Định lý bolzano cho ánh xạ chỉnh hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRUNG CHÁNH ĐỊNH LÝ BOLZANO CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRUNG CHÁNH ĐỊNH LÝ BOLZANO CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS THÁI THUẦN QUANG Bình Định - 2021 Mục lục Danh mục ký hiệu Mở đầu Chương Một số kiến thức sở Giải tích phức 1.1 1.2 Một số vấn đề hàm chỉnh hình biến 1.1.1 Khái niệm tính chất 1.1.2 Các định lý nguyên lý Một số vấn đề ánh xạ chỉnh hình nhiều biến 1.2.1 Khái niệm tính chất 1.2.2 Các định lý nguyên lý 10 Chương Định lý Bolzano hàm chỉnh hình 2.1 12 Sự tồn không điểm hàm chỉnh hình 12 2.1.1 Một điều kiện đơn giản cho tồn không điểm 12 2.1.2 Các điều kiện Hadamard-Shih cho tồn không điểm hình trịn 2.1.3 15 Các điều kiện Poincaré-Miranda cho tồn khơng điểm hình chữ nhật i 18 2.2 Tính khơng điểm hàm chỉnh hình 23 2.2.1 Cấp khơng điểm hàm chỉnh hình 23 2.2.2 Điều kiện Hadamard-Shih ngặt biên miền bị chặn 25 2.2.3 Điều kiện Poincaré-Miranda ngặt biên hình chữ nhật Chương Định lý Bolzano ánh xạ chỉnh hình 26 29 3.1 Bậc Brouwer số ứng dụng cho ánh xạ chỉnh hình 29 3.2 Các điều kiện Hadamard-Shih cho ánh xạ chỉnh hình 32 3.3 Các điều kiện Poincaré-Miranda cho ánh xạ chỉnh hình 34 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU K : Trường số thực R số phức C C : Mặt phẳng phức R : Trường số thực ♣q dB rf, Ω, z s Jf z : Ma trận Jacobi f z : Bậc Brouwer f Ω z MỞ ĐẦU r sÑR Định lý Bolzano phát biểu rằng, hàm số liên tục f : a, b r s nhận giá trị trái dấu a b triệt tiêu a, b Khơng tính ♣ q ↕ ↕ f ♣bq tổng quát, ta giả sử f a r s Nếu ta xét a, b hình cầu R với tâm c r ✏ a 2 b bán kính ✏ b✁2 a điều kiện Bolzano viết cách tương đương sau ♣x ✁ cqf ♣xq ➙ ⑤ ✁ c⑤ ✏ r với x (1) Một tổng quát n-chiều Định lý Bolzano bao gồm việc xem xét ♣ q Ñ Rn, với B ♣c, rq hình cầu mở tâm c € Rn, bán ánh xạ liên tục f : B c, r kính r → tổng quát điều kiện (1) dạng ①x ✁ c, f ♣xq② ➙ ⑥ ✁ c⑥ ✏ r, với x (2) ①☎, ☎② ⑥ ☎ ⑥ tương ứng ký hiệu tích (vơ hướng) thơng thường chuẩn Euclide Rn Trong chứng minh Định lý điểm bất động Brouwer (được giới thiệu vào năm 1910 [5]), cách sử dụng mở rộng cho tích phân Kronecker cho hàm số liên tục, Hadamard chứng tỏ điều kiện (2) kéo theo ♣ q tồn không điểm f B c, r Điều xem mở rộng n-chiều Định lý Bolzano Một mở rộng khác xem xét khối hộp mở P ✏ ♣a1, b1q ✂ ♣a2, b2q ✂ ☎ ☎ ☎ ✂ ♣an, bnq ✏ ♣f1, , fnq : P Ñ Rn mở rộng điều kiện Bolzano cách yêu cầu rằng, với j ✏ 1, , n, ta có fj ↕ x € P xj ✏ aj ; fj ➙ x € P xj ✏ bj Về mặt hình học, tập Rn , ánh xạ liên tục f mặt đối diện P Khi f có khơng điểm P điều kiện phát biểu chứng minh Poincaré vào năm 1883 [12] sử dụng học thiên thể Vì lịch sử phức tạp (xem, chẳng hạn [8]), kết thường gọi định lý Poincaré-Miranda, chứng minh gần tìm thấy [6, 10] Một phiên Định lý Bolzano cho hàm biến phức f chỉnh hình lân cận mở, bị chặn phù hợp Ω ⑨ C đặt Mau-Hsiang Shih [15] Ông ta chứng minh f có khơng điểm Ω r ♣ qs → ❇Ω Chứng minh ông ta dựa Định lý Rouché áp dụng cho hàm số f g với g ♣z q ✏ α♣z q α ✏ inf z €❇Ω Rerzf ♣z qs④ supz €❇Ω ⑤z ⑤2 Re zf z Với ý r ♣ qs ✏ Rez ☎ Ref ♣zq   Imz ☎ Imf ♣zq, Re zf z điều kiện Shih điều kiện Hadamard với c ✏ dấu bất đẳng thức nghiêm ngặt Mục tiêu Luận văn nghiên cứu phiên Định lý Bolzano ánh xạ chỉnh hình từ miền Cn nhận giá trị Cn , n ➙ 1, vài áp dụng Luận văn tập trung giải tốn sau: Nghiên cứu tồn khơng điểm hàm chỉnh hình hình cầu hình chữ nhật mặt phẳng phức điều kiện dấu biên Áp dụng kết tốn nói liên quan đến định lý điểm bất động Brouwer hàm chỉnh hình Mở rộng định lý Bolzano cho trường hợp ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức hữu hạn chiều Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành ba chương Chương 1: Dành cho việc nhắc lại số kiến thức sở giải tích phức, số vấn đề hàm chỉnh hình biến ánh xạ chỉnh hình nhiều biến, nhắc lại khái niệm phép đồng luân, số kết điểm bất động Brouwer ánh xạ liên tục mà chúng phục vụ cho chương Luận văn Chương 2: Bao gồm kết Định lý Bolzano hàm chỉnh hình, tồn khơng điểm hàm chỉnh hình, tính nghiệm hàm chỉnh hình, điều kiện Hadamard-Shih, điều kiện Poincaré-Miranda Chương 3: Trình bày Định lý Bolzano ánh xa chỉnh hình, điều kiện Hadamard-Shih, điều kiện Poincaré-Miranda ánh xạ chỉnh hình Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy PGS TS Thái Thuần Quang, Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán Thống kê, quý thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn giải tích khóa 22 giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý quý thầy cô giáo để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Chương Một số kiến thức sở Giải tích phức Nhắc lại số kiến thức sở giải tích phức, số vấn đề hàm chỉnh hình biến ánh xạ chỉnh hình nhiều biến, nhắc lại khái niệm phép đồng luân, số kết điểm bất động Brouwer ánh xạ liên tục mà chúng phục vụ cho chương Luận văn 1.1 1.1.1 Một số vấn đề hàm chỉnh hình biến Khái niệm tính chất Ký hiệu K trường số thực R phức C Chúng sử dụng ký hiệu sau: • Phần thực z • Phần ảo z € C ký hiệu Rez € C ký hiệu Imz • Một miền Ω C tập