Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS BÀI TẬP GIẢI TÍCH Chương III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT Bài Tính tích phân sau: a x y ds L biên tam giác có đỉnh A(0,0), B(1,0), C(0,1) L b x (1 y )ds L nửa đường trịn x y 4, y L c xyds L cung có phương trình tham số x 2t,y t , t [0,1] L d x y ds , L đường trịn x y2 2x L ds , với L phần đường thẳng y x y L e I x nối hai điểm A 0, B 2, x y z a Bài 2* Tính x ds , L đường tròn x y z L Bài Tính tích phân đường loại hai theo hai cách a xydx x y dy , ABC đường gấp khúc A(0,0), B(2,0), C(3,2) ABC b.I xydx x y dy với L biên tam giác ABC: A(0,0), B(1,0),C(1,2) L (5x c I 4y)dx (4y3 3x)dy với L cung x a y theo chiều từ A(0,-a) đến AB B(0,a) ( a > 0) Bài Tính tích phân đường: a x x cos y 1 e dx 2y sin y e dy OAB đường gấp khúc : O(0;0), OAB A(1,1); B(2,0) x y b x y dx y x dy , L nửa đường tròn x y2 a (y 0, a 0) theo 4 4 L chiều từ A(1,0) đến B( 1,0) Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS xy x y dx xy x y dy , L đường tròn x c L d L +y2 = ax ( a >0 ) x y2 dx y xy ln x x y dy L đường trịn (x 1)2 (y 1)2 , tích phân lấy theo chiều dương e x y x y dx xy2 x y dy , L nửa đường tròn x2 + y2 = 2ay , x > 0, a L hướng từ O(0,0) đến A(0,2a) xdy ydx Bài Tính với L đường cong kín, trơn lấy theo chiều dương, không x y L qua O(0,0), giới hạn miền đơn liên D Bài Cho tích phân: J (2x y sin 2x)dx (k.ycos 2x y )dy , AB a) Tìm k để J khơng phụ thuộc đường lấy tích phân b) Tính J với k , AB cung y x3 2x từ A(1,0) đến B(0,1) x Bài Tính tích phân đường 2xy dx y 2x y dy AB AB 1/4 cung trịn x y2 1; x, y , nối A(1;0) đến B(0;1) Bài Chứng tỏ tích phân I phân miền đơn liên D (1 x )dy xydx (1 x )2 y2 , không phụ thuộc đường lấy tích AB \ 1,0 Từ tính tích phân AB đường cong nối A(0;0), B(1,1) khơng cắt Ox điểm khác ngồi A Bài 9: Chứng minh biểu thức sau vi phân tồn phần hàm u(x,y) đó, tìm hàm đó: a x 2xy y dx x 2xy y dy b e x y cos x y dx e x y cos x y dy Bài 10: Tính tích phân mặt loại a zdS , với S bán cầu x2 y2 z2 a , z S Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS b x y z dS , S phần mặt phẳng x y nằm góc phần tám S thứ giới hạn mặt phẳng z c x y2 dS với S mặt nón z x y , bị chắn mặt phẳng z 1, kể S đáy nón d zdS với S phần mặt nón z x y nằm hai mặt trụ x y2 S x y2 e xy yz zx dS với S phần mặt nón z x y bị cắt mặt trụ S x y2 ax Bài 10: Dùng cơng thức Stokes để tính: x y R a x y dx dy zdz L đường tròn z L b (y z)dx (z x)dy (x y)dz ; L giao tuyến mặt trụ x y2 a với mặt L x z theo hướng ngược chiều kim đồng hồ đứng nhìn theo hướng dương a h Oz Bài 11: Tính tích phân mặt loại hai: phẳng a xdydz dxdz xz 2dxdy S mặt phần hình cầu xác định S x y2 z2 1, x 0, y 0, z b y z dydz+ z x dzdx+ x y dxdy , với S phía ngồi mặt nón S x y2 z z a , không kể đáy c x y2 dxdy S mặt mặt tròn x y2 R , z S Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS d xdydz ydzdx zdxdy , với S mặt ngồi hình trụ x y2 R , z S không kể hai đáy e x 2dydz ydzdx dxdy , S mặt xung quanh khối trụ S x y2 2ax, (a 0), z a (không kể đáy), tích phân lấy theo phía ngồi f xzdydz yxdzdx zydxdy S mặt phía ngồi hình tạo mặt S x = 0, y = 0, z = 0, x+y+z = g x 3dydz y3dzdx z3dxdy S phía ngồi mặt cầu x y2 z2 R S Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 1: Giải phương trình: a y e x y e x y dy dx b 0 2 x 1 y y 1 x c dy xe x dx y y Bài 2: Giải phương trình vi phân đẳng cấp sau: y với điều kiện y(1) x b (x 2y)dx xdy a xy y x sin c y y xy d (x y 2)dx (x y 4)dy e (2x y 1)dx (4x 2y 3)dy f y y y tg x x g (x y)ydx x 2dy Bài 3: Giải phương trình vi phân tuyến tính sau: a x y 2xy x b xy y x 2arctgx c y xy y ln y d 2ydx y2 6x dy Bài 4: Giải phương trình vi phân Bernoulli: a xy y y2 ln x b (2xy2 y)dx xdy Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS c 2y d y x xy y x 1 2x x cos y 4sin 2y e xy 2xy2 ln x y Bài 5: Giải phương trình vi phân tồn phần sau: a x x y dx x y ydy c 2xy y2 dx x 2xy y dy b 2xe y e x dx x e ydy d (x y2 )dx 2xydy x2 0 Bài 6:Tìm thừa số tích phân dạng (x), (y) để giải phương trình: a x 2y dx xdy y b dx y ln x dy x c 2xy2 y dx y2 x y dy d (y x y2 )dx (2x yx )dy e (sin y x )dx xsin 2ydy x x f 1 dx 1 dy y y Bài 7: Giải phương trình vi phân sau: a y 3y 2y e x xe3x f y y 2cos x x b y 5y 6y (x 1)e2x g y y xe x c y 2y y 2e x h y 2y y 4e x d y 9y 6cos3x i y 3y 2y xe3x e y y 2x k y y 2sin x Bài 8: Giải phương trình vi phân sau: Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS sin 2x b y y sinx a y 4y ex c y 2y y x2 d y y thỏa mãn điều kiện y(0) 1, y(0) ex Bài 9: Giải phương trình Euler sau: a x y xy y 2sin(ln x) b x y xy y cos(ln x) c x y xy y x Bài 10: Giải phương trình: xy 2y xy ex phép đổi hàm z xy Bài 11: Giải hệ phương trình: x 2x 3y a y 3x 2y x 2x y b y' x 4y x ' 3x y c y' 4x y x 2x y d y 3x 4y x ' 5x 3y e y' 3x y ... R S Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 1: Giải phương trình: a y e x y e x y dy dx b 0 2 x 1 y y 1 x c dy xe x dx y y Bài 2:... y dx e x y cos x y dy Bài 10: Tính tích phân mặt loại a zdS , với S bán cầu x2 y2 z2 a , z S Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS b x... y y2 ln x b (2xy2 y)dx xdy Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS c 2y d y x xy y x 1 2x x cos y 4sin 2y e xy 2xy2 ln x y Bài 5: Giải phương trình vi phân toàn