Tài liệu Biến phức định lý và áp dụng P4 docx

152 Chương 3. Một số ứng dụng của số phức trong đại số cấu đó được xác định theo công thức w −w 1 w −w 2 · w 3 − w 2 w 3 − w 1 = z −z 1 z −z 2 · z 3 − z 2 z 3 − z 1 · (3.50) Chứng minh 1.Tính duy nhất. Giả sử ta có hai đẳng cấu w 1 (z) và w 2 (z) thỏa mãn các điều kiện của định lí. Giả sử ζ 2 (w) là ánh xạ ngược của w 2 (z). Ta xét ánh xạ ζ 2 [w 1 (z)]. đó là một đẳng cấu phân tuyến tính. đẳng cấu này có ba điểm bất động z 1 ,z 2 và z 3 vì w 1 (z k )=w k ,k=1, 2, 3, ζ 2 (w k )=z k ,k=1,2, 3. Do đó nếu đặt ζ 2 [w 1 (z)] = az + b cz + d thì az k + b cz k + d = z k ,k=1,2, 3, hay là cz 2 k +(d − a)z k − b =0,k=1, 2, 3. Đa thức bậc hai ở vế trái chỉ có thể có ba nghiệm khác nhau (z 1 = x 2 = z 3 ) khi mọi hệ số của nó đều bằng 0, tức là a = d, b = c =0và ζ 2 [w 1 (z)] ≡ z hay là w 1 (z) ≡ w 2 (z). 2. Sự tồn tại. Đẳng cấu phân tuyến tính thỏa mãn điều kiện của định lí được xác định theo công thức (3.50). Thật vậy, giải phương trình (3.50) đối với w ta thu được hàm phân tuyến tính. Ngoài ra khi thế cặp z = z 1 và w = w 1 vào eq3.50 thì cả hai vế của (3.50) đều bằng 0. Thế cặp z = z 3 và w = w 3 vào (3.50) ta thu được cả hai vế đều bằng 1 và cuối cùng, thế cặp z = z 2 và w = w 2 ta thu được cả hai vế đều bằng ∞. Trong hình học, biểu thức λ = z − z 1 z − z 2 : z 3 − z 1 z 3 − z 2 3.3. Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính 153 được gọi là tỉ số phi điều hòa của bốn điểm z,z 1 ,z 2 và z 3 . Nếu bốn điểm z 1 ,z 2 ,z,z 3 nằm trên một đường tròn (hoặc đường thẳng) thìtỉ số phi điều hòa là một số thực. Thật vậy a) Nếu các điểm z 1 ,z 2 ,z,z 3 nằm trên đường thẳng ζ = ζ 0 + te iα , −∞ <t<∞ ta có: z 1 = ζ 0 + t 1 e iα , z 2 = ζ 0 + t 2 e iα , z = ζ 0 + t 0 e iα , z 3 = ζ 0 + t 3 e iα và từ đó (z 1 ,z 2 ,z,z 3 )= z − z 1 z − z 2 : z 3 − z 1 z 3 − z 2 = t 0 − t 1 t 0 − t 2 : t 3 − t 1 t 3 − t 2 ∈ R. b) Nếu các điểm z, z 1 ,z 2 ,z 3 nằm trên đường tròn ζ = ζ 0 + re it , r>0, 0  t  2π, ta có z 1 = ζ 0 + re iϕ 1 , z 2 = ζ 0 + re iϕ 2 , z 3 = ζ 0 + re iϕ 3 và từ đó ta có (z 1 ,z 2 ,z,z 3 )= e iϕ 0 −e iϕ 1 e iϕ 0 −e iϕ 2 : e iϕ 3 −e iϕ 1 e iϕ 3 −e iϕ 2 = e i ϕ 0 +ϕ 1 2  e i ϕ 0 −ϕ 1 2 − e −i ϕ 0 −ϕ 1 2  e i ϕ 0 +ϕ 2 2  e i ϕ 0 −ϕ 1 2 − e −i ϕ 0 −ϕ 1 2  : e i ϕ 2 +ϕ 1 2  e i ϕ 3 −ϕ 1 2 − e −i ϕ 3 −ϕ 1 2  e i ϕ 1 +ϕ 3 2  e i ϕ 3 −ϕ 2 2 − e −i ϕ 3 −ϕ 2 2  = sin ϕ 0 − ϕ 1 2 sin ϕ 0 − ϕ 2 2 : sin ϕ 0 − ϕ 1 2 sin ϕ 3 − ϕ 2 2 ∈ R. Từ định lí 3.11 ta rút ra một tính chất quan trọng nữa của đẳng cấu phân tuyến tính. Hệ quả 3.2. Tỉ số phi điều hòa là một bất biến của nhóm các đẳng cấu phân tuyến tính. Định nghĩa 3.2. 1. Hai điểm z và z ∗ được gọi là đối xứng với nhau qua đường tròn Γ={|z −z 0 | = R}⊂C nếu chúng có các tính chất sau: a) z và z ∗ cùng nằm trên một tia đi từ z 0 ; b) |z − z 0 |·|z ∗ − z 0 | = R 2 . 