AMROB JOURNAL VOL 2 NO 1

ISSN :  2007 ‐ 7114  Vol. 2, No. 1  Febrero 2014  Editor–in–Chief  Dr. Karla Anhel Camarillo–Gómez  Departamento de Ingeniería Mecánica  Ins4tuto Tecnologico de Celaya    Co–Editor–in–Chief  Dr. Ulises Zaldívar–Colado  Facultad de Informá4ca  Universidad Autónoma de Sinaloa    Assistant Editor  Dr. Gerardo Israel Pérez–Soto  Facultad de Ingeniería  Universidad Autónoma de Querétaro    Advisory Board  M. C. Javier Campos Manríquez  (FANUC Robo4cs, México)  Dr. Ambrocio Loredo–Flores   (UASLP – COARA, México)  Dr. Rafael Kelly–MarΚnez   El presente ejemplar de la revista AMRob Journal, Robotics: Theory and Applications, se crea la finalidad de promover y difundir las investigaciones de estudiantes, investigadores, acadŽmicos y profesionistas de las instituciones, universidades y centros de investigaci—n nacionales e internacionales que cada a–o participan en el Congreso Mexicano de Rob—tica, as’ la Asociaci—n Mexicana de Rob—tica e Industria, A C ayuda al crecimiento cient’fico Ð tecnol—gico de MŽxico Los trabajos presentados ejemplifican la generaci—n del conocimiento b‡sico o su aplicaci—n en la creaci—n de innovaciones y mŽtodos que favorecen el desarrollo cient’fico Ð tecnol—gico que se debe seguir inventivando y favoreciendo como Asociaci—n Mexicana de Rob—tica e Industria, A C (AMRob) ƒste es el compromiso Žtico y moral del pa’s Mexicano, esto es lo que a la Junta Directiva de AMRob 2011 Ð 2014, le compete El presente nœmero contiene los art’culos las diferentes tem‡ticas en torno a la rob—tica   Octubre 2013  Consejo Editor  (CICESE, México)  Dr. Víctor Adrián SanΝbáđez–Dávila   (Ins4tuto Tecnológico de la Laguna, México)  Dr. Emilio J. González Galván  (Universidad Autónoma de San Luis Potosí, México)  Dr. Rubén Alejandro Garrido– Moctezuma  (CINVESTAV – IPN, México)  Dr. J. Alfonso Pámanes–García  (Ins4tuto Tecnológico de la Laguna, México)  Dr. Juan Manuel Ibarra–Zannatha  (FANUC Robo4cs, México)  Dr. José María Rico – MarΚnez   (DICIS – Universidad de Guanajuato, México)  Dr. J. Jesús Cervantes Sánchez  (DICIS – Universidad de Guanajuato, México)  Dr. Carl Crane Jr.  (University of Florida, USA)  Dr. Andreas Müller  (University of Michigan – Shanghai Jiao Tong University  Joint Ins4tute, Shanghai People’s Republic of China)  Dr. EΤychios Christoforou  (KIOS – University of Cyprus, Cyprus)      O 2, NO. 1  PUBLICACIĨN TRIMESTRAL: ENERO – MARZO 2014  EDITADA POR: LA ASOCIACIĨN MEXICANA DE ROBĨTICA E INDUSTRIA, A. C.  CON  DIRECCIĨN  EN  CIRCUITO  REAL  DE  MINAS  115,  COL.  GRAN  CLASE,  CELAYA,  GUANAJUATO,  MÉXICO,  C.  P.  38018,  TEL:  +52  (461)  611  –  9114.  PÁGINA: www. amrob.org, Email: amrob.editorial@gmail.com  EDITOR  RESPONSABLE:  KARLA  ANHEL  CAMARILLO  GÓMEZ,  RESERVA  DE  DERECHOS AL USO EXCLUSIVO NO. 04 – 2012 – 112709581000 – 102, ISSN:  2007  –  7114,  AMBOS  OTORGADOS  POR  EL  INSTITUTO  NACIONAL  DEL  DERECHO DE AUTOR (INDAUTOR).  SE TERMINĨ DE IMPRIMIR EL DÍA 10 DE FEBRERO DE 2014 CON UN TIRAJE  DE 500 EJEMPLARES.  LAS  OPINIONES  EXPRESADAS  POR  LOS  AUTORES  NO  NECESARIAMENTE  REFLEJAN  LA  POSTURA  DEL  EDITOR  DE  LA  PUBLICACIÓN.  QUEDA  ESTRICTAMENTE PROHIBIDA LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL DE LOS  CONTENIDOS E IMÁGENES DE LA PUBLICACIĨN SIN PREVIA AUTORIZACIĨN  DE LA ASOCIACIĨN MEXICANA DE ROBĨTICA E INDUSTRIA, A. C.  La  Asociación  Mexicana  de  RobóΝca  e  Industria  A.C.  te  invita  a  parΝcipar en el XVI Congreso Mexicano de RobóΝca – COMRob  2014.  El  congreso  se  llevará  a  cabo  en  la  ciudad  y  puerto  de  Mazatlán del 6 al 8 de Noviembre de 2014, teniendo como sedes  a  la  Universidad  Autónoma  de  Sinaloa,  la  Universidad  de  Occidente y la Universidad Politécnica de Sinaloa.     El XVI COMRob 2014 es un evento organizado por la Asociación  Mexicana de RobóΝca e Industria A.C. (AMRob), teniendo como  objeΝvo  el  difundir  y  promover  la  robóΝca.  Este  evento  atrae  invesΝgadores,  profesionales,  industriales  y  estudiantes  de  los  diversos  niveles  académicos  con  los  objeΝvos  de  presentar  los  avances  y  resultados  de  sus  proyectos  educaΝvos,  de  invesΝgación, desarrollo tecnológico y aplicaciones industriales.      Visita la página del evento:  www.comrob.org    Síguenos en Facebook  hϖps://www.facebook.com/AMRob2012  Pág.  1             Pág.  7           Pág.  15     Pág.  23       Síntesis dimensional de un mecanismo de    eslabones ar2culados para un exoesqueleto de   rodilla   Folyn Yong Primero, J. Alfonso Pámanes G.,   Víctor San2báđez D.     Esquema de control de impedancia adaptable    para tareas de interacción humano–robot   Diana E. Hernández–Alfaro, Isela Bonilla, Daniel U.   Campos–Delgado, Marco Mendoza   Sincronización de robots móviles 2po (2,0) en    2empo discreto   O. Marςnez–Zúđiga, M. Velasco–Villa?, R. Castro–Linares   Diso de estrategias de control para caminantes    basados en bípedos pasivos   Rafael Stanley Núđez Cruz, Juan Manuel Ibarra Zannatha  AMRob Journal, Robotics: Theory and Applications Asociación Mexicana de Robótica e Industria, A C Síntesis dimensional de un mecanismo de eslabones articulados para un exoesqueleto de rodilla Regular Paper Folyn Yong Primero, J Alfonso Pámanes G.⋆ , Víctor Santibáđez D.