Một số dạng toán ôn thi vào 10 Phần Đại số10758

Dạng I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI I/ Biểu thức số học Phương pháp: Dùng Phương pháp biến đổi thức(đưa ; đưa vào; ;khử; trục; cộng,trừ thức đồng dạng; rút gọn phân số…) để rút gọn biểu thức Bài tập: Thực phép tính: 1)  125  80  605 ; 2) 10  10  ;  1 3) 15  216  33  12 ; 4)   12  27 ;  18  48 30  162 5) 14) 2 2 ;  2 2 15)  9)   ; 2 11) 3  3 ;  64 2  64 2  2  6; ; 64 2  64 ; 5 4 10  10)  2  52   25 12    2  16)  75 ; 7) 27  3 3  13)  49  20 16 3 6 6) ; 27 75 8)  10    10  ; 12) 192 ; ; 17) 14   24  12 ;   18) ; 1 32 3   1    1 19) 20) 1  1 1 3 1 II/ Biểu thức đại số: Phương pháp: - Phân tích đa thức tử mẫu thành nhân tử; - Tìm ĐKXĐ (Nếu tốn chưa cho ĐKXĐ) - Rút gọn phân thức(nếu được) - Thực phép biến đổi đồng như: + Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia + Bỏ ngoặc: cách nhân đơn ; đa thức dùng đẳng thức + Thu gọn: cộng, trừ hạng tử đồng dạng + Phân tích thành nhân tử – rút gọn Chú ý: - Trong toán rút gọn thường có câu thuộc loại tốn: Tính giá trị biểu thức; giải Phương trình; bất Phương trình; tìm giá trị biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ ,lớn nhất…Do ta phải áp dụng Phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho loại  1  a 1 ví dụ: Cho biểu thức: P    :  a 1 a  a 1 a a ThuVienDeThi.com a/ Rút gọn P b/ Tìm giá trị a để biểu thức P có giá trị nguyên Giải: a/ Rút gọn P:  1  a 1 P  : a  1 ( a  1)  a ( a  1) a  0; - Phân tích: - ĐKXĐ: a 1   a  1 a ( a  1) - Quy đồng: P  a ( a  1) a 1 - Rút gọn: P a 1 a b/ Tìm giá trị a để P có giá trị nguyên: - Chia tử cho mẫu ta được: P   a  1(ktm) - Lý luận: P nguyên  nguyên  a ước   a   a 1  a  Vậy với a = biểu thức P có giá trị nguyên Bài tập: Bài 1: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị x để A > - Bài 2: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức B; b) Tìm giá trị x để A >  x A =    2 x  x   10  x    B =   :  x    x 2  x 2  x4 2 x C= Bài 3: Cho biểu thức  x  x x  x      x x       x 1 x x 1 x  x 1 a) Rút gọn biểu thức C; b) Tìm giá trị x để C < x   x2   x   x2  Bài 4: Rút gọn biểu thức : D= Bài5: Cho biểu thức: 2x  x  P= Q = x 2 x   x2  x   x2  ThuVienDeThi.com x  x  2x  x 2 a) Rút gọn biểu thức P Q; b) Tìm giá trị x để P = Q Bài 6: Cho biểu thức: P= 2x  x x  x x    x x x x x a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P với c) Với giá trị x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức Bài 7: Cho biểu thức: nhận giá trị nguyên P  3x  9x  1  P =     : x x x x       x 1 a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P; b) Tìm số tự nhiên x để số tự nhiên; P c) Tính giá trị P với x = – Bài 8: Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức P; Tìm x để  x 2 x 3 x 2  x    P =   :    x x x x x           P Bài 9: Cho biểu thức :  1 a a  1 a a P =   a .  a    1 a   1 a a) Rút gọn P b) Tìm a để P<  Bài 10: Cho biểu thức:  x x 3x    x    : P =      x   1 x  x x       a) Rút gọn P b) Tìm x để P < c) Tìm giá trị nhỏ P Bài 11: Cho biểu thức :   9 x  x3 x x 3 P =    1 :     x x 6 2 x  x9 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P x m x  m x  4m a) Rút gọn P b) Tính x theo m để P = c) Xác định giá trị m để x tìm câu b thoả mãn điều kiện x >1 Bài 14: Cho biểu thức : a2  a 2a  a P=  1 a  a 1 a a) Rút gọn P b) Tìm a để P = c) Tìm giá trị nhỏ P ? Bài 15: Cho biểu thức    a 1  a 1 ab  a ab  a P =   1  1 :    ab  ab     ab   ab  a) Rút gọn P 1 1 a b 4 