Tài liệu Olympic đại số

Tài Liệu Olympic Đại Số ThS Nguyễn Hữu Hiệp E-mail: nguyenhuuhiep47@yahoo.com Ngày tháng 12 năm 2015 Chương Ma trận-Định thức-Hệ phương trình Định thức 1.1 Phép Định nghĩa 1.1 Cho Xn = {1; 2; ; n}, n ≥ Một sóng ánh σ : Xn → Xn gọi phép Xn Nếu σ ánh xạ đồng gọi phép đồng Một phép thỏa σ(i) = j, σ(j) = i, σ(k) = k, ∀k = i, j(i = j) gọi chuyển trí, ký hiệu là: (i, j) Tập tất phép Xn ký hiệu Sn n Một phép có thường ký hiệu σ(1) σ(2) σ(3) σ(n) 5 = (2, 4) ; Ví dụ: 5 Định nghĩa 1.2 Cho σ phép Xn Nếu tồn i, j : ≤ i < j σ(j) (σ(i), σ(j) gọi nghịch Ví dụ: Phép 3 có nghịch (3, 1), (3, 2) Định nghĩa 1.3 Dấu phép σ(ký hiệu sign(σ)) số nghịch chẵn (σ gọi phép chẵn) -1 số nghịch lẻ (σ gọi phép lẻ) Ví dụ: Phép 4 có nghịch nên sig(σ) = −1 Mệnh đề 1.4 Cho phép σ, µ tập Xn , ta có: • Mọi chuyển trí phép lẻ • sign(σ) = i−j 1i Câu 47: Cho A ∈ Mn cho ma trận B có vết vết AB Chứng minh rằng: ∃α : A = αI Câu 48: Cho A ∈ M2n+1 có các phần tử thuộc {1; −1} Gọi , bj (i, j = 1, , n) lần lược tích phần tử hàng i tích phần tử cột j Chứng minh n (ai + bj ) = Điều i,j=1 cịn khơng A ma trận cấp chẵn Câu 49: Cho A ∈ Rn x VTR ứng với TR λ ma trận An cho họ véc tơ {x; Ax; A2 x; ; An−1 x} độc lập tuyến tính Chứng minh (An − λI)n =   −2 Câu 50: Cho A ∈ M3×2 , B ∈ M2×3 thỏa AB =   Tìm ma trận BA −2 Câu 51: Cho A, B ma trận trực giao phức Khẳng định sau hay sai? det(A) + det(B) = =⇒ det(A + B) = Câu 52: Cho A ma trận cấp n thực có phần tử khơng âm tổng phần tử hàng cột lớn n Chứng minh tổng phần tử A lớn n2 Câu 53: Cho A ∈ Mn (R) Chứng minh   tr(A) 0  tr(A2 ) tr(A)      tr(A3 ) tr(A ) tr(A)  det(A) = det    n!   tr(An−1 ) tr(An−2 ) tr(A) n − 1 tr(An ) tr(An−1 ) tr(A2 ) tr(A) Câu 54: Cho A ∈ M2×n dij định thức ma trận tạo cột i, j hàng A Hãy tìm hạng ma trận D = (dij ) k Câu 55: Cho p số nguyên tố a = p i , b = i=0 (a) Chứng minh Cab = k i=0 k i=0 bi pi , (0 ≤ ≤ bi < p, , bi ∈ N ) Cabii ( mod p) 15 (b) Chứng minh rằng: α1 + α2 + · · · + αp = 2p > n đa thức p p xαi i F (x1 , , xp ) = i=1 −2 p i=1 (xi − 1) + i=1 xni − bất khả quy Q Câu 56: Cho A ∈ Mn ma cột có phần tử khác Trong đó, phần tử đường chéo lớn phần tử khác Chứng minh det(A) = Câu 57: Cho ma trận vuông A, B, C, D cấp n thỏa: ADT − BC T = E (E ma trận đơn vị); AB T CDT ma trận đối xứng Chứng minh AT D − C T B = E Câu 58: Cho đa thức thực f, g bậc 13 không ước Chứng minh rằng, ước chung lớn chúng có bậc khơng q √ Câu 59: Cho εk , k = 1, 2, , n n giá trị n 1, (n > 1) Hãy