mở liên thông Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f xác định miền Ω lim ∆z Ñ0 ♣   ∆zq ✁ f ♣zq , f z ∆z z, z ⑨ C Xét giới hạn   ∆z € Ω Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.3 Bổ đề 2.2.5 ta có p ➳ j ✏1 p mj ✏ 1, ✏ 1, m1 ✏ ✆ Giống trường hợp điều kiện khơng ngặt, từ Định lý 2.2.6, ta có phiên sau Định lý điểm bất động Brouwer Hệ 2.2.7 Nếu h : Ω Ñ C hàm chỉnh hình h♣❇∆q ⑨ ∆ h có điểm bất động ∆ 2.2.3 Điều kiện Poincaré-Miranda ngặt biên hình chữ nhật Với ký hiệu P, Pa , Pb , P c , P d đinh nghĩa mục 2.1.3, w tâm hình chữ nhật ρ xây dựng (2.9), ta có Bổ đề 2.2.8 Nếu f hàm chỉnh hình Ω ⑩ P thỏa mãn ♣ q ➔ 0, với z € Pa, Ref ♣zq → 0, với z € Pb, (i) Ref z ♣ q ➔ 0, với z € P c, Imf ♣zq → 0, với z € P d, ➺ ✶ f ♣z q ✏ 2πi ρ f ♣z q (ii) Imf z Chứng minh Ta định nghĩa F : Ω ✂ r0, 1s Ñ C xác định ♣ q ✏ ♣1 ✁ λq♣z ✁ wq   λf ♣zq F z, λ Khi F thỏa mãn điều kiện Mệnh đề 2.2.4 với λ ♣ q ✏ ♣1 ✁ λq ✁   λRef ♣zq < 0, ❅z € Pa, • ReF z, λ a b ♣ q ✏ ♣1 ✁ λq ✁   λRef ♣zq > 0, ❅z € Pb, • ReF z, λ b a 26 € r0, 1s ta có ♣ q ✏ ♣1 ✁ λq ✁   λImf ♣zq < 0, ❅z € P c, c d • ImF z, λ ♣ q ✏ ♣1 ✁ λq ✁   λImf ♣zq > 0, ❅z € P d d c • ImF z, λ ♣ q✘ ♣q ✏ ♣q ✏ ♣ q€❇ ✂r s ❇ ♣ q ✏ ♣ q Khi F z, λ với z, λ P 0, , theo Mệnh đề 2.2.4 ta có ➺ ✶ ➺ ➺ 1 f z z F z, z F z, dz dz dz 2πi ρ f z 2πi ρ F z, 2πi ρ F z, (2.14) ➺ dz 2πi ρ z w ❇ ♣ q ♣ q ✁ Ngoài ra, theo Mệnh đề 2.1.4, ta có 2πi ➺ ✁w ✏ dz ρ z ➺ dz 2πi ❇γw,r z w ✁ ✏ Từ (2.14) (2.15) ta có điều cần chứng minh (2.15) ✆ Định lý 2.2.9 ([7]) Nếu ♣ q ➔ 0, với z € Pa, Ref ♣zq → 0, với z € Pb, (i) Ref z ♣ q ➔ 0, với z € P c, Imf ♣zq → 0, với z € P d, (ii) Imf z f có khơng điểm cấp P Chứng minh Việc chứng minh Định lý 2.2.9 tương tự Định lý 2.2.6, thay ✆ Bổ đề 2.2.5 Bổ đề 2.2.8 ♣ q ✏ e✁z với z € C Ví dụ 2.2.10 Cho h z P ✏ tz € C : Rez € ♣0, 1q, Imz € ♣✁1, 1q✉ ♣ q ✏ e✁x cos y, Imh♣zq ✏ ✁e✁x sin y, Khi Reh z 27 z € P0 đ cos ↕ Reh♣zq ↕ 1, ✁ sin ↕ Imh♣zq ↕ sin 1, z € P1 ñ e✁1 cos ↕ Reh♣zq ↕ e✁1, ✁e✁1 sin ↕ Imh♣zq ↕ e✁1 sin 1, z € P ✁1 ñ e✁1 cos ↕ Reh♣zq ↕ cos 1, e✁1 sin ↕ Imh♣zq ↕ sin 1, € P ñ e✁1 cos ↕ Reh♣zq ↕ cos 1, ✁ sin ↕ Imh♣zq ↕ ✁e✁1 sin 1, Do h♣❇ P q ⑨ P tồn z0 € P cho z0 ✏ e✁z z Cũng giống trường hợp điều kiện không ngặt, từ Định lý 2.2.9 ta có hệ Hệ 2.2.11 Nếu h : Ω Đ C hàm chỉnh hình thỏa mãn h♣❇P q ⑨ P h có điểm bất động P 28 Chương Định lý Bolzano ánh xạ chỉnh hình Chương trình bày số kết Định lý Bolzano ánh xạ chỉnh hình, điều kiện Hadamard-Shih, điều kiện Poincaré-Miranda ánh xạ chỉnh hình 3.1 Bậc Brouwer số ứng dụng cho ánh xạ chỉnh hình