ĐƯỜNG CONG b SPLINE và PHAY CONTOUR

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC … VIỆN …  -(logo) TIỂU LUẬN HỌC PHẦN CÔNG NGHỆ CAD CAM ĐỀ BÀI: ĐƯỜNG CONG B SPLINE VÀ PHAY CONTOUR Giáo viên hướng dẫn : … Sinh viên thực : … Lớp : Chuyên ngành : (Địa điểm) – 2021 LỜI MỞ ĐẦU Như thấy, thực thể xuất xung quanh có đường cong nhà cửa, xe cộ, đồi núi vật dụng khác Từ xa xưa người mong muốn biểu diễn điều thấy ra, thơng qua tốn học, mà có hai điểm ta vẽ đường thẳng, ba điểm ta vẽ đường cong, phương trình đường cong,…Rồi phương trình đường cong khơng thể hình ảnh thực hay ý tưởng người thiết kế, ta có quỹ đạo chuyển động điểm không gian tạo thành đường cong Ngày nay, ta sử dụng phần mềm đồ họa máy tính CAD CAM để biểu diễn đường cong mong muốn thiết kế thực thao tác phay theo u cầu.Chính sâu vào tìm hiểu đường cong B Spline phay contour Bài tiểu luận tổng hợp nội dung em học tìm hiểu học phần “Cơng nghệ CAD CAM”, kết hợp với kiến thức từ sách, tài liệu nghiên cứu, internet đường cong B Spline phay contour Em xin cảm ơn nhà trường tạo điều kiện hội cho em tiếp cận với mơn học bổ ích thú vị Em xin đặc biệt cảm ơn thầy… người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em học phần này, hoàn thiện tiểu luận này, cảm ơn tất bạn đồng hành với suốt học phần 2 PHẦN 1: GIỚI THIỆU KHÁI QUÁT VỀ ĐƯỜNG CONG B SPLINE VÀ PHAY CONTOUR 1.1Lịch sử hình thành đường cong B Spline Việc phát triển đường cong B Spline năm 1950 kĩ sư cần biểu diễn tốn học xác bề mặt tự vỏ tàu thủy, bề mặt bên ngồi tàu khơng gian vũ trụ, vỏ ơtơ, thứ mà sản xuất lại cách xác kĩ thuật Trước đó, loại bề mặt biểu diễn mơ hình tạo người thiết kế mỹ thuật công nghiệp Những người tiên phong cho phát triển có Pierre Bézier, kỹ sư Renault, Paul de Casteljau làm việc cho Citroën, hai Pháp Bézier làm việc gần đồng thời với de Casteljau, công việc người Nhưng Bézier cơng bố thành ông ta, người sử dụng công nghệ đồ họa máy tính ngày cơng nhận đường Spline biểu diễn với điểm điều khiển giữ cữ cho đường cong đường cong Bézier splines, Trong tên tuổi de Casteljau biết dùng cho thuật tốn mà ơng phát triển để ước định bề mặt toán học điều khiển tham số Vào năm 1960 việc trở nên rõ ràng non-uniform rational Bsplines khái quát hóa đường cong Bézier splines Lúc đầu đường cong B Spline sử dụng thuộc tính gói phần mềm CAD công ty ôtô Sau chúng trở thành phần chuẩn gói chuẩn đồ họa máy tính Q trình dựng ảnh tương tác thời gian thực đường cong bề mặt đường cong B Spline tạo máy trạm làm việc silicon vào năm 1989 Vào năm 1993 cơng cụ mơ hình hóa tương tác đường cong b Spline cho máy tính cá nhân, gọi NöRBS, phát triển CAS Berlin, cơng ty nhỏ hình thành liên kết với trường đại học kĩ thuật Berlin Ngày kỹ thuật đường cong B Spline xuất nhiều phần mềm thiết kế, đồ họa khác CAD, CAM,… 1.2Khái quát đường cong B Spline công nghệ CAD CAM 1.2.1 Giới thiệu đường cong B -Spline Trước hết đường