Tài liệu Bài giảng số phức ppt

Số phức 1.1 Khái niệm về số phức Ta biết rằng lũy thừa chẵn của mỗi số thực đều không âm, do đó trong tập hợp R không thể khai căn bậc chẵn của một số âm.. Dạng đại số Cách viết z = a +

Số phức

1.1 Khái niệm về số phức

Ta biết rằng lũy thừa chẵn của mỗi số thực đều không âm, do đó trong tập hợp R không thể khai căn bậc chẵn của một số âm Ví dụ: phương trình x2 + 1 = 0 vô nghiệm thực.Vì vậy, ta đưa một lớp số mới vào nhằm mở rộng trường số thực

1.1.1 Định nghĩa số phức:

1 Ta định nghĩa phần tử i sao cho i2 = - 1 gọi là đơn vị ảo

2 Biểu thức z = a + bi với a, b ∈ R gọi là một số phức; a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo Ký hiệu a = Rez, b = Imz Như vậy z = a + bi = Rez + i(Imz)

3 Tập hợp các số phức được ký hiệu là C

4 Nếu a = 0 thì z = bi gọi là số thuần ảo; b = 0 thì được số thực z = a

5 Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau, tức là: a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d

6 Cho số phức z = a + bi Số phức a + (-b)i = a – bi gọi là số phức liên hợp của z, ký hiệu z Khi đó: số phức liên hợp của z là z

1.1.2 Các dạng biểu diễn của số phức

1 Dạng đại số Cách viết z = a + bi còn gọi là dạng đại số hay dạng nhị thức của số

phức

2 Biểu diễn hình học: Mọi số phức z = a + bi đều có thể biểu diễn trên mặt phẳng

Oxy dưới dạng điểm A(a,b) với hoành độ a và tung độ b, và ngược lại, mọi điểm M(a,b)

của mặt phẳng Oxy đều có thể xem như là ảnh của số phức a + bi

Nếu z = a: Thì M(a,0) nằm trên trục Ox Vì vậy, trục Ox còn được gọi là trục thực

Nối điểm A(a,b) với gốc tọa độ, ta được vectơ OAuuur

Trong nhiều trường hợp, người ta xem vec tơ OAuuur

như là biểu diễn hình học của số phức z = a + bi

3 Dạng lượng giác của số phức

Cho số phức z = a +bi và OAuuur

là vectơ biểu diễn hình học của z trên mặt phẳng xOy Khi đó:

Độ dài r = OAuuur

của vectơ OAuuur

được gọi là mođun của số phức z, ký hiệu là |z| Hiển

nhiên ta có:

|z | ≥ 0, ∀ z ∈ C, |z | = 0 ⇔ z = 0 Bây giờ giả sử z ≠ 0, tức là OAuuur

≠ 0r Góc định hướng giữa tia Ox

và vectơ OAuuur

(đo bằng radian) ϕ = ( )Ox OA·,uuur

được gọi là argument của số phức z, ký hiệu là Argz Argz không duy nhất

Do đó: z = a + bi = r(cosϕ + isinϕ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z

Sự liên hệ giữa dạng đại số z = a + bi và dạng lượng giác z = r(cosϕ + isinϕ)

Ta có: r = 2 2

a +b , ϕ = tg (b/a) , nếu a ≠ 0 a = rcosϕ ; b = rsinϕ

Từ định nghĩa của số phức liên hợp z của z và biểu diễn hình học của z, ta có:

|z| = | z |; argz = - argz

Ví dụ:

1 r(cosϕ - isinϕ) có phải là dạng lượng giác của số phức z?

2 Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác

3 (3 –i)(14 +2i); (2+3i)/ (1 - 4i); (1 + 2i)2/1-i

4 (1 + i)9/(1 – i )7 ; 1 + (1+i) + (1+i)2 + + (1+i)99

5 Tìm modun của các số phức sau:

4(1 )(1 6 )(2 7 )

i

+

1.3 Phép nâng lên lũy thừa và phép khai căn số phức

1.3.1 Nâng lên lũy thừa

Từ công thức (3) của mục trên, suy ra rằng nếu n là một số nguyên dương thì:

[r(cosϕ + isinϕ)]n = rn (cosnϕ + isinnϕ)

Công thức này gọi là công thức Moivre Nó chứng tỏ rằng khi nâng một số phức lên lũy thừa nguyên dương thì môđun được nâng lên lũy thừa đó và argument bị nhân với

số mũ của lũy thừa

Áp dụng của công thức Moivre:

