PARABOL 5

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG BÀI TỐN CĨ YẾU TỐ HÌNH HỌC I KIẾN THỨC CƠ BẢN Diện tích tam giác S ABC = BC.AH S ABC = AB.AC 2 Hệ thức lượng tam giác vuông 2 + BC = AB + AC + AB.AC = BC.AH + SABC = S1 + S2 Bất đẳng thức Cô si cho số a, b không âm a+b ≥ ab Dấu “=” xảy a = b II BÀI TẬP BỔ TRỢ TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Bài a) Cho đường thẳng GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ( d ) :y = − x + m + ( d ') :y = ( m − ) x + Tìm giá trị d d' m để ( ) ( ) song song b) Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng ( d ) :y = 2x + ; ( d1 ) :y = x + Tìm m ( d3 ) :y = ( m + ) x − 2m + ; để ba đường thẳng đồng quy Lời giải ( d ) :y = − x + m + ( d ') :y = ( m − ) x + Tìm giá trị a) Cho đường thẳng d d' m để ( ) ( ) song song d d' Để đường thẳng ( ) song song với ( ) m =  m − = −1 m = ⇔   m = −1 ⇔  m ≠  3 ≠ m + m ≠ ⇔ m = −1 b) Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng ( d ) :y = 2x + ; ( d1 ) :y = x + Tìm m ( d3 ) :y = ( m + ) x − 2m + ; để ba đường thẳng đồng quy d d Tọa độ giao điểm I ( ) ( ) nghiệm hệ phương trình  y = 2x + 2x + = x + x = ⇔ ⇔  y = x + y = x +  y = ⇒ I ( 1;3) Để ba đường thẳng Vậy tọa độ điểm ( d1 ) ; ( d ) ; ( d3 ) I ( 1;3) đồng quy ( d3 ) phải qua điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng I ( 1;3) ( d3 ) m = ⇔ = m + − 2m + ⇔ m − 2m = ⇔ m ( m − ) = m = nên ( ) m = m = d d d Vậy  ba đường thẳng ( ) ; ( ) ; ( ) đồng quy d có đồ thị đường thẳng ( ) d a) Tìm m để đồ thị hàm số ( ) cắt đồ thị hàm số y = x + điểm có tung độ b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm câu a Tính diện tích tam giác tạo đồ thị hàm số với hai trục tọa độ Bài Cho y = ( m + 1) x − Lời giải d a) Tìm m để đồ thị hàm số ( ) cắt đồ thị hàm số y = x + điểm có tung độ d Đồ thị hàm số ( ) đồ thị hàm số y = x + cắt điểm có tung độ hồnh độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình x + = ⇔ x = −1 ⇒ Tọa độ giao điểm hai đường thẳng M ( −1;2 ) M −1;2 ) d Vậy tọa độ ( thỏa mãn phương trình đường thẳng ( ) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG = ( m + 1) ( −1) − ⇔ m + = −4 ⇔ m = −5 d Vậy với m = −5 đồ thị hàm số ( ) cắt đồ thị hàm số y = x + điểm có tung độ b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm câu a Tính diện tích tam giác tạo đồ thị hàm số với hai trục tọa độ d Với m = −5 đồ thị hàm số ( ) trở thành y = −4x − Ta có bảng sau Đồ thị hàm số ( d) x −1 y = −4x − −2 đường thẳng qua A ( 0; −2 ) M ( −1;2 ) d Tọa độ giao điểm B đồ thị hàm số ( ) với trục Ox nghiệm hệ phương trình  x=−  −4x − = ⇔   −1  B   ;0 ÷  y =  y = ⇒ Điểm   A 0; −2 ) cắt trục Oy ( Nên tam giác tạo đồ thị hàm số y = −4x − với hai trục tọa độ ∆OAB Đồ thị hàm số ( d) vng O có OA = 2; OB = 1 1 SAOB = OA.OB = = 2 2 ( đơn vị diện tích) Diện tích ∆OAB Bài Cho đường thẳng a) Xác định đường A ( 2,3) ( d1 ) : y = x d thẳng ( ) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN ( d ) : y = −2x ; ( d3 ) : y = 3x + d d biết ( ) song song với ( ) ; qua điểm PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG b) Tính diện tích tam giác tạo đường thẳng ( d1 ) , ( d ) ( d4 ) Lời giải a) Xác định đường thẳng A ( 2,3) ( d4 ) Gọi phương trình đường thẳng Vì ( d4 ) biết ( d4 ) : ( d4 ) song song với ( d3 ) qua điểm y = ax + b ( a ≠ ) a = ⇒ d b ≠1 song song với ( ) : y = 3x +  Suy phương trình đường thẳng Mà đường thẳng d thẳng ( ) ( d4 ) ( d4 ) : y = 3x + b ( b ≠ 1) A ( 2;3) ⇒ tọa độ A thỏa mãn phương trình đường Thay x = ; y = vào phương trình ⇔ + b = ⇔ b = −3 (tmđk) Vay phương trình đường thẳng y = 3x + b ( b ≠ 1) ta được: 3.2 + b = ( d ) : y = 3x − b) Tính diện tích tam giác tạo đường thẳng ( d1 ) , ( d ) ( d4 ) d d d Gọi A ; B giao điểm đường thẳng ( ) với ( ) , ( ) Phương trình hồnh độ giao điểm 3x − = −2x ⇔ 5x = ⇔x= TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN ( d4 ) ( d2 ) là: PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Thay x= GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 3 y = −2 = − 5 vào phương trình y = −2x ta được: 3 6 A ;− ÷ Vậy  5  Phương trình hồnh độ giao điểm 3x − = x ⇔ 2x = Thay x= ⇔x= ( d4 ) ( d1 ) là: 3 y= vào phương trình y = x ta được:  3 B ; ÷ Vậy  2  Gọi H ; K hình chiếu A ; B lên Oy ⇒ Tứ giác ABKH hình thang vng 3 6 3 3 A  ; − ÷ B ; ÷ Vì  5  ;  2  ⇒ AH = 3 BK = 5; 2; HK = 27 + = 10 ; OK = OH = 2; Diện tích ∆AOB là: SAOB = SAHKB − SOAH − SOBK  3  27 3 =  + ÷ − − = 1, 47   10 5 2 Vậy SAOB = 1, 47 (đvdt) Bài Cho đường thẳng trục Oy B ( d ) : y = ( m − 1) x + ( m ≠ 1) Biết ( d ) cắt trục Ox A , cắt d I −1;2 ) a) Tìm m cho đường thẳng ( ) qua điểm ( d b) Tìm m cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( ) Lời giải M −1;4 ) a) Tìm m để d qua điểm ( TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG d M ( −1;4 ) Vì đường thẳng ( ) qua điểm nên thay x = −1 , y = vào phương d trình ( ) ta = ( m − 1) ( −1) + − m ⇔ = −m + + − m ⇔ m = (thỏa mãn) d M −1;4 ) Vậy với m = đường thẳng ( ) qua điểm ( b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d lớn h > 0) Giả sử khoảng cách từ gốc tọa độ đển đường thẳng d h ( OH ⊥ ( d ) Kẻ H ⇒ OH = h (đvđd) d y = ( m − 1) + − m ⇔ y = − m Thay x = vào ( ) ta ⇒ B ( 0;3 − m ) ⇒ OB = − m (đvđd) m −3 ⇔x= d = m − x + − m ( ) ( ) m − (Vì m ≠ ) Thay y = vào ta m−3  m−3  ⇒ A ;0 ÷ ⇒ OA = m − (đvđd)  m −1  Áp dụng hệ thức lượng vào ∆OAB vuông O có đường cao OH ta có 1 ⇔ 2= + 2 h m −3 3− m 1 = + m −1 OH OA OB2 2 ( m − 1) 1 ( m − 1) + m − 6m + ⇔ = + ⇔ = 2 2 ⇔ h = h h ( m − 3) ( m − 3) ( m − 3) m − 2m + + ⇒ m h − 2mh + 2h = m − 6m + ⇔ m ( h − 1) + 2m ( − h ) + 2h − = (*) Ta coi phương trình bậc hai ẩn m , phương trình (*) có nghiệm 2 ∆ ' ≥ ⇔ ( − h ) − ( h − 1) ( 2h − ) ≥ ⇔ − 6h + h − 2h + 2h + 9h − ≥ ⇔ −h + 5h ≥ ⇔ h2 ( − h2 ) ≥ ⇔ − h2 ≥ (Vì h ≥ 0; ∀h ) ⇒ ≤ h ≤ Mà h lớn nên h = TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Dấu “=” xảy phương trình (*) có nghiệm kép −b ' h − −3 ⇔m= = = = = a h −1 −1 m= khoảng cách từ gốc tọa độ đển đường thẳng d lớn Vậy với Bài 5 (đvđd) ( d ) : y = ( 2m − 1) x + m + đường thẳng ( d′) : y = x + d d′ a) Tính giá trị m để đường thẳng ( ) cắt đường thẳng ( ) điểm Cho đường thẳng trục tung d b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng ( ) đạt giá trị lớn giá trị lớn bao nhiêu? Lời giải d d′ a) Tính giá trị m để đường thẳng ( ) cắt đường thẳng ( ) điểm trục tung d d′ Gọi M giao điểm hai đường thẳng ( ) ( ) nằm trục tung, M ( 0; y ) Hồnh độ M thỏa mãn phương trình hồnh độ sau: ( 2m − 1) x + m + = x + ( 1) Thay x M = vào phương trình ( ) , ta ( 2m − 1) + m + = + ⇔ m +1 = ⇔m=2 d d′ Vậy với m = đường thẳng ( ) cắt đường thẳng ( ) điểm trục tung d b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng ( ) đạt giá trị lớn giá trị lớn bao nhiêu? Đường thẳng ( d ) cắt trục tọa độ Ox , Oy hai điểm A , B Do đó, ta m +1  m +1  B ;0 ÷ OB = A 0;m + 1) ⇒ OA = m + 1 − 2m có ( ,  − 2m  , Xét tam giác OAB vuông O , gọi H chân đường cao kẻ từ O xuống AB Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng, ta có 1 1 = + = + 2 2 OH OA OB ( m + 1)  m +   ÷  − 2m  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 1 ( − 2m ) = 4m − 4m + = + OH ( m + 1) ( m + 1) m + 2m + ( m ≠ −1) ⇔ ( 2) =t 2 Đặt OH thay vào ( ) ta 4m − 4m + t= ⇔ ( − t ) m − ( + 2t ) m + − t = m + 2m + Ta coi phương trình phương trình bậc hai ẩn m , để phương trình có nghiệm ∆′ =  − ( + t )  − ( − t ) ( − t ) ≥   ⇔ + 4t + t − t + 6t − ≥ ⇔ 10t − ≥ ⇔t≥ ⇒ 5 ≥ ⇔ OH ≤ OH Dấu '' = '' xảy phương trình có nghiệm kép 2  − + ÷ −( + t) b' 5 m=− =− =−  =− a 4−t 4− (thỏa mãn) Vậy Bài m=− O cách ( d ) khoảng lớn Cho hai đường thẳng: ( d1 ) : x + 2y = m ( d ) : 2x − y = m + ; d d a) Tìm tọa độ giao điểm ( ) ( ) với m = −4 d d b) Tìm m để hoành độ, tung độ giao điểm ( ) ( ) độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền Lời giải a) Tìm tọa độ giao điểm ( d1 ) ( d ) với m = −4 d d Gọi M giao điểm hai đường thẳng ( ) ( ) Tọa độ M thỏa mãn hệ  x + 2y = m  2x − y = m + phương trình sau:  ( 1)  x + 2y = −4  x = −2 ⇔  2x − y = −3  y = −1 Với m = −4 hệ phương trình ( ) trở thành  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG M −2; −1) Vậy giao điểm hai đường thẳng m = −4 ( d d b) Tìm m để hoành độ, tung độ giao điểm ( ) ( ) độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền Từ hệ phương trình ( 1) , ta có 6m +  2x − y = m +  x = 2x + 4y = 2m   10 ⇔ ⇔  m −1 2x − y = m +  y = y = m −1   Để tọa độ giao điểm hai đường thẳng độ dài hai cạnh góc vng tam , ta có giác vng có cạnh huyền  6m + >0    m −1 >0    6m + 2  m −   ÷ + ÷ =  10    ( 5)  m > −  ⇔ m >  36m + 48m + 16 m − 2m +  + =5 100 25  m >  40m + 40m − 480 = ( *) *) *) ∆′ = 202 − 40 ( −480 ) = 19600 > ⇒ ( ( Giải , phương trình có ∆ ' = 140 * Gọi m1 ; m nghiệm phương trình ( ) , ta có −20 − 140  = −4 m1 = 40  m = −20 + 140 =  40 Kết hợp điều kiện m > ta có m = thỏa mãn điều kiện đề Bài d với m ≠ có đồ thị đường thẳng ( ) d A 2;3) d a) Tìm m để đường thẳng ( ) qua điểm ( Khi vẽ đường thẳng ( ) mặt phẳng tọa độ Oxy Cho hàm số y = ( m − 2) x − m + ( ) O; d b) Tìm m để đường thẳng ( ) tiếp xúc với đường tròn với O gốc tọa độ Lời giải d A 2;3) d a) Tìm m để đường thẳng ( ) qua điểm ( Khi vẽ đường thẳng ( ) mặt phẳng tọa độ Oxy TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Đường thẳng ( d ) qua điểm A ( 2;3) Ta có y = ( m − 2) x − m + GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x = ; y = thay vào hàm số ta = ( m − ) − m + ⇔ m − = ⇔ m = d A 2;3) Vậy với m = đường thẳng ( ) qua điểm ( d Với m = ta có phương trình đường thẳng ( ) : y = 2x − A 0; −1) d Cho x = ⇒ y = −1 , ta có ( điểm nằm đường thẳng ( ) Cho y=0⇒x = Vẽ đường thẳng 1  B  ;0 ÷ , ta có   điểm nằm đường thẳng ( d ) ( d ) qua hai điểm A B ( ) O; d b) Tìm m để đường thẳng ( ) tiếp xúc với đường tròn với O gốc tọa độ ( ) O; d Gọi M tiếp điểm đường thẳng ( ) đường tròn OM ⊥ ( d )  Ta có OM = Đường thẳng ( d ) cắt trục tọa độ Ox , Oy hai điểm C , D Do đó, ta có m−3  m −3  D ;0 ÷ OD = C ( 0; − m + 3) ⇒ OC = −m + m−2 , m−2  , Xét tam giác OCD vng O , có OM đường cao Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng, ta có 1 = + 2 OM OC OD 2 1 m−2 ⇔ = + ÷ ⇔ = m − 4m + 2 ( − m)  m−3 m − 6m + ⇔ m − 2m + = ⇔ ( m − 1) = TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 10 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Kẻ OH ⊥ ( d ) H GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG (đvđd) ⇒ OH = ( d) Thay x = vào phương trình ta ⇔ y = ⇒ B ( 0;3 ) ⇒ OB = = (đvđd) −3 = ( m − 1) x + ⇔ x = m − ta (Vì ( d) Thay y = vào phương trình m ≠ 1) y = ( m − 1) + −3  −3  ⇒ A ;0 ÷ ⇒ OA = m − (đvđd)  m −1  Áp dụng hệ thức lượng vào ∆OAB vng O có đường cao OH ta có 1 = + 2 OH OA OB2 ⇔    ÷  5 = −3 m −1 + 32 ( m − 1) ⇔ = + ⇔ = m −1 + ( ) 9 m − = m = ⇔ ⇔ ⇔ ( m − 1) =  m − = −2  m = −1 (thỏa mãn) Vậy m = ; m = −1 thỏa mãn đề  ( d )  : y = ( a + 1) x − a Bài 13 Cho parabol (P) : y = x đường thẳng Tìm a để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B cho tam giác AOB vuông O Lời giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 17 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Xét phương trình hồnh độ giao điểm ⇔ x − ( a + 1) x + a = ( d) ( P) : x GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG = ( a + 1) x − a a + b + c = − ( a + 1) + a = Do phương trình có nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x = a (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B x1 ≠ x ⇔ a ≠ Khi Nhận xét: B ( a;a ) A ( 1;1) , B ( a;a ) A ( 1;1) thuộc đường phân giác thứ y = x nên để tam giác AOB vng O ( ) B a;a y = − x phải thuộc đường phân giác thứ hai không trùng O 2 ⇔ a = −a ⇔ a + a = ⇔ a ( a + 1) = ⇔ a = a + = ⇔ a = (loại B trùng O ) a = −1 (nhận) Vậy a = −1 (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B