* ⋆ Corresponding author E-mail: apamanes@itlalaguna.edu.mx Received: october 2013; Available online: 15 de february 2014 © 2014 ; licensee AMRob This is an article distributed under the terms of the Instituto Nacional del Derecho de Autor (www.indautor.gob.mx), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited Abstract Se presenta una formulación para la resolución del problema de síntesis dimensional del mecanismo de un grado de libertad que se utiliza en un exoesqueleto de rodilla El enfoque propuesto se basa en un criterio ergonómico que permite plantear el problema de síntesis como uno de minimización del error del movimiento relativo entre los eslabones de salida y fijo del mecanismo, respecto al movimiento relativo que existe entre el muslo y la pierna del usuario del exoesqueleto La respuesta que suministra el mecanismo sintetizado reproduce de manera satisfactoria el movimiento deseado Keywords Exoesqueleto, rodilla, síntesis dimensional, mecanismos Introducción Un exoesqueleto es un mecanismo de eslabones rígidos articulados, de arquitectura antropomorfa, unido a las extremidades de un ser humano, cuya movilidad le permite seguir los movimientos de éste Así, el exoesqueleto tiene un comportamiento cinemático similar * Folyn Yong (folynyong@hotmail.com) es estudiante de maestría de la División de Estudios de Posgrado e Investigación (DEPI) del Instituto Tecnológico de la Laguna (ITLag), Alfonso Pámanes (apamanes@itlalaguna.edu.mx) y Víctor Santibáđez (vsantiba@itlalaguna.edu.mx) están adscritos a la DEPI Alfonso Pámanes, además está adscrito al Departamento de Metal-Mecánica del ITLag Blvd Revolución y Calz Cuauhtémoc, Torreón, Coah México CP 27000 www.amrob.org al del esqueleto del usuario, pero en el exterior de su cuerpo Mecanismos de este tipo pueden diseñarse para cubrir total o parcialmente el cuerpo del usuario Suelen usarse como interfaces para tele-operación de manipuladores, y para la operación de sistemas de realidad virtual; también se aplican como mecanismos auxiliares para la rehabilitación y la asistencia a pacientes limitaciones físicas, o para la amplificación de la fuerza del usuario en aplicaciones industriales y militares Uno de los trabajos precursores, relativo al diseño mecánico de una órtesis de rodilla, fue desarrollado por Walker et al [1]; utiliza un mecanismo de leva de disco, y su diseño se basa en el comportamiento cinemático de piernas normales de humanos durante movimientos de flexión / extensión Los datos utilizados se obtuvieron experimentalmente El mecanismo es pasivo y, bajo el diseño actual, no es posible utilizarlo como exoesqueleto para la rehabilitación de pacientes, ni para la amplificación de fuerza En [2], por otra parte, se presentó el RoboKnee, un exoesqueleto para aumentar la potencia física y la tenacidad del usuario durante la marcha El mecanismo del RoboKnee es energizado tanto por el usuario mismo como por un actuador eléctrico, y arrastra al muslo y a la pierna para producir los movimientos de flexión y extensión requeridos durante la marcha El exoesqueleto incluye dos mecanismos idénticos que operan en planos paralelos: uno en la parte interna de la pierna y otro en la externa; ambos actuados por el mismo motor Un atributo AMRob Journal, ISSN: 2007–7114, Vol 2, 1:2014 interesante de este mecanismo se refiere a la facilidad la que permite detectar la intención de movimiento del usuario Una vez detectada ésta, el actuador externo suministra la mayor parte de la potencia requerida para producir el desplazamiento relativo entre muslo y pierna, aún si la carga del usuario es grande Esta característica hace atractivo al RoboKnee para la amplificación de la fuerza de un usuario piernas sanas Otro exoesqueleto fue propuesto en [3], el cual emplea un mecanismo similar al del RoboKnee Los autores, sin embargo, proponen un sistema de actuación cuasi-pasivo, que no incorpora energía adicional a la rodilla, y que almacena y entrega energía mediante un resorte que se habilita y deshabilita activamente en paralelo la articulación biológica Estas características lo hacen interesante para asistir a un usuario durante el trote Aguirre-Ollinger et al., por otra parte, presentaron un método de control que produce una compensación aproximada de la inercia del exoesqueleto [4] La conexión entre el eslabón unido al muslo y el unido a la pierna en este dispositivo se produce mediante una articulación rotacional, por lo que el movimiento relativo entre esos eslabones no armoniza el movimiento natural de la extremidad del usuario y, en consecuencia, el mecanismo resulta inapropiado para su uso en rehabilitación de pacientes Dung Cai et al [5] desarrollaron un exoesqueleto de rodilla cuyo sistema mecánico es de seis articulaciones (una activa y cinco pasivas), y tiene capacidad para proporcionar un movimiento relativo entre muslo y pierna similar al que se produce de manera natural en una persona Debido a las características mecánicas de este dispositivo, su aplicación no estaría indicada para la rehabilitación de pacientes cuyas extremidades deberían ser forzadas a efectuar movimientos naturales En el presente artículo se propone un mecanismo para el exoesqueleto de rodilla que se desarrolla en el Instituto Tecnológico de la Laguna (ITLag); se trata de dos cadenas cinemáticas 4R que son accionadas por un solo motor, y cuyos eslabones acopladores son interconectados Se resuelve el problema de síntesis dimensional de este mecanismo El enfoque propuesto para la síntesis se basa en un criterio ergonómico, y se traduce en un problema de minimización del error del movimiento relativo entre el eslabón de salida y el eslabón fijo del mecanismo, respecto al movimiento relativo que existe en el plano sagital entre el muslo y la pierna del usuario del exoesqueleto La respuesta que suministra el mecanismo sintetizado reproduce de manera satisfactoria el movimiento deseado Biomecánica de la rodilla La rodilla desempa una función fundamental en la mecánica del cuerpo humano Cuando la persona está de pie, la articulación de la rodilla se bloquea manteniendo al cuerpo en equilibrio un consumo