Trong công thức đặt r = 1, ta được

(cosϕ + isinϕ)n = (cosnϕ + isinnϕ) Khai triển vế trái theo công thức của nhị thức Newton và so sánh phần thực và phần

ảo của hai vế, ta có thể biểu diễn sinnϕ và cosnϕ theo luỹ thừa của cosϕ và sinϕ

Chẳng hạn với n = 3: ta có:

VT = cos3ϕ + i.3cos2ϕsinϕ - 3cosϕsin2ϕ - isin3ϕ

VP = cos3ϕ + isin3ϕ

Do đó: cos3ϕ = cos3ϕ - 3cosϕsin2ϕ = -3cosϕ + 4 cos3ϕ

sin3ϕ = -sin3ϕ + 3cos2ϕsinϕ = 3sinϕ - 4 sin3ϕ

1.3.2 Phép khai căn

Căn bậc n của một số phức mà lũy thừa bậc n bằng số dưới căn: n n

z = ⇔w w =z Hay: n r(cosϕ+isin )ϕ =ρ(cosθ+isin )θ

(cos sin ) n(cos sin )

Từ đó: ρ = n

r; θ = k2

n

ϕ+ π ; k là số nguyên tùy ý

Cho k các giá trị 0,1,2, , n-1, ta được n giá trị khác nhau của căn

Vậy căn bậc n của một số phức có n giá trị khác nhau

Căn bậc n của số thực A khác 0 cũng có n giá trị vì số thực là một trường hợp đặc biệt của số phức và có thể viết dưới dạng lượng giác:

Nếu A > 0 thì A = |A| (cos0 + isin0)

Nếu A < 0 thì A = |A| (cosπ + isinπ)

−+

Bài 2 Tìm các số thực x,y sao cho:

1 (1- 2i)x + (-3 + 4i)y = -1 -3i 2 (2+i)x – (3+5i) = 1 +3i

3 (2 - 3i)x +(1+3i)y = x + 5iy 4 (3-2i)x – (4+5i)y = 2y + 3ix

Bài 3: Tìm |z| (modun của số phức) nếu :

1 ( 1 + i)( 3 +i) 2 1

3

i i

i i i

Bài 2 ÔN TẬP VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

t t

e

t t

2

1cos1lim 2

→ t

t t

t→∞ =0,∀

t

t p

0 0

=

= →

x x x

0 0

x g x

f

x x x

x

x g

x f x

→ '( )

)('lim

0

x g

x f x

→ ( )

)(lim

0

3 Giới hạn dạng: [ ] ( )

)(lim

0

x g x

x f x

→

x x x

(a,b hữu hạn) thì [ ] ( )

)(lim

0

x g x

x f x

2 [ ]( )

)(lim

0

x v x

)(lim

0

x v x

x u x

→ = e a

)(lim

0

x g x

x f x

→ có dạng 1 ∞ Khi đó:

[ ] ( ))(lim

0

x g x

x f x

0

( ) 1 ( ) 1

( ) 1lim 1 ( ( ) 1)

1lim 2

x x

1)31)(

21)(

1(lim0

−++

+

→

5 0

)51()1(lim

x x

x x

+

−+

1

3lim

3 2

−++

x x x x

5 2

1

1 ( 1)

)1(lim

−

++

−

+

n x n

31

1lim

x x

3 3

lim

a x

a x a x a

−+

−

→

4

23

711

x x

∞

x x x

2

12

2lim

2

1

1lim

x tg

Ví dụ: xm, sinx, tgx, ln(1+x), (1-cosx) là các VCB khi x → 0

Ta cũng có khái niệm VCB cho quá trình x → ∞ thay vì quá trình x → xo.

Quy ước: quá trình x → ∞ hay x → xo ta gọi chung là trong 1 quá trình

x f

Nếu k = 0 thì f là VCB bậc lớn hơn g Ký hiệu: f = o(g)

Nếu k = ±∞ thì g là VCB bậc lớn hơn f Ký hiệu g = o(f)

Nếu k ≠0, k ≠ ±∞ thì f, g là haiVCB cùng bậc Đặc biệt, nếu k =1 thì ta nói f, g là VCB tương đương Ký hiệu: f ~ g

Nếu không tồn tại giới hạn thì ta nói f, và g không so sánh được với nhau

Ví dụ:

1 1 – cosx và x2 là hai VCB ngang cấp khi x → 0

2 1 – cosx là VCB cấp cao hơn x khi x → 0

lim

Tính chất 2: Nếu α(x) = o(β(x)) trong 1 quá trình thì α(x) + β(x) ~ β(x)

Như vậy tổng của hai VCB tương đương với VCB có cấp thấp hơn

Ví dụ:

1.