Cho Ω tập mở Cn , xét ánh xạ chỉnh hình f : Ω phần f1 , f2 , , fn , từ định nghĩa [4], với a ♣q tuyến tính L a : Cn Đ Cn với thành € Ω ta tìm ánh xạ Đ Cn cho ⑥f ♣zq ✁ f ♣aq ✁ L♣aq♣z ✁ aq⑥ ✏ lim z Ña ⑥z ✁ a⑥ Điều cho ta tương đương f với ánh xạ khác Ω cho z ✏ ♣z1, z2, , znq ✏ ♣x1   iy1, x2   iy2, , xn   iynq, ❇x fk ✏ 1i ❇y fk ♣:✏ ❇z fk q, j Khi n j j j, k ✏ 1, 2, , n ➙ 1, khó sử dụng mở rộng n-chiều định lý Cauchy Chương cách tiếp cận Chương mở rộng với việc sử dụng 29 bậc Brouwer cho ánh xạ chỉnh hình từ Cn vào Cn mà coi ánh xạ từ R2n vào R2n Cho D tập mở, bị chặn Rn , f € C 2♣D, Rnq cho ❘ f ♣❇Dq số ε0 , µ0 thỏa mãn ➔ ε0 ➔ µ0 ➔ ⑥f ⑥ ❇D (3.1) Định nghĩa 3.1.1 Bậc Brouwer f D định nghĩa r dB f, D c s✏ ➺ ⑥ ♣ q⑥ ♣ q c f x Jf x dx, D € C ♣r0, ✽q, Rq cho suppc ⑨ rε0, µ0s Mệnh đề 3.1.2 Nếu D✶ Rn ⑥ ⑥ ✏ c x dx ⑨ D tập mở, bị chặn ❘ f ♣D③D✶q r dB f, D Đặc biệt, ➩ (3.2) s ✏ dB rf, D✶s ❘ f ♣Dq dB rf, Ds ✏ ⑨ Rn tập mở, bị chặn, f € C 2♣D, Rnq z ❘ f ♣❇ Dq, bậc Brouwer f D z, ký hiệu dB rf, D, z s định nghĩa Định nghĩa 3.1.3 Nếu D r dB f, D, z r Dễ thấy dB f, D s ✏ dB rf ♣.q ✁ z, Ds s ✏ dB rf, D, 0s Kết sau chứng minh [13] Ñ Cn chỉnh hình Ω, D tập mở, bị chặn Ω ❘ f ♣❇ Dq, bậc Brouwer dB rf, D, 0s số nguyên dương € f ♣Dq Mệnh đề 3.1.4 Nếu Ω tập mở Cn , ánh xạ f : Ω 30 Các thuộc tính hệ định nghĩa bậc Brouwer kiện sau: ♣q trận Jacobi f z € Ω (xét theo đạo hàm riêng ❇z fk ♣z qq, Jfˆ♣xq ma trân Jacobi fˆ x ✏ ♣x1 , y1 , x2 , y2 , , xn , yn q (xét theo đạo hàm riêng ❇x Refk ♣xq, ❇x Imfk ♣xq, ❇y Refk ♣xq, ❇y Imfk ♣xqq, ta có Nếu ký hiệu fˆ : Ω ⑨ R2n Ñ R2n ánh xạ liên kết với f , Jf z ma j j j j j Jfˆ♣xq ✏ ⑤Jf ♣zq⑤2 ➙ 0, ♣ q ✘ với số ε đủ bé, khác Lưu ý rằng, với n ✏ γ C -chu tuyến trơn khúc, ranh giới Jf  εI z D, r dB f, D, s✏ 2π ➺ γ ♣q ♣q f✶ z dz, f z Mệnh đề 2.2.3 nói f có D số hữu hạn khơng điểm cô lập a1 , a2 , , ap r s✏ dB f, D, mj cấp aj , j p ➳ j ✏1 mj ➙ p, (3.3) ✏ 1, 2, , p Mở rộng sau kết cho ánh xạ chỉnh hình từ Cn vào Cn chứng minh [13] Mệnh đề 3.1.5 Với điều kiện cho f : Ω r ⑨ Cn Ñ Cn D ⑨ Ω tập s mở, bị chặn, dB f, D, lớn số lượng không điểm cô lập f D Mệnh đề 3.1.6 Với điều kiện cho f : Ω ⑨ Cn Ñ Cn D ⑨ Ω r s ✏ f có khơng điểm ξ D Jf ♣ξ q ✘ tập mở, bị chặn, dB f, D, 31 3.2 Các điều kiện Hadamard-Shih cho ánh xạ chỉnh hình Các kết phần trước cung cấp chứng minh đơn giản mở rộng định lý Bolzano cho hàm chỉnh hình từ Cn vào Cn đưa Shih [14] Định lý 3.2.1 ([7]) Cho Ω tập mở Cn , f : Ω chỉnh hình Ω, D tập mở, bị chặn D ⑨ Ñ C n ánh xạ Ω, giả sử tồn số c1 , c2 , , cn D, cho n ➳ j ✏1 r♣ ✁ cj