prácticamente nulo de energía Durante la marcha, en contraste, el funcionamiento de la rodilla asegura la movilidad necesaria entre el muslo y la pierna (parte de la extremidad inferior entre la rodilla y el tobillo), y contribuye simultáneamente al equilibrio de la persona Múltiples trabajos científicos han reportado diversos aspectos de la mecánica de la rodilla v.gr [1], [6]-[10] El movimiento relativo entre la pierna y el muslo de una extremidad AMRob Journal, Vol 2, 1:2014 inferior no es una simple rotación en un plano; se trata de un movimiento complejo en el que ocurren de manera simultánea una rotación y una traslación 3D entre ambas partes Durante el movimiento de flexión de la extremidad inferior, el ángulo entre la pierna y el muslo se reduce gradualmente, mientras que en la extensión la magnitud de dicho ángulo se incrementa Los músculos que intervienen en la flexión son: el semimembranoso, el semitendinoso, el bíceps femoral, el sartorio, y los gemelos medial y lateral Los músculos que actúan en la extensión son los cuádriceps medial, intermedio y lateral [9] La amplitud máxima de la flexión de la extremidad puede variar dependiendo de la flexibilidad de la persona Forner-Cordero et al [9] proporcionan los siguientes valores de esta amplitud: 120◦ si la cadera está extendida, 140◦ si la cadera está flexionada, y 160◦ , si se obliga la extremidad a flexionarse mediante la aplicación de una fuerza externa a la pierna Mecanismo propuesto para el exoesqueleto El esquema cinemático del mecanismo propuesto se muestra en la Figura (a); a este mecanismo le llamaremos Yong-1 Se trata de dos cadenas cinemáticas 4R en paralelo que comparten el eslabón conductor Los eslabones acopladores de ambas cadenas se interconectan mediante los eslabones P1 − Q y P2 − Q que, a su vez, están unidos mediante una articulación prismática Q La primera cadena cinemática es la ABCDEP1 , y la segunda es la ABFDHP2 , de la Figura (a) El eslabón acoplador de la primera cadena es el CDEP1 , y el de la segunda es el FDHP2 El eslabón AB se une rígidamente a la pierna, mientras que los puntos P1 y P2 del mecanismo se conectan a una abrazadera que se sujeta al muslo En las figuras (b) y (c) se aprecian los diagramas vectoriales que se utilizan para el modelado matemático del mecanismo Este mecanismo deberá operar en el plano sagital, de tal manera que el movimiento relativo entre el eslabón unido al muslo y el eslabón unido a la pierna del usuario reproduzca el movimiento natural de la extremidad en dicho plano un error suficientemente pequeño Para ello, el punto P1 del mecanismo deberá seguir la ruta de un punto P1∗ , del muslo del usuario del exoesqueleto y, simultáneamente, el punto P2 del mecanismo describirá la ruta del punto P2∗ del muslo La articulación actuada de las dos cadenas del mecanismo es la A Ambas cadenas cinemáticas deberán dimensionarse de tal manera que se verifiquen las rutas deseadas de P1 y de P2 éste, como se observa, es un problema de síntesis dimensional del mecanismo Las rutas deseadas a considerar de los puntos P1∗ y P2∗ se determinaron experimentalmente a partir de los movimientos típicos de flexión de las extremidades del usuario del exoesqueleto Las coordenadas de ambos puntos se obtuvieron para cinco posturas de la extremidad en la flexión Los resultados de los experimentos se dan en la Tabla Formulación de una solución al problema de síntesis dimensional Teniendo en cuenta el planteamiento efectuado en la sección precedente, se tiene que en el problema de síntesis www.amrob.org Table Coordenadas, en el marco 0, de los puntos P1∗ y P2∗ (Fig 2) del muslo respecto a la pierna Postura θ2 x ∗p1i y∗p1i x ∗p2i y∗p2i i (o ) (cm) (cm) (cm) (cm) (a) Esquema cinemático del mecanismo completo 20 18.5 14.5 13.1 11.4 0.0 4.0 6.8 7.5 8.1 17.5 14.8 11.5 10.0 7.9 0.0 14.5 2.7 12.1 4.0 10.4 4.6 9.2 5.1 7.9 sean tan pequeños como sea posible para las posiciones dadas en la Tabla Las longitudes de los eslabones corresponden a las normas de los vectores asociados a los eslabones, como se observa en los esquemas de la Fig En resumen, las incógnitas del problema de síntesis son: ( x A , y A , x B , y B , r2 , r3 , r4 , r5 , r6 , r7 , r8 , r9 y r10 ),; donde rk = rk para k = 2, 3, , 10 (el símbolo · denota la norma euclidiana del vector argumento) Las coordenadas x A , y A son las del punto A en el marco x0 , y0 , mientras que x B , y B son las de B 4.1 Función objetivo El problema de síntesis que se plantea aquí se resolverá mediante un proceso de optimización, en el cual se deben determinar los valores de las variables independientes que minimizan la siguiente función objetivo: f = f p1 + f p2 (1) donde: (b) Diagrama vectorial asociado a la primera cadena cinemática f pj = eµj + eσj ( j = 1, 2) (2) En la función (2) se tiene que eµj ( j = 1, 2) es el promedio de los errores de posición de los puntos Pj , correspondientes a n posturas consideradas (n = 5) del mecanismo, respecto a los puntos Pj∗ especificados: eµj = n e ji n i∑ =1 (3) mientras que eσj es la desviación estándar de los errores de posición de los puntos Pj : eσj = n (eµj − e ji )2 n i∑ =1 (4) El error de posición e ji del punto Pj ( j = 1, 2) del mecanismo, correspondiente a la postura i (i = 1, 2, , n), es la distancia de éste al punto Pj∗ del muslo; es decir: e ji = (c) Diagrama vectorial asociado a la segunda cadena cinemática Figure Mecanismo Yong-1, propuesto para el exoesqueleto del ITLag dimensional del mecanismo se deben determinar las posiciones de las articulaciones A y B, del mecanismo en el marco x0 , y0 , así como las longitudes de los eslabones de las dos cadenas cinemáticas, de tal manera que los errores de posición de los puntos