154 Chương 3. Một số ứng dụng của số phức trong đại số 2. Mọi điểm trên đường tròn Γ được xem là đối xứng với chính nó qua Γ. Từ định nghĩa 3.2 suy ra rằng các điểm đối xứng qua đường tròn Γ liên hệ với nhau bởi hệ thức w = z 0 + R 2 z − z 0 · Thật vậy, từ biểu thức vừa viết suy ra |w − z 0 ||z − z 0 | = R 2 và arg(w − z 0 )=arg(z − z 0 ). Trong hình học sơ cấp ta biết rằng hai điểm z và z ∗ đối xứng với nhau qua đường tròn Γ khi và chỉ khi mọi đường tròn γ ⊂ C đi qua z và z ∗ đều trực giao với Γ. Ta có định lí sau. Định lý 3.12. Tính đối xứng tương hỗ giữa các điểm là một bất biến của nhóm các đẳng cấu phân tuyến tính. Chứng minh. Kết luận của định lí được suy từ định lí 3.7 và 3.9. Từ sự bất biến của tính đối xứng giữa các điểm suy ra rằng trong trường hợp khi đường tròn biến thành đường thẳng, tính đối xứng trùng với khái niệm đối xứng thông thường. Ta minh họa việc áp dụng tính bất biến của các điểm đối xứng qua đẳng cấu phân tuyến tính bằng các định lí sau đây. Định lý 3.13. Đẳng cấu phân tuyến tính bất kỳ biến nửa mặt phẳng trên lên hình tròn đơn vị đều có dạng w = e iλ z − α z − α , Im α>0, (3.51) trong đó λ ∈ R là số thực tùy ý. 3.3. Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính 155 Chứng minh. Giả sử đẳng cấu phân tuyến tính w = w(z) ánh xạ nửa mặt phẳng trên Im z>0 lên hình tròn {|w| < 1} sao cho w(α)=0(Im α>0). Ta nhận xét rằng điểm w =0và w = ∞ sẽ tương ứng với các giá trị liên hợp của z, do đó c =0(vì nếu c =0thì điểm ∞ sẽ tương ứng với điểm ∞). Các điểm w =0, w = ∞ sẽ tương ứng với các điểm − b a và − d c . Do đó có thể viết − b a = α, − d c = α và w = a c z − α z − α · Vì các điểm của trục thực có ảnh nằm trên đường tròn đơn vị, tức là |w| =1 khi z = x ∈ R, cho nên    a c x − α x − α    =    a c    =1 và a = ce iλ .Nhưvậyw = e iλ z − α z − α · Ta chứng minh rằng đó là đẳng cấu phải tìm. Thật vậy, nếu z = x ∈ R thì hiển nhiên |w| =1. Nếu Imz>0 thì z gần α hơn so với α (tức là |z −α| < |z −α|) và do đó |w| < 1. Nhận xét 3.3. Trong ánh xạ (3.51) góc quay của các đường cong tại điểm α là bằng λ − π 2 vì từ (3.51) ta có arg w  (α)=λ − π 2 · Định lý 3.14. Mọi đẳng cấu phân tuyến tính biến hình tròn {|z| < 1} lên hình tròn {|w| < 1} đều có dạng w = e iλ z −α 1 − αz , (3.52) trong đó |α| < 1, λ ∈ R là số thực tùy ý. Chứng minh. Giả sử đẳng cấu phân tuyến tính w = w(z) biến hình tròn {|z| < 1} lên hình tròn {|w| < 1} sao cho w(α)=0(|α| < 1). Theo tính chất bảo toàn điểm đối xứng, các điểm w =0, w = ∞ tương ứng với các điểm liên 156 Chương 3. Một số ứng dụng của số phức trong đại số hợp z = α và z = 1 α , |α| < 1. Do đó − b a = α, − d c = 1 α , |α| < 1, và w = a c z − α z − 1 α = a α c · z − α αz − 1 = − a α c z − α 1 − αz · Vì