cong đối tượng thường kết tiến trình thiết kế điểm đóng vai trị cơng cụ để kiểm sốt mơ hình hố đường cong Cách tiếp cận sở lĩnh vực thiết kế mơ hình hình học nhờ máy tính Trong thiết kế CAD CAM mơ hình hóa hình học sử dụng cho thực thể hình học mơ tả được, thực thể học sở, sử dụng vẽ kỹ thuật hay hình, có đường cong Mơ hình hình học diễn giải người hình thức mơ tả chúng phải thích hợp, rõ ràng cho chuyển đổi thành mơ hình hình học số Tức u cầu mơ hình hình học phải mơ tả giá trị số xác, đường cong mơ tả chuỗi điểm phương trình Về mặt lý thuyết sử dụng phương trình tốn học để định nghĩa đường cong Tuy nhiên, mơ hình tốn học dạng phương trình đa thức sử dụng phổ biến có đặc tính dễ dàng xử lý, đủ linh hoạt để mô tả phần lớn loại đường cong sử dụng kỹ thuật Đường cong B – Spline trường hợp đặc biệt đường cong 3 Beizer nên để hiểu đúng, hiểu đủ đường cong B – Spline, sau ta tìm hiểu qua chút đường cong Beizer Việc sử dụng điểm với vector kiểm soát độ dốc đường cong điểm mà qua Tuy nhiên không thuận lợi cho việc thiết kế tương tác, không tiếp cận với độ dốc đường cong giá trị số (Hermite) Paul Bezier, nhân viên hãng RENAULT vào năm 1970 đầu việc ứng dụng máy tính cho việc xây dựng bề mặt Hệ thống UNISURF ông đựơc áp dụng thực tế vào năm 1972 thiết kế kiểm xe Mezesez hay Renaut Bezier sử dụng đa giác kiểm soát cho đường cong đỉnh đa giác tiếp tuyến (p0,p1,p2,p3) Ta có p0, p3 tương đương với p0, p1 đường Hermite, điểm trung gian p1, p2 xác định 1/3 theo độ dài vector tiếp tuyến điểm p0 p3 Hình 1 Đa giác kiểm sốt Bezier p0’ = 3(p1 – p0) p1’ = 3(p3 – p2) p = p(u) = p0(1-3u2+2u3) + p1(3u2-2u3) + p0’(u-2u2+u3) + p1’(-u2 + u3) p = p(u) = p0(1 - 3u + 3u2 - u3) + p1(3u-6u2-3u3) + p2(3u2 - 3u3) + p3u3 4 Hình Hàm hợp đường cong Bezier Ưu điểm: • • • Dễ dàng kiểm sốt hình dạng đường cong vector tiếp tuyến p0’ p1’ Hermite Nằm đa giác kiểm soát với số điểm trung gian tuỳ ý (số bậc tuỳ ý), có số bậc =số điểm kiểm sốt -1 Đi qua điểm đầu điểm cuối đa giác kiểm soát, tiếp xúc với cặp hai vector đầu cuối Biểu thức Bezier-Bernstain: Đường Bezier biết đến biểu thức Bezier Bernstain kỹ thuật mà Bezier sử dụng áp dụng công thức hố vector phép tính đa giác xấp xỉ Bernstain phát triển gần Phép toán đại số xác định sau: ≤u≤1 0!=1, ui =1 i = P(u) = i,n(u)Pi Bi,n(u) = C(n,i)ui(1-u)n-i C(n,i) = Trong P0 Pn: vector vị trí đa giác (n+1) đỉnh Đường cong B Spline dạng đường cong đa thức tham số sử dụng phổ biến Đường cong B Spline mơ hình đường cong dạng phương trình tường minh, có ưu điểm sau: • Dễ dàng xác định vector tiếp tuyến pháp tuyến • Dễ dàng xác định vị trí tương quan điểm với đường cong • Dễ dàng thực đồ hình Nhược điểm phương trình tường minh khơng thể điều khiển đường khép kín đường thẳng đứng.Mơ hình tốn học đường cong B Spline phương trình đại số Phương trình tổng quát đường cong B – Spline có n + điểm điều khiển () sau: 5 • • • Trong điểm điều khiển