P1 y P2 del mecanismo, respecto a los puntos P1∗ y P2∗ del muslo, respectivamente, ( x pji ∗ − x pji )2 + (y pji ∗ − y pji )2 (5) Gracias a la manera como se define f , la minimización de esta función implica la minimización global de los errores de posición de P1 y P2 Las variables independientes implícitas de f son las incógnitas del problema de síntesis La minimización de esta función se realiza mediante un proceso iterativo aplicando la función fminsearch del paquete Matlab© en el cual, en cada iteración, se mejoran los valores de las variables independientes (a partir de un conjunto inicial de valores arbitrarios) de tal manera que la función objetivo se reduce hasta que se cumple el criterio de convergencia www.amrob.org : Síntesis dimensional de un mecanismo de eslabones articulados para un exoesqueleto de rodilla (a) (b) (c) (d) (e) Figure Secuencia de postura de una extremidad inferior durante la flexión de la rodilla Se aprecian las sucesivas posiciones de los puntos P1∗ y P2∗ del muslo respecto al marco x0 , y0 4.2 Análisis de posición del mecanismo Para la evaluación de la función objetivo es necesario determinar las coordenadas de los puntos P1 y P2 en cada una de las cinco posturas consideradas del mecanismo Este cálculo implica la resolución del problema directo de posición del mecanismo En los siguientes párrafos se resuelve dicho problema Entonces, (9) se puede resolver aplicando el método de Chace para ecuaciones vectoriales planas De esta manera se obtiene: r3 = (h1 r Duy + g1 r Dux )iˆ + ( g1 r Duy − h1 r Dux ) jˆ En esta ecuación r Dux y r Duy son las componentes del vector unitario rˆ D asociado a r D : En el polígono de vectores de la Fig 1(b) se verifica la siguiente ecuación: r2 + r3 = r1 + r4 (6) r Dux = r Dy r Dx , r Duy = rD rD (13) Los escalares g1 y h1 de la Ec (12) están definidos por: De ésta se tiene que: g1 ≡ r4 − r3 = r2 − r1 (12) (7) r32 − r42 + r2D , h1 ≡ 2r D r32 − g12 (14) Una vez calculado r3 mediante la Ec (12), se obtienen las componentes de su vector unitario asociado, rˆ3 , mediante: O bien, puesto que r D = r2 − r1 (8) r4 − r3 = r D (9) entonces: r3ux = ( g1 r Duy − h1 r Dux ) (h1 r Duy + g1 r Dux ) , r3uy = r3 r3 (15) Además, se observa que Teniendo en cuenta que en una iteración del proceso de optimización de la función objetivo se tiene un conjunto de variables independientes de prueba conocidas ( x A , y A , x B , y B , r2 , r3 , r4 , r5 , r6 , r7 , r8 , r9 y r10 ), entonces los vectores r3 y r4 en (9) son de magnitud conocida y dirección desconocida Por otra parte, r D es de magnitud y dirección conocida, toda vez que r1 y r2 son completamente conocidos; en efecto: r1 = (r1 c1 )iˆ + (r1 s1 ) jˆ en donde se utiliza la siguiente notación: ( j = 1, 2) Por lo tanto, de la ec (8) se tiene que: r Dx = r2 c2 − r1 c1 (10a) r Dy = r2 s2 − r1 s1 (10b) En las ecuaciones (10) el ángulo θ2 es conocido pues se especifica para cada juego de valores de x ∗pj , y∗p1j ( j = 1, 2) en la Tabla 1, mientras que θ1 se obtiene mediante: θ1 = atan2((yB − yA ), (xB − xA )) AMRob Journal, Vol 2, 1:2014 (16) rˆ6 = kˆ × rˆ3 (17) Con las direcciones rˆ5 y rˆ6 se obtiene el vector de posición de P1 mediante: r P1 = r A + r2 + r5 rˆ5 + r6 rˆ6 (18) Por lo tanto, finalmente, las coordenadas de P1 son: r2 = (r2 c2 )iˆ + (r2 s2 ) jˆ c j = cosθ j , s j = senθ j rˆ5 = −rˆ3 (11) x P1 = x A + r2 c2 − r5 r3ux − r6 r3uy (19) y P1 = y A + r2 s2 − r5 r3uy + r6 r3ux (20) Para la determinación de las coordenadas de P2 se procede de manera similar considerando la segunda cadena cinemática del mecanismo En el polígono de vectores de la Fig 1(c) se verifica la siguiente ecuación: r7 − r8 = r D (21) En esta ecuación (9) los vectores r7 y r8 son de magnitud conocida y dirección desconocida, mientras que r D es de www.amrob.org magnitud y dirección conocida De la solución de Chace para la ecuación (9) se obtiene: r8 = (h2 r Duy + g2 r Dux )iˆ + ( g2 rDuy − h2 r Dux ) jˆ (22) donde r Dux y r Duy están dadas por las ecuaciones (13), y los escalares g2 y h2 son: g2 ≡ (r82 − r72 + r2D ) , h2 ≡ 2r D r82 − g22 (23) Una vez calculado r8 mediante la Ec (22), se obtienen las componentes de su vector unitario asociado rˆ8 mediante: (h2 r Duy + g2 r Dux) ( g2 r Duy − h2 r Dux ) , r8uy = r8 r8 (24) y se observa que rˆ9 = −rˆ8 (25) ˆ rˆ10 = k × rˆ8 (26) r8ux = A partir de rˆ9 y rˆ10 se obtiene el vector de posición de P2 mediante: (27) r P2 = r A + r2 + r9 rˆ9 + r10 rˆ10 Así, se obtienen las siguientes ecuaciones para las coordenadas de P2: x P2 = x A + r2 c2 − r9 r8ux − r10 r8uy (28) y P2 = y A + r2 s2 − r9 r8uy + r10 r3ux (29) Resultados Las coordenadas de P1 y P2 , obtenidas para cada postura del mecanismo mediante las ecuaciones (19), (20), (28) y (29), en una iteración del proceso de optimización, corresponden a un conjunto de valores de prueba de las variables independientes Los errores de posición de P1 y P2 que resultan respecto a las posiciones deseadas se calculan mediante la ecuación (5) que, a su vez, a través de las ecuaciones (4), (3) y (2), permiten evaluar la función objetivo (1) En cada iteración, la función fminsearch mejora los valores de las variables independientes En la Tabla se dan las magnitudes iniciales y óptimas de las variables independientes, así como el correspondiente valor de la función objetivo En la Figura se muestra una secuencia de posturas de este mecanismo Conclusión En este trabajo se propuso el mecanismo Yong-1 para un exoesqueleto de rodilla Se trata de dos cadenas cinemáticas tipo 4R que se mueven en planos paralelos, y conectados en sus eslabones acopladores Se presentó la formulación utilizada para resolver el problema de síntesis dimensional del mecanismo Las