các điểm của đường tròn đơn vị phải biến thành các điểm của đường tròn đơn vị nên |w| =1khi |z| =1.Vìz · z = |z| 2 nên zz =1khi |z| =1. Vì số 1 − αz và 1 − αz liên hợp với nhau và |1 −αz| = |1 −αz| nên nếu |z| =1thì |1 − αz| = |1 −αz|·|z| = |z − αzz| = |z −α|. Do đó khi |z| =1thì ta có:    z − α 1 − αz    =1. Nhưng khi đó |w| =1cho nên    aα c    =1và aα c = e iλ , λ ∈ R. Như vậy ta thu được (3.52). Ta cần chứng minh rằng đó là đẳng cấu muốn tìm. Thật vậy nếu z = e iθ và α = r 1 e iβ thì |w| =    e iθ − r 1 e iβ 1 − r 1 e −iβ · e iθ    =    1 − r 1 e iβ e −iθ 1 − r 1 e −iβ e iθ    =1. Nếu z = re iθ (r<1) thì |z −a| 2 −|1 − αz| 2 = r 2 − 2rr 1 cos(θ − β)+r 2 1 − (r 2 1 r 2 − 2r 1 r cos(θ − β)+1) =(r 2 − 1)(1 − r 2 1 ) < 0 và do đó |z − α| 2 −|1 − αz| 2 < 0 và |w| < 1. 3.3. Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính 157 Nhận xét 3.4. Vì  dw dz  z=α = e iλ 1 1 −|α| 2 , |α| < 1, cho nên về mặt hình học λ bằng góc quay của ánh xạ (3.52) tại điểm α: λ =  arg dw dz  z=α . Từ công thức (3.52) ta còn rút ra hệ thức     dw dz     z=α = 1 1 −|α| 2 và do đó độ giãn dần đến ∞ khi điểm α dần đến biên của hình tròn đơn vị. Nhận xét 3.5. Phép đẳng cấu biến hình tròn {|z| <R} lên hình tròn {|w| <R  } có dạng w = RR  e iλ z − α αz − R 2 , |α| <R,λ∈ R. Ví dụ 3.52. Giả sử U 1 = {|z| < 1}, U 2 = {|z − 1| < 1} và D = U 1 ∩ U 2 . Tìm đẳng cấu biến miền D lên nửa mặt phẳng trên. Lời giải. Giao điểm của các cung tròn giới hạn miền D là các điểm sau: a = 1 2 + i √ 3 2 ,a ∗ = 1 2 − i √ 3 2 · Giả sử cung tròn đi qua điểm z =1được kí hiệu là δ 1 và cung tròn đi qua điểm z =0là δ 2 . Ta áp dụng các ánh xạ trung gian sau 1. Ánh xạ z 1 = z −  1 2 − i √ 3 2  z −  1 2 + i √ 3 2  , 158 Chương 3. Một số ứng dụng của số phức trong đại số biến miền đã cho D thành một góc trong mặt phẳng z 1 với đỉnh là z 1 =0.Vì góc giữa hai cung tròn δ 1 và δ 2 tại các điểm a cũng như a ∗ đều bằng 2π 3 nên độ mở của góc vừa thu được bằng 2π 3 . Dễ dàng thấy rằng z 1 (1) = 1 −  1 2 − i √ 3 2  1 −  1 2 + i √ 3 2  = − 1 2 + i √ 3 2 z 1 (0) = − 1 2 −i √ 3 2 và do đó góc - ảnh thu được có cạnh đi qua điểm z 1 (1) và z 1 (0). Ta kí hiệu góc đó là D(z 1 ). 2. Ánh xạ quay z 2 = e −2πi 3 z 1 biến góc D(z 1 ) thành góc có một cạnh trùng với phần dương của trục thực, còn cạnh kia đi qua điểm − 1 2 + i √ 3 2 · 3. Ánh xạ cần tìm có dạng w = z 3 2 2  góc có độ mở 2π 3 · 3 2 = π !  . Hợp nhất 1) - 3) ta thu được w = −  2z − 1+i √ 3 2z − 1 − i √ 3  3 2 và hiển nhiên đó chỉ là một trong các hàm thực hiện ánh xạ phải tìm. Ví dụ 3.53. Ánh xạ miền D là góc {0 < arg z<πβ,0 <β<2} với nhát cắt theo một cung của đường tròn đơn vị từ điểm z =1đến điểm z = e iαπ , 0 <α<β(hãy vẽ hình). Lời giải. Ta sử dụng các ánh xạ trung gian sau đây 1. Ánh xạ z 1 = z 1 β biến góc đã cho thành góc D(z 1 ) có độ mở bằng π với nhát cắt thuộc đường tròn đơn vị đi từ điểm z =1đến điểm z = e i α β π . 