K y u N ng, 04/2013 M cl c ôi nét v I iW thi d n n m 2013 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 is Không gian véc t - Ánh x Ma tr n - nh th c Véc t riêng - Giá tr riêng H ph ng trình n tính a th c Gi i 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 II n tính tích Dãy s Hàm s Phép tính vi phân hàm m t bi n Phép tính tích phân hàm m t bi n Lí thuy t chu i tích phân suy r ng 3 11 12 14 17 17 19 22 24 25 thi th c n m 2013 thi 27 is Gi i tích 29 29 30 áp án 4.1 is 4.2 Gi i tích 33 33 34 3.1 3.2 i h c Duy Tân iii Ph n I thi d n n m 2013 1 Ch ng is 1.1 Không gian véc t - Ánh x n tính Bài (C Tuyên Quang) Cho V m t không gian véc t tr ng K Gi s u1 , u2 , , un m t h véc - t c l p n tính c a V , aij œ K, Ỉ j Ỉ i Ỉ n Ch ng minh h véct : v1 = a11 u1 , v2 = a21 u1 + a22 u2 , v3 = a31 u1 + a32 u2 + q33 u3 , = an1 u1 + an2 u2 + ann un c l p n tính ch a11 a22 ann ”= Bài ( H Khoa h c Hu ) Cho f : V ≠ỉ W m t ánh x n tính c a không gian vecto h u h n chi u tr ng K Ch ng minh r ng: N u A m t không gian k-chi u c a V cho A fl Kerf m t khơng gian r-chi u dim f (A) = k ≠ r N u B m t không gian c a W cho B fl Imf m t không gian s-chi u dim f ≠1 (B) = dim V + s ≠ rank(f ) Bài ( H Khoa h c Hu ) Cho V = F[x] f m t t ng c u c a V xác nh b i f (P ) = xP Xác nh giá tr riêng vecto riêng c a t ng c u F : End(V) ≠æ End(V) cho b i F (g) = f ¶ g ≠ g ¶ f is Bài ( H Khoa h c Hu ) Cho A m t ma tr n th c vuông c p n ϕA , ψA t ng c u n tính c a khơng gian vecto th c M (n, R) ma tr n th c vuông c p n xác nh b i: ϕA (X) = AX ≠ XA, ψA (X) = AX Ch ng minh r ng det(ϕA ) = det(ψA ) = (det A)n 1.2 Ma tr n - nh th c Bài ( H Bách Khoa - Tp HCM) Cho s th c a, b, c, d tùy ˝ Ch ng minh r ng -1 -1 -1 -1 a b c d a2 b2 c2 d2 -1 a4 b4 -= (a + b + c + d) -1 c4 -4-1 d - - a b c d a2 b2 c2 d2 a3 -b3 c3 -d3 - Bài ( H Bách Khoa - Tp HCM) Cho W t p ma tr n vng c p có ph n t ch nh n giá tr ±1 Tìm s ma tr n W có nh th c d ng Bài (C Tuyên Quang) Cho A ma tr n vuông c p n > 1: A = (aij ), aij œ Z, ó aij l v i i ”= j aii ch n (1 Ỉ i, j Ỉ n) Ch ng minh r ng: det(A) ”= Bài (C Tuyên Quang) Cho A ma tr n vuông c p 3: A = (aij ) aij œYK, Ỉ i, j Ỉ n, K m t tr ng Ch ng minh r ng: A2 = ch ]rank(A) Ỉ 1, [trace(A) = Bài (C Tuyên Quang) Tính D= - x -n ≠ - - - - x n≠2 0 nh th c x 0 0 0 - 0 -0 -0 - -x n ≠ 1-1 x - 2.5 Lí thuy t chu i tích phân suy r ng Bài 126 (C Tuyên Quang) Cho f hàm kh vi liên t c o n [a,b], f(a) = Ch ng minh r ng ˆ b (b ≠ a) |f (x).f (x)| dx Ỉ Õ a ˆ b (f Õ (x)) dx a Bài 127 (C Tuyên Quang) Cho f m t hàm s ch n liên t c [≠a, a], a > 0; g m t hàm liên t c nh n giá tr d ng [≠a, a] , ’x œ [≠a, a] g(≠x) = g(x) ´ a f (x)dx ´ a = f (x)dx a) Ch