b) Tính giá trị P a =  b = c) Tìm giá trị nhỏ P Bài 16: Cho biểu thức : a a 1 a a 1   a  a 1  P=   a    a a a a  a  a  a   a) Rút gọn P b) Với giá trị a P = c) Với giá trị a P > Bài 17: Cho biểu thức:  a a 1   a 1    P =      a 1  a a      a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P < c) Tìm giá trị a để P = -2 ThuVienDeThi.com Bài 18: Cho biểu thức:  a  b  P= ab a b  b a a b ab a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tính giá trị P a = b = Bài 19: Cho biểu thức :  x2 x  : P =     x x  x  x   x 1   a) Rút gọn P b) Chứng minh P >  x  x 1 Bài 20: Cho biểu thức : 2 x  x   x 2    : 1  P =          x x x x x     a) Rút gọn P b) Tính P x =  Bài 21: Cho biểu thức: 3x     :   P =1 :  2 x 4 x 42 x  42 x     a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P = 20 Bài 22: Cho biểu thức :  x y  P =  x y  a) Rút gọn P b) Chứng minh P  x3  y yx  :    x  y  xy x y Bài 23: Cho biểu thức :  ab   ab  ab  . : P =         a  b a a  b b   a  b a a  b b  a  ab  b  a) Rút gọn P b) Tính P a =16 b = Bài 24: Cho biểu thức:  2a  a  2a a  a  a  a  a  P =     a 1  a a a    ThuVienDeThi.com a) Rút gọn P b) Cho P = 1 tìm giá trị a c) Chứng minh P > Bài 25: Cho biểu thức:    x5 x 25  x P =    1 :    x  x  15  x  25 a) Rút gọn P b) Với giá trị x P < x 3  x 5 x 5  x   Bài 26: Cho biểu thức:  a  1 a  b  a 3a : P =     2a  ab  2b     a ab b a a b b a b   a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên   Bài 27: Cho biểu thức:   a 1 a  2   P =    :  a   a 2 a    a 1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P > Bài 28: Cho biểu thức:  x3  y x  x y  y  1  P =    :  y  x  y x y  x y  xy  x a) Rút gọn P b) Cho x.y=16 Xác định x,y để P có giá trị nhỏ Bài 29: Cho biểu thức : x3 2x 1 x  P= xy  y x  x  xy  y  x a) Rút gọn P b) Tìm tất số nguyên dương x để y=625 P Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -b' -  ' -b' +  ' ; x2 = a a * Nếu  ' = Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b' a * Nếu  ' < Phương trình vơ nghiệm 2.Định lý Vi ét: Nếu x1 , x2 nghiệm Phương trình ax2 + bx + c = (a  0) thỡ S = x1 + x = p = x1x2 = b a c a Đảo lại: Nếu cú hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p hai số nghiệm (nếu có ) Phương trình bậc 2: x2 – S x + p = Toán ứng dụng định lý Viét I Tính nhẩm nghiệm Xét Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a  0)  Nếu a + b + c = Phương trình có hai nghiệm x1 = , x2 = c a  Nếu a – b + c = Phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - c a  Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn   Phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n ( x1 = n , x2 = m) II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Lập Phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ; x2 Vớ dụ : Cho x1  ; x2  lập Phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trờn 14 ThuVienDeThi.com  S  x1  x2  x1 ; x2 nghiệm Phương trình cú dạng:  P  x1 x2  Theo hệ thức VI-ẫT ta cú  x  Sx  P   x  x   Bài tập áp dụng: x1 = x1 = 3a x1 = 36 và x2 = -3 x2 = a x2 = -104 x1 =  x2 =  2 Lập Phương trình bậc hai cú hai nghiệm thoả biểu thức chứa hai nghiệm Phương trình cho trước: V dụ: Cho Phương trình : x  3x   cú nghiệm phõn biệt x1 ; x2 Khơng giải Phương trình trờn, hóy lập Phương trình bậc cú ẩn y thoả : y1  x2  1 y2  x1  x1 x2 Theo h ệ th ức VI- ẫT ta c ú: 1 1 x x 1  x1   ( x1  x2 )      ( x1  x2 )     x1 x2 x1 x2 2  x1 x2  1 1 P  y1 y2  ( x2  )( x1  )  x1 x2     11  x1 x2 x1 x2 2 S  y1  