tính (εi + εj ) 1≤i thỏa Ap+1 = A (a) CMR: r(A) + r(E − Ap ) = n (b) Nếu p số nguyên  Câu 61: Tính A200 với A = −1 −1 tố lớn r(E − A) = r(E − A2 ) = · · · = r(E − Ap−1 )  −1 1 0 Câu 62: Cho a, b, r1 , r2 , , rn ∈ R, f (x) = n i=1 (ri − x) ma trận  r1 a a  b r2 a  A=  b b r3  b b b Chứng minh det(A) =  a a  a   rn af (b) − bf (a) a−b Câu 63: Cho X, Y, Z ma trận vuông phức thỏa r(XY − Y X + E) = 1, XZ = ZX, Y Z = ZY Chứng minh Z = αE với α số phức Câu 64: Cho p(x) đa thức hệ số thực bậc n Chứng minh phương trình p(x) = ex có khơng q n + nghiệm Câu 65: Cho n số thực x1 , x2 , , xn ma trận A = (aij ) thỏa aij = cos(xi − xj ) Tính det(A) Câu 66: Cho A ma trận trực giao thực Chứng minh (a) tr(A) ≤ n (b) Nếu n lẻ det(A2 − E) = Câu 67: Cho f đa thức bậc hệ số nguyên thỏa thức hệ số nguyên p(x) : f (x) = (q(x))3 16 f (n) ∈ Z, ∀n ∈ N Chứng minh rằng: tồn đa Câu 68: Cho p(x) đa thức bậc n thỏa p(k) = k , k = 0, 1, , n Tính p(n + 1) k+1 Câu 69: Cho A ma trận đối xứng thực Chứng minh rằng: A bán xác định dương ma trận B đối xứng bán xác định dương ta ln có tr(AB) ≥ Câu 70: Cho A ma trận cấp khác Chứng minh rằng: A ma trận phương (A = B ) A2 = ab + ac + bc a+b+c Câu 71: Cho a, b, c số phức có modul r a + b + c = Chứng minh = r Câu 72: Cho đa thức p(z) = (z + 1)2003 + q(z) = z 20 − 2002z 10 − 2003 Chứng minh p(z), q(z) chung nghiệm Câu 73: Cho p(x) đa thức bậc n(n > 1) có n nghiệm phân biệt x1 , x2 , , xn Chứng minh n =0 ′ k=1 p (xk ) Câu 74: Cho A ma trận cấp n khả nghịch cho hàng có phần tử khác -1 Chứng minh rằng: tồn số tự nhiên m cho Am = AT Câu 75: Cho A ma trận đối xứng thực có phần tử dương Chứng minh A có TR dương Câu 76: (Đề sai: f = x2 − x + 1/10)Cho f (x) đa thức thực bậc n q(x) = f (x) + ···+ f ′ (x) f ′′ (x) + + 22 f (n) (x) Chứng minh rằng: f (x) có nghiệm thực q(x) có nghiệm thực 2n Câu 77: Cho phương trình x5 = x + có nghiệm x1 , x2 , , x5 Tính x61 + x62 + · · · + x65 Câu 78: Cho A, B ma trận đối xứng xác định dương cấp Chứng minh aij bji > i,j=1 Câu 79: Chứng minh rằng: ma trận chéo cấp n(n > 1) khác biểu diễn dạng tổng ma trận có định thức Câu 80: Cho A ma trận vng cấp 2006 có phần tử Tính (E − A)2006 Câu 81: Cho đa thức pn (x) bậc n xác định 1 + x2 (n) = pn (x) Chứng minh (1 + x2 )n+1 pn+1 (x) + 2x(n + 1)pn (x) + n(n + 1)(1 + x2 )pn−1 (x) = Câu 82: Tồn hay không ma trận X, Y cấp 3, trực giao thỏa X Y X Y X Y = −E Câu 83: Cho A, B, C ma trận thực giao hốn đơi Chứng minh rằng: tồn số thực a, b, c ∈ R cho det(aA + bB + cC) = Câu 84: Cho A = (aij ) ∈ M2008 ,B = (bij ) ∈ M2008 với bij = 2008i−j aij Đặt D = det(A) Hãy tính det(B) theo D Làm tương tự cách thay 2008 2007 Câu 85: Chứng minh đa thức f (x) = x18n (x5 + 1) + x12n+1 (x2 + 1) + x6n+2 (x2 + 1), (n ∈ N ) chia hết cho đa thức p(x) = x5 + x4 + + x + Câu 86: Cho n + số x1 , x2 , , xn , k ma trận A = (aij ) ∈ Mn thỏa aij = xi xj , ∀i = j aii = x2i + k Tính det(A) 17 Câu 87: Chứng minh rằng: đa thức thực biểu diễn dạng hiệu đa thức đồng biến Câu 88: Cho đa thức f (x) = xn − xn−1 − xn−1 − · · · − x − 1, (n > 1) Chứng minh rằng: nghiệm 1 dương f (x) thuộc khoảng (2 − n−1 , − n ) 2 Câu 89: Cho A ma trận không suy biến cấp n có phần tử dương zn số phần tử ma trận A−1 Chứng minh zn ≤ n2 − 2n Câu 90: Cho A ma trận không suy biến cấp có trị riêng λ1 = λ2 = λ Chứng minh với λ δ ε > tồn ma trận vuôn cấp S δ ∈ [0, ε] cho: S −1 AS = λ Câu 91: P (x) đa thức bậc n với hệ số thực, có nghiệm thực Chứng minh (n − 1)(P ′ (x))2 ≥ nP (x)P ′′ (x), ∀x ∈ R Câu 92: Cho đa thức P (x) ma trận vuông cấp n Chứng minh rằng: P (A + B) = P (A) + P ′ (A)B AB − BA = B Câu 93: Chứng minh đa thức f (x) = a1 xk1 + a2 xk2 + · · · + a2003 xk2 003 có khơng q 2002 nghiệm dương kể bội Câu 94: Chứng minh bất đẳng thức x1 x21 x2 x22 xn−1 xn−1 x3 x23 xn−1 xn x2n ≤ xn−1 n (x2 + x22 + · · · + x2n ) n−1 n(n−1) Câu 95: Cho ma trận A cấp 10 có 92 phần tử lẻ phần tử chẵn Chứng minh det(A) số chẵn B C CT D Câu 96: Cho B, C, D ma trận thực cấp, D đối xứng, B đối xứng khả nghịch A = Giả sử a, b, c TR A, B, D − C T B −1 C Hãy chứng minh a = b + c Câu 97: Cho A, B ma trận cấp 10 Biết ma trận nghịch đảo A, A + B, A + 2B, , A + 25B có phần tử số nguyên Chứng minh ma trận nghịch đảo A + 2005B có phần tử nguyên Câu 98: Cho P (x) đa thức bậc n lẻ Biết P (x) P (P (x)) có n nghiệm thực Chứng minh P (P (P (x))) có n nghiệm thực Câu 99: Cho B, C ma trận thực cấp n, A = B + iC Hãy chứng minh B −C = |A|2 C B Câu 100: Cho f (x) đa thức bậc n, (n ≥ 2) có n nghiệm thực x1 , x2 , , xn Hãy chứng minh 0, ∀k ≤ n − 2, k ∈ N xki = ′ i=1 f (xi ) n Câu 101: Cho A, B ∈ Mn (R) thỏa r(A) = r(B) Chứng minh rằng, tồn ma trận cấp khả nghịch C cho A = BC Câu 102: Cho A ma trận cấp có phần tử ±1 Chứng minh |A| ≤ 48 18 Một số khác Câu 1: Cho X KGVT n chiều V1 , V2 khơng gian có số chiều Chứng minh rằng, tồn không gian U thỏa V1 ⊕ U = V2 ⊕ U Câu 2: Cho A ma trận cấp n tùy ý Chứng minh tồn ma trận B thỏa AB ma trận idempotent, tức AB = (AB)2 Câu 3: Cho sở