Hàm gọi hàm sở bậc k-1 K cấp k – bậc đường B-Spline Đường B -Spline bậc (sử dụng điểm điều khiển) Đường B -Spline bậc ( điểm điều khiển nhân với hàm sở, phân đoạn có chung điểm điều khiển với phân đoạn kế tiếp) Hình Đường cong Beizer trường hợp đặc biệt đường cong không Đường cong B-Spline hữu tỉ không đường cong sử dụng phổ biến bao gồm đường cong Beizier đường cong B -Spline Đường cong B-Spline hữu tỉ không biểu diễn nhiều dạng đường cong khác có đường conic 1.2.2 Tính chất đường cong B -Spline - Đường cong Beizer trường hợp đường cong B-spline không vector nút = [0 1 1] - Hình dáng đường cong B-Spline phụ thuộc vào vector nút t hàm sở (đều/tuần hoàn khơng đều/khơng tuần hồn) Hình Đường cong thay đổi thay đổi vector nút 6 - Đường cong B -Spline thay đổi hình dáng cục thay đổi điểm điều khiển Hình Đường cong B-Spline không với thay đổi cục 1.2.3 Khái quát phay contour Phay contour lập trình gia cơng biên dạng mastercam Chúng thực việc gia công chi tiết máy Sau ta tìm hiểu qua số khái niệm có phay contour Hình Phay contour thực tế Phay Mill 2D nói đường chạy dao sử dụng trục Z để định vị dụng cụ cắt theo chiều sâu Lập trình gia cơng Phay 2D tảng để nghiên cứu chiến lược phay bề mặt 3D nhiều trục,… Với nhiều người, yêu cầu công việc khơng phức tạp cần làm việc với mơi trường Phay 2D đủ công cụ để gia công CNC Trên hiểu biết đường cong B – Spline phay contour lịch sử hình thành, hàm sở đường B – Spline số khái niệm có 7 phay contour Trong phần hai ta tìm hiểu chi tiết đường cong B-spline phay contour kết hợp với ví dụ minh họa kèm để hiểu sâu rõ ràng 8 PHẦN 2: NỘI DUNG CHI TIẾT VỀ ĐƯỜNG CONG B SPLINE 2.1 Đường cong bậc ba B - Spline Trong công thức Bezier, ta sử dụng hàm hợp liên tục để xác định điểm kiểm sốt tương đối Với điểm nội suy mức độ tương đối khác mà chuỗi phần tử nhỏ kết hợp với tạo đường cong đa hợp Theo tính tốn đường bậc ba đa thức bậc thấp để biểu diễn đường cong không gian chuỗi điểm Hermite phù hợp việc xây dựng nên đường cong đa hợp Việc yêu cầu người sử dụng đưa vào vector tiếp tuyến điểm tập hợp điểm bất tiện thường đường bậc ba đa hợp ta sử dụng điều kiện biên liên tục phép đạo hàm bậc hai điểm nối đường cong xác định gọi đường spline bậc ba với phép đạo hàm liên tục bậc hai Giá trị đạo hàm đường cong xác định độ cong điểm nút đưa điều kiện biên cho đoạn đường cong Vậy đường bậc ba spline có ưu điểm khơng phải xác định độ dốc đường nút nhược điểm tạo thay đổi tồn cục ta thay đổi vị trí điểm Đường cong B– Spline qua n điểm cho trước mà đoạn đường cong bậc ba độc lập có độ dốc độ cong liên tục điểm kiểm soát hay điểm nút Với n điểm ta có (n-1) đoạn với đoạn gốm bốn vector hệ số hay 4(n-1) cho n-1 đoạn, 2(n-1) điều kiện biên (n2) điều kiện độ dốc (n-2) độ cong Để xây dựng nên đường spline có tham số với n điểm nút ta có dãy giá trị tham số mà ta gọi vector nút u0 un-1 ui+1 >ui Cần lựa chọn nút, cách lựa chọn