Chủ đề 5. XÁC SUẤT (1)

CHỦ ĐỀ XÁC SUẤT I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Phép thử Không gian mẫu * Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) phép thử mà - Kết khơng đốn trước - Có thể xác định tập hợp tất kết xảy phép thử * Khơng gian mẫu tập hợp kết xẩy phép thử gọi khơng gian mẫu phép thử ký hiệu Ω 2) Biến cố • Một biến cố A (còn gọi kiện A) liên quan tới phép thử T biến cố mà việc xẩy hay khơng xẩy cịn tùy thuộc vào kết T Mỗi kết phép thử T làm cho biến cố A xảy gọi kết thuận lợi cho A • Tập hợp kết thuận lợi cho A kí hiệu Ω A Để đơn giản, ta dùng chữ A để kí hiệu tập hợp kết thuận lợi cho A Khi ta nói biến cố A mơ tả tập A • Biến cố chắn biến cố xảy thực phép thử T Biến cố chắn mô tả tập Ω ký hiệu Ω • Biến cố biến cố không xảy thực phép thử T Biến cố mô tả tập ∅ 3) Các phép toán với biến cố Tập Ω \ A gọi biến cố đối biến cố A, kí hiệu A Giả sử A B hai biến cố liên quan đến phép thử Ta có: • Tập A ∪ B gọi hợp biến cố A B • Tập A ∩ B gọi giao biến cố A B • Nếu A ∩ B = ∅ ta nói A B xung khắc 4) Xác suất biến cố (định nghĩa cổ điển) Giả sử phép thử T có khơng gian mẫu Ω tập hữu hạn kết T đồng khả Nếu A biến cố liên quan với phép thử T Ω A tập hợp kết thuận lợi cho A xác suất A số, kí hiệu P ( A) , xác định công thức: P ( A) = ΩA Ω = n( A) n( Ω ) Từ định nghĩa cổ điển xác suất ta có bước để tính xác suất biến cố sau: • Bước 1: Xác định khơng gian mẫu Ω tính số phần tử Ω , tức đếm số kết phép thử T Trang • Bước 2: Xác định tập A mô tả biến cố A tính số phần tử A, tức đếm số kết thuận loại cho A • Bước 3: Lấy kết bước chia cho bước Nhận xét: Việc tính số kết (bước 1) thường dễ dàng nhiều so với việc tính số kết thuận lợi cho A (bước 1) Để giải tốt toàn xác suất ta cần nắm phần tổ hợp trước Chú ý: - Từ định nghĩa, suy ≤ P ( A) ≤ 1, P ( Ω ) = 1, P ( ∅ ) = - Các kí hiệu n( Ω ) ;n( A) hiểu tương đương với Ω ; Ω A số phần tử không gian mẫu tập hợp thuận lợi cho biến cố A 5) Các quy tắc tính xác suất * Quy tắc cộng (áp dụng cho biến cố xung khắc) − Nếu hai biến cố A, B xung khắc P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − Nếu biến cố A1, A2, A3, An xung khắc P ( A1 ∪ A2 ∪ ∪ An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + + P ( An ) * Quy tắc nhân (áp dụng cho biến cố độc lập) − Nếu A B hai biến cố độc lập P ( AB) = P ( A) P ( B) − Nếu có n biến cố A1, A2, A3, An độc lập P ( A1A2 A3 An ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) Chú ý: Nếu A B độc lập A B độc lập, B A độc lập, B A độc lập ( ) ( ) ( ) ( ) P AB = P ( A) P B Do A B độc lập ta cịn có đẳng thức: P AB = P A P ( B) P AB = P A P B ( ) ( ) ( ) 6) Xác suất biến cố đối ( ) Xác suất biến cố A biến cố A tính P A = 1− P ( A) II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA Dạng 1: Tính xác suất định nghĩa cổ điển Ví dụ Người ta gieo hai xúc xắc đồng chất, có màu khác Tìm xác suất để được: a) Hai số khác b) Tổng hai số c) Tổng hai số lớn Lời giải: Người ta gieo hai xúc xắc đồng chất, có màu khác Ta có: Ω = { ( i, j ) :1≤ i, j ≤ 