ng minh r ng ≠a 1+g(x) ´π cos Ơx b) Tính ≠2π 1≠x+ dx x2 +1 Bài 128 (C Ngô Gia T B c Giang) Tính tích phân I = Bài 129 (C S ph m Nam nh) Tính tích phân I = ´π ´1 dxÔ (1+xn ) n 1+xn x cos4 xdx 2.5 Lí thuy t chu i tích phân suy r ng Bài 130 ( H Hàng H i) Ch ng minh r ng chu i sau h i t tính t ng c a nó: Œ ÿ (2n ≠ 1)!! n n=1 (2n)!!2 Bài 131 Tìm lim+ xỉ0 ´ 2013x x (sin t)2012 dt t2013 Bài 132 Cho (xn ) dãy s t ng næŒ lim xn = a Ch ng minh r ng chu i s qŒ n=1 1≠ xn xn+1 h it Bài 133 ( H Bách khoa Hà N i) Ch ng minh ph ng trình sin (cos x) = x cos (sin x) = x có nghi m nh t [0, π2 ] G i x1 , x2 nghi m c a hai ph ng trình nói trên, ch ng minh x1 < x2 25 Gi i tích 26 Ph n II thi th c n m 2013 27 3.1 Ch ng thi is Câu Cho h ph ng trình n tính ≠x1 + x2 + x3 + · · · + x1 ≠ 5x2 + x3 + · · · + _ _ _ [ x1 + x2 + x3 + · · · ≠ Y _ _ _ ] Gi i ph ng trình v i n = Gi i ph ng trình v i n b t k xn = 1, xn = 1, [n(n + 1) ≠ 1]xn = Câu Cho f1 (x), , fn (x) l n l t nguyên hàm ó c a hàm n s ex , , ex , n Ø Ch ng minh r ng hàm s c l p n tính khơng gian C[0, 1] hàm liên t c o n [0, 1] Câu Cho a0 , a1 , , an s th c, n Ø Tính Dn = -a ≠ a - - ≠a1 a1 0 a1 ≠ a2 a2 ≠a2 a2 ≠ a3 a3 0 nh th c - ··· 0 ··· 0 - ··· 0 · · · ≠an≠1 an≠1 ≠ an - 29 thi Câu Cho a m t s nguyên l b1 , , bn s nguyên cho b1 + · · · + bn l , n Ø Ch ng minh r ng a th c P (x) = axn+1 + b1 xn + · · · + bn x + a khơng có nghi m h u t Câu Có ma tr n vng c p n có úng n + ph n t b ng 1, ph n t l i b ng có nh th c b ng 1? 3.2 Gi i tích Câu Cho x1 = a œ R dãy (xn ) n2 xn + 2n + Tìm limnæŒ xn c xác nh b i (n + 1)2 xn+1 = Câu Tìm gi i h n lim næŒ ˆ1 nxn dx 2013 + xn Câu Cho α Ø β > Hãy tìm hàm s f : (0, Œ) æ R th a mãn i u ki n f (x) = max{xα y β ≠ f (y) : y Ø x} v i m i x œ (0, Œ) Câu Cho hàm f (x) liên t c [0, 1] kh vi (0, 1), th a mãn f (0) = 0; f (1) = Ch ng minh r ng t n t i s phân bi t x1 , x2 , , x2013 œ (0, 1) cho 2013 ÿ k=1 kxk 2013 ◊ 1007 = Õ f (xk ) Câu Cho f (x) hàm d ng, liên t c o n [0, 1] tho mãn i u ki n Ô f (x) + f ((1 ≠ x)2 )) Ỉ v i m i x œ [0, 1] Ch ng minh r ng Ơ ˆ 1Ị π f (x) dx Æ Hãy ch r ng d u ng th c không th x y Câu Thí sinh ch n m t hai câu: 30 3.2 Gi i tích Œ 6a Cho (an ) dãy s d ng cho chu i s n=1 an h i t Ch ng minh r ng t n t i dãy s d ng (bn ) cho limnæŒ bn = Œ chu i qŒ n=1 an bn < Œ c ng h i t q 6b Cho hàm s f (x) liên t c [0, 1] Ch ng minh r ng n u t n t i hàm g(x) n i u th c s (t c n i u g(x) ”= g(y) n u x = ” y) liên t c o n [0, 1] cho ˆ f (x)g k (x) dx = v i m i k = 0, 1, 2, , 2013 ph ng trình f (x) = có nh t 2014 nghi m phân bi t n m kho ng (0, 1) Hãy ch thí d n u b tính n i u c a hàm g(x) nh l˝ có th khơng úng 31 32 thi 4.1 Ch ng áp án