đơn giản theo cách đơn điệu có nghĩa với giá trị điểm đầu tăng lên điểm phương pháp dẫn đến độ cong khơng mong muốn điểm việc tham số hoá đưa vào chiều dài, phương pháp khơng xác mà đường cong chưa xác định chiều dài Tuy nhiên thông thường người ta sử dụng việc tích luỹ dây cung với: u0=0 ui+1 = ui + di+1 di: khoảng cách điểm pi-1 pi Trong trường hợp đường cong có bậc lớn ba dùng cho đường spline Thơng thường đường spline bậc n xây dựng phần nhỏ liên tục biến độc lập 9 Hình Kết nối hai đường cong Hình cho thấy hai đoạn cong có chung điểm nối mà đường cong liên tục điểm đó, việc biểu diễn tính liên tục đường cong thơng qua chữ C-Cuntinue C để đảm bảo khơng có gián đoạn hai đoạn cong C tính liên tục bậc hay đạo hàm bậc điểm nối C2 đạo hàm bậc hai liên tục đường cong điểm nối Giả sử biểu diễn đường cong mềm thông qua đoạn cong q 1, q2, q3 (mỗi đoạn có vector hệ số) cần thoả mãn: Liên tục điểm nối hay = Độ dốc (hay vector tiếp tuyến) điểm nối (điểm cuối q đầu q2) nhau: = (đạo hàm bậc nhất) Thoả mãn liên tục điểm nối (đạo hàm bậc liên tục điểm nối) = Việc kết hợp đoạn cong Hermite bậc ba để mô tả đường cong mềm theo kiểu phân đoạn spline phương pháp đơn giản hay gọi phương pháp Hermite nội suy Với phương pháp tham biến ui cho đoạn cong i tập đoạn cong Hermite biến đổi khoảng từ đến tồn đạo hàm bậc đoạn cong điểm nối Phương trình cho đoạn cong sử dụng lúc phương trình đường cong bậc ba Hermite: Hình 2 Phân đoạn đường cong Spline – Hermite 10 10 2.2 Đường B - Spline Với Bezier hay spline không cho ta thay đổi đường cong cách cục bộ, việc thay đổi vị trí điểm kiểm sốt hay vector tiếp tuyến không ảnh hưởng trực tiếp đến độ dốc đường cong lân cận quanh điểm kiểm sốt mà cịn kéo theo ảnh hưởng đến phần lại đường cong Đường Bezier thêm vào tính xấp xỉ bậc cao phức tạp liên kết nhiều đoạn Bazier hay Hermite bậc thấp (bậc ba) đem lại ích lợi tính tốn yếu tố ràng buộc tính liên tục đạo hàm bậc cao điểm nối không cho điều khiển cục mong muốn Việc kết hợp phiên đoạn cong tổng hợp, thông qua đa thức tham số xác định riêng rẽ số điểm kiểm soát lân cận với số bậc tuỳ ý không phụ thuộc vào số lượng điểm kiểm soát, cho phép tạo nên đường cong trơn mềm B-spline Đường cong khắc phục nhược điểm mà dạng đương cong trước chưa đạt Có nghĩa dịch chuyển điểm kiểm sốt đương cong vài phân đoạn lân cận điểm kiểm sốt bị ảnh hưởng khơng phải toàn đường cong Với n+1 số điểm kiểm sốt Pi ta có: P(u) = i,k(u).Pi Trong Ni,k(u) hàm hợp B-Spline bậc k-1 khác biệt B-spline Bezier thể Trong đường Bezier bậc đa thức xác định số đoạn cong đường cong đó, cịn với B-spline bậc thoả mãn độc lập với số điểm kiểm soát đường Hơn hàm hợp Bezier khác toàn khoảng tham số u B-spline khác đoạn ngắn tham số Mỗi đoạn hàm hợp tương ứng với điểm dẫn tới thay đổi cục khoảng mà tham số hàm hợp khác Biểu diễn toán học B-spline, với hàm B-spline có bậc k-1 xác định thì: Trong ui giá trị nút pi