longitudes que se determinaron para los eslabones definen un movimiento relativo natural entre la pierna y el muslo del usuario, toda vez que el cálculo de dichas longitudes se basó en datos obtenidos de manera experimental de los movimientos del usuario Así, el procedimiento seguido para la síntesis dimensional del mecanismo se puede aplicar para proyectar un exoesqueleto para cualquier otro usuario, propiedades antropométricas Figure Secuencia de posturas del mecanismo óptimo obtenidas en un proceso de simulación en Matlab© www.amrob.org : Síntesis dimensional de un mecanismo de eslabones articulados para un exoesqueleto de rodilla Table Valores iniciales y óptimos de las variables de diseño Variable Ini (cm) Opt (cm) xA yA xB yB r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r10 f -11.869 3.451 -8.728 -0.022 9.124 2.400 6.144 10.526 2.237 6.948 1.596 11.936 4.539 15.000 -12.580 3.127 -8.509 0.004 9.375 1.729 6.183 9.375 1.729 6.183 2.765 8.731 1.679 0.468 distintas El exoesqueleto tendría un diso personalizado y resultaría muy confortable para el usuario Gracias a estas características del mecanismo, su uso resulta ideal en un exoesqueleto orientado al incremento de la potencia en las rodillas de un usuario sano, así como para rehabilitar el movimiento de las rodillas en un paciente minusválido En el marco de las actividades futuras relativas al desarrollo del exoesqueleto del ITLag, se deberán efectuar análisis del comportamiento dinámico y del control del mecanismo Los estudios estarán orientados al logro de un desempeño que brinde comodidad y seguridad al usuario Asimismo, deberá realizarse el diso de detalle del exoesqueleto, incluyendo la transmisión de potencia del actuador al mecanismo Dung Cai V.A., Bidaud P., Hayward V., Gosselin F and Desailly E., “Self-adjusting, Isostatic Exoskeleton for the Human Knee Joint”, Proc of the 33rd Annual International Conference of the IEEE EMBS, Boston USA, Aug-Sept, 2011 Wismans J Veldpaus F., Janssen J., Huson A and Struben P., “A three-dimensional mathematical model of the knee-joint”, Journal of Biomechanics, vol 13, pp 677-685, 1980 Kapandji I.A Cuadernos de Fisiología Articular, Cuaderno II Ed Toray-Masson, 2a edición, pp 72-89, 1991 Sanjuan R., Jiménez P.J., Gil E.R., Sánchez-Rodríguez R., Fenollosa J.; Biomecánica de la Rodilla: Patología del Aparato Locomotor, (3): 189-200, 2005 Forner-Cordero A., Pons J L., Turowska E A and Schiele A.; “Kinematics and dynamics of wearable robots”; Cap en Wearable Robots: Biomechatronic Exoskeletons, Edited by J L Pons, Ed John Wiley & Sons, Ltd ISBN: 978-0-470-51294-4, 2008 10 Baluch T., Masood A., Iqbal J., Izhar U., Khan U.; “Kinematic and Dynamic Analysis of a Lower Limb Exoskeleton”; World Academy of Science, Engineering and Technology No 69, pp 904-908, 2012 Agradecimientos El presente trabajo es auspiciado por la Dirección General de Educación Superior Tecnológica (DGEST) de la SEP y el CONACYT (proyecto no 134534) Referencias Walker P.S., Kurosawa H., Rovick J.S and Zimmerman R.A.; “External Knee Joint Design Based on Normal Motion”; Journal of Rehabilitation Research and Development, Vol 22, No 1, BPR 10-41, pp 9-22, 1985 Pratt J E., Krupp B.T., Morse C J and Collins S H.; “The RoboKnee: An Exoskeleton for Enhancing Strength and Endurance During Walking”, Proc of the IEEE International Conference on Robotics and Automation, pp 2430-2435, New Orleans USA, April 2004 Dollar A M., Herr H., “Design of a Quasi-Passive Knee Exoskeleton to Assist Running”, Proc of the IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, pp 747-754; Nice, France, Sept, 2008 Aguirre-Ollinger G., Colgate J., Peshkin M A., and Goswami A., “Design of an Active 1-DOF Lower-Limb Exoskeleton with Inertia Compensation”; International Journal of Robotics Research, Vol 30 Issue 4, pp 486-499, April 2011 AMRob Journal, Vol 2, 1:2014 www.amrob.org AMRob Journal, Robotics: Theory and Applications Asociación Mexicana de Robótica e Industria, A C Esquema de control de impedancia adaptable para tareas de interacción humano–robot Regular Paper Diana E Hernández–Alfaro, Isela Bonilla⋆ *, Daniel U Campos–Delgado †, Marco Mendoza‡ ⋆ Corresponding author E-mail: ibonilla@fc.uaslp.mx Received: october 2013; Available online: 15 february 2014 © 2014 ; licensee AMRob This is an article distributed under the terms of the Instituto Nacional del Derecho de Autor (www.indautor.gob.mx), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited Abstract En el presente trabajo, se propone una familia de controladores de impedancia adaptables, particularmente consiste en una mejora de los esquemas presentados por Mendoza et al (2012), y Mendoza y Bonilla (2012) Los esquemas de control generados de esta familia resuelven el problema de control de seguimiento durante la interacción del manipulador su entorno a pesar de contar incertidumbre en la medición de los valores de los parámetros dinámicos del robot Con respecto al trabajo presentado por Wang y Xue (2009), los controladores propuestos en este trabajo pueden ser utilizados tanto en tareas que se realizan en espacio libre como en tareas de interacción el entorno, en especial interacción humano-robot, como es el caso de terapias de rehabilitación asistidas por robots Así mismo, se presenta una serie de simulaciones el objetivo de mostrar el funcionamiento del controlador propuesto en tareas de interacción humano-robot * Este trabajo está financiado por el Programa de Mejoramiento del Profesorado (PROMEP) y la Universidad Autónoma de San Luis Potosí, mediante el convenio PROMEP/103.5/12/3953 † D.E Hernández-Alfaro, I Bonilla y D.U Campos-Delgado, Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma de San Luis Potosí, Av Salvador Nava s/n, Zona Universitaria, San Luis Potosí, S.L.P., 78290 México, email: danaeli20@hotmail.com, ibonilla@fc.uaslp.mx, ducd@fciencias.uaslp.mx ‡ M Mendoza, Instituto Potosino de Investigación Científica y Tecnológica, Camino a la Presa San José 2055, Lomas 4a Sección, San Luis Potosí, S.L.P., 78216 México, email: marco.mendoza@ipicyt.edu.mx www.amrob.org Keywords Control de impedancia adaptable, estabilidad de Lyapunov, interacción humano-robot, robot manipulador Introducción El desarrollo de la robótica durante los últimos cincuenta años tenido un gran avance, tanto en la industria como en centros de investigación y universidades, ẳn así, es considerada un área joven en constante crecimiento La robótica es una disciplina que aborda la investigación y desarrollo de una clase particular de sistemas mecánicos, denominados robots manipuladores, diseñados para realizar una amplia variedad de aplicaciones industriales, científicas, domésticas y comerciales Esta disciplina involucra distintas áreas del conocimiento tales como matemáticas, física, electrónica y computación, entre otras Por otro lado, ẳn cuando la robótica es un área eminentemente experimental todos sus resultados están sustentados un rigor científico [1] La robótica se convertido en un área clave para un ps en desarrollo, ya que ayuda en la modernización que conlleva a un bienestar de la sociedad Uno de los más grandes impactos de la robótica y que tiene un efecto directo la sociedad, es su uso en la medicina, por ejemplo, en cirugías de alto riesgo o en fisioterapia Bajo este contexto la importancia de desarrollar sistemas robóticos confiables y seguros para el ser humano es AMRob Journal, ISSN: 2007–7114, Vol 2, 1:2014 De forma similar, el término hi2 produce, hi2 ≤ con, Hi (m) = Hi1 (m) + Hi2 (m) + Hi3 (m) A = [ A1 , , An ] T , H (m) = [ H1 , , Hn ] T { − (zi1 − Gzi1 + GEi1 ) z − Gz + GEi2 ) + Ci1 ( i2 Ci2i2 cos (mi ) − (zi1 − Gzi1 + GEi1 ) sin (mi ) + (zi1 − Gzi1 + GEi1 ) cos (mi ) + z − Gz + GEi2 ) sin (mi ) + Ci1 ( i2 Ci2i2 Considerando ahora el vector de estados χ = sistema (38) se reescribe en la forma, ≤ 12 { zi1 [−1 − sin (mi ) + cos (mi ) + G sin (mi ) − G cos (mi ) + G ] Ci1 Ci1 + zi2 Ci2 cos ( mi ) + Ci2 sin ( mi ) Ci1 Ci2 G cos ( mi ) Hχ = H (m) obteniendo una segunda cota definida como, (32) Aplicando el mismo procedimiento para hi4 , hi5 y hi6 obtenemos las cotas dadas por, (34) ≤ HPi6 zi + HPi7 Ei + hi6 ( xid, xid, Ei3 ) ≤ HPi8 (36) A partir de las ecuaciones (19) y (28), la dinámica de Ei se expresa como, = Ai Ei + Hi1 + Hi2 + Hi3 HD ≤ H¯ D1 χ D + H¯ D2 H¯ D1 , H¯ D2 ∈ R + La solución del sistema (40) puede encontrarse al considerar directamente su evolución en el tiempo, k χ D (0) + χ D (k ) = MD (35) En los desarrollos anteriores HPi1 , HPi2 , HPi3 , HPi4 , HPi5 , HPi6 , HPi7 y HPi8 ∈ R + Ei+ A GG Del hecho que los eigenvalores de la matriz M pueden siempre ser asignados reales y diferentes, existe una matriz invertible P, tal que el sistema (39) puede ser transformado en la forma, χ+ (40) D = M D χ D + HD (33) dado que depende fundamentalmente de valores de la trayectoria deseada hi5 (zij+ , zij , Ei3 , xid ) , M= donde χ D = Pχ, MD = PMP−1 es una matriz diagonal que contiene los eigenvalores de M y HD = PHχ Es claro entonces que HD puede acotarse en la forma, Es fácil ver que hi3 puede acotarse en la forma, hi4 ( Ei , xid ) ≤ HPi5 Ei T , el (39) donde − − + Ei1 [ G cos (mi ) − G sin (mi ) − G ] + Ei2 [ G cos (mi ) + G sin (mi ) ]} + hi3 ( xid, xid, Ei3 ) ≤ HPi4 , T χ+ = Mχ + Hχ Ci1 Ci2 G sin ( mi ) hi2 (zij+ , zij , Ei3 , xid ) ≤ HPi2 zi + HPi3 Ei Ez (37) k −1 ( k −1− m ) ∑ MD HD ( m ) (41) m =0 Aplicando normas a la ecuación anterior tenemos que, χ D (k ) ≤ MD k k −1 χ D (0) + ∑ M D ( k −1− m ) × m =0 + H¯ D2 } { H¯ D1 χ D (m) (42) Considere que el máximo valor de χ (k) para todo k χ (k) , se obtiene la esta dado por χ (k) s = sup k=0,1,2, desigualdad, donde,       hi1 hi2 hi3 Hi1 =  hi4  , Hi2 =  hi5  , Hi3 =  hi6  0  1 0 ( Hi1 + 1)  Ai =  H + 0 ( ) i2 0 Hi3 χ D (k) s ≤ MD k χ D (0) + { H¯ D1 χ D (m) s + k −1 ∑ M D ( k −1− m ) m =0 H¯ D2 } (43) Dado que los valores propios de la matriz diagonal MD satisfacen λi { MD } < 1, es claro que, De los desarrollos anteriores es claro que la dinámica total del sistema en lazo cerrado puede expresarse en términos T Ei1 Ei2 Ei3 de los errores de acoplamiento Ei = lim lim k→∞ k→∞ k −1 ∑ m =0 MD k M D ( k −1− m ) =0 = 1− M D T y los errores auxiliares zi = zi1 zi2 zi3 para i = 1, , n Utilizando las ecuaciones (25) y (37) obtenemos la representación, E+ z+ = A GG H (m) E + z (38) Utilizando los límites anteriores y reestructurando la ecuación (43) finalmente se obtiene, χ D (k) s ≤ H¯ D1 χ D (m) s + H¯ D2 , − MD (44) 19 www.amrob.org : Sincronización de robots móviles tipo (2,0) en tiempo discreto y considerando que χ D (k) χ (k) ≤ χ (k) s ≤ s Robot Ganancias Ci1 Ci2 Ci3 β i1 β i2 β i3 Hi1 Hi2 Hi3 [0.4mm] 1-10 0.9 0.9 0.1−0.3−0.3−0.10.9 0.9 0.1 Ri [0.4mm] se genera, H¯ D2 − MD − H¯ D1 (45) La ecuación (45) indica que el sistema es prácticamente estable Nótese que se requiere adicionalmente cumplir la restricción, MD + H¯ D1 < Resultados experimentales 4.1 Plataforma experimental las ganancias de los controladores están descritos en el Cuadro para i = 1, 2, El experimento tiene una duración de 117.6 seg, Los robots móviles convergen a la trayectoria deseada en un tiempo aproximando de 28 seg y se consideran condiciones iniciales de cada robot alejadas del punto inicial de su trayectoria Nótese que en el resto del experimento los robots mantienen la sincronización entre la formación y el seguimiento de sus trayectorias La Figura muestra el