Điều khiển hệ đa tác tử

* d ij * d ij Agent j Agent i ĐIỀU KHIỂN HỆ ĐA TÁC TỬ Trịnh Hoàng Minh, Nguyễn Minh Hiệu Agent j g ji g ji g ij * * Trajectory Initial formation Desired formation Agent i Đại học Bách Khoa Hà Nội 10/2021 g ij Initial position Desired position ĐIỀU KHIỂN HỆ ĐA TÁC TỬ Trịnh Hoàng Minh, Nguyễn Minh Hiệu Ngày 23 tháng 10 năm 2021 Mục lục Lời nói đầu 15 I 17 Cơ sở Giới thiệu hệ đa tác tử 1.1 Giới thiệu, định nghĩa, ví dụ 1.2 Điều khiển hệ đa tác tử 1.3 Ghi tham khảo 19 19 21 22 Lý thuyết đồ thị 2.1 Đồ thị 2.1.1 Đồ thị vô hướng 2.1.2 Đồ thị hữu hướng 2.1.3 Đồ thị có trọng số 2.2 Đại số đồ thị 2.2.1 Một số ma trận cấu trúc đồ thị 2.2.1.1 Ma trận bậc ma trận kề 2.2.1.2 Ma trận liên thuộc 2.2.1.3 Ma trận Laplace đồ thị vô hướng 2.2.2 Ma trận Laplace đồ thị hữu hướng 2.3 Ghi tài liệu tham khảo 2.4 Bài tập 25 25 25 28 29 30 30 30 30 32 36 39 39 II Hệ đồng thuận 43 Thuật toán đồng thuận 3.1 Đồng thuận với tác tử tích phân bậc 3.1.1 Phát biểu toán 3.1.2 Trường hợp tổng quát 45 45 45 47 MỤC LỤC 48 51 56 59 59 60 63 64 định Lyapunov 69 69 72 74 75 Đồng thuận cạnh đồng thuận đầu 5.1 Quá trình đồng thuận cạnh 5.2 Đồng hóa đầu hệ thụ động 5.3 Đồng đầu hệ tuyến tính dựa quan sát trạng thái 5.3.1 Đồng hóa dựa quan sát trạng thái Luenberger 5.3.2 Bộ quan sát kết hợp đồng hóa đầu 5.4 Ghi tham khảo 5.5 Bài tập 79 79 83 87 87 91 97 97 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.1.3 Một số trường hợp riêng Đồng thuận với tác tử tích phân bậc hai Hệ đồng thuận tuyến tính tổng quát Hệ đồng thuận tuyến tính khơng liên tục 3.4.1 Mơ hình điều kiện đồng thuận 3.4.2 Liên hệ với mơ hình đồng thuận liên tục Ghi tham khảo Bài tập Phân tích hệ đồng thuận theo lý thuyết 4.1 Hàm bất đồng thuận 4.2 Phân tích trình đồng thuận 4.3 Ghi tài liệu tham khảo 4.4 Bài tập III ổn Một số ứng dụng hệ đa tác tử Điều khiển đội hình 6.1 Giới thiệu 6.2 Điều khiển đội hình dựa vị trí tuyệt đối 6.3 Điều khiển đội hình dựa vị trí tương đối 6.3.1 Trường hợp tác tử khâu tích phân bậc 6.3.2 Trường hợp tác tử khâu tích phân bậc hai 6.4 Điều khiển đội hình dựa khoảng cách 6.4.1 Lý thuyết cứng khoảng cách 6.4.2 Luật điều khiển đội hình 6.5 Điều khiển đội hình dựa vector hướng 6.5.1 Lý thuyết cứng hướng Rd 6.5.2 Điều khiển đội hình cứng hướng vi phân 6.6 Ghi tài liệu tham khảo 6.7 Bài tập 101 103 103 106 108 108 110 111 111 114 118 119 121 129 129 MỤC LỤC Giữ liên kết tránh va chạm 135 7.1 Giữ liên kết 135 7.2 Tránh va chạm 138 Định vị mạng cảm biến 8.1 Bài toán định vị mạng cảm biến 8.2 Định vị mạng dựa vị trí tương đối 8.2.1 Trường hợp khơng có nút