is Bài (5 i m) - Câu a) (3 i m) Tính c nghi m x1 = ≠ ≠ 3, x2 = ≠1, x3 = ≠ , x4 = ≠ , x5 = ≠ 10 Ch p nh n k t qu có s l b m t máy tính - Câu b) (2 i m) t S = x1 + · · · + xn T h u suy xi = S/i(i + 1) ≠ - (2 i m) C ng t t c h th c m i l i (ho c th vào ph s cho S = ≠n ng trình u), n+1 - (1 i m) Do ó: xi = ≠ i(i+1) Bài (5 i m) (2 i m) Gi s a1 f1 +· · ·+an fn = L y (1 i m) L y n o hàm suy a1 ex +· · ·+an ex = n o hàm ti p có a1 ex + 2a2 xex + · · · + nan xn≠1 ex = (2 i m) Cho x æ suy a1 = Thay a1 = r i chia v cho x, l i suy a2 = 0, C th cho n an = 33 áp án Bài (5 i m) - (1 i m) Khai tri n Laplace có Dn = (a0 ≠ a1 )Dn≠1 + a21 Dn≠2 - (1 i m) Tính D2 = a0 a1 ≠ a0 a2 + a1 a2 - (3 i m) D oán ch ng minh b ng qui n p Dn = (≠1)n (t c b th a s s h ng th i) qn i i=0 (≠1) a0 · · · an /ai Bài (5 i m) - (1 i m) Gi s có nghi m α = p/q, (p, q) = Khi ó f (p) = 0, ó f (x) = axn+1 + b1 qxn + · · · + bn q n x + q n+1 a = - (1 i m) N u q ch n p l Suy apn+1 ch n, vơ lí V y q l q - (2 i m) Chú ˝ f (1) = f (1) ≠ f (p) (1 ≠ p) Mà f (1) © 2a + bi (mod 2) l , nên p ch n - (1 i m) Do f (p) = suy aq n+1 ch n, vơ lí Bài (5 i m) Trên m i hàng (c t) c a ma tr n vuông c p n có n + ph n t b ng v i nh th c khác không ch có nh t m t hàng (c t) có ph n t hàng (c t) cịn l i ch có ph n t T ma tr n n v ta t l n l t s vào m t v trí khơng n m ng chéo ta s nh n c ma tr n có nh th c b ng T ó có n ≠ n ma tr n nh v y T ma tr n n v b ng phép i dịng (c t) ta có ma tr n có nh th c b ng ho c ≠1 Có t t c n! cách hốn v nh v y Suy s có n!2 ma tr n có nh th c b ng V y có t t c n(n≠1))n! 4.2 Gi i tích Câu (5 i m) t yn = xn ≠ ta thu c (n + 1)2 yn+1 = n2 yn =∆ yn = 34 a≠1 n2 4.2 Gi i tích • Tính c nghi m xn = + i m a≠1 n2 • Ch gi i h n i m Câu (5 i m) Ta có ˆ1 nxn = 2013 + xn ˆ1 2014 xd ln(2013 + x ) = ln ≠ 2013 n ˆ1 ln(1 + xn ) dx 2013 i m S d ng b t n æ Œ n x ng th c Ỉ ln(1 + 2013 )Ỉ xn 2013 ta th y ´1 n x ln(1 + 2013 ) dx æ 2014 áp s : ln 2013 i m Câu (5 i m) T i u ki n f (x) = max{x y ≠ f (y) : y Ø x} ta th y f (x) Ø xα y β ≠ f (y) v i m i y Ø x Cho y = x ta có α β f (x) Ø xα+β i m Suy xα y β ≠ f (y) Ỉ xα y β ≠ y α+β Ta ch ng minh xα y β ≠ y α+β xα+β Ỉ 2 Hay 2Ỉ A Bβ x y + 4α y x ng th c úng x Æ y α Ø β Theo f (x) = i m nh ngh a xα+β Vy xα+β Th l i, ta th y hàm th a i u ki n ã cho f (x) = i m 35 áp án Câu (5 i m) t T = + + + · · · + 2013 = 2013.2014 ; yk = T k q i=1 i Rõ ràng v i m i k = 1, 2, , 2012 yk œ (0, 1) Vì f liên t c [0, 1] nên t n t i x¯k f (¯ xk ) = yk Ta ˝ r ng f (0) = f (1) = nên ta có th ch n x¯i ”= x¯i+1 (th m chí có th ch n x¯i t ng d n) t x¯0 = 0; x¯2013 = áp d ng liên ti p nh l˝ Cauchy cho 2013 o n [0, x1 ] , [x1 , x2 ] , , [x2012 , 1] v