comportamiento de los tres robots en el plano Los errores de posición ei1 y ei2 se muestran en las Figuras y y los errores de orientación ei3 en la Figura 6; en las figuras anteriores se observan inicialmente valores grandes de error debido a puntos iniciales alejados de la trayectoria Las señales de los errores de acoplamiento se aprecian en las Figuras 7, y las cuales corresponden a los errores comandados directamente por las señales de control En las Figuras 10 y 11 se observan las señales de control donde el control ui1 está acotado a una velocidad máxima de 0.6342m/s, velocidad determinada acorde a las características físicas de los robots Trayectoria D Trayectoria D Trayectoria D Robot1 Robot2 Robot3 Incio robot Inicio trayectoria 1.5 x2 [metros] Los experimento utilizan tres robots García, (ver la Figura 2) de la marca Acroname enlazados inalámbricamente a un sistema de control remoto; un sistema de localización absoluta formada por un conjunto de cámaras tipo Flex13 de la compía OptiTrack que genera una área de trabajo de 2.50 × 4.50m a una tasa de muestreo de 120 cuadros por segundo [15] Se considera además que cada robot cuenta una configuración geométrica irregular (véase también la Figura 2) de marcadores reflejantes de OptiTrack para la detección de los tres cuerpos rígido (robots) La posición y orientación de los vehículos se obtiene mediante el programa Motive de la compía NaturalPoint Se utiliza un servidor VRPN (Red Periférica de Realidad Virtual (Virtual Reality Peripheral Network)[16]) que trasmite en tiempo real a la computadora de control los datos de posición y orientación de cada robot Se cuenta una interfaz gráfica que procesa el comportamiento de los robots y los valores de las señales de realimentación obtenidas, las cuales son enviadas a los robot un periodo de muestreo de 100ms Table Condiciones del experimento 0.5 −0.5 −1 −1 −0.5 0.5 1.5 x1 [metros] Figure Robots García marcadores reflejantes de Optitrack Figure Trayectorias reales vs Trayectorias de sincronización deseadas 4.2 Parámetros de implementación Conclusiones La evaluación experimental de los controladores se lleva a cabo al considerar una trayectoria de referencia tipo flor para los tres robots Esta trayectoria consta de tres pétalos y se define como, El estudio presenta una estrategia de control práctica por sicronización en tiempo discreto para múltiples robots móviles tipo uniciclo ó (2,0) considerando como señal de salida el punto medio del eje de las ruedas mediante una realimentación estática del error de acoplamiento El desarrollo se basa en la consideración del modelo discreto exacto del robot móvil (2,0) el cual presenta restricciones no holónomas en su versión continua equivalente El controlador planteado permite regular el comportamiento de los robots en base al peso de sus ganancias para obtener un comportamiento deseado del sistema entre el seguimiento de trayectorias individuales y la formación de los robots Para la evaluación de la estrategia de control propuesta se desarrolló una plataforma experimental la x1 = a cos(3kT ) cos(kT ) x2 = a sin(3kT ) sin(kT ) donde a = genera una flor de tres pétalos que se encuentra contenida en una área de 1.6 × 2m Los parámetros físicos de los robots son li = 0.091m y ri = 0.05m Las condiciones iniciales para los robots son: R1 = (−0.487m, 0.999m, 0.025rad), R2 = (−0.482m, 1.523m, 0.042rad) y R3 = (−0.488m, 0.501m, 0.071rad) y 20 AMRob Journal, Vol 2, 1:2014 www.amrob.org 0.1 0.1 E13 E 23 0.08 E33 Ei3[rad] 0.06 ei1 [m] −0.1 0.04 0.02 −0.2 −0.02 e −0.3 −0.04 11 20 40 60 80 100 120 80 100 120 80 100 120 80 100 120 80 100 120 80 100 120 80 100 120 tiempo[seg ] e21 e −0.4 31 Figure Error experimental en Ei3 −0.5 20 40 60 80 100 120 u11 [m/s] −0.6 0.5 0 tiempo[seg] 20 40 60 tiempo[seg ] u21 [m/s] Figure Error experimental en ei1 0.5 0 20 40 60 tiempo[seg ] u31 [m/s] 0.2 e 12 e 22 0.15 e32 0.5 0 20 40 60 tiempo[seg ] 0.1 ei2[m] 0.05 Figure 10 Entrada de control ui1 u12 [rad/s] −0.05 −0.1 −0.15 20 40 60 80 100 −1 120 20 40 u22 [rad/s] Figure Error experimental en ei2 60 tiempo[seg ] tiempo[seg ] −1 20 40 60 tiempo[seg ] u32 [rad/s] 0.4 e13 e 0.3 23 e33 0.2 −1 20 40 60 tiempo[seg ] ei3[rad] 0.1 Figure 11 Entrada de control ui2 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 20 40 60 80 100 120 tiempo[seg ] Figure Error experimental en ei3 References 0.2 0.1 Ei1[m] −0.1 −0.2 E11 −0.3 E21 −0.4 −0.5 E 31 20 40 60 80 100 120 tiempo[seg ] Figure Error experimental en Ei1 0.2 E 12 E22 0.15 E32 Ei2[m] 0.1 0.05 −0.05 −0.1 20 40 60 tiempo[seg ] Figure Error experimental en Ei2 cual utiliza un sistema de localización absoluta basada en visión artificial y posicionamiento mediante sales infrarrojas 80 100 120 [1] R Siegwart and I Nourbakhsh Introduction to Autonomous Mobile Robots The MIT Press, Massachusetts, USA and London, England, 2004 [2] H Razaee and F Abdollahi Mobile robots cooperative control and obstacle avoidance using potencial field In IEEE International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics, pages 61–66, Budapest, Hungary, 2011 [3] Y Liu and G Liu Mobile manipulation using tracks of a tracked mobile robot In IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, pages 948–953, St Louis, MO, 2009 [4] D Sun and C Wang Controlling swarms of mobile robots for switching between formations using synchronization concept In IEEE International Conference on Robotics and Automation, pages 2300–2305, Roma, Italy, 2007 [5] S Sun, C Wang, and G Feng A synchronization approach to trajectory tracking of multiple 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C Samson, and P Tomei Theory of Robot Control Springer-Verlag, London, 1996 NaturalPoint