Bài tập GT 2-Chương 3,4

Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS BÀI TẬP GIẢI TÍCH Chương III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT Bài Tính tích phân sau: a   x  y  ds L biên tam giác có đỉnh A(0,0), B(1,0), C(0,1) L b  x (1  y )ds L nửa đường trịn x  y  4, y  L c  xyds L cung có phương trình tham số x 2t,y t , t [0,1] L d  x  y ds , L đường trịn x y2 2x L ds , với L phần đường thẳng y x  y L e I   x nối hai điểm A 0, B 2, x  y  z  a Bài 2* Tính  x ds , L đường tròn  x  y  z  L Bài Tính tích phân đường loại hai theo hai cách a xydx   x  y  dy , ABC đường gấp khúc A(0,0), B(2,0), C(3,2)  ABC b.I   xydx  x y dy với L biên tam giác ABC: A(0,0), B(1,0),C(1,2) L  (5x c I   4y)dx  (4y3  3x)dy với L cung x  a  y theo chiều từ A(0,-a) đến AB B(0,a) ( a > 0) Bài Tính tích phân đường: a x x   cos y  1 e dx   2y  sin y  e dy OAB đường gấp khúc : O(0;0), OAB A(1,1); B(2,0) x y   b  x  y   dx  y  x   dy , L nửa đường tròn x  y2  a (y  0, a  0) theo 4 4  L  chiều từ A(1,0) đến B( 1,0) Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS   xy  x  y  dx   xy  x  y  dy , L đường tròn x c L d    L  +y2 = ax ( a >0 )   x  y2 dx  y  xy  ln x  x  y  dy  L đường trịn    (x  1)2  (y  1)2  , tích phân lấy theo chiều dương e   x    y  x  y dx  xy2  x  y dy , L nửa đường tròn x2 + y2 = 2ay , x > 0, a  L hướng từ O(0,0) đến A(0,2a) xdy  ydx Bài Tính  với L đường cong kín, trơn lấy theo chiều dương, không x  y L qua O(0,0), giới hạn miền đơn liên D Bài Cho tích phân: J   (2x  y sin 2x)dx  (k.ycos 2x  y )dy , AB a) Tìm k để J khơng phụ thuộc đường lấy tích phân b) Tính J với k , AB cung y  x3  2x  từ A(1,0) đến B(0,1)  x Bài Tính tích phân đường     2xy  dx  y  2x y  dy AB AB 1/4 cung trịn x  y2  1; x, y  , nối A(1;0) đến B(0;1) Bài Chứng tỏ tích phân I  phân miền đơn liên D  (1  x )dy  xydx  (1  x )2  y2 , không phụ thuộc đường lấy tích AB \ 1,0 Từ tính tích phân AB đường cong nối A(0;0), B(1,1) khơng cắt Ox điểm khác ngồi A Bài 9: Chứng minh biểu thức sau vi phân tồn phần hàm u(x,y) đó, tìm hàm đó:     a x  2xy  y dx  x  2xy  y dy b e x  y  cos  x  y   dx  e x  y  cos  x  y    dy     Bài 10: Tính tích phân mặt loại a  zdS , với S bán cầu x2  y2  z2  a , z  S Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS b   x  y  z  dS , S phần mặt phẳng x y nằm góc phần tám S thứ giới hạn mặt phẳng z   c  x  y2 dS với S mặt nón z  x  y , bị chắn mặt phẳng z  1, kể S đáy nón d  zdS với S phần mặt nón z  x  y nằm hai mặt trụ x  y2  S x  y2  e   xy  yz  zx  dS với S phần mặt nón z  x  y bị cắt mặt trụ S x  y2  ax Bài 10: Dùng cơng thức Stokes để tính:  x  y  R a  x y dx  dy  zdz L đường tròn  z    L b  (y  z)dx  (z  x)dy  (x  y)dz ; L giao tuyến mặt trụ x  y2  a với mặt L x z   theo hướng ngược chiều kim đồng hồ đứng nhìn theo hướng dương a h Oz Bài 11: Tính tích phân mặt loại hai: phẳng a  xdydz  dxdz  xz 2dxdy S mặt phần hình cầu xác