6} (trong đó, i, j kết xuất xúc xắc) Khi đó, Ω = = 36 Trang a) Gọi A biến cố “Xuất số khác nhau” ⇒ Ω A = 6.5 = 30 ΩA Do ⇒ P ( A) = Ω 30 = 36 = b) Gọi B biến cố “Tổng số 6” Ta có: = 5+ 1= + = 3+ 3⇒ B = { ( 5,1) ;( 4,2) ;( 3,3) ;( 2,4) ;( 1,5) } ΩB Do đó: ⇒ P ( B) = Ω = 36 c) Gọi C biến cố “tổng số lớn 9” ⇒ C = { ( 6,4) ;( 4,6) ;( 5,5) ;( 6,5) ;( 5,6) ;( 6,6) } Do ⇒ P ( C ) = ΩC Ω = = 36 Ví dụ Lớp 11A có 25 đồn viên 10 nam 15 nữ a) Chọn ngẫu nhiên đoàn viên làm thư ký đại hội chi đồn Tìm xác suất để chọn thư kí đồn viên nữ b) Chọn ngẫu nhiên hai đoàn viên chi đoàn để tham dự trại 26/3 Tìm xác suất để hai đồn viên chọn có nam nữ Lời giải: a) Chọn ngẫu nhiên đoàn viên làm thư ký đại hội chi đoàn ⇒ Ω1 = 10+ 15 = 25 Gọi A biến cố “chọn thư kí đồn viên nữ” ⇒ Ω A = C15 = 15 Do đó, P ( A) = ΩA Ω1 = 15 = 25 1 b) Chọn ngẫu nhiên hai đoàn viên chi đoàn ⇒ Ω = C10 + C10.C15 + C15 = 300 1 Gọi B biến cố “chọn đồn viên có nam, nữ” ⇒ Ω B = C10.C15 = 150 Do đó, P ( B) = ΩB Ω2 = 150 = 300 Ví dụ Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ Lời giải: Số cách chọn học sinh lớp là: C25 = 12650 2 Số cách chọn học sinh có nam nữ là: C15.C10 + C15.C10 + C15.C10 = 11075 Xác suất để học sinh gọi có nam nữ là: P = 11075 = 0,8755 12650 Ví dụ Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên gồm chữ số khác Gọi A biến cố “Số tự nhiên chọn gồm chữ số 3, 4, 5, 6” Hãy tính xác suất biến cố A Lời giải: Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên gồm chữ số khác ⇒ Ω = 9.A9 = 9.9.8.7 = 4536 Trang Gọi A biến cố “Số tự nhiên chọn gồm chữ số 3, 4, 5, 6” ⇒ Ω A = A4 = 4.3.2 = 24 Xác suất biến cố A là: P ( A) = ΩA Ω = 24 = 4536 189 Ví dụ Một tổ có học sinh, có nam nữ xếp thành hàng dọc Tính xác suất cho bạn nam phải đứng kề Lời giải: Một tổ có học sinh xếp thành hàng dọc ⇒ Ω = 9! Gọi A biến cố “5 bạn nam đứng kề nhau” ⇒ Ω A = 5!.5! (Cố định bạn nam (5 bạn nam đứng kề có 5! cách xếp), coi bạn nam người xếp với bạn nữ kia, ta lại có 5! cách xếp) Do đó, P ( A) = ΩA Ω = 5!.5! = 9! 126 Ví dụ Một tổ có học sinh, có nam nữ xếp thành hàng dọc Tính xác suất cho khơng có hai bạn nam đứng kề Lời giải: Một tổ có học sinh xếp thành hàng dọc ⇒ Ω = 9! Gọi A biến cố “khơng có hai bạn nam đứng kề nhau” Theo thứ tự đề Nam, nữ, nam, nữ, nam, nữ, nam, nữ, nam Khi đó, Ω A = 4!.5! (Cứ xếp nam riêng, nữ riêng Sau chèn bên lại) Do đó, P ( A) = ΩA Ω = 4!.5! = 9! 126 Ví dụ Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho 10 Lời giải: Trong 30 số có: 15 số lẻ; số chia hết cho 10 (là 10, 20 30) 12 số chẵn lại nên: • 10 Có C30 cách chọn 10 30 • Có C15 cách chọn thẻ mang số lẻ số 15 • Có C31.C12 cách chọn thẻ số chẵn mà có thẻ mang số chia hết cho 10 C15 C31.C12 99 = Vậy nên xác suất tìm là: 10 C30 667 Ví dụ Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất b) Tích hai mặt xuất số lẻ c) Tích hai mặt xuất số chẵn Lời giải: Trang Mỗi gieo súc sắc, xác suất xuất mặt a) Tổng mặt là ( 4;4) ;( 3;5) ;( 5;3) ;( 2;6) ;( 6;2) nên xác suất 1 = 6 36 b) Tích hai mặt số lẻ ⇔ mặt số lẻ mà xác suất gieo