với biến số u gọi vector nút Tất giá trị nút đồng thời xác định vector nút nút nguyên thường sử dụng dễ dàng Trong trường hợp hàm hợp bậc k khác khoảng k vector nút toàn giá trị vector cho tập hợp điểm n+1+k Không Bezier, đường B-spline không qua hai điểm đầu cuối trừ hàm hợp dùng tuyến tính Đường B-spline tạo qua hai điểm đầu, cuối tiếp xúc với vector đầu cuối đa giác kiểm soát Bằng cách thêm vào nút vị trí nút cuối vector nhiên giá trị giống không nhiều bậc đường cong Giống đường cong Bezier, tính chất bao lồi đa giác kiểm sốt tính chất chuẩn thỏa mãn Vậy có: 12 12 i,k (u) = Trong đường cong B-spline, số lượng nút, bậc đường cong số điểm điều khiển ln có quan hệ ràng buộc: 0≤u≤n-k+2 Hình Đường cong B-Spline Vậy việc xác định vector nút phụ thuộc vào phân loại thân chúng điều ảnh hưởng đến hình dạng đường cong mô tả Phân loại dựa loại đường cong sau: Đều tuần hồn (periodic) Khơng tuần hồn (open or unperodic) Khơng (non-uniform) 2.2.1 B-Spline tuần hoàn Vector nút giá trị chúng cách khoảng ∇ xác định Ví dụ: [ ] với ∇ xác định = [ -2-1/2 5/2 ] với ∇ xác định = 3/2 [ -1-0.6 -0.2 0.2 0.6 ] với ∇ xác định = 0.4 Trong tốn thực tế, thơng thường khoảng xác định tham biến nằm khoảng từ đến hay từ 0 đến 3600 việc chọn giá trị vector nút chuẩn hố khoảng [0 1] hay [00 3600] [ 00.2 0.4 0.6 0.81 ] với ∇ xác định = 0.2 [ 00120024003600 ] với ∇ xác định = 1200 Bậc (k-1) Cấp (k) Vector nút (m=n+k) 13 13 Khoảng tham số (k-1)≤t≤(n+1) [0 7] 1≤t≤6 [0 8] 2≤t≤6 [0 9] 3≤t≤6 Các vector nút gọi tuần hoàn hàm B-spline phân đoạn chuyển đổi lẫn Bảng thay đổi miền tham số vector nút khác đường cong B-spline bậc đường cong thay đổi Số lượng vector nút qui định biểu thức m-n+k số lượng điểm kiểm soát tính qua biểu thức (n+1) Tính chất: Ảnh hưởng hàm sở giới hạn k đoạn cấp đường cong cần thể Vậy sử dụng đường cong bậc ba ảnh hưởng hàm sở trải dài bốn đoạn đường cong Đường B-spline tuần hồn khơng qua điểm đầu cuối đa giác kiểm soát ngoại trừ với đường bậc (k=2) mà đường cong chuyển dạng thành đường thẳng Ví dụ đường B-spline tuần hồn có bậc khác có điểm đa giác kiểm sốt Khi k=2 đường cong bậc trùng với cạnh đa giác kiểm soát Khi k=3, đường cong B-spline bậc 2, bắt đầu trung điểm cạnh thứ kết thúc trung điểm cạnh cuối đa giác kiểm sốt 2.2.2 B-Spline khơng tuần hồn (Open – Non Uniform) Một vector khơng tuần hồn mở vector nút có giá trị nút điểm đầu cuối lặp lại với số lượng giá trị lặp lại cấp k đường cong giá trị nút điểm lặp Nếu hai điều kiện hai điều kiện không thoả mãn vecto nút khơng Ví dụ, xét đa giác kiểm soát với bốn đỉnh Các đường cong B-spline cấp 2,3,4 xây dựng dựa đa giác kiểm sốt có số lượng nút m=n+k có vector nút sau: Cấp (k) Các biểu thức đầu u0 Số lượng nút (m = n + k) phải thoả mãn nút u i Vector nút không tuần hoàn [0 3] [0 0 2 ] [0 0 1 1] vector nút khơng tuần hồn bắt Danh sách vector nút khơng tuần hồn đưa mục thoả mãn biểu thức sau: ui = 1=