2 0

1 cos5 lim

sin 2

x

x x

sin lim

1 Giả sử t là lượng VCB So sánh các lượng VCB: u = 5t2 + 2t5 và v = 3t2 +2t3

2 So sánh các VCB u = tsin2t và v = 2tsint khi t → 0

lim

tgx

x x x

+

x tg

x

121lim

0

−+

)21(ln

3sinlim 2

1lim

cosln

lim

1 1

1(

1)1(lim

−+

x

2516

238lim

4 3

−+

x

)4

31ln(

)231

ln(

3 2

x x x

+

−+

→

j

2 1

arcsin

1 lim

x

x x x

→

−

2 1

2

lim arcsin(1 2 )

Bài 4 Công thức khai triển Taylor – Maclaurinh

1 Công thức khai triển Taylor:

Giả thiết hàm số y = f(x) có tất cả các đạo hàm đến cấp n + 1 (kể cả đạo hàm cấp

n + 1) trong một khoảng nào đó chứa điểm x = a

Hãy xác định một đa thức y = Pn(x) bậc n mà giá trị của nó tại x = a bằng giá trị f(a)

và giá trị của các đạo hàm đến hạng n của nó bằng giá trị của các đạo hàm tương ứng của

hàm số f(x) tại điểm đó Nghĩa là:

Trước hết, ta tìm các đạo hàm của P n (x)

1 ''

2

( )

( )( )( ) 2.1

( )

( )'( )''( ) 2.1

0 1 2

( )

( )'( )1 ''( )2!

1 ( )

!

n n

n

R n (x) gọi là số hạng dư – đối với những giá trị

x làm cho số hạng dư R n (x) bé, thì khi đó đa thức

P n (x) cho biểu diễn gần đúng của hàm số f(x)

Do đó, công thức (6) cho khả năng thay

hàm số y = f(x) bằng đa thức P n (x) với độ chính xác tương ứng bằng giá trị của số hạng dư R n (x)

Ta xét, hàm số phụ theo biến t (t là giá trị nằm giữa a và x)

Vậy hàm số F(t) có đạo hàm tại mọi điểm t gần điểm có hoành độ a

Ngoài ra, từ công thức (8) ta có : F(x) = 0 và F(a) = 0

Vì vậy, áp dụng công thức Rolle cho hàm số F(t) , tồn tại một giá trị t = ξ nằm giữa

( 1)!

n n n

1 ( 1)

( 1)!

n n n

( )

1 ( 1)

gọi là công thức Taylor của hàm số f(x)

Nếu trong công thức Taylor, đặt a = 0 thì nó viết dưới dạng:

là công thức xấp xỉ hàm f(x) thành đa thức bậc n tại x = 0, với số dư R n (x) – được gọi là

công thức khai triển Maclaurinh

Tóm lại, ta có định lý sau:

Nếu hàm số y = f(x) có các đạo hàm f’(x), f’’(x), f (n) (x) liên tục tại điểm x o và có đạo hàm

f (n+1) (x) trong lân cận của x o thì tại lân cận đó ta có công thức khai triển:

) 1 ( )

( 2

)(

!

)()

(

!

)(

)(

!2

)('')(

!1

)(')

+

−+

−+

+

−+

−

o

n n o o

n o

o o

o

n

c f x x n

x f x

x x f x x x f x

f

(c ở giữa x o và x, c= x o + a(x-x o ), 0 < a <1) Công thức này gọi là công thức khai triển Taylor cấp n, số hạng của cùng gọi là số hạng dư của nó Đặc biệt x o = 0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin (công thức khai triển tại lân cận x o = 0):

!

)(

!

)0(

!2

)0(''

!1

)0(')0

) 1 ( )

x n

x f

x n

f x

f x f f

2 Các khai triển Maclaurin quan trọng:

x o k

x

0

)(

!

)!

12()1(

!5

!3

1 2 1

2 1 5

m m

x o m

x x

k

x o k

x

1

1 2 1

2 1

)()!

12()1(

)!

2()1(

!4

!2

2 4

2

m m

m

x o m

x x

k

x o k

x

0

2 2

)()!

2()1(

432

1 4

3 2

n n

n

x o n

x x

x x

!

