Khóa học LTĐH KIT-2: Mơn Tốn Đáp án đề thi thử Đại học tháng 2/2014 ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC THÁNG 2/2014 MƠN: TỐN ĐÁP ÁN ĐIỂM CÂU Câu 1a (1đ) 0,25đ Với m =2 ta có: y = x − x + • TXĐ: D=R • Sự biến thiên: y ' = x − x ⎡x = y ' = ⇔ 3x − x = ⇔ ⎢ ⎢x = ⎣ 0,25đ ⎛4 ⎞ Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) ∪ ⎜ ; +∞ ⎟ ⎝3 ⎠ ⎛ 4⎞ Nghịch biến khoảng ⎜ 0; ⎟ ⎝ 3⎠ ‐ Cực trị: hàm số đạt cực đại x=0, yCĐ=1, đạt cực tiểu x= ‐ Giới hạn: lim y = −∞, lim y = +∞ ‐ Bảng biến thiên x →−∞ x yCT= − 27 x →+∞ 0,25đ −∞ y’ + - +∞ + +∞ Y −∞ − 27 Đồ thị Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt 0,25đ Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-2: Mơn Tốn Đáp án đề thi thử Đại học tháng 2/2014 Câu 1b (1đ) Giả sử ( x0 ; y0 ) điểm cố định họ đồ thị (1), phương trình ẩn m: 0,25đ y0 = x03 + mx02 − m − (1) ⇔ ( x02 − 1)m + x03 − − y0 = ∀m ⎧ x0 = −1 ⎧ x0 = ⎪⎧ x0 − = ⎨ ⇒⎨ ⇔⎨ ⎪⎩ x0 − − y0 = ⎩ y0 = ⎩ y0 = −2 Suy đồ thị (1) qua hai điểm cố định A(1; 0) B(-1; -2) 0,25đ Ta có: y ' = x + 2mx y '(1) = + 2m Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (1) điểm A d1 : y = (3 + 2m) x − (3 + 2m) y '(−1) = − 2m , phương trình tiếp tuyến với đồ thị (1) điểm B là: d : y = (3 − 2m) x + − 2m Toạ độ giao điểm I d1 d2 nghiệm hệ phương trình: 0,5đ ⎧ y = (3 + 2m) x − (3 + 2m) ⎧4mx = (2) ⇔⎨ ⎨ ⎩ y = (3 − 2m) x + − 2m ⎩ y = (3 − 2m) x + − 2m (3) m = phương trình (2) vơ nghiệm 1 m ≠ phương trình (2) x = vào (3) với m = ta có: m x 2 y = (3 − ) + − = 3x − − x x x Từ suy m thay đổi ( m ≠ ) giao điểm I hai tiếp tuyến d1 d2 nằm Câu (1đ) đường cong: y = 3x − − cố định x Phương trình tương đương: ⇔ cos2 x − 3(1 + sin x) + sin( x + 0,5đ π + 2π ) = π ⇔ cos2 x − 3(1 + sin x) + sin( x + ) = 2 ⇔ (cos x − sin x) − 3(cos x + s inx) + 5(s inx + cos x) = ⇔ (cos x + s inx)(cos x − s inx-3cosx-3sinx+5)=0 ⇔ (cos x + s inx)(5 − cos x − 4sin x) = ⎡cos x + s inx = ⇔⎢ ⎣5 − cos x − 4sin x = Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-2: Mơn Tốn Đáp án đề thi thử Đại học tháng 2/2014 + cos x + s inx = 0,25đ π ⇔ sin( x + ) = π ⇔ sin( x + ) = π + kπ , k ∈ Z +) − cos x − sin x = ⇔ cos x + 4sin x = ⇔x=− 0,25đ cos x + s inx = 5 Đặt = sin α ; = cosα ta có: 5 ⇔ cos x sin α + sin xcosα = 5 ⇔ cos( x + α ) = > => phương trình vơ nghiệm ⇔ Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x = − Câu (1đ) π + kπ , k ∈ Z 0,5đ ⎧ ( x − y)2 (1) ⎪ 2x +1 + y +1 = ⎨ ⎪( x + y )( x + y ) + x + y = (2) ⎩ ⎧ ⎪⎪ x ≥ − (*) Điều kiện xác định: ⎨ ⎪y ≥ − ⎪⎩ ( ) ⇔ x + 3xy + y + 3x + y = ⇔ x + 3( y + 