2. Ánh xạ phân tuyến tính z 2 = z 1 − 1 z 1 +1 3.3. Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính 159 biến miền D(z 1 ) thành nửa mặt phẳng trên với nhát cắt theo trục ảo từ gốc tọa độ đến điểm i tan α 2β π. Ta kí hiệu miền ảnh đó là D(z 2 ). 3. Ánh xạ z 3 = z 2 2 biến miền D(z 2 ) thành mặt phẳng với nhát cắt theo  −tan 2 α 2β π; ∞  ⊂ R. Ta kí hiệu miền thu được là D(z 3 ). Hiển nhiên hàm cần tìm có dạng w =  z 3 + tan 2 α 2β π =      z 1 β − 1 z 1 β +1  2 + tan 2 α 2β π. Để kết thúc phần này, ta chứng minh rằng ánh xạ phân tuyến tính (3.48) w = az + b cz + d , ad − bc =0biến nửa mặt phẳng trên lên chính nó khi và chỉ khi mọi hệ số a, b, c, d đều là những số thực thỏa mãn điều kiện ad − bc > 0. Giả sử ánh xạ (3.48) biến nửa mặt phẳng trên lên chính nó. Ta xét ba điểm khác nhau z 1 ,z 2 và z 3 của trục thực trong mặt phẳng z. ảnh của ba điểm này là những điểm biên của nửa mặt phẳng Im w>0, tức là các số w k = w(z k ), k =1, 2, 3 là những số thực. Từ đó, ta thu được hệ phương trình với các hệ số thực để xác định a, b, c, d. Do đó với sự chính xác đến một thừa số nào đó từ hệ phương trình tuyến tính vừa thu được dễ dàng suy ra rằng các hệ số của (3.48) đều là thực. Vì w = u + iv, z = x + iy nên khi y>0 ta có v>0. Thay w = u + iv, z = x + iy vào (3.48) ta có v = y(ad − bc) (cx + d) 2 +(cy 2 ) · Từ đó suy ra ad − bc > 0. Ngược lại, nếu các hệ số a, b, c và d đều thực thì trục thực của mặt phẳng (z) được ánh xạ lên trục thực của mặt phẳng (w) và vì ad −bc > 0 nên nửa mặt phẳng trên được ánh xạ lên nửa mặt phẳng trên. 160 Chương 3. Một số ứng dụng của số phức trong đại số 3.3.3 Phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính Bài toán tổng quát 3.1. Xác định các hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện sau f  αx + β x + γ  = af(x)+b, ∀x ∈ R \{−γ}, (3.53) trong đó α,β,γ; a, b là các hằng số thực, a =0,αγ−β =0. Ta khảo sát bài toán tổng quát (3.53) trong ba trường hợp đặc trưng điển hình sau đây: (i) Phương trình ω(x)=x có hai nghiệm thực phân biệt. (ii) Phương trình ω(x)=x có 1 nghiệm kép (thực). (iii) Phương trình ω(x)=x không có nghiệm thực. Nhận xét rằng, phương trình trong trường hợp (iii) tương đương với phương trình ω( x)=x có hai nghiệm (phức) là các số liên hợp phức của nhau. Ta chuyển bài toán tổng quát 3.1 về bài toán tổng quát sinh bởi hàm bậc nhất quen biết mà cách giải đã biết Bài toán tổng quát 3.2. Xác định các hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện sau f(αx + β)) = af(x)+b, ∀x ∈ R, (3.54) trong đó α, β, a, b là các hằng số thực, a =0,α=0. hoặc về dạng bài toán tổng quát sinh bởi phép đối hợp bậc n dạng sau đây. Bài toán tổng quát 3.3. Xác định các hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện sau f  αx + β x + γ  = af(x)+b, ∀x ∈ R \{−γ}, (3.55) trong đó α, β, γ, a, b là các hằng số thực, a =0,αγ−β =0, và ω n (x) ≡ x, ω k+1 := ω(ω k (x)),ω 0 (x):=x. 3.3. Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính 161 Tiếp theo, ta minh họa cách giải ứng với các trường hợp thông qua các bài toán cụ thể sau đây. Từ kết quả khảo sát của phần trước, ta chỉ cần xét các phương trình hàm sinh bởi ω(x) có dạng ω(x)= m x + γ ,m=0· Ví dụ 3.54. Xác định các hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện sau f  1 2 − x  =2f(x) − 1, ∀x ∈ R \{2}. (3.56) Lời giải. Nhận xét rằng phương trình 1 2 − x = x có hai nghiệm thực x =1và x =2. Sử dụng phép đổi biến x −1 x −2 = t, ta thu được x =2+ 3 t − 1 , 1 2 − x =2+ 3 1 2 t −1 · Vậy (3.56) có dạng f  2+ 3 1 2 t − 1  =2f  2+ 3 t −1  − 1, ∀t ∈ R \{2; 1}, hay g  1 2 t  =2g(t) −1, ∀t ∈ R \{2; 1}, (3.57) trong đó g(t)=f  2+ 3 t − 1  . Ví dụ 3.55. Xác định các hàm số f thỏa mãn điều kiện sau f  2 3 − x  =3f(x)+2, ∀x ∈ R \{3}. (3.58) [...]... m = n và α = π1 π2 πm = (ε1π1)(ε2 π2) (εm πm ) εi là các đơn vị với Πεi = 1 Định lí sau đây có nhiều áp dụng trong việc giải các bài toán khác nhau Định lý 4.6 Cho α và β là hai số phức nguyên nguyên tố cùng nhau Giả sử αβ = γ k trong đó k ≥ 2 là một số nguyên dương Khi đó tồn tại các số phức nguyên α1 , β1 và các đơn vị ε, δ sao cho α = εαk 1 ; k β = δβ1 181 4.4 Số phức nguyên và ứng dụng trong... định đúng với n và π|α1α2 αn αn+1 = βαn+1 trong đó ta đặt β = α1 α2 αn Theo trên ta có π|β hoặc π|αn+1 Nếu π|β ta áp dụng giả thiết quy nạp để kết luận rằng tồn tại i với 1 ≤ i ≤ n để π | αi Bây giờ ta có thể chứng minh định lí phân tích một số phức nguyên thành các thừa số nguyên tố Gauss Định lý 4.5 (Định lí cơ bản về các số phức nguyên) Cho α là số phức nguyên khác không và đơn vị Khi đó... là uớc chung lớn nhất (UCLN) của α và β và viết (α ; β) = γ 4.4 Số phức nguyên và ứng dụng trong lí thuyết số 177 nếu γ là ước chung của hai số α, β và chuẩn N (γ) có giá trị lớn nhất trong tập hợp chuẩn của tất cả các ước chung của α và β UCLN luôn tồn tại vì chuẩn của ước của α không vượt quá chuẩn của α Định lý 4.3 Giả sử rằng (α ; β) = γ Khi đó, tồn tại các số phức nguyên µ, ν sao cho αµ + βν =... dư modulo γ xác định một quan hệ tương đương trên Z[i] Định lý 4.8 (Tính chất của quan hệ modulo γ) 1 Nếu γ = m là một số nguyên thông thường, α = a + bi, β = x + iy thì α ≡ β (mod γ) nếu và chỉ nếu a ≡ x (mod m), b ≡ y (mod m) 184 Chương 4 Số phức trong các bài toán số học và tổ hợp 2 Nếu α1 ≡ β1 (mod γ) và α2 ≡ β2 (mod γ) thì α1 ± α2 ≡ β1 ± β2 (mod γ) và α1 α2 ≡ β1β2 (mod γ) Định lý 4.9 Cho p > 2... nhiên N (α) = 0 khi và chỉ khi α = 0 