súc sắc để mặt lẻ = nên xác suất để mặt lẻ 1 = 2 c) Gọi xác suất tích mặt xuất số lẻ a xác suất để tích hai mặt xuất số chẵn = 1− a = 1− = 4 Ví dụ Gieo hai súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất b) Các mặt xuất có số chấm Lời giải: Phép thử gieo súc sắc: ( 1;1) ;( 1;2) ; ;( 1;6)    ( 2;1) ;( 2;2) ; ;( 2;6)  Không gian mẫu: Ω =   ⇒ n( Ω ) = 36   ( 6;1) ;( 6;2) ; ;( 6;6)    a) Biến cố A: tổng hai mặt xuất nên ta dễ dàng liệt kê được: Ω A = { ( 1;6) ;( 6;1) ;( 2;5) ;( 5;2) ;( 3;4) ;( 4;3) } ⇒ n( Ω A ) = ⇒ xác suất xảy biến cố n( Ω A ) n( Ω ) = = 36 b) Biến cố B: mặt xuất có số chấm nên ta liệt kê được: Ω B = { ( 1;1) ;( 2;2) ;( 3;3) ;( 4;4) ;( 5;5) ;( 6;6) } ⇒ n( Ω B ) = Khi xác suất xảy biến cố n( Ω B ) n( Ω ) = = 36 Ví dụ 10 Một lớp có 30 học sinh, có em giỏi, 15 em em trung bình Chọn ngẫu nhiên em dự đại hội Tính xác suất để: a) Cả em học sinh giỏi b) Có học sinh giỏi c) Khơng có học sinh trung bình Lời giải: Chọn em số 30 em dự đại hội nên không gian mẫu Ω = C30 = 4060 a) Biến cố A: em học sinh giỏi ⇒ Ω A = C8 ⇒ PA = ΩA Ω = C83 = C30 145 Trang 2 b) Biến cố B: có học sinh giỏi nên Ω B = C8.C22 + C8 C22 + C8 C22 = 2520 ⇒ PB = c) Biến cố C: khơng có học sinh trung bình nên ΩC = C23 = 1771⇒ PC = 2520 18 = 4060 29 1771 253 = 4060 580 Ví dụ 11 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số chọn số chẵn Lời giải: { } Ta có: Ω = abc;1≤ a, b,c ≤ Khi đó: Ω = A7 = 7.6.5 = 210 Gọi A biến cố “Chọn ngẫu nhiên số từ S, số chọn số chẵn” ⇒ Ω A = 3.6.5 = 90 Do đó, xác suất để chọn số chẵn P = 90 = 210 Ví dụ 12 Cho số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Gọi X tập hợp số gồm hai chữ số khác lấy từ số Lấy ngẫu nhiên số thuộc X Tính xác suất để: a) Số số lẻ b) Số chia hết cho c) Số chia hết cho Lời giải: X tập hợp số có chữ số khác có dạng ab Khơng gian mẫu: Ω = 6.7 = 42 a) ab số lẻ nên: • b∈ { 1;3;5;7} ⇒ b có cách chọn • a có cách chọn ⇒ có 4.6 số lẻ nên xác suất để số số lẻ 24 = 42 b) ab số chia hết cho nên: số 15, 25, 35, 45, 65, 75 nên có số chia hết cho suy xác suất = 42 c) ab chia hết cho ( a + b) M9 ⇔ ab = { 27;36;45;54;63;72} ⇒ có số thỏa mãn nên xác suất = 42 Ví dụ 13 Một hộp đựng 15 viên bi, có viên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi (không kể thứ tự) khỏi hộp Tính xác suất để viên bi lấy có viên màu đỏ A B 418 455 C 13 D 12 13 Lời giải: Chọn ngẫu nhiên viên bi từ 15 viên bi số cách chọn C15 = 445 Trang Gọi A biến cố “trong viên bi lấy có viên màu đỏ” Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: • TH1: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C81.C72 • TH2: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C82.C71 • TH3: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C83 2 Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A Ω A = C8.C7 + C8 C7 + C8 = 420 Vậy P ( A) = C81.C72 + C82.C71 + C83 12 = C15 13 Chọn D Ví dụ 14 Một tổ gồm em, có nữ chia thành nhóm Tính xác suất để nhóm có nữ A 56 B 27 84 C 53 56 D 19 28 Lời giải: Bước 1: Tìm số phần tử không gian mẫu Chọn