1) x + y + y − = (3) Δ = 9( y + 1) − 4(2 y + y − 4) = y + 10 y + 25 = ( y + 5)2 x= −3 y − + y + −3 y − − y − = − y x = = −2 y − 2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-2: Mơn Tốn Đáp án đề thi thử Đại học tháng 2/2014 Kết hợp với điều kiện (*) ta có: x = − y thay vào (1): 0.5đ (2 x − 1) 2x +1 + − 2x = (4) Với điều kiện − ≤ x ≤ , phương trình (4): 2 (2 x − 1) 4 ⇔ 16 − (2 x − 1) + x + − x = ⇔ + 2 x + − x = ⇔ ⎡⎣ − (2 x − 1) ⎤⎦ ⎡⎣ + (2 x − 1) ⎤⎦ + x + − x = ⇔ (3 − x)(2 x + 1) ⎡⎣ + (2 x − 1) ⎤⎦ + x + − x = ⇔ x + − x ⎡⎣ − x x + ⎡⎣ + (2 x − 1) ⎤⎦ + 8⎤⎦ = Do ⎡ ⎤ − x x + ⎡⎣ + (2 x − 1) ⎤⎦ + > ∀x ∈ ⎢ − ;3⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎢x = − − 2x 2x + = ⇔ ⎢ ⎢x = ⎢⎣ Nên có: x=− ⇒ y= 2 x= ⇒x=− 2 3 Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = (− ; );( x; y) = ( ; ) 2 2 Câu (1đ) 0,5đ e⎛ e ⎞ I =∫ ⎜ dx + ∫ ln xdx = I1 + I ⎟ 1 ⎝ x − ln x ⎠ e⎛ ⎞ Ta tính tích phân I1 = ∫ ⎜ ⎟ dx ⎝ x − ln x ⎠ dx Đặt u = ln x ⇒ du = x Với x = ⇔ u = 0; x = e ⇒ u = 1; ta có: I1 = ∫ du − u2 Đặt u = 2sin t ⇒ du = 2cos tdt Khi u = ⇒ t = 0; u = ⇒ t = π ⇒ I1 = ∫ 2.cos t − 4sin t π π dt = ∫ dt = Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt π Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-2: Mơn Toán Đáp án đề thi thử Đại học tháng 2/2014 0,5đ e Ta tính tích phân I = ∫ ln xdx dx ⎧ e e ⎧u = ln x ⎪ du = ln x Ta có: ⎨ ⇒⎨ x ⇒ I = x ln x | − ∫1 ln xdx ⎩ dv = du ⎪⎩v = x Đặt dx ⎧ e e e e e e ⎧u = ln x dx ⎪ du = 2 ⇒⎨ x ⇒ I = x ln x | − x ln x | + ∫1 x = x ln x | − x ln x | + x | = e − ⎨ x 1 1 ⎩ dv = 2dx ⎪v = x ⎩ => I = I1 + I = Câu (1đ) π +e−2 S Kẻ SH ⊥ BC Ta có SH ⊥ ( ABC ) 0,25đ S N Gọi M N hình chiếu H AB AC Ta suy SM ⊥ AB SN ⊥ AC M G D A ∠SMH = ∠SNH = 600 ⇒ ΔSMH = ΔSNH ⇒ HM = HN H B C O M N B C A MH = 2MH sin 300 NH NH Tam giác vng CHN có: CH = = sin 60 Tam giác vuông BHM có: BH = Ta có: a = BC = BH + CH = 2MH + ⇒ MH = a 2(1 + ) = 0,25đ NH 2MH ) = 2MH + = 2MH (1 + 3 0,5đ a 3( − 1) Tam giác vng SMH có: SH = MH tan 600 = a 3( − 1) 3a ( − 1) 3= 4 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-2: Mơn Tốn Đáp án đề thi thử Đại học tháng 2/2014 S ABC = 1 a a a2 AB AC = = 2 2 1 a 3a ( − 1) a (3 − 3) VS ABC = S ABC SH = = (dvtt ) 3 32 Câu (1đ) Ta có: = x3 + y + z − 3xyz = ( x + y + z )( x + y + z − xy − yz − zx) 0,5đ => x + y + z − xy − yz − zx ≠ Mặt khác: x + y + z − xy − yz − zx = [( x − y ) + ( y − z )2 + ( z − x) ] ≥ => x + y + z − xy − yz − zx > ⇒ x + y + z > Đặt t = x + y + z (t > 0) ⇒ t = x + y + z + 2( xy + yz + zx) ⇒ xy + yz + zx = = E + 2( xy + yz + zx) t2 − E Có: = ( x + y + z )[x + y + z − ( xy + yz + zx)] t2 − E ) t2 − E ⇔ =E− t t ⇔E= + 3t ⇔ 1= t ( E − 0,5đ t2 + liên tục miền t>0 3t 2 f '(t ) = t − = (t − 1) ; f '(t ) = ⇔ t = 3t 3t Ta có bảng biến thiên sau: Xét hàm số: f (t ) = t f’(t) f(t) - +∞ + +∞ Suy f (t ) ≥ 1, ∀t > Do E ≥ Nếu số x, y, z có số số E=1 Vậy minE=1 Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-2: Mơn Tốn Đáp án đề thi thử Đại học tháng 2/2014 PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Câu 7a (1đ) Giả sử có đường thẳng Δ qua A cắt cạnh BC điểm M Và chia tam giác ABC thành hai phần có tỷ số diện tích 1 Nếu S AMB = 2S ACM ⇔ BM AH = CM AH (AH đường cao) 2 uuuuv uuuuv ⇔ BM = 2CM ⇒ BM = MC (*) uuuuv uuuuv Gọi M ( x; y) , ta có: BM = ( x − 2; y + 1); MC = (11 − x; − y ) 0,5đ ⎧ x − = 2(11 − x) ⎧3x = 24 ⎧ x = (*) ⇒ ⎨ ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ M (8;1) ⎩ y + = 2(2 − y ) ⎩3 y = ⎩y =1 Đường thẳng qua A M có phương trình: x −3 y −3 Δ1 : = ⇔ x + y − 12 = − 1− uuuuv uuuuv 1 Nếu S ABM = S ACM → BM = CM ⇔ BM = MC 2 Tương tự ta có M(5; 0) Đường thẳng qua A M có phương trình: Δ : 3x + y − 15 = 0,5đ Vậy có hai đường thẳng thỗ mãn u cầu đầu là: Δ1 : x + y − 12 = Δ : 3x + y − 15 = Câu 8a (1đ) v Đường thẳng d có vecto phương u = (2; −3;1) Mặt cầu (S) có tâm I(5; -1; -13) có 0,5đ bán kính R = 308 Mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng d nên phương trình có dạng: 2x − y + z + m = (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên có: d ( I ; ( P )) = R ⇔ 2.5 + 3.1 − 13 + m 0,5đ = 308 ⇔ m = 14 308 = 14 22 ⇔ m = ±14 22 Có mặt phẳng thoả mãn yêu cầu đề là: (P): x − y + z + 14 22 = ( P ) : x − y + z − 14 22 = Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-2: Mơn Tốn Đáp án đề thi thử Đại học tháng 2/2014 Câu 9a (1đ) Do học sinh trả lời 32 câu nên số điểm đạt 6,4 điểm Vậy Để số 0,5đ điểm trở lên, thí sinh cần phần đạt thêm 1,6 điểm tương ứng phải trả lời thêm câu Như tốn quy tính xác suất để 10 câu cịn lại, học sinh trả lời câu Số cách trả lời 10 câu lại 410 (mỗi câu có phương án trả lời) Ω = 410 Gọi A biến cố “thí sinh trả lời câu” ( i ∈ {8;9;10}) Ai biến cố “thí sinh trả lời i câu” 0,5đ i 10 Số cách chọn i câu là: C Số cách trả lời câu sai 3, theo qui tắc nhân ta có: Ai = C10i 310−i ⇒ A8 = 405; A9 = 30; A10 = Vì A8 , A9 , A10 đơi xung khắc A = A8 ∪ A9 ∪ A10 nên có: A = 405 + 30 + = 436 Vậy xác suất cần tìm là: P ( A) = A 436 = 10 Ω B Theo chương trình Nâng cao (3đ) Câu 7b (1đ) B 0,25đ y Do tam giác vng OAB nằm góc phần tư thứ mặt phẳng