qfj ♣zqs → 0, ❅z € ❇D Re zj (3.4) Khi f có không điểm D không điểm không suy biến Chứng minh Xét phép đồng luân H : D ✂ r0, 1s Ñ Cn xác định ♣ q ✏ ♣1 ✁ λq♣z ✁ cq   λf ♣zq H z, λ Theo giả thiết (3.4), ta có ♣ q ✏ z ✁ c ✘ 0, ♣ q ✏ f ♣zq ✘ 0, ❅z € ❇D H z, H z, ♣ q € ❇D ✂ ♣0, 1q, Hơn nữa, với z, λ n ➳ j ✏1 n ➳ r♣ ✁ cj qHj ♣z, λqs ✏ t♣1 ✁ λq⑤zj ✁ cj ⑤2   λRer♣zj ✁ cj qfj ♣zqs✉ → 0, Re zj j ✏1 ♣ q ✘ Theo tính chất bất biến đồng luân bậc Brouwer ta có H z, λ r s ✏ dB rI, D, 0s ✏ 1, dB f, D, theo Mệnh đề 3.1.6 ta có điều cần chứng minh 32 ✆ Chúng ta có kết luận tồn không điểm Định lý 2.2.6 với giả thiết bất đẳng thức không ngặt Định lý 3.2.2 ([7]) Cho Ω tập mở Cn , f : Ω Ω, D tập mở, bị chặn D Đ Cn ánh xạ chỉnh hình ⑨ Ω, giả tồn số c1, c2, cn D, cho n ➳ j ✏1 r♣ ✁ cj qfj ♣zqs ➙ 0, ❅z € ❇D Re zj Khi f có khơng điểm D Chứng minh Với số nguyên dương k, xét ánh xạ fk : Ω Ñ Cn xác định ♣ q ✏ k1 ♣z ✁ cq   f ♣zq fk z Ta thấy fk thỏa mãn giả thiết Định lý 3.2.1 Do đó, với k ➙ 1, fk có € D Theo định lý Bolzano-Weierstrass, tồn dãy ♣zk qn€N hội tụ z ✝ € D Cho n Ñ ✽ đẳng thức không điểm zk n ♣ ✁ cq   f ♣zk q ✏ zk kn n n ♣ q ✏ ta f z ✝ ✆ Tương tự n = 1, suy từ Định lý 3.2.1 - 3.2.2, phiên tương ứng Định lý điểm bất động Brouwer Hệ 3.2.3 Cho Ω tập mở Cn , h : Ω Ω, D tập mở, lồi, bị chặn D Ñ C n ánh xạ chỉnh hình ⑨ Ω, ♣❇ q ⑨ D h có điểm bất động D (2) Nếu h♣❇ Dq ⑨ D h có điểm bất động D (1) Nếu h D 33 3.3 Các điều kiện Poincaré-Miranda cho ánh xạ chỉnh hình Tiếp theo xem xét tổng quát Định lý 2.2.9 Cho aj ➔ bj , cj ➔ ♣ ↕ j ↕ nq, ta định nghĩa tập mở dj P ✏ tz € Cn : Rezj € ♣aj , bj q, Imzj € ♣cj , dj q, j ✏ 1, 2, , n✉ ⑨ Cn Định lý 3.3.1 ([7]) Cho Ω ⑩P tập mở Cn f : Ω chỉnh hình Ω cho với j (3.5) Ñ Cn ánh xạ ✏ 1, 2, , n, ♣ q ➔ 0, ❅z € P , Rezj ✏ aj , ♣ q → 0, ❅z € P , Rezj ✏ bj , ♣ q ➔ 0, ❅z € P , Imzj ✏ cj , ♣ q → 0, ❅z € P , Imzj ✏ dj Refj z Refj z Imfj z Imfj z (3.6) Khi f có không điểm P không điểm không suy biến Chứng minh Đặt w ✏ 21 ra1   b1   i♣c1   d1q, , an   bn   i♣cn   dnqs tâm P, xét phép đồng luân H : P ✂ r0, 1s ✂ Cn Ñ Cn xác định ♣ q ✏ ♣1 ✁ λq♣z ✁ wq   λf ♣zq, H z, λ 34 z € P , λ € r0, 1s Từ giả thiết (3.6) cách xây dựng w, với j ♣ q ➔ 0, ❅z € P , Rezj ✏ aj , ♣ q → 0, ❅z € P , Rezj ✏ bj , ♣ q ➔ 0, ❅z € P , Imzj ✏ cj , ♣ q → 0, ❅z € P , Imzj ✏ dj ♣ q ➔ 0, ❅z € P , Rezj ✏ aj ♣ q → 0, ❅z € P , Rezj ✏ bj , ♣ q ➔ 0, ❅z € P , Imzj ✏ cj , ♣ q → 0, ❅z € P , Imzj ✏ dj ♣ q ➔ 0, ❅z € P , Rezj ✏ aj , ♣ q → 0, ❅z € P , Rezj ✏ bj , ♣ q ➔ 0, ❅z € P , Imzj ✏ cj , ReHj z, ReHj z, ImHj z, ImHj z, ReHj