y2  x2  Vậy Phương trình cần lập cú dạng: hay y  Sy  P  9 y2  y    y2  y   2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho Phương trình 3x  x   cú nghiệm phõn biệt x1 ; x2 Khơng giải Phương trình, Hãy lập phương trình có hai nghiệm y1  x1  1 y2  x2  x2 x1 (Đáp số: y  y   hay y  y   ) 2/ Cho Phương trình : x  x   cú nghiệm x1 ; x2 Hóy lập Phương trình bậc cú ẩn y thoả y1  x14 y2  x24 (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm Phương trình cho) (Đáp số : y  727 y   ) 3/ Cho Phương trình bậc hai: x  x  m  cú cỏc nghiệm x1 ; x2 Hóy lập Phương trình bậc hai cú cỏc nghiệm y1 ; y2 cho : a) y1  x1  y2  x2  (Đáp số a) y  y   m  b) y1  x1  y2  x2  b) y  y  (4m  3)  ) 15 ThuVienDeThi.com III TÌM HAI SỐ BIẾT TổNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số cú Tổng S Tớch P thỡ hai số hai nghiệm Phương trình : (Điều kiện để có hai số S2  4P  ) x  Sx  P  Vớ dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =  tớch P = ab =  Vỡ a + b =  ab =  n ên a, b nghiệm Phương trình : x  3x   giải Phương trình trờn ta x  x2  4 Vậy a = thỡ b =  a =  thỡ b = Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tớch P S = P=2 S =  P=6 S = P = 20 S = 2x P = x2  y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 a  b = ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT thỡ cần Tìm tớch a v b T a  b   a  b   81  a  2ab  b  81  ab  2 81  a  b   20  x1   x2  Suy : a, b nghiệm Phương trình cú dạng : x  x  20    Vậy: Nếu a = b = a = b = 2)Biết tích: ab = 36 cần Tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c =  b ta cú : a + c = a.c =  36  x1  4  x2  Suy a,c nghiệm Phương trình : x  x  36    Do a =  thỡ c = nờn b =  a = thỡ c =  nờn b = 2 2 Cỏch 2: Từ a  b   a  b   4ab  a  b   a  b   4ab  169  a  b  13  a  b   132    a  b  13 *) Với a  b  13 ab = 36, nên a, b nghiệm Phương trình :  x1  4 x  13 x  36     x2  9 Vậy a = 4 b = 9  x1   x2  *) Với a  b  13 ab = 36, nên a, b nghiệm Phương trình : x  13x  36    Vậy a = thỡ b = 16 ThuVienDeThi.com 3) Đó biết ab = 30, cần Tìm a + b:  a  b  11  a  b  11 T ừ: a2 + b2 = 61  a  b   a  b  2ab  61  2.30  121  112   *) Nếu a  b  11 ab = 30 a, b hai nghiệm Phương trình:  x1  5 x  11x  30     x2  6 Vậy a = 5 b = 6 ; a = 6 b = 5 *) Nếu a  b  11 ab = 30 a, b hai nghiệm Phương trình :  x1  x  11x  30     x2  Vậy a = b = ; a = b = IV Tìm điều kiện tham số để Phương trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trước Tìm nghiệm thứ Cách giải:  Tìm điều kiện để Phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm: +) Cách 1:- Lập điều kiện để Phương trình bậc cho có nghiệm:   (hoặc /  ) (*) - Thay x = x1 vào Phương trình cho ,tìm giá trị tham số - Đối chiếu giá trị vừa tìm tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện   (hoặc /  ) mà ta thay ln x = x1 vào Phương trình cho, tìm giá trị tham số - Sau thay giá trị tìm tham số vào Phương trình giải Phương trình Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào Phương trình , mà Phương trình bậc hai có  < kết luận khơng có giá trị tham số để Phương trình có nghiệm x1 cho trước  Để tìm nghiệm thứ ta có cách làm: +) Cách 1: Thay giá trị tham số tìm vào Phương trình giải Phương trình (như cách trình bầy trên) +) Cách :Thay giá trị tham số tìm vào cơng thức tổng nghiệm tìm nghiệm thứ +) Cách 3: thay giá trị tham số tìm vào cơng thức tích hai nghiệm,từ tìm nghiệm thứ2 V TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối toán dạng điều quan trọng