toạ độ ( xA = > yB = > ) nên tâm I đường tròn (C)nội tiếp tam giác OAB nằm đường phân giác y= x E N I Giả sử I(a;a) đó: R = a Đường thẳng AB có phương trình: x y + = ⇔ x + y − 12 = Ta có: d ( I ; AB) = R ⇔ 4a + 3a − 12 25 x O M A = a ⇔ 7a − 12 = 5a 0,25đ ⎡ 7a − 12 = 5a ⎡a = ⇔⎢ ⇔⎢ ⎣ 7a − 12 = −5a ⎣a = Khi a = ta có (C): ( x − 6) + ( y − 6) = 36 đường tròn bàng tiếp tam giác ABC, khơng phải đường trịn cần tìm Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-2: Mơn Tốn Đáp án đề thi thử Đại học tháng 2/2014 0,5đ Khi a = phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC là: ( x − 1) + ( y − 1) = Đường trịn (C) có tâm I(1; 1) R = Gọi M, N, E trung điểm OA, OB, AB Đường tròn (C1 ) qua điểm M, N, E đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật OMEN Ta có: E ( ; 2) Đường tròn (C1 ) có tâm trung điểm OE: I1 ( ;1) bán kính 1 25 R1 = OE = +4 = = 2 4 2 ⎛ 3⎞ Ta có khoảng cách tâm d = ⎜ − ⎟ + (1 − 1) = ⎝ 4⎠ R1 − R = −1 = 4 => d = R1 − R (C) (C1 ) tiếp xúc với Câu 8b (1đ) 0,5đ Gọi A(2s;1 − s; −2 + s ) ∈ d1 B(−1 + 2t ;1 + t ;3) ∈ d uuuv Khi đó: AB = (2t − s − 1; t + s;5 − s ) v Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n = (7;1; −4) uuuv v Đường thẳng d qua A B, vng góc với mặt phẳng (P) nên có: AB = kn 0,5đ 2t − s − t + s − s = = −4 ⎧5t + s + = ⎧s = ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩4t + 3s + = ⎩t = −2 uuuv Suy ra: A(2; 0; -1) AB = (−7; −1; 4) ⇔ uuuv Đường thẳng d qua A có vecto phương AB nên có phương trình: x − y z +1 d: = = −7 −1 Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-2: Mơn Tốn Đáp án đề thi thử Đại học tháng 2/2014 Câu 9b (1đ) Ta có 0,5đ z z = z = => z = 1 1 z z z = z = => z = 2 2 z Để chứng minh biểu thức A số thực ta cần chứng minh A= A 0,5đ Thật ta có 1 z2 + z1 + z +z z z2 zz z +z = = =A A= = z1 z2 + 1 + z1 z2 + z1 z2 + z1 z2 z1 z2 =>Đpcm Nguồn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 10 - ... (3 − 2m) x + − 2m Toạ độ giao điểm I d1 d2 nghiệm hệ phương trình: 0,5đ ⎧ y = (3 + 2m) x − (3 + 2m) ⎧4mx = (2) ⇔⎨ ⎨ ⎩ y = (3 − 2m) x + − 2m ⎩ y = (3 − 2m) x + − 2m (3) m = phương trình (2) vơ... tháng 2/ 2014 Kết hợp với điều kiện (*) ta có: x = − y thay vào (1): 0.5đ (2 x − 1) 2x +1 + − 2x = (4) Với điều kiện − ≤ x ≤ , phương trình (4): 2 (2 x − 1) 4 ⇔ 16 − (2 x − 1) + x + − x = ⇔ + 2 x... 1900 58-58- 12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT- 2: Mơn Tốn Đáp án đề thi thử Đại học tháng 2/ 2014 S ABC = 1 a a a2 AB AC = = 2 2 1 a 3a ( − 1) a (3 − 3) VS ABC = S ABC SH = = (dvtt ) 3 32 Câu (1đ)