giác, hình thang hay tính chất đường trung tuyến tam giác, tính chất đường chéo hình bình hành Nếu giả thiết có số đo góc 60° 30° , ta vẽ thêm tam giác kẻ đường vng góc để sử dụng tính chất tam giác tam giác nửa Nếu giả thiết có số đo góc 45° 135° , ta vẽ thêm tam giác vuông cân kẻ đường vng góc hình vng để sử dụng tính chất tam giác vng cân hình vng Nếu giả thiết có nhiều đường vng góc, ta kẻ thêm đường vng góc từ vị trí đặc biệt hình vẽ Ngồi nhiều dựng thêm đoạn thẳng đoạn thẳng cho nhằm tạo cặp tam giác Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, giảng miễn phí Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, giảng miễn phí B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 22 Cho tứ giác ABCD Gọi M N tương ứng trung điểm cạnh AD, BC Chứng minh rẳng MN = (AB + CD) ABCD hình thang Giải (h.44) Gọi K trung điểm đường chéo BD Ta có : MK // AB MK = NK // CD NK = => MK + NK = 2 AB ; CD (AB + CD) => MK + NK = MN Suy M, K, N thẳng hàng => AB // MN CD // MN => AB // CD Vậy ABCD hình thang. Nhận xét Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, giảng miễn phí Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, giảng miễn phí • Yếu tố lấy trung điểm đường chéo kết hợp khéo léo yếu tố giả thiết với • Với kĩ thuật trên, giải toán sau : Cho tứ giác lồi ABCD (AB < CD) Gọi P, Q tương ứng trung điểm đường chéo BD AC Chứng minh PQ = Ví dụ 23 Cho ∆ (CD - AB) ABCD hình thang ABC có góc A tù Bên góc A vẽ đoạn AD vng góc đoạn thẳng AB, vẽ AE vng góc AC Gọi M trung điểm DE Chứng minh AM ⊥ BC Giải Cách (h.45) Gọi H giao điểm AM BC Vẽ hình bình hành ADNE Khi M trung điểm DE nên A, M, N thẳng hàng AE // DN suy DN ⊥ AC, mặt khác AB AD, suy · · ADN = BAC Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, giảng miễn phí ⊥ Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, giảng miễn phí Mặt khác DN = AE = AC nên Ta lại có ∆ BAC = ∆ ADN (c.g.c) => · · DAN = ABC · · · DAN + NAB = BAD = 90° · · => ABC + NAB = 90° · => AHB = 90° ⊥ hay AM BC Cách (h.46) Trên tia đối tia AE lấy AI = AE ; ID cắt AC K Ta có : · · · · · BXC + DAE = BAD + DAC + DAE = 180° => => · · BAC = DAI $ µ I=C , suy ∆ BAC = $ · I + AKI = 90°, ∆ DAI (c.g.c) µ + CKD · C = 90° ⊥ Mà suy hay ID BC Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, giảng miễn phí Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, giảng miễn phí Mặt khác dễ có AM đường trung bình ∆ ⊥ EDI nên AM // ID, AM BC Nhận xét Bài tốn có yếu tố trung điểm M, song khơng trực tiếp giái Vì phải vẽ thêm hình hình bình hành tạo thêm trung điểm hai cách trên. Ví dụ 24 Tam giác ABC có M trung điểm cạnh BC thoả mãn · · MAB = 15° , MAC = 30° Tính số đo góc C Giải (h.47) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A dựng tam giác ACE Suy AM ⊥ đường phân giác góc BAC, nên AM đường cao, suy AM CE Gọi I giao điểm ÀM BC ∆ ⊥ ⊥ BEC có MI đường trung bình nên IM // BE mà IM CE nên BE EC, mặt khác · · · EBA = BAI = EAB = 15° E nên · ECB = 45° , suy ∆ BAE cân E, suy ∆ BEC vuông cân Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, giảng miễn phí Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, giảng miễn phí Do · · · ACB = ACE + ECB = 105° Nhận xét Bài tốn có số đo góc 30° nên tất yếu định hướng tạo thêm tam giác C BÀI TẬP Cho hình vng ABCD Gọi M ; N trung điểm AB ; BC Các đường thẳng DN CM cắt I a) Chứng minh ∆ CIN vuông ; b) Chứng minh AI = AD Trong hình vng ABCD lấy điểm O cho OA : OB : OC = : : Tính số đo góc AOB Cho hình vng ABCD điểm P nằm tam giác ABC cho Chứng minh : 2.PB2 + PC = PA · BPC = 135° Cho hình thang ABCD có AB // CD, µ +D µ = 900 C , CD > AB Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AB, CD Chứng minh : CD - AB EF = Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, giảng miễn phí Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, giảng miễn phí Cho tứ giác ABCD Gọi A1 , B1 , C1 , D1 trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 , DD1 đồng quy Về phía ngồi ∆ ABC nhọn, dựng tam giác ABD ACE tương ứng vuông cân B C Gọi I trung điểm DE Chứng minh ∆ IBC vuông cân I Cho tứ giác ABCD có µ = 50°; D µ = 70° C AD = BC Gọi E ; F trung điểm cạnh AB ; CD Tính số đo góc EFD Cho hình vng ABCD có tâm O, Gọi K, E trung điểm AB, OC ⊥ Chứng minh KE DE Cho ∆ ABC vuông B Trên tia đối tia BA lấy điểm D thoả mãn AD = 3.AB Đường thẳng vng góc với CD D cắt đường thẳng vng góc với AC A E Chứng minh ∆ BDE cân 10 Cho tứ giác ABCD có AD = DC = CB, · · ADC = 110° ; DCB = 130° Tính góc ABC (Olympic Tốn, châu Á - Thái Bình Dương, năm 2010) Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, giảng miễn phí Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, giảng miễn phí Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, giảng miễn phí