KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP QUẬN VÒNG NĂM HỌC 2014-2015 Mơn: Tốn Ngày thi: 27 / 11 /2014 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN Câu 1: (4,0 điểm) x 3 9 x x 9 x 2 Cho biểu thức: P : 1 x x x x x a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 10 1 62 Câu 2: (4,0 điểm) a)Chứng minh : 3n4 - 14n3 + 21n2 - 10n 24 với n số tự nhiên b) Tìm số nguyên x để biểu thức x4 - x2 + 2x + số phương c) Chứng minh : 17 1 1 18 100 Câu (4,0 điểm) Cho hàm số y (m 3) x m ( x ẩn , m tham số ; m 3) a) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm có tọa độ (-2;2) b) Biết đồ thị hàm số qua điểm cố định Tìm tọa độ điểm cố định c) Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Câu 4: (6 điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O , đường kính BC Kẻ đường cao AH tam giác ABC Biết BC=20cm; AH HC a) Tính độ dài AB; AC b) Đường trịn đường kính AH cắt (O) , AB, AC M; D; E Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC K Chứng minh điểm A, M; K thẳng hàng c) Chứng minh điểm B; D; E; C thuộc đường tròn Câu 5: (2 điểm ) Trong mặt phẳng cho 2015 điểm phân biệt cho điểm 2015 điểm cho tồn điểm có khoảng cách chúng nhỏ Chứng minh tồn hình trịn bán kính chứa 1008 điểm 2015 điểm cho (hình trịn kể biên) ––––––––––Hết–––––––––– Chú ý: : Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Phần Hình học khơng sử dụng kiến thức chương III- Tốn ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM TỐN VỊNG Năm học 2014-2015 Nội dung TT Câu a ĐKXĐ: x 0; x 4; x (*) Rút gọn : P b x 2 x 2,0 Biến đổi x = Thay vào biểu thức tính P Câu a b Biến đối A=n(n-1)(n-2)(3n-5) Khai triển thành : A=3n(n-1)(n-2)(n-3)+4n(n-1)(n-2) Do n-2; n-1; n số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho 2, số chia hết cho Lập luận để khẳng định A chia hết cho Suy luận 4n(n-1)(n-2) chia hết cho 24 Do n(n-1)(n-2)(n-3) tích số ngun liên tiếp có số chẵn liên tiếp nên có số chia hết cho , số lại chia hết cho Vậy tích chia hết cho Suy luận 3n(n-1)(n-2)(n-3) chia hết cho 24 Vậy A chia hết cho 24 Biến đổi đẳng thức x4 - x2 + 2x + = (x+1)2 [(x-1)2+1] (*) Nếu (x+1) =0 [(x-1)2+1] tùy ý lập luận suy x= - Nếu [(x-1)2+1] ≠ [(x-1)2+1] số phương Đặt [(x-1)2+1] =y2 ( y N) lập luận để suy x=1 Sử dụng phép biến đổi liên hợp chứng minh 2( k k ) 2 k k Điểm 4đ 0,5 1,5 4đ 1,5 0,5 1.0 k 1 k ; k Thay số áp dụng với k=2 ; k=3…k=100 Lập luận để suy 17 1,0 1 1 18 100 4đ Câu a b Hàm số y (m 3) x m (với m khác 3) Tìm m=6 (thỏa mãn) 1,5 đ Gọi điểm cố định mà đồ thị hàm số ln qua M(x0;y0) Khi y (m 3) x0 m với m Đưa m( x0 1) (2 y 3x0 ) với m khác x0 2 y x 0.75 Tìm M(-1;5) Vậy đồ thị hàm số qua điểm cố định M(-1;5) 0.75 ThuVienDeThi.com Xác định giao điểm đồ thị cho với trục hoành 2m A ;0 3m c Xác định giao điểm đồ thị cho với trục tung B0;2 m Khi tam giác AOB vuông O 2m 2m 3 m 2m Nên m 3 m Đưa (2 m) m S 0,25 (1) +) Nếu 3-m>0 hay m D, E, F thẳng hàng (O) (F) cắt A M nên OF trung trực AM => OF vng góc với AM (1) 2,0 Gọi N giao điểm OA DE Suy luận KN OA Chứng minh F trực tâm tam giác KAO Suy OF KA (2) Từ (1) (2) suy đpcm Gọi I giao điểm hai đường trung trực DE BC 2,0 Suy luận AF//OI IF//OA để chứng minh FAOI hình bình hành => IF=OA; FA=OI Chứng minh IFE= COI (c.g.c) => IE=IC Lập luận để suy luận IB=ID=IE=IC suy đc ĐPCM 2đ Gọi A 2015 điểm cho Vẽ đường tròn (A;1) Nếu điểm nằm đường tròn (A; ) suy đpcm 1.0 Xét điểm B năm ngồi hình trịn (A;1) AB>1 Vẽ (B;1) rõ ràng điểm cịn lại nắm hai hình trịn (A;1) (B; 1) Thật vậy, giả sử có điểm C khơng thuộc hai hình trịn có AC>1 , BC>1 tam giác ABC có AB>1; AC>1, BC>1 mâu thuẫn với giả thiết Theo nguyên lý Đi - rich-le tồn hình trịn chứa 1008 điểm 2015 điểm cho Học sinh giải cách khác cho điểm tương đương ThuVienDeThi.com 1.0 ... K B O C H I Học sinh vẽ hình đến câu a : 0.25 a * Chứng minh tam giác ABC vuông A, suy luận AB=12cm; AC=16cm ThuVienDeThi.com 1,75 b c Câu Gọi F tâm tròn đường kính AH Mà góc DAE =90 0 nên DE đường... AC>1, BC>1 mâu thuẫn với giả thi? ??t Theo nguyên lý Đi - rich-le tồn hình trịn chứa 1008 điểm 2015 điểm cho Học sinh giải cách khác cho điểm tương đương ThuVienDeThi.com 1.0 ...HƯỚNG DẪN CHẤM TỐN VỊNG Năm học 2014-2015 Nội dung TT Câu a ĐKXĐ: x 0; x 4; x (*) Rút gọn : P b x 2 x 2,0 Biến đổi