tham chiếu 8.2.2 Trường hợp có nút tham chiếu mạng 8.2.3 Phương pháp dựa vector hướng 8.2.3.1 Trường hợp khơng có nút tham chiếu 8.2.3.2 Trường hợp có nút tham chiếu 8.2.4 Phương pháp dựa khoảng cách 149 149 149 149 150 152 152 153 154 Một số mơ hình mạng xã hội 9.1 Mơ hình French - Degroot 9.2 Mơ hình Friendkin - Johnsen 9.3 Mô hình Abelson mơ hình Taylor 9.4 Mơ hình Friendkin - Johnsen đa chiều 9.5 Mơ hình Hegselmann-Krause 9.6 Mơ hình Altafini số mở rộng 157 157 158 161 163 170 172 10 Hệ đồng thuận với trọng số ma trận 10.1 Đồ thị với trọng số ma trận 10.2 Thuật toán đồng thuận trọng số ma trận 10.2.1 Điều kiện đồng thuận 10.2.2 Hiện tượng phân cụm 10.3 Đồng thuận trọng số ma trận với hệ có leader 10.3.1 Trường hợp leader đứng yên 10.3.2 Trường hợp leader chuyển động 10.4 Đồ thị trọng số ma trận hữu hướng 10.4.1 Đồ thị có dạng với gốc 10.4.2 Đồ thị trọng số ma trận cân 10.5 Ghi tham khảo 177 177 179 179 181 184 184 187 188 188 189 191 Phụ lục 195 Phụ lục A Một số kết lý thuyết ma trận 195 Phụ lục B Lý thuyết điều khiển 199 B.1 Hệ tuyến tính 199 B.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov 200 MỤC LỤC Phụ lục C Mô MATLAB 203 C.1 Hàm biểu diễn đội hình 2D 3D 203 C.2 Biểu diễn thay đổi đội hình theo thời gian 205 Chỉ mục 206 Danh sách hình vẽ 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 4.1 4.2 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 Một số ví dụ đồ thị vô hướng Một số đồ thị định hướng khác đồ thị G Hình 2.1(a) Các trị riêng L nằm đĩa tròn B tâm ∆ + j0, bán kính ∆ = maxi deg+ (vi ) (vùng màu đỏ) Các trị riêng −L nằm đĩa tròn B đối xứng với B qua trục ảo (vùng màu xám) Minh họa Ví dụ 2.6 Đồ thị vô hướng G1 G2 Đồ thị vô hướng H1 H2 26 31 Thuật tốn đồng thuận từ góc nhìn tác tử i Mơ thuật tốn đồng thuận với ba đồ thị khác nhau: G1 đồ thị gồm 16 đỉnh, đỉnh có đỉnh kề, G2 đồ thị chu trình gồm 20 đỉnh G3 đồ thị Bucky (quả bóng đá) gồm 60 đỉnh Mô chuyển động tác tử với luật đồng thuận (3.18) Mô hệ đồng thuận Ví dụ 3.3 Các biến trạng thái xi → xj t → ∞ Mơ đối chiếu thuật tốn đồng thuận liên tục không liên tục Đồ thị Bài tập 3.3 46 58 62 65 ¯ ứng (a) Đồ thị G ứng với L (b) Đồ thị G ứng với L (c) Đồ thị G ¯ với L = ΓL + L Γ Mô thuật toán đồng thuận với ba đồ thị hữu hướng khác 72 77 Đồ thị G có ba chu trình, hai chu trình độc lập Mô minh họa Ví dụ 5.2 Những cạnh màu đỏ tạo thành bao trùm đồ thị Các biến tương đối ζ(t) → t → ∞ Hệ Σ gồm n hệ thụ động với hàm kết nối φ(·) Mơ mơ hình Kuramoto đơn giản Sơ đồ khối mơ tả thuật tốn đồng thuận Mô hệ đồng thuận gồm tác tử Ví dụ 5.4 Các biến đầu yi , i = 1, , 