i hàm f g(x) = x2 ta tìm c i m x1 œ (0, x1 ), x2 œ (x1 , x2 ), , x2013 œ (x2012 , 1) th a mãn 1x1 f Õ (x1 ) f (x1 ) ≠ f (0) = ∆ x21 ≠ 02 = 2 2x1 T f Õ (x1 ) x1 ≠ f (x2 ) ≠ f (x1 ) f Õ (x2 ) 2x2 ∆ x22 ≠ x21 = = 2 2x2 x2 ≠ x1 T f Õ (x2 ) Õ f (1) ≠ f (x2012 ) f (x2013 ) 2013x2013 ∆ ≠ x22012 = = 2x2013 ≠ x2012 T f Õ (x2013 ) C ng l i ta c 1= 2013 ÿ kxk ÿ kxk 2013 T ∆ = Õ Õ T k=1 f (xk ) k=1 f (xk ) Hay 2013 ÿ kxk T = Õ k=1 f (xk ) Câu (5 i m) Ta có ˆ Ị f (x) dx = Ò f (x) dx = Aˆ Ò π f (cos4 x)cos3 xsin x dx f (cos x) dx ˆ π Ỉ4 36 π Ỉ4 ˆ ˆ Aˆ B 21 Aˆ π cos x sin x dx Ò π B 21 f (sin4 x)sin3 xcos x dx f (sin4 x) dx B 21 Aˆ π sin6 x cos2 x dx B 21 (2 i m) 4.2 Gi i tích Vì v y Aˆ Ò f (x) dx B2 ˆ π π Ỉ 16 ˆ Ỉ 16 π 4 f (cos x) + f (sin x) dx ˆ π sin6 x cos2 x dx sin6 x cos2 x dx (1 i m) Ta l i có ˆ π sin6 x cos2 x dx = π Vy ˆ Các Ò 5.3 7.5.3 π 5.3 ≠ = 6.4.2 8.6.4.2 8.6.4.2 Ô π f (x) dx Ỉ ng th c x y ch f (cos4 x) = k cos3 x sin x; f (sin4 x) = h sin3 x cos x, v i k, h hai h ng s Nh ng ó f (cos4 x) + f (sin4 x) = k cos3 x sin x + h sin3 x cos x Theo i u ki n u k cos3 x sin x + h sin3 x cos x Ỉ v i m i x M t khác, ˆ có d u b ng (f (cos4 x) + f (sin4 x)) dx = π i u kéo theo π k cos3 x sin x + h sin3 x cos x © ’x œ [0, ] Nh ng i u không th i m Câu (5 i m) 37 áp án 6a Do chu i Œ n=1 an h i t nên ta có th ch n km ø Œ cho Œ ÿ < m i=km q c dãy s nguyên (4 i m) t bn = m n u km < n Æ km+1 Ta th y bn ø Œ Œ ÿ n=1 V y chu i qŒ n=1 an bn = Œ ÿ km+1 ÿ m=1 n=km +1 an b n Ỉ Œ ÿ < Œ m m=1 an bn h i t i m 6b Gi s ng c l i h có k nghi m nh v y k < 2014 Ta b qua nghi m b i mà t i ó hàm s không i d u s p x p nghi m l i theo th t t ng d n < x1 < x2 < · · · < xm < (m Ỉ k) t x0 = xm+1 = Ta nh n th y hai kho ng liên ti p (xi , xi+1 ) (xi+1 , xi+2 ) r hàm s f (x) nh n giá tr khác d u t φ(x) = m i=1 (g(x) ≠ g(xi )) Do g n i u th c s nên hai kho ng liên ti p (xi , xi+1 ) (xi+1 , xi+2 ) hàm s φ(x) c ng nh n giá tr khác d u Vì v y hàm s f (x).φ(x) s ho c d ng ho c âm T ó ˆ f (x)φ(x) dx ”= (4 i m) i u ó mâu thu n v i gi thi t Thí d : xét h1 (x) hàm l h2 hàm ch n g(x) = h2 (x ≠ 12 ) Khi ó, f g k hàm có tâm ´1 f (x)g k (x) dx = v i m i k 38 t f (x) = h1 (x ≠ 12 ) i x ng (1/2, 0) nên ... 11 12 14 17 17 19 22 24 25 thi th c n m 2013 thi 27 is Gi i tích 29 29 30... : R æ R th a mãn: B f (x) + f (y) x + 2y ’x, y œ R = Tìm hàm f (x) Bài 109 (C S ph m Nam nh) Sinh viên ch n m t câu sau: Cho f : R æ R th a mãn f (x) ≠ 2x4 , f (x) ≠ x hàm Ch ng minh r ng: f... nghi m c a hai ph ng trình nói trên, ch ng minh x1 < x2 25 Gi i tích 26 Ph n II thi th c n m 2013 27 3.1 Ch ng thi is Câu Cho h ph ng trình n tính ≠x1 + x2 + x3 + · · · + x1 ≠ 5x2 + x3 + · ·