z, ReHj z, ImHj z, ImHj z, với λ ✏ 1, 2, , n, ta có € ♣0, 1q ta có ReHj z, λ ReHj z, λ ImHj z, λ ♣ q → 0, ❅z € P , Imzj ✏ dj Từ ta thấyH ♣z, λq ✘ 0, ❅♣z, λq € ❇ P ✂ r0, 1s Sự bất biến đồng luân bậc ImHj z, λ Brouwer cho ta r s ✏ dB rI ✁ w, P, 0s ✏ 1, dB f, P, theo Mệnh đề 3.1.6 ta có điều cần chứng minh ✆ Từ Định lý 3.3.1, suy “thuộc tính giá trị trung gian” cho f P 35 Cho j ✏ 1, 2, , n, Aj ✏ z€P,Rez max ✏a Refj , ✏ z€P,Imz max ✏c Imfj , j Cj Bj j j ✏ z€P,Rez ✏b j Bj j Refj , j ✏ z€P,Imz ✏d j Imfj , j đặt Q ✏ tw € Cn : Rewj € ♣Aj , Bj q, Imwj € ♣Cj , Dj q, j ✏ 1, 2, , n✉ (3.7) € Q, phương trình f ♣z q ✏ w có nghiệm P Hơn nữa, f : f ✁1 ♣Qq Ñ Q Định lý 3.3.2 Với giả thiết Định lý 3.3.1, với w phép đồng phơi song chỉnh hình Chứng minh Tập mở Q xác định (3.7) rõ ràng tồn theo giả thiết (3.6) ta có Aj ➔ ➔ Bj , Cj ➔ ➔ Dj ❅j ✏ 1, 2, , n ♣ q ✏ f ♣zq ✁ w thỏa mãn giả thiết Định lý 3.3.1, tồn không điểm ξ g ♣z q P, suy tồn nghiệm ξ phương trình f ♣z q ✏ w P Hơn nữa, ta thấy dB rg, P, 0s ✏ 1, sử dụng [13, Định lý 3], ta Jg ♣ξ q ✘ Áp dụng định lý hàm ẩn cho ánh xạ chỉnh hình ta có f : f ✁1 ♣Qq Ñ Q phép đồng cấu Khi ánh xạ chỉnh hình g z ✆ song chỉnh hình Tương tự phần chứng minh Định lý 3.2.2 với c thay w, có kết tồn khơng điểm Định lý 3.3.1 bất đẳng thức không ngặt giả thiết Định lý 3.3.3 ([7]) Cho Ω ⑩P tập mở Cn f : Ω 36 Đ Cn ánh xạ chỉnh hình cho với j ✏ 1, 2, , n, ♣ q ↕ 0, ❅z € P , Rezj ✏ aj , ♣ q ➙ 0, ❅z € P , Rezj ✏ bj , ♣ q ↕ 0, ❅z € P , Imzj ✏ cj , ♣ q ➙ 0, ❅z € P , Imzj ✏ dj Refj z Refj z Imfj z Imfj z Khi f có khơng điểm P Định lý 3.3.3, theo cách tương tự Định lý 3.3.2, cho ta thuộc tính giá trị trung gian Định lý 3.3.4 Với Q xác định (3.7), với giả thiết Định lý 3.3.3, với w € Q, phương trình f ♣zq ✏ w có nghiệm P Tương tự trường hợp n ✏ 1, suy từ Định lý 3.3.1 3.3.3 phiên tương ứng định lý điểm bất động Brouwer Hệ 3.3.5 Cho tập P xác định (3.5), Ω ⑩P tập mở Đ Cn ánh xạ chỉnh hình (1) Nếu h♣❇ P q ⑨ P h có điểm bất động P (2) Nếu h♣❇ P q ⑨ P h có điểm bất động P Cn h : Ω 37 KẾT LUẬN Nội dung chủ yếu Luận văn nghiên cứu tồn không điểm, điểm bất động hàm chỉnh hình, ánh xạ chỉnh hình Luận văn tìm hiểu, hệ thống chi tiết hóa số kết sau liên quan đến vấn đề nói Cụ thể là: • Hệ thống số kiến thức giải tích phức • Trình bày số kiến thức hàm chỉnh hình, ánh xạ chỉnh hình • Nghiên cứu số tốn sự tồn khơng điểm, điểm bất động hàm chỉnh hình • Vận dụng kết điều kiện Hadamard-Shih, điều kiện Poincaré-Miranda kết hợp với việc sử dụng bậc Brouwer để xét tồn điểm bất động Brouwer ánh xạ chỉnh hình 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, NXB ĐHQG Hà Nội, (In lần năm 2009) [2] Nguyễn Thủy Thanh, Cơ sở Lý thuyết hàm biến phức, NXB ĐH TH chuyên nghiệp, Hà Nội, (1985) Tiếng Anh: [3] B Bolzano, Rein Analytisches Beweis des Lehrsatzes Dass Zwischen je Zwey Werthen, Die ein Entgegenge-setzetes Resultat Gewăahren, Wenigsten Eine Reelle Wurzel der Gleichung Liege, Abhandl K Gesellschaft Wissenschaften, Prag, (1817) [4] B V Chabat, Introduction l’analyse Complexe, Vol 2, Mir, Moscow, (1990); English transl Vol II, Amer Math Soc., Providence, RI, (1992) [5] J Hadamard, Sur quelques applications de l’indice de Kronecker, in J Tannery, Introduction la Théorie des Fonctions Dúne Variable, 2nd edition, Vol 2, Hermann, Paris, (1910), 437-477 [6] W Kulpa, The Poincaré-Miranda theorem, Amer Math Monthly, 104 (1997), 545-550 39 [7] J Mawhin, Bolzano’s Theorems for Holomorphic Mappings, Chin Ann Math 38B(2) (2017), 563-578 [8] J Mawhin, A simple approach to Brouwer degree based on differential forms, Advanced Nonlinear Studies, (2004), 535-548 [9] J Mawhin, Le théorème du point fixe de Brouwer: Un siécle de métamorphoses, Sciences et Techniques en Perspective, Blanchard, Paris, 10(1-2) (2006), 175-220 [10] J Mawhin, Variations on Poincaré-Miranda’s theorem, Advanced Nonlinear Studies, 13 (2013), 209-217 [11] G Dinca, J Mawhin, Brouwer Degree and Applications, January 17, 2009, 17-20 [12] H Poincaré, Sur certaines solutions particulières du probléme des trois corps, Comptes Rendus Acad Sci Paris, 97 (1883), 251-252 [13] P H Rabinowitz, A note on topological degree theory for holomorphic maps, Israel J Math., 16 (1973), 46-52 [14] Mau-Hsiang Shih, Bolzano’s theorem in several complex variables, Proc Amer Math Soc., 79 (1980), 32-34 [15] Mau-Hsiang Shih, An analog of Bolzano’s theorem for functions of a complex variable, Amer Math Monthly, 89 (1982), 210-211 40 ... Bolzano ánh xạ chỉnh hình Chương trình bày số kết Định lý Bolzano ánh xạ chỉnh hình, điều kiện Hadamard-Shih, điều kiện Poincaré-Miranda ánh xạ chỉnh hình 3.1 Bậc Brouwer số ứng dụng cho ánh xạ chỉnh. .. , m Ánh xạ f : Ω Ñ Cn gọi song chỉnh hình f song ánh, chỉnh Định nghĩa 1.2.2 Một ánh xạ f : Ω hình f ✁1 ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 1.2.3 (Phép đồng luân) Một biến đổi đồng luân hai ánh xạ liên... ánh xạ chỉnh hình 26 29 3.1 Bậc Brouwer số ứng dụng cho ánh xạ chỉnh hình 29 3.2 Các điều kiện Hadamard-Shih cho ánh xạ chỉnh hình 32 3.3 Các điều kiện Poincaré-Miranda cho ánh xạ chỉnh