8, dần đạt tới đồng thuận sau khoảng 100 giây 38 39 40 40 50 55 81 82 84 86 88 90 DANH SÁCH HÌNH VẼ 5.7 5.8 5.9 Sơ đồ mô tả đồng hóa (5.30) Mơ Ví dụ 5.5 Các đồ thị Bài tập 5.5 92 95 98 Hệ qui chiếu toàn cục (g Σ), hệ qui chiếu chung (c Σ), hệ qui chiếu cục (i Σ j Σ) 104 6.2 Mơ thuật tốn điều khiển đội hình dựa vị trí tuyệt đối 107 6.3 Mơ thuật tốn điều khiển đội hình dựa vị trí tương đối 2D 3D 109 6.4 Một số ví dụ minh họa lý thuyết độ cứng (rigidity theory) 112 6.5 Đội hình gồm tác tử: (a) Đồ thị G,(b) (c) p tiến tới đến cấu hình mong muốn, (Phải) p tiến tới cấu hình khơng mong muốn.117 6.6 Ví dụ tính cứng hướng vi phân: Trong R2 , đội hình (a), (b), (c) cứng hướng vi phân, đội hình (d), (e), (f) không cứng hướng vi phân Trong R3 , đội hình (g), (h), (i), (j) cứng hướng vi phân, đội hình (k), (l) khơng cứng hướng vi phân 120 6.7 Xây dựng đồ thị cứng hướng phổ quát R3 xuất phát từ cạnh nối hai đỉnh 123 6.8 Xây dựng đồ thị cứng hướng phổ quát R3 xuất phát từ chu trình C4 123 6.9 Minh họa phân tích ổn định thuật tốn điều khiển đội hình dựa vector hướng: (a) Ví dụ hai điểm cân đối xứng tâm có trọng tâm; (b) δ nằm tập S 124 6.10 Mơ đội hình tác tử luật điều khiển (6.34) trường hợp 2D 3D 126 6.11 Các đồ thị G1 G2 130 6.1 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 8.1 8.2 Minh họa tốn giữ liên kết: tác tử có miền trao đổi thơng tin mơ tả hình trịn tâm vị trí tác tử Nếu hai tác tử nằm miền thơng tin tồn cạnh mô tả tương tác hai tác tử Hàm trọng số aij (p) = σω ( − dij (p(t))) tương ứng với số tham số ω khác Dễ thấy aij (p) → dij ( pi − pj ) → δ = Minh họa việc tránh va chạm tác tử Biểu diễn hàm βij ( pi − pj ) với d = 0.75, 1, 1.5 Mơ luật giữ liên kết Ví dụ 7.1 Mô luật giữ liên kết Ví dụ 7.2 136 137 139 140 142 145 Mô tả mạng cảm biến với nút tham chiếu nút mạng thường Mỗi cạnh đồ thị thể luồng thông tin (đo đạc truyền thông) nút mạng.Nhiễu εij xuất cạnh đồ thị 151 Minh họa định vị mạng cảm biến gồm 10 nút với luật định vị mạng (8.9)154 ... độc tài 1.2 Điều khiển hệ đa tác tử Từ góc nhìn điều khiển học, trọng tâm nghiên cứu hệ đa tác tử ba tốn: (i) mơ hình hóa hệ đa tác tử, (ii) phân tích tính ổn định chất lượng hệ đa tác tử, (iii)... thuyết chung hệ đa tác tử Sự phát triển hệ đa tác tử nảy sinh nhu cầu kĩ sư chuyên gia hệ đa tác tử tương lai gần Nghiên cứu toán hệ đa tác tử cần có kiến thức sở lý thuyết điều khiển [Antsaklis... luật điều khiển tổng hợp hệ đa tác tử theo mục tiêu, giới hạn cho trước Một mơ hình tốn học hữu ích cần phải thể động học tác tử, mối liên hệ tác tử hệ thống, vận động chung tất tác tử hệ thống