ngẫu nhiên em em đưa vào nhóm thứ có số khả xảy C9 Chọn ngẫu nhiên em em đưa vào nhóm thứ hai có số khả xảy C6 Cịn em đưa vào nhóm cịn lại số khả xảy cách 3 Do Ω = C9 C6 1= 1680 Bước 2: Tìm số kết thuận lợi cho A Phân nữ vào nhóm có 3! cách 2 Phân nam vào nhóm theo cách có C6 C4 cách khác ⇒ Ω A = 3!.C62C42.1= 540 → P ( A) = ΩA Ω = 540 27 = 1680 84 Chọn B Ví dụ 15 Một hộp đựng cầu trắng, 12 cầu đen Lần thứ lấy ngẫu nhiên cầu hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên cầu cầu cịn lại Tính xác suất để kết hai lần lấy cầu màu A 14 95 B 48 95 C 47 95 D 81 95 Lời giải: Không gian mẫu lấy cầu hộp cách ngẫu nhiên 1 Suy số phần tử không gian mẫu Ω = C20.C19 Gọi A biến cố “2 cầu lấy màu” Ta có trường hợp thuận lợi cho biến cố A sau: • TH1: Lần thứ lấy màu trắng lần thứ hai màu trắng 1 Do trường hợp có C8.C7 cách Trang • TH2: Lần thứ lấy màu đen lần thứ hai màu đen 1 Do trường hợp có C12.C11 cách 1 1 Suy số phần tử biến cố A ⇒ Ω A = C8.C7 + C12.C11 Vậy xác suất cần tính P ( A) = ΩA Ω = 1 C81.C71 + C12 C11 47 = 1 C20.C19 95 Chọn C Ví dụ 16 Một hộp chứa 12 viên bi kích thước nhau, có viên bi màu xanh đánh số từ đến 5; có viên bi màu đỏ đánh số từ đến viên bi màu vàng đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp, tính xác suất để viên bi lấy vừa khác màu vừa khác số A 33 B 14 33 C 29 66 D 37 66 Lời giải: Không gian mẫu số cách lấy tùy ý viên từ hộp chứa 12 viên bi Suy số phần tử không gian mẫu là: Ω = C12 = 66 Gọi A biến cố “2 viên bi lấy vừa khác màu vừa khác số” • Số cách lấy viên bi gồm: bi xanh bi đỏ 4.4 = 16 cách (do số bi đỏ nên ta lấy trước, có cách lấy bi đỏ Tiếp tục lấy bi xanh không lấy viên trùng với số bi đỏ nên có cách lấy bi xanh) • Số cách lấy viên bi gồm: bi xanh bi vàng 3.4 = 12 cách • Số cách lấy viên bi gồm: bi đỏ bi vàng 3.3 = cách Suy số phần tử biến cố A Ω A = 16 + 12 + = 37 Vậy xác suất cần tính P ( A) = ΩA Ω = 37 66 Chọn D Ví dụ 17 Một hộp chứa 11 viên bi đánh số từ đến 11 Chọn viên bi cách ngẫu nhiên cộng số viên bi rút với Xác suất để kết thu số lẻ A 226 462 B 118 231 C 115 231 D 103 231 Lời giải: Bước 1: Tìm số phần tử khơng gian mẫu Chọn ngẫu nhiên viên bi 11 viên bi số cách chọn Ω = C11 = 462 Bước 2: Tìm số phần tử thuận lợi cho biến cố Gọi A biến cố “Chọn viên bi cộng số viên bi thu số lẻ” Trong 11 viên bi có viên bi mang số lẻ { 1;3;5;7;9;11} viên bi mang số chẵn { 2;4;6;8;10} • TH1: viên bi mang số lẻ viên bi mang số chẵn Số cách chọn trường hợp C6.C5 cách • TH2: viên bi mang số lẻ viên bi mang số chẵn Trang 3 Số cách chọn trường hợp C6 C5 cách • TH3: viên bi mang số lẻ viên bi mang số chẵn Số cách chọn trường hợp C6 C5 cách 3 Suy n( A) = C6.C5 + C6 C5 + C6 C5 = + 200+ 30 = 236 ΩA ⇒ Ω A = 3!.C62C42.1= 540 → P ( A) = = Ω 236 118 = 462 231 Chọn B Ví dụ 18 Trong hộp có 50 viên bi đánh số từ đến 50 Chọn ngẫu nhiên viên bi hộp, tính xác suất để tổng ba số viên bi chọn số chia hết cho A 816 1225 B 409 1225 C 289 1225 D 936 1225 Lời giải: Không gian mẫu số cách chọn ngẫu nhiên viên bi từ hộp chứa 50 viên bi Suy số phần tử không gian mẫu Ω = C50 = 19600 Gọi A biến cố “3 viên bi chọn số chia hết cho 3” Trong 50 viên bi chia thành loại gồm: 16 viên bi có số chia hết cho 3; 17 viên bi có số chia cho dư 17 viên bi lại có số chia cho dư Để tìm số kết thuận lợi cho biến cố A, ta xét trường hợp: ( ) • 3 TH1: viên bi chọn loại, có C16 + C17 + C17 cách • 1 C17 C17 TH2: viên bi chọn có viên loại, có C16 cách ( ) 3 1 Suy số phần tử biến cố A Ω A = C16 + C17 + C17 + C16.C17.C17 = 6544 Vậy xác suất cần tính P ( A) = ΩA Ω = 6544 409 = 19600 1225 Chọn B Ví dụ 19 Cho tập hợp A = { 0;1;2;3;4;5} Gọi S tập hợp số có chữ số khác lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn có chữ số cuối gấp đơi chữ số đầu A B 23 25 C 25 D Lời giải:  a, b,c ∈ A  Gọi số cần tìm tập S có dạng abc Trong đó:  a ≠  a ≠ b;b ≠ c;c ≠ a  Khi đó: • Số cách chọn chữ số a có cách chọn a ≠ • Số cách chọn chữ số b có cách chọn b ≠ a • Số cách chọn chữ số c có cách chọn c ≠ a c ≠ b Trang Do tập S có 5.5.4 = 100 phần tử Khơng gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu Ω = C100 = 100 Gọi X biến cố “Số chọn có chữ số cuối gấp đơi chữ số đầu” Khi ta có số 1b2 2b4 thỏa mãn biến cố X b có cách chọn nên có tất số thỏa yêu cầu Suy số phần tử biến cố X Ω X = Vậy xác suất cần tính P ( X ) = ΩX Ω = = 100 25 Chọn C Ví dụ 20 Cho tập hợp A = { 2;3;4;5;6;7;8} Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác lập thành từ chữ số tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn mà số ln có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ A B 35 C 17 35 D 18 35 Lời giải: Số phần tử tập S A7 = 840 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu Ω = C840 = 840 Gọi X biến cố “Số chọn ln ln có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ” • Số cách chọn hai chữ số chẵn từ bốn chữ số 2; 4; 6; C42 = cách • Số cách chọn hai chữ số lẻ từ ba số 3; 5; C32 = cách • Từ bốn chữ số chọn ta lập số có bốn chữ số khác nhau, số cách lập tương ứng với hoán vị phần tử nên có 4! cách 2 Suy số phần tử biến cố X Ω X = C4 C3 4! = 432 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = ΩX Ω = 432 18 = 840 35 Chọn D Ví dụ 21 Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đôi khác lập thành từ chữ số 1; 2; 3; 4; Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn chia hết cho A 10 B C D 15 Lời giải: Số phần tử S A5 = 60 Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu Ω = C60 = 60 Trang 10 ... súc sắc, xác suất xuất mặt a) Tổng mặt là ( 4;4) ;( 3;5) ;( 5;3) ;( 2;6) ;( 6;2) nên xác suất 1 = 6 36 b) Tích hai mặt số lẻ ⇔ mặt số lẻ mà xác suất gieo súc sắc để mặt lẻ = nên xác suất để mặt... 8: Theo quy tắc cộng nhân xác suất ta có điều xảy với xác suất: C32.( 0.2) ( 0.15) • viên trúng 9, viên trúng 10: Theo quy tắc cộng nhân xác suất ta có điều xảy với xác suất: C32.( 0.25) ( 0.2)... giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ Lời giải: Số cách chọn học sinh lớp là: C25 = 12650 2 Số cách chọn học sinh có nam nữ là: C15.C10 + C15.C10 + C15.C10 = 11075 Xác suất để học sinh