định S x  y2  z2  1, x  0, y  0, z  b   y  z  dydz+  z  x  dzdx+  x  y  dxdy , với S phía ngồi mặt nón S x  y2  z   z  a  , không kể đáy   c  x  y2 dxdy S mặt mặt tròn x  y2  R , z  S Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS d  xdydz  ydzdx  zdxdy , với S mặt ngồi hình trụ x  y2  R ,   z  S không kể hai đáy e  x 2dydz  ydzdx  dxdy , S mặt xung quanh khối trụ S x  y2  2ax, (a  0),  z  a (không kể đáy), tích phân lấy theo phía ngồi f  xzdydz  yxdzdx  zydxdy S mặt phía ngồi hình tạo mặt S x = 0, y = 0, z = 0, x+y+z = g  x 3dydz  y3dzdx  z3dxdy S phía ngồi mặt cầu x  y2  z2  R S Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 1: Giải phương trình: a y  e x  y  e x  y dy dx b  0 2 x 1 y y 1 x c dy xe x  dx y  y Bài 2: Giải phương trình vi phân đẳng cấp sau: y  với điều kiện y(1)  x b (x  2y)dx  xdy  a xy  y  x sin c y  y xy d (x  y  2)dx  (x  y  4)dy  e (2x  y  1)dx  (4x  2y  3)dy  f y  y y  tg x x g (x  y)ydx  x 2dy  Bài 3: Giải phương trình vi phân tuyến tính sau:    a  x y  2xy   x  b xy  y  x 2arctgx c y  xy  y ln y   d 2ydx  y2  6x dy  Bài 4: Giải phương trình vi phân Bernoulli: a xy  y  y2 ln x b (2xy2  y)dx  xdy  Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS c 2y  d y  x xy  y x 1 2x x cos y  4sin 2y e xy  2xy2 ln x  y  Bài 5: Giải phương trình vi phân tồn phần sau:    a  x x  y dx   x  y  ydy      c  2xy  y2  dx   x  2xy  y  dy  b 2xe y  e x dx  x  e ydy  d (x  y2 )dx  2xydy x2 0 Bài 6:Tìm thừa số tích phân dạng (x), (y) để giải phương trình: a  x  2y  dx  xdy    y b dx  y  ln x dy  x     c 2xy2  y dx  y2  x  y dy  d (y  x y2 )dx  (2x  yx )dy  e (sin y  x )dx  xsin 2ydy  x  x  f   1 dx    1 dy  y  y  Bài 7: Giải phương trình vi phân sau: a y  3y  2y  e x  xe3x f y  y  2cos x  x b y  5y  6y  (x  1)e2x g y  y  xe x c y  2y  y  2e x h y  2y  y  4e x d y  9y  6cos3x i y  3y  2y  xe3x e y  y  2x k y  y  2sin x Bài 8: Giải phương trình vi phân sau: Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS sin 2x b y  y  sinx a y  4y  ex c y  2y  y   x2 d y  y  thỏa mãn điều kiện y(0)  1, y(0)   ex Bài 9: Giải phương trình Euler sau: a x y  xy  y  2sin(ln x) b x y  xy  y  cos(ln x) c x y  xy  y  x Bài 10: Giải phương trình: xy  2y  xy  ex phép đổi hàm z  xy Bài 11: Giải hệ phương trình:  x  2x  3y a   y  3x  2y  x  2x  y b   y'   x  4y  x '  3x  y c   y'  4x  y  x  2x  y d   y  3x  4y  x '  5x  3y e   y'  3x  y ... R S Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 1: Giải phương trình: a y  e x  y  e x  y dy dx b  0 2 x 1 y y 1 x c dy xe x  dx y  y Bài 2:...  y   dx  e x  y  cos  x  y    dy     Bài 10: Tính tích phân mặt loại a  zdS , với S bán cầu x2  y2  z2  a , z  S Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS b   x... y  y2 ln x b (2xy2  y)dx  xdy  Bài tập Giải tích – Nguyễn Thị Thanh Hà – HVKTQS c 2y  d y  x xy  y x 1 2x x cos y  4sin 2y e xy  2xy2 ln x  y  Bài 5: Giải phương trình vi phân toàn