trực chuẩn {e1 ; e2 ; ; en } Rn n véc tơ đơn vị {a1 ; a2 ; ; an } thỏa (e1 , a1 ) + (e2 , a2 ) + · · · + (en , an ) > n(n − 1) Chứng minh {a1 ; a2 ; ; an } độc lập tuyến tính Câu 4: Ma trận thực A = (aij ) cấp n gọi ma trận balanced (∀i, i′ , j, j ′ : < i < i′ < n, < j < j ′ < n) =⇒ (aij + ai′ j ′ ≤ aij ′ + ai′ j ) Cho A ma trận balanced ≤ i1 < i2 ≤ n cho ta đổi chỗ hàng i1 , i2 cho ma trận ma trận balanced Chứng minh rằng: ∀i′1 , i′2 : i1 < i′1 < i′2 < i2 , ta đổi chỗ hàng i′1 , i′2 cho ta ma trận ma trận balnced Câu 5: Cho A ∈ Mn thỏa r(A) = r(A2 ) Chứng minh (a) C n = im(A) ⊕ ker(A) (b) Tồn đa thức p(x) cho B = f (A) ma trận idempotent (B = B) B(x + y) = x, ∀x ∈ im(A), y ∈ ker(A) Câu 6: Cho phương trình z n + a1 z n−1 + · · · + an−1 z + an = Chứng minh rằng: nghiệm z phương trình ln thỏa n |z| ≤ max k |ak | k=1 Câu 7: Cho đa thức p(z) = z + az + bz + c có nghiệm nằm đường trịn đơn vị Có thể kết luận nghiệm đa thức q(x) = z + |a|z + |b|z + |c| Câu 8: Cho phương trình hệ số phức z n + a1 z n−1 + · · · + an−1 z + an = z n + a′1 z n−1 + · · · + a′n−1 z + a′n = (1) (2) số thực dương α, β thỏa: |ck | < αk , |ck − c′k | < αk β, ∀k = 1, , n Chứng minh rằng: nghiệm z phương trình (1), ln tồn z ′ nghiệm phương trình (2) cho: |z − z ′ | < 2α n β Câu 9: Cho đa giác lồi n cạch mặt phẳng phức có đỉnh c1 , c2 , , cn số phức z thỏa (z − c1 )−1 (z − c2 )−1 + · · · + (z − cn )−1 = Chứng minh z nằm đa giác Câu 10: Biết nghiệm đa thức P (z) = z n + c1 z n−1 + + cn với hệ số ảo C/m với 2xP ′ (x) −n ≤n x thực thỏa mãn: P (x) Câu 11: Cho T ma trận kích thước m × n có r(T ) = m b ∈ Rm tập A = {x ∈ Rn |T x = b; xk ≥ 0, k = 1, 2, , n} Chứng minh điểm x thuộc A đỉnh tập A tồn cách đánh số {ik } thành phần điểm x cho xik = với k = m + 1, , n, cột Tik ĐLTT 19 Chương Đa Thức Kiến thức đa thức 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 3.1 • Đa thức bậc n biểu thức có dạng p(x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an , a0 = • Tập đa thức bậc n ký hiệu Pn [x] • Nếu ak ∈ R, k = 1, 2, , n p(x) gọi đa thức hệ số thực • △f = f (x + 1) − f (x) đa thức bậc n − gọi đa thức sai phân Ta có: ak = k chẵn 1.2 p(1) + p(−1) , ak = k lẻ p(1) − p(−1) Phép chia - Ước chung lớn - Nguyên tố i) Cho đa thức p(x) bậc n Mọi đa thức f (x) viết dạng f (x) = p(x)q(x) + r(x), với r(x) đa thức chuẩn tắc bậc bé n q(x) gọi đa thức thương r(x) gọi đa thức dư ii) Nếu r(x) = ta nói f (x) chia hết cho p(x) hay p(x) chia hết f (x) iii) Cho đa thức f (x), g(x) chia hết cho p(x) p(x) gọi ước chung f (x) g(x) Đa thức ước chung có bậc lớn gọi ước chung lớn nhất, ký hiệu tính chất: (f (x), p(x)) = (r(x), p(x) Đa thức ước chung lớn dạng chuẩn tắc (Có hệ số cao 1.) Ước chung lớn đa thức f (x), g(x) số thì ta nói f (x) g(x) nguyên tố Khi ln tồn đa thức u(), v(x) thỏa f (x)u(x) + g(x)v(x) = (Điều ngược lại không? ) 1.3 Định lý Bezout sơ đồ Hosner Định lý 3.2 Đa thức p(x) có nghiệm α p(x) chia hết cho (x − α) 20 1.4 Nghiệm đa thức • Đa thức bậc n có khơng q n nghiệm thực có n nghiệm phức • α nghiệm bội k đa thức p(x) tồn đa thức q(x) thỏa p(x) = (x − α)k q(x) Điều tương đương với p(α) = p′ (α) = · · · = p(k−1) (α) = p(k) (α) = • Cho đa thức p(x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an , a0 Gọi l số lần đổi dấu hệ số (đi từ trái sang phải khơng tính hệ số ) d số nghiệm dương Khi d ≤ l l − d số chẵn 1.5 Nội suy lagrange nội suy Newton Nội suy đa thức việc tìm đa thức P (x) thỏa mãn P (xk ) = yk , k = 1, , n + (tất nhiên xk khác đôi một) Dễ dàng kiểm tra tồn đa thức bậc bé n biết n + giá trị đa thức Sau giới thiệu hai loại nội suy phổ biến Nội suy Lagrange Cho đa thức p(x) bậc n n + số phân biệt α1 , α2 , , αn+1 Ta có cơng thức nội suy lagrange sau n p(x) = n+1 yi i=1 x − xj xi − xj 1=j=i Áp dụng cho sai phân ta có: p(x + 1) − p(x) = △p(x + 1) − △p(x) Nội suy newton Đa thức P thỏa P (xi ) = yi , i = 1, 2, , n có dạng P (x) = a1 + a2 (x − x1 ) + a3 (x − x1 )(x − x2 ) + + an+1 (x − x1 )(x − x2 ) (x − xn ) Việc tìm số ak xác định đơn giản cách giá trị xk Bài tập Câu 1: Cho p(x) = x + x3 + x9 + x81 + x243 Tìm phần dư phép chia p(x) cho x − x2 − Câu 2: Xác định đa thức f (x) = x5 −3x4 +2x3 +ax2 +bx+c biết f (x) chia hết cho (x−1)(x−2)(x+1) Câu 3: Tìm đa thức thực p(x) thỏa (x − 1)p(x − 1) = (x + 2)p(x), ∀x ∈ R Câu 4: Xác định đa thức p(x) thỏa p(x2 − y ) = p(x + y)p(x − y) 21 ... p(x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an , a0 Gọi l số lần đổi dấu hệ số (đi từ trái sang phải khơng tính hệ số ) d số nghiệm dương Khi d ≤ l l − d số chẵn 1.5 Nội suy lagrange nội suy Newton Nội... Cho α, β, γ số thực khác a, b, c, d, p, q, số thực tùy ý Chứng minh ma trận sau có tất TR số thực  α  α a b c β γ    β β   b d p B=  α  γ  γ  γ c p q α β 13 Cho n − cặp số thực thỏa... λ TR ma trận A A − λE ma trận suy biến • Bội TR λk đa thức đặc trưng gọi bội đại số (BĐS) λk • Theo định lý đại số, tổng BĐS TR n • Theo định lý viet, tổng TR vết A (trace(A)) tích TR det(A)