em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức cú chứa tổng nghiệm x1  x2 tích nghiệm x1 x2 để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức 1.Phương pháp: Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( x1  x2 ) x1 x2 Dạng x12  x22  ( x12  x1 x2  x22 )  x1 x2  ( x1  x2 )2  x1 x2 17 ThuVienDeThi.com Dạng x13  x23  x1  x2 x12  x1 x2  x22  x1  x2  x1  x2   3x1 x2  Dạng x14  x24  ( x12 )2  ( x22 )2  x12  x22   x12 x22  ( x1  x2 )2  x1 x2   x12 x22 Dạng 1 x1  x2   x1 x2 x1 x2 Dạng x1  x2  ? Ta biết x1  x2   x1  x2   x1 x2  x1  x2   x1  x2   x1 x2 2  Dạng x12  x22  x1  x2 x1  x2  =  ( x1  x )  x1 x ( x1  x )  Dạng x13  x23 = x1  x2 x12  x1 x2  x22  x1  x2  x1  x2   x1 x2  =…… Dạng x14  x24 = x12  x22 x12  x22  =…… Dạng x16  x26 = ( x12 )3  ( x22 )3  x12  x22 x14  x12 x22  x24 = …… Dạng 10 x16  x26  ( x1 )  ( x 2 )  ( x1  x 2 )( x1 )  x1 x 2  ( x 2 )  Dạng 11 x15  x25 = ( x13  x )( x1  x 2 )  x1 x 2 ( x1  x ) Dạng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 Dạng13 x  x  2a 1 S  2a    x1  a x  a ( x1  a )( x  a ) p  aS  a 2 Bài tập áp dụng: Khơng giải Phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho Phương trình : x  x  15  Khơng giải Phương trình, tính x12  x22 x1 x2  x2 x1 8    15  1  x1 x2 (34)  34     15  x1  x2  (46) b) Cho Phương trình : x  72 x  64  Khơng giải Phương trình, tính: 1  x1 x2 9   8 x12  x22 (65) c) Cho Phương trình : x  14 x  29  Khơng giải Phương trình, tính: 1  x1 x2  14     29  x12  x22 (138) d) Cho Phương trình : x  3x   Khơng giải Phương trình, tính: 1  x1 x2 (3)  x1  x2  x1 x2 (1) x12  x22 (1) x1 x  x2  x1  5   6 1  x1  x2  e) Cho Phương trình x  x   có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải Phương trình, tính 18 ThuVienDeThi.com Q HD: Q  x12  10 x1 x2  x22 x1 x23  x13 x2 x12  10 x1 x2  x22 6( x1  x2 )  x1 x2 6.(4 3)  2.8 17    3 2 x1 x2  x1 x2 x1 x2 x1  x2   x1 x2  5.8 (4 3)  2.8 80   VI TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm toán loại này,các em làm theo bước sau: 1- Đặt điều kiện cho tham số để Phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a    0) 2- Áp dụng hệ thức VI-ET: x1  x  b c ; x1 x  a a 3- Sau dựa vào hệ thức VI-ET rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số.Đó hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 không phụ thuộc vào tham số m Vớ dụ 1: Cho Phương trình : m  1 x  2mx  m   (1) cú nghiệm x1 ; x2 Lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho không phụ thuộc vào m (Bài cho PT có hai nghiệmx1 ;x2 nên ta không biện luận bước 1) Giải: Bước2: Theo hệ th ức VI- ET ta có : 2m    x1  x2  m   x1  x2   m  (1)    x x  m   x x   (2) 2 m 1 m 1   Bước2: Rút m từ (1) ta có : 2  x1  x2   m   m 1 x1  x2  (3) Rút m từ (2) ta có : 3   x1 x2  m   m 1  x1 x2 (4) Bước 3: Đồng vế (3) (4) ta có:   1  x1 x2   x1  x2    x1  x2   x1 x2   x1  x2   x1 x2 19 ThuVienDeThi.com ... Pi Ta Go tam giác vuông ABC: AB  AC  BC  ( x  x1 )  ( y  y1 ) IX Một số ứng dụng đồ thị hàm số: 1.Ứng dụng vào Phương trình 2.Ứng dụng vào toỏn cực trị Bài tập hàm số Bài cho parabol (p):... dựa vào hệ thức VI-ET rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số. Đó hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 không phụ thuộc vào tham số. .. tham số - Sau thay giá trị tìm tham số vào Phương trình giải Phương trình Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào Phương trình , mà Phương trình bậc hai có  < kết luận khơng có giá trị tham số