Tính chất 4.4 Nếu α = γβ thì N (α) = N (γ)N (β) Nói riêng, nếu α chia hết cho β thì N (α) chia hết cho N (β) 4.4 Số phức nguyên và ứng dụng trong lí thuyết số 175 Tính chất 4.5 Tập U tất cả các đơn vị của Z[i] là U = {±1, ±i} Tập U lập thành một nhóm nhân, đóng đối với phép lấy liên hợp và số phức nguyên α là một đơn vị khi và chỉ khi N (α) = 1 Định lý 4.1 (Thuật chia... của π và α Ta có π = γπ1, α = γα1 Vì γ không phải là đơn vị và π là số nguyên tố Gauss nên π1 là đơn vị Do đó π = γε ⇒ γ = π ε ⇒ π|γ ⇒ π|α Điều này trái với giả thiết Thành thử α, π ¯ là nguyên tố cùng nhau Do hệ quả 6.4, ta suy ra π|β 4.4 Số phức nguyên và ứng dụng trong lí thuyết số 179 Kết luận tổng quát được chứng minh bằng phương pháp quy nạp Với n = 2 thì khẳng định đúng Giả sử khẳng định đúng... = p Định lí sau đây sẽ xác định tất cả các số nguyên tố Gauss Định lý 4.7 Cho π = a + bi là số phức nguyên khác đơn vị Khi đó: 1) Nếu b = 0, a = 0 thì π là số nguyên tố Gauss nếu và chỉ nếu a là số nguyên tố thông thường có dạng 4k + 3 2) Nếu a = 0, b = 0 thì π là số nguyên tố Gauss nếu và chỉ nếu b là số nguyên tố thông thường có dạng 4k + 3 3) Nếu a = 0, b = 0 thì π là số nguyên tố Gauss nếu và chỉ... 3x2y − y 3 = − 3 Chương 4 Số phức trong các bài toán số học và tổ hợp 4.1 Giải phương trình Diophant Vành các số phức nguyên Z[i] và nói chung là các vành số nguyên đại số có những ứng dụng khá hiệu quả trong việc giải các bài toán về phương trình Diophant Ở đây ta thường dùng đến tính chất quen thuộc sau đây: nếu a, b là các số nguyên (nguyên đại số) nguyên tố cùng nhau và tích a.b là luỹ thừa đúng... sin x và cos x = · Do đó 2 ix 2m 22m cos2m x = (eix + e−ix )2m = 2m k C2m (eix)k (e−ix )2m−k = k=0 m−1 k=0 m−1 k C2m e2(k−m)ix + = k C2m e2(k−m)ix k=0 k m C2m e2(k−m)ix + C2m k=m+1 m−1 k m C2m cos 2(m − k)x + C2m cos 2(m − m)x = k=0 m k C2m cos 2(m − k)x = k=0 4.3 Các bài toán đếm Số phức có những ứng dụng rất hiệu quả trong các bài toán đếm Và vai trò trung tâm trong kỹ thuật ứng dụng số phức vào các... khác không Chúng được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu tất cả các ước chung của α và β chỉ là {±1 ; ±i} Nói cách khác, nếu γ | α và γ | β thì γ ∈ {±1 ; ±i} Định lý 4.2 Giả sử α và β nguyên tố cùng nhau Khi đó tồn tại các số phức nguyên µ0 , ν0 sao cho αµ0 + βν0 = 1 Chứng minh Đặt A = {αµ + βν}, trong đó µ, ν chạy trên tập Z[i] và lấy γ ∈ A là phần tử mà chuẩn N (γ) có giá trị nhỏ nhất trong các chuẩn của . việc áp dụng tính bất biến của các điểm đối xứng qua đẳng cấu phân tuyến tính bằng các định lí sau đây. Định lý 3.13. Đẳng cấu phân tuyến tính bất kỳ biến. − √ 3. Chương 4 Số phức trong các bài toán số học và tổ hợp 4.1 Giải phương trình Diophant Vành các số phức nguyên Z[i] và nói chung là các vành số nguyên