)1) (

1(

!2

)1(

x o x n

n x

3 Bài tập:

Bài 1:

a. Khai triển đa thức x4 – 5x3 + 5x2 + x + 2 thành lũy thừa của ( x – 2)

b. Khai triển đa thức x5 + 2x4 - x2 + x + 1 thành lũy thừa của ( x + 2)

c. Khai triển hàm số f(x) = sinx tới số hạng x4 tại lân cận xo = π/4

d. Khai triển hàm số y = xvới xo = 1 và n = 3

Bài 2: Viết khai triển các hàm sau đây theo lũy thừa nguyên dương của biến x đến

số hạng cấp cho trước

60 40

100)21()21(

1

x x

x

+

−+

đến số hạng

5 3 3 2

312

1− x+x − − x+x đến số hạng x3

6 tgx đến số hạng x5

)1

2

n

x x

x

n

+++

2

x

− với độ chính xác 0,0001?

Bài 5: Dùng công thức Taylor tính gần đúng

1 3

250 2 sin(18o) 3 (1,1)1,2 và ước lượng sai số

Bài 6: Sử dụng khai triển để tính các giới hạn sau:

1

21

sin

x e

x x x x

)sin(

2lim

x

x x tgx x

11lim

3

x e

x x

x 6 →∞ −  + 

x x

x x

11ln

TÍCH PHÂN PHÂN THỨC HỮU TỶ

1 Lấy tích phân các phân thức hữu tỷ sơ cấp:

Phân thức hữu tỷ là phân thức có dạng: ( )

( )

P x

Q x , trong đó P(x), Q(x) là các đa thức Phân thức hữu tỷ được gọi là thật sự nếu degP(x) < degQ(x)

Phân thức hữu tỷ sơ cấp là các phân thức thật sự có dạng:

x px q

++ + , tam thức bậc hai x

2 + px + q không có nghiệm thực

2 Xét tích phân ở 3 dạng đầu tiên

p q

Q x = −x a α x b− β x +px+q x + +lx s , (a, b là các nghiệm thực, x 2 + px + q và x 2 + lx + s không có nghiệm thực, α, β, m n là các số tự nhiên) thì:

- 1/ Nhân hai vế cho Q(x), rút gọn các số hạng đồng bậc ở vế phải, sau đó cho đồng nhất hệ số hai vế

- 2/ Sau khi nhân hai vế cho Q(x), ta cũng có thể cho x các giá trị khác nhau

để xác định giá trị của các hệ số

Ví dụ: Phân tích phân thức hữu tỷ:

2

5 21

Trong đó: Q1(x) là ước chung lớn nhất của Q(x) và Q’(x); Q2(x) = Q(x) : Q1(x);

P1(x) và P2(x) là những đa thức có hệ số chưa xác định, bậc của chúng lần lượt kém bậc của Q1(x) và Q2(x) 1 bậc

Các hệ số của P1(x), P2(x) được tính bằng phép lấy vi phân của (5)

x dx

2

dx x

Bài 5 Tích phân hàm vô tỉ

− + + +

∫

3 Xét tích phân dạng: ∫x m(a+bx n)p dx m n p, ( , , ∈Q a b; , ∈R) (tích phân nhị thức vi phân)

Tích phân chỉ có nguyên hàm nếu rơi vào 1 trong 3 trường hợp sau:

1 p ∈ Z Đặt x = tS s là mẫu số chung của m và n

+

( )10 4

Ví dụ:

3 2

- Nếu R(sinx,cosx) là hàm lẻ đối với sinx, Đặt t = cosx

- Nếu R(sinx,cosx) là hàm lẻ đối với cosx, Đặt t = sinx

- Nếu R(sinx,cosx) là hàm chẵn đối với cosx và sins, Đặt t = tgx

1

dx x

1

x dx x

2 2

dx

+ + +

1 2x− −x dx

∫

Thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a;+∞)

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng ( )

a

f x dx

+∞

∫ là hội tụ Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy

1.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường hợp f(x) ≥ 0

1 1

xdx x

Thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng loại 2 của f(x) trên [a;b]

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng ( )

b

a

f x dx

∫ là hội tụ Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy

−∫ − là hội tụ;

Xét sự hội tụ của các tích phân:

1

2 0

arcsin1

xdx x

∫ hội tụ với α < 1 và phân kỳ với α≥ 1

2.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường hợp f(x) ≥ 0

Xét sự hội tụ của các tích phân:

sin 0

ln(1 )

1

x

x dx e

+

−

∫

x dx x

sin 3

1

xdx x

arctg xdx

x + x