Opti track In http://www.naturalpoint.com/optitrack/, 2013 VRPN Unc computer s In http://www.cs.unc.edu/Research/vrpn/, 2013 22 AMRob Journal, Vol 2, 1:2014 www.amrob.org AMRob Journal, Robotics: Theory and Applications Asociación Mexicana de Robótica e Industria, A C Diso de estrategias de control para caminantes basados en bípedos pasivos Regular Paper Rafael Stanley Núñez Cruz, Juan Manuel Ibarra Zannatha* ⋆ Corresponding author E-mail: rnunez@ctrl.cinvestav.mx Received: 25 july 2013; Available online: 15 february 2014 © 2014 ; licensee AMRob This is an article distributed under the terms of the Instituto Nacional del Derecho de Autor (www.indautor.gob.mx), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited Abstract El propósito de este artículo es mostrar la manera en que se puede optimizar la cantidad de energía usada por un robot disado en base a un caminante pasivo en el seguimiento de una trayectoria de caminado de referencia Para lograrlo se analizan estrategias de control aplicadas originalmente a sistemas cíclicos, las cuales son comparadas la finalidad de hacer una propuesta original al replantear la función objetivo a minimizar Se presenta la metodología de diso así como los resultados de simulación obtenidos Keywords Caminante pasivo, control retroalimentación de estados, optimización por Introducción El diso de robots humanoides basado en caminantes pasivos demostrado ser una estrategia la cual es posible obtener caminatas estables a un coste de energía sumamente bajo, sin embargo, la falta de destreza sigue siendo la principal deficiencia de estos mecanismos, por lo que un control activo en todas sus articulaciones probablemente sea el mejor método de lograr que estos robots humanoides sean capaces de enfrentarse a los * Rafael S Núñez Cruz (rnunez@ctrl.cinvestav.mx ) es estudiante del programa de doctorado del Departamento de Control Automático del Cinvestav, mientras que Juan Manuel Ibarra Zannatha (jibarra@ctrl.cinvestav.mx) es profesor investigador titular de este departamento www.amrob.org obstáculos los que los seres humanos lidiamos a diario: irregularidades en el camino, desniveles, escaleras, etc Los resultados presentados en este artículo representan el seguimiento que se le dado al estudio de los caminantes pasivos desarrollados en nuestro grupo de trabajo, la propuesta de control y optimización se implementó sobre el caminante mostrado en la figura 1, el cual se obtuvo siguiendo la metodología propuesta por Tad McGeer [1], este caminante se modela como una cadena cinemática abierta de tres grados de libertad, en la fase de apoyo simple, por lo que su vector de estados x (t) ∈ Rn es de longitud n = 6, las características del modelo de este prototipo así como el análisis de su estabilidad fueron reportadas en las memorias del COMRob 2011 [2] por lo que no están incluidas en este reporte El propósito de este artículo es mostrar la manera en que se puede optimizar la cantidad de energía usada por un robot diseñado en base a un caminante pasivo en el seguimiento de una trayectoria de caminado de referencia, este fin se analizaron y compararon siete estrategias de control originalmente pensadas para su uso en sistemas cíclicos, este fin se uso como modelo de prueba el oscilador de Van der Pol, posteriormente se identificaron las características que contribuyen a disminuir el costo energético en la caminata para finalmente proponer una nueva estrategia de control disada específicamente para este tipo de robots humanoides AMRob Journal, ISSN: 2007–7114, Vol 2, 1:2014 23 1.1 Estructura de este documento En el capítulo II se describen brevemente las estrategias comúnmente usadas en el control de robots basados en caminantes pasivos reportadas en la literatura y que sirven como antecedentes de este trabajo En el capítulo III se describen brevemente las siete estrategias de control, aplicadas originalmente al control de sistemas cíclicos, que fueron comparadas En el capítulo IV se muestran los resultados obtenidos de esta comparación En el capítulo V se construye la función objetivo a minimizar en base al análisis de la comparativa presentada En el capítulo VI se justifica el uso de métodos de búsqueda de directa para el problema de optimización planteado, haciendo una breve descripción del método Simplex En los capítulos VII y VIII se muestran los resultados obtenidos de la simulación de la metodología propuesta y las conclusiones del proyecto respectivamente Figure Caminante usado como plataforma de prueba Estrategias de control para robots humanoides basados en caminantes pasivos La premisa del diseño de robots basado en bípedos pasivos es obtener un caminante que consuma la mínima cantidad de energía cuando se le agreguen actuadores y se le haga caminar sobre un plano horizontal, sin embargo esto podrá o no lograrse dependiendo de la estrategia de control usada Acostumbrados a los problemas de regulación, en un inicio se propuso usar las trayectorias de los caminantes pasivos como señales de referencia para sus contrapartes activas [3] En este enfoque se considera que sólo es necesario aplicar el par producido por el campo gravitacional rotado en las articulaciones del robot para que éste replique las trayectorias del caminante pasivo Además se agrega una retroalimentación de estados para darle al caminante robustez ante perturbaciones Sin embargo, no es posible asegurar que las trayectorias del caminante pasivo sean las óptimas para el caminante activo, debido a la diferencia en la inclinación del plano en el que se mueven los caminantes Debido a que la caminata es la dinámica natural de los bípedos pasivos incluso es posible controlar cada una de las articulaciones