Mục lục Nhập môn 1.1 Tại phải nhận dạng 1.1.1 Định nghĩa 10 1.1.2 Lớp mô hình thích hợp 10 1.1.3 Mô tả sai lệch mô hình đối tợng thực 14 1.2 Phân lớp toán nhận dạng 16 1.3 Quá trình ngẫu nhiên 18 1.3.1 Kh¸i niƯm 18 1.3.2 Các tham số trình ngẫu nhiên 18 1.3.3 Đại lợng đánh giá lợng thông tin có nguồn phát tín hiệu ngẫu nhiên 22 Nhận dạng mô hình không tham số nhờ phân tích phổ tín hiệu 25 2.1 Toán tử Fourier rời rạc (DFT) 27 2.1.1 Hàm mở rộng dirac 27 2.1.2 Mô hình hóa trình rêi r¹c tÝn hiƯu 29 2.1.3 ảnh Fourier hàm më réng 30 2.1.4 Quan hƯ gi÷a X(jω) vµ Xa(j ω) 31 2.1.5 HiÖu øng trïng phổ định lý Shannon 34 2.1.6 HiƯu øng rß rØ (leakage) vµ kü tht hµm cưa sỉ 35 2.1.7 KÕt luËn DFT thuật toán FFT 40 2.1.8 To¸n tư DFT ng−ỵc 51 2.2 NhËn dạng mật độ phổ tín hiệu 53 2.2.1 Nhận dạng hàm tơng quan 54 2.2.2 NhËn d¹ng mËt ®é phæ 59 2.3 Nhận dạng mô hình không tham số 63 2.3.1 Xác định đờng đặc tính tần biên pha 63 2.3.2 Xác định hàm trọng lợng từ đờng đặc tính tần 67 Câu hỏi ôn tËp vµ bµi tËp 68 Nhận dạng mô hình liên tục, tuyến tính có tham số từ mô hình không tham số 70 3.1 Xác định tham số mô hình từ hàm độ 70 3.1.1 Những kết luận tổng quát 70 3.1.2 Xác định tham số mô hình quán tính bậc nhÊt 77 3.1.3 Xác định tham số cho mô hình tích phân qu¸n tÝnh 80 3.1.4 Xác định tham số mô hình quán tính bËc cao 87 3.1.5 Xác định tham số mô hình Lead/Lag 98 3.1.6 Xác định tham số mô hình đối tợng dao động bậc hai tắt dần 103 3.2 Xác định tham số mô hình từ giá trị G(jn ) đ có 106 3.2.1 ThuËt to¸n Cholesky 107 3.2.2 Nhận dạng tham số mô hình 113 3.2.3 Nhận dạng lặp tham số mô hình 120 C©u hỏi ôn tập tập 128 Nhận dạng tham số mô hình ARMA 130 4.1 Đặt vấn đề 130 4.1.1 Phát biểu toán nhận dạng mô hình ARMA 130 4.1.2 Chuyển thành toán tơng đơng có hệ số khuếch đại mô hình 131 4.2 Nhận dạng chủ động tham số mô hình AR 132 4.2.1 Phơng pháp YuleWalker 132 4.2.2 Sai sè dù b¸o tuyÕn tÝnh phơng pháp YuleWalker 133 4.2.3 Giải phơng trình YuleWalker nhờ thuật toán Levinson 136 4.2.4 Ph−¬ng pháp dự báo điều hòa thuật toán Burg 145 4.2.5 KÕt luËn 149 4.3 NhËn d¹ng chủ động tham số mô hình MA 150 4.3.1 Thay mô hình MA mô hình AR tơng đơng 150 4.3.2 ThuËt to¸n nhận dạng cho trờng hợp s = 2nb 151 4.3.3 ThuËt toán nhận dạng cho