cho tam giác AOB vuông O y = − ( m + 1) x + m y = −x Bài 14 Cho Parabol (P) đường thẳng (d): (m tham số) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm P Q cho OPQ vuông Q Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( d) ⇔ x − ( m + 1) x + m = ( P ) : − x = − ( m + 1) x + m Do phương trình có a + b + c = − ( m + 1) + m = nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x = m (d) cắt parabol (P) hai điểm P Q ⇔ x1 ≠ x ⇔ m ≠ Khi Ta có P ( 1; −1) , Q ( m; −m ) OP = ( − ) + ( −1 − ) = 2 OQ = ( m − ) + ( −m − ) = m + m 2 PQ = ( m − 1) + ( −m + 1) = m − m − 2m + 2 2 2 Tam giác OPQ vuông Q ⇔ OP = OQ + PQ (định lí Pi-ta-go) ⇔ = m + m + m − m − 2m + ⇔ 2m − 2m = ⇔ 2m ( m3 − 1) = ⇔ 2m ( m − 1) ( m + m + 1) = ⇔ m = (loại Q ≡ O ) m = −1 (nhận) Vậy m = −1 (d) cắt parabol (P) hai điểm P Q mà tam giác OPQ vuông Q Bài 15 (d) : y = ( m − ) x + Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) : y = x đường thẳng ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt a) Chứng minh với giá trị m đường thẳng B nằm hai phía trục tung b) Tìm m để diện tích ∆AOB (đơn vị diện tích) A, Lời giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 18 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt A , a) Chứng minh với giá trị m đường thẳng B nằm hai phía trục tung Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( d) x = ( m − 2) x + ⇔ x − ( m − 2) x − = Ta có: ( P) : ( 1) ac = ( −3) = −3 < ⇒ phương trình ( 1) có ln có hai nghiệm trái dấu với m ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt A , B nằm Vậy với giá trị m đường thẳng hai phía trục tung b) Tìm m để diện tích ∆AOB (đơn vị diện tích) Đường thẳng ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt A(x1; y1 ) ; B(x ; y ) ( x1 < < x )  x1 + x = m −  x x = −3 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:  ⇒ M ( 0;3) Gọi M giao điểm AB trục Oy Gọi H, K hình chiếu A, B lên trục Oy OM = ; AH = x1 ; BK = x Ta có: SAOB = SAOM + SBOM 1 ⇒ = OM.AH + OM.BK 2 ⇒ = OM ( AH + BK ) ⇒ = ( x1 + x 2 ) ⇒ x1 + x = ⇒ x12 + x 22 + x1x = 16 ⇒ ( x1 + x ) − 2x1x + x1x = 16 ⇒ ( m − ) − ( −3 ) + −3 = 16 ⇒ ( m − 2) m − = m = ⇒ ⇒ =4  m − = −2  m = (thỏa mãn) m = m = Vậy  giá trị cần tìm Bài 16 ( d ) có phương trình: ( m − 1) x + ( m – ) y = ( d ) cắt parabol y = x hai điểm phân biệt A , B để đường thẳng Cho đường thẳng a) Tìm m b) Tìm tọa độ trung điểm AB theo m TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 19 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Lời giải ( d ) cắt parabol y = x hai điểm phân biệt A , B a) Tìm m để đường thẳng Phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) parabol y = x : ( m − 1) x + ( m – ) x = ⇔ ( m – ) x + ( m − 1) x − = (1) ( d ) cắt parabol y = x hai điểm phân biệt A , B phương trình (1) có Đường thẳng nghiệm phân biệt m − ≠ m − ≠ ⇔ ⇔ ∆ ' > (m − 1) − (m − 2).( −2) > m ≠  3 ⇔   m < − m − 2m + + 2m − > m − >  m < −     3