trờng hợp s > 2nb 152 4.4 Nhận dạng chủ động tham số mô hình ARMA 154 4.4.1 Nhận dạng tham số AR mô hình ARMA 155 4.4.2 Nhận dạng tham số MA mô hình ARMA 156 4.4.3 Thuật toán nhận dạng tham số mô hình ARMA 157 4.5 NhËn dạng bị động tham số mô hình ARMA 159 4.5.1 Nhận dạng bị động tín hiệu vào tiền định 160 4.5.2 Nhận dạng bị động với tín hiệu vào ngẫu nhiên 163 4.5.3 Chuyển toán nhận dạng chủ ®éng 166 Câu hỏi ôn tập tập 170 Những kỹ thuật bổ trợ 173 5.1 DFT thêi gian ng¾n (SFT) 173 5.1.1 T− tởng phơng pháp 173 5.1.2 ThuËt to¸n SFT víi hµm cưa sỉ Bartlett 174 5.1.3 ThuËt to¸n SFT víi mét hµm cưa sỉ bÊt kú 177 5.1.4 øng dông để nhận dạng mô hình có tham số thay đổi 181 5.2 Néi suy 186 5.2.1 Néi suy cỉ ®iĨn 186 5.2.2 Néi suy spline 187 5.2.3 Néi suy B−spline 188 5.2.4 Sai sè phỉ cđa néi suy B−spline 192 5.3 Ngoại suy 197 5.3.1 Cực đại entropie loại 198 5.3.2 Cực đại entropie loại 199 5.4 Lý thuyÕt hµm më réng 202 5.4.1 Định nghĩa 202 5.4.2 TÝnh chÊt 204 5.4.3 To¸n tư Fourier më réng 207 Câu hỏi ôn tập tập 211 Tài liệu tham khảo 212 Nhập môn 1.1 Tại phải nhận dạng Xét bi toán điều khiển theo nguyên tắc phản hồi đầu nh hình 1.1 Muốn tổng hợp đợc điều khiển cho đối tợng để hệ kín có đợc chất lợng nh mong muốn trớc tiên cần phải hiểu biết đối tợng, tức l cần phải có mô hình toán học mô tả đối tợng Không thể điều khiển đối tợng không hiểu biết hiểu sai lệch Kết tổng hợp điều khiển phụ thuộc nhiều vo mô hình mô tả đối tợng Mô hình cng xác, hiệu suất công việc cng cao w Hình 1.1: Điều khiển theo nguyên tắc phản hồi đầu e Bộ điều khiển u Đối tợng y điều khiển Việc xây dựng mô hình cho đối tợng đợc gọi l mô hình hóa Ngời ta thờng phân chia phơng pháp mô hình hóa lm hai loại: phơng pháp lý thuyết v phơng pháp thực nghiệm Phơng pháp lý thuyết l phơng pháp thiết lập mô hình dựa định luật có sẵn quan hệ vật lý bên v quan hệ giao tiếp với môi trờng bên ngoi đối tợng Các quan hệ ny đợc mô tả theo quy lt lý−hãa, quy lt c©n b»ng, … d−íi dạng phơng trình toán học Trong trờng hợp m hiểu biết quy luật giao tiếp bên đối tợng mối quan hệ đối tợng với môi trờng bên ngoi không đợc đầy đủ để xây dựng đợc mô hình hon chỉnh, nhng từ cho biết thông tin ban đầu dạng mô hình ngời ta phải áp dụng phơng pháp thực nghiệm để hon thiện nốt việc xây dựng mô hình đối tợng sở quan sát tín hiệu vo u(t) v y(t) đối tợng cho mô hình thu đợc phơng pháp thực nghiệm thỏa mÃn yêu cầu phơng pháp lý thuyết đề Phơng pháp thực nghiệm đợc gọi l nhận dạng hệ thống điều khiển Nh vậy, khái niệm nhận dạng hệ thống điều khiển đợc hiểu l bổ sung cho việc mô hình hóa đối tợng m lợng thông tin ban đầu đối tợng điều khiển không đầy đủ Các thông tin ban đầu ny có tên gọi chung l thông tin Apriori Ví dụ 1: Chẳng hạn ta phải xây dựng mô hình cho đối tợng l xe chuyển hng Tín hiệu đầu vo tác động để đẩy xe l lực u(t) Dới tác động lực u(t) xe đợc quÃng đờng ký hiệu y(t) my dy u(t) Hình 1.2: Xây dựng mô hình cho đối tợng xe chuyển hàng m y(t) Khi chuyển động có hai lực cản trở chuyển ®éng cđa xe (bá qua ma s¸t tÜnh) Thø nhÊt l lực ma sát động xác định bởi: dy , dt Fs = d d lμ hƯ sè ma s¸t ®éng vμ thø hai lμ lùc c¶n trë sù thay ®æi tèc ®é F gt = m d2 y dt2 , m l khối lợng xe Theo nguyên lý cân lực ta có đợc mô hình mô tả đối tợng, tức l mô tả quan hệ tín hiÖu vμo u(t) vμ tÝn hiÖu y(t) nh− sau: m d2 y dt ®ã k = +d dy =u dt ⇒ G(s) = k s(1 + Ts ) (1.1a) m vμ T = d d Mô hình (1.1a) đợc xây dựng từ hiểu biết ban đầu đối tợng, nhng cha phải l mô m×nh thĨ cho chiÕc xe chë hμng mμ ta xét tham số hệ số ma sát d nh khối lợng xe m l cha có Nói cách khác mô hình m ta cần l mô hình có dạng (1.1a) Để có đợc mô hình hon chỉnh ta cần phải xác định nốt tham số k v T lại Để lm đợc điều ny, ngời ta áp dụng phơng pháp thực nghiệm cách tác động tạm thời vo xe thời điểm t=0 lực cố ®Þnh, vÝ dơ nh− u(t)=1 råi ®o tÝn hiƯu l quÃng đờng đợc y(t) Biểu diễn quÃng đờng đợc y(t) phụ thuộc theo t dới dạng đồ thị ta có hình 1.3 Từ đồ thị ta tính đợc T l giao điểm đờng tiệm cËn cđa y(t) víi trơc hoμnh vμ k ≈ y Câu hỏi ta lại tính đợc tham số nh t đợc trả lời sau ch−¬ng y(t) Δy k h(t) Δt 1,5 0,5 t 0,5 T 2,5 H×nh 1.3: Nhận dạng tham số cho mô hình xe chở hàng t a b Hình 1.4: Xác định tham số cho mô hình đối tợng động chiều Ví dụ 2: Ta xét thêm ví dụ với đối tợng l động chiều Từ kiến thức lý thuyết chung động chiều (thông tin Apriori) ngời ta xác định đợc mô hình xấp xỉ tuyến tính có dạng khâu qu¸n tÝnh bËc hai nh− sau: G(s) = k , (1 + T1 s)(1 + T2 s) (1.1b) lại chi tiết ba tham số k, T1 v T2 cha thể xác định đợc phụ thuộc vo đặc tính riêng kết cấu động Nói cách khác, từ thông tin Apriori ngời ta biết đợc động chiều thuộc lớp mô hình quán tính bậc hai (1.1b), k, T1 , T2 l phần tử R Để tìm đợc mô hình cụ thể cho đối tợng từ lớp mô hình dạng (1.1b) ngời ta phải áp dụng phơng pháp thực nghiệm (nhận dạng) Nếu nh tác động nhiễu l bỏ qua đợc, phép đo l xác v công việc nhận dạng đợc thực cách chủ động kích thích đối tợng với tín hiệu đầu vo thích hợp chọn trớc phơng pháp thờng dùng l xác định hm độ thông qua ®o tÝn hiÖu tÝn hiÖu vμo lμ hμm 1(t) TiÕp theo ng−êi ta biĨu diƠn h(t) d−íi d¹ng đồ thị kẻ đờng tiếp tuyến với h(t) ®iĨm n ®Ĩ cã a, b vμ ®−êng tiƯm cËn t= để có k (hình 1.4) Hai tham số T v T2 lại đợc xác định từ a v b Chi tiết thêm cách xác ®Þnh T , T tõ a, b sÏ đợc trình by sau chơng đề cập sơ lợc để minh họa cho khác biệt phơng pháp xây dựng mô hình theo kiĨu lý thut vμ thùc nghiƯm (nhËn d¹ng) VÝ dô 2: Gäi r(t) lμ mét hμm më réng, ~ Laplace R(s), R( s) cđa chóng, tøc lμ ∞ R( s) = ∫ r( t) e − st dt v dr( t ) l đạo hm Giả sử tiếp tồn ảnh dt ~ R( s) = ∞ dr(t ) − st e dt − dt Vậy từ định nghĩa 5.4 có ~ R( s) = = f) ∞ ∞ ⎡d ⎡ ∞ dr( t) ⎤ − st ∫ ⎢ ∫ dt e dt ⎥ϕ( s )ds = − ∫ r( t) ⎢ dt ⎥⎦ ⎢⎣ − ∞ ⎢⎣ − ∞ −∞ ∞ ∫ ϕ( s)e −∞ − st ⎤ ds⎥ dt ⎥⎦ ∞ ⎡ ∞ ⎤ − ∫ ⎢ s ∫ r( t)e st dt⎥ϕ( s) ds = sR(s) ⎥⎦ −∞ ⎢⎣ −∞ R Cho tr−íc hai hμm më réng r 1(t) vμ r2 (t) TÝch chËp r1 (t)*r2 (t) cña chúng đợc hiểu l [r1 ( t ) ∗ r2 ( t )]ϕ ( t )dt = ∫ r1 (t )⎢ ∫ r2(τ )ϕ (t + τ )d τ ⎥dt ⎣−∞ ⎦ −∞ −∞ (5.51) Tuy nhiên, cần phải xét xem no tích phân bên phải (5.51) có nghĩa (tức l tích phân có tồn hay không?, theo nghĩa hm mở réng vμ ®ã tÝch chËp cịng sÏ lμ mét hm mở rộng) Nói cách khác l phải xét xem, no có đợc r2 ( )( t + ) d D Căn theo định nghĩa 5.3, có đợc điều kiện nμy, nÕu nh− tån t¹i mét miỊn giíi néi cho r2(t) ®ång nhÊt b»ng ngoμi miỊn ®ã, hay r2(t) có thời gian sống hữu hạn Ngoi ra, theo định nghĩa 5.2 tích chập có tính giao hoán r1(t)*r (t) = r2(t)*r1 (t), bëi vËy tÝch chËp hai hμm më réng còng sÏ lμ mét hμm më réng, nÕu Ýt nhÊt mét hai hμm më réng có thời gian sống hữu hạn Cho hm mở rộng r(t) Vì hm delta có thời gian sống hữu hạn nên giá trị tích chập r(t)*(t) l mét hμm më réng vμ ∞ ∞ ⎡∞ ⎤ ∫ r (t ) ⎢ ∫ δ (τ )ϕ (t +τ )dτ ⎥dt = ∫ r( t )ϕ( t ) dt , ∀ϕ(t)∈D ⎣− ∞ ⎦ −∞ −∞ (5.52a) nãi c¸ch khác r(t)* (t)= (t)*r(t) = r(t) (5.52b) Nh vậy, không gian D' víi quan hƯ tÝch chËp cã δ(t) lμ phần tử đơn vị Cũng từ công thức (5.51) dễ dng chứng minh đợc 206 r(t)*(tt0 ) = r(tt0) g) (5.52c) Khái niệm giới hạn dÃy hm mở rộng đợc xây dựng thông qua dấu tích phân Giả sử có D' dÃy hm mở réng {r n(t)} héi tơ tíi r(t), tøc lμ rn (t) → r(t) n → ∞, th× sù héi tụ đợc hiểu theo nghĩa lim rn ( t)ϕ ( t) dt ∫ r( t )ϕ ( t )dt , n→ ∞ − ∞ −∞ ∀ (t)D (5.53) (hội tụ đều) Nhớ đến định lý Steinhaus: "NÕu E lμ mét kh«ng gian Banach, F lμ mét kh«ng gian chuÈn vμ T n : E → F l dÃy ánh xạ liên tục tuyến tính tho¶ m·n lim Tn x = Tx víi mäi x∈E T liên tục, tuyến tính", có đợc r(t)D', n→ ∞ hay r(t) còng lμ mét hμm më réng 5.4.3 To¸n tư Fourier më réng ë mơc 5.4.1 vμ 5.4.2 ta đà đề cập đến khái niệm hm mở rộng từ định nghĩa, tính chất, phép biến đổi đợc xây dựng giả thiết chúng Những khái niệm hon ton đợc xây dựng cách tơng tự cho n n kh«ng gian R , tøc lμ víi c¸c hμm ϕ ∈C∞ (R ) vμ cã thêi gian sống hữu hạn Tuy nhiên, để áp dụng đợc chúng vo việc mô hình hóa v phân tích hƯ thèng, phơc vơ ®iỊu khiĨn kü tht miỊn phøc (nhÊt lμ c¸c hƯ suy biÕn - singular systems), thiếu khái niệm ảnh Fourier hμm më réng mμ mét vμi tμi liƯu kh¸c đợc gọi l Toán tử Fourier mở rộng Cho tr−íc mét hμm më réng r(t) Gi¶ sư tån R(j) l ảnh Fourier r(t) Nếu nh R(j ) cịng lμ mét hμm më réng th× víi mäi hμm ϕ (ω )∈D ph¶i cã ∞ ∞ ⎡ ∞ ∞ ⎤ ∫ R( j ω )ϕ( ω )d ω = ∫ ⎢ ∫ r( t ) e− jωt dt ⎥ϕ (ω )dω = ∫ r( t)φ ( jt )dt , ⎦ −∞ − ∞ ⎣− ∞ −∞ (5.54a) ®ã φ (jt) lμ ¶nh Fourier cđa hμm sè ϕ (ω) vμ cịng ph¶i thc D, tøc lμ ∞ φ(jt) = ∫ ϕ(ω ) e− −∞ j ωt d ω ∈ D (5.54b) Chó ý r»ng dÊu tÝch ph©n công thức (5.54b) v tích phân dấu ngoặc vuông công thức (5.54a) l tích phân toán tử Fourier liên tục v l tích phân toán học thông thờng (tích phân Riemann), tích phân lại l ký hiệu hm mở rộng Định nghĩa rõ rng nh vậy, nhng có câu hỏi đợc đặt R(j )0 có tồn hay không? (theo nghĩa hm mở rộng), ta trả lời đợc với giả thiết đà đợc xây dựng R(j ) tồn đợc, (jt) 207 không thuộc D Hm (jt)0 có đạo hm vô hạn lần giống nh ( ), nhng thời gian sống l vô hạn (ảnh Fourier hm có miền xác định giới nội xác định ton trục số), (jt)D Nhớ lại phép biến đổi Fourier thông thờng đà đợc trình by chơng th× hμm ϕ(ω ) cã suppϕ(ω ) giíi néi, ¶nh Fourier φ (jt) cña nã sÏ cã suppφ (jt) gần nh l ton trờng số thực, nói cách khác thời gian sống (jt) hữu hạn vμ chØ ϕ( ω)≡0 Bëi vËy, ®Ĩ cã thĨ có đợc R(j ) cần phải mở rộng D Ta xét tập E tất hm C (R) nhng không bắt buộc l phải có thời gian sống hữu hạn m cần tiÕn tíi t → ±∞ nhanh h¬n bÊt đa thức no khác t Định nghĩa 5.6: Một hm mở rộng (đều), xác định E víi a) D ⊂ E , b) Sù héi tụ dÃy {m(t)} E đợc định nghĩa nh− trªn D , n lim t ϕ ( t) = với n nguyên, c) t đợc gọi l hm mở rộng yếu Tập hợp tất hm mở rộng yếu đợc ký hiệu E' Định nghĩa 5.7: ảnh Fourier R(j ) hm mở réng yÕu r(t) còng lμ mét hμm më réng yÕu v đợc xác định từ r(t) nh sau: −∞ −∞ ∫ R( jω )ϕ(ω )dω = ∫ r( t)φ ( jt )dt , ∀ ϕ(t)∈D, (5.55) ®ã φ (jt) lμ ¶nh Fourier cđa hμm sè ϕ (ω) Từ sau ký hiệu F đợc sử dụng toán tử Fourier, (j)=F{ (t)} ảnh Fourier cđa ϕ (t) vμ mäi hμm më réng (®Ịu) đợc nói đến l hm mở rộng yếu Bây giờ, gi¶ sư r»ng r(t) lμ mét hμm th−êng cã ¶nh Fourier, tøc lμ tån t¹i F[r(t)] Víi ký hiƯu d m để phép lấy đạo hm bậc thứ m cđa mét hμm më réng vμ r(t) cịng lμ hm mở rộng nên theo định nghĩa 5.5 v 5.7 có đợc dm m m d r ( t )φ ( jt )dt = ( −1) ∫ ⎢r( t ) m dt −∞ − ∞ ⎣⎢ ⎛∞ − ω ⎞⎤ ⎜ ∫ e j tϕ( ω)d ω ⎟ ⎥dt ⎜ ⎟ ⎝−∞ ⎠ ⎦⎥ Suy F [d 208 m ∞ ⎡ ∞ ⎤ r(t)] = ∫ ⎢ r( t ) ∫ ( jω ) m e − jωt ϕ (ω ) dω ⎥ dt ⎦ − ∞⎣ −∞ ∞ ⎛ ∞ ⎞ = ∫ ⎜⎜ ( jω )m ϕ (ω ) ∫ r (t )e − j ωt dt ⎟⎟ dω , ⎠ − ∞⎝ −∞ hay nãi c¸ch kh¸c F [d m m r(t)] = (jω) F[ r(t)] Cịng t−¬ng tù nh− vËy cho d m { F[ r(t)]} cã m ∞ d ⎡ ∞ r( t) e jωt dt⎤ϕ( ω ) dω ∫ dm F [r( t )]ϕ (ω )dω = ∫ ∫ ⎥ m ⎢ ⎦ −∞ − ∞ dω ⎣− ∞ ∞ ⎡∞ ⎤ = ∫ ( − jt) m r( t ) ⎢ ∫ ϕ( ω )e j ωt dt ⎥ dω ⎣− ∞ ⎦ −∞ ∞ Suy m d { F[r(t)]} = F [(jt) m r(t)] Tổng quát lên cho E' ta đến: Định lý 5.5: Víi mét hμm më réng r(t)∈E' cã a) F [d m m r(t)] = (jω ) F[ r(t)], m b) d { F[ r(t)]} = F [(jt) m r(t)] Bên cạnh định lý ảnh đạo hm nh đạo hm ảnh, ta có kết luận ảnh tích chập cần thiết nhận dạng đợc phát biểu nh sau: Định lý 5.6: Gi¶ sư r(t), r1 (t), r2(t) ∈E' , th× a) F [r(t−T)] = F [r(t)] e −j ωT vμ b) F[r (t)*r2 (t)] = F[r 1(t)]F[r 2(t)] nÕu tån t¹i tÝch chËp [r1(t)*r 2(t)] Chøng minh: a) V× ∞ ∞ ∞ ⎡∞ ⎤ ∫ r( t − T )φ ( jt ) dt = ∫ r( t)φ [ j( t + T )]dt = ∫ r(t ) ⎢ ∫ e− j( t + T )ω ϕ (ω )dω ⎥ dt ⎣− ∞ ⎦ −∞ −∞ −∞ nªn ∞ ∞ ⎡∞ ⎤ F [r(t−T)] = e − j ωT ∫ r( t) ⎢ ∫ e − jtω ϕ (ω ) dω ⎥ dt = e − jωT ∫ r( t)φ ( jt) dt ⎣− ∞ ⎦ −∞ −∞ vμ ®ã lμ ®.p.c.m thø nhÊt b) Do phÐp tÝnh tích chập có tính giao hoán, nên không tính tổng quát đợc giả thiết thêm r2 (t) có thời gian sống hữu hạn Khi đó, víi (5.51) cã ∞ ∞ ⎡∞ ⎤ F[r (t)*r2 (t)] = ∫ [r1 ( t ) * r2 ( t ) ]φ( jt )dt = ∫ r1 ( t ) ⎢ ∫ r2 (τ )φ ( j (t + τ )d τ ⎥ dt ⎣− ∞ ⎦ −∞ −∞ 209 áp dụng công thức toán tử Fourier cho cho (j(t+ )) đợc F[r (t)*r2(t)] = ∫ r1(t )⎢ ∫ r2 (τ )⎜⎜ ∫ e− j( t +τ )ω ϕ (ω )dω ⎟⎟dτ ⎥ dt ⎢⎣ − ∞ ⎝ −∞ ⎠ ⎥⎦ v cuối l điều phải chứng minh thứ hai ∞ ⎡⎛ ∞ ⎞⎛ ∞ ⎞⎤ F[r (t)*r2(t)] = ∫ ⎢⎜⎜ ∫ r1( t) e− jt ω dt ⎟⎟ ⎜⎜ ∫ r2(τ ) e− j τω dτ ⎟⎟ ⎥ϕ( ω ) dω ⎠ ⎝− ∞ ⎠ ⎦⎥ − T Từ định lý với r1 (t)= (t) dễ dng thu đợc F[r (t)] = F[ δ(t)]F[r 2(t)] hay F[ δ(t)] = ë phải đợc hiểu l hm mở rộng Bằng lời, định lý 5.2 đợc diễn tả thnh: "ảnh tích chập, chúng tồn tại, l tích hai ảnh" Do F l isomorphism E vμ ¶nh Fourier R(j ω) cđa mét hμm më rộng r(t) đợc định nghĩa nhờ ảnh hm ()E nên điều ngợc lại đúng: "ảnh tích tích chập hai ảnh, tồn tích chËp ®ã", tøc lμ F[r (t)r2(t)] = 2π F[r (t)]*F[r 2(t)] (5.56) Khác với định lý 5.6, công thức (5.56) có thêm hệ số định nghĩa toán tử Fourier ngợc sinh Có thể dễ dng kiểm chứng lại tính đắn công thức (5.56) tơng tự nh đà lm với định lý 5.6 Nếu (t)E, tồn ảnh Fourier (j ) Xuất phát từ công thức toán tử Fourier ngợc hm (t) có ®−ỵc ϕ(0) = = ∞ ∫φ ( jω )dω 2π − ∞ ∞ ⎡ ∞ ⎤ ⎤ ∞ ⎡∞ ∫ ⎢ ∫ ϕ ( t) e− jωt dt⎥ dω = ∫ ⎢ ∫ e− jωtdω ⎥ϕ ( t ) dt 2π − ∞ ⎣− ∞ ⎦ ⎦ Do đẳng thức ®óng víi mäi hμm ϕ(t) thc E (tøc lμ cịng với hm (t)D) nên theo định nghĩa 5.4 hm (t) thu đợc (t) = − j ωt ∞ ∞ jωt dω = ∫e ∫ cos(ω t) dω = ∫e dω 2π − ∞ 2π − ∞ 2π − ∞ ®Ĩ ý r»ng đà sử dụng công thức e j t (5.57a) = cos(ω t) − jsin(ωt) (c«ng thøc Euler) vμ sin( t) l hm chẵn Từ suy (t) = 210 ∞ a sin( at ) ∫ c os(ωt) dω = lim ∫ cos(ω t) dω = lim πt 2π − ∞ a → ∞ 2π − a a (5.57b) Các công thức (5.57a) v (5.57b) l hai công thức bản, đợc sử dụng nhiều công việc nghiên cứu v ứng dụng khác hm (t) Câu hỏi ôn tập tập HÃy hm đặc tính tÇn G(jω ) cđa khèi D/A theo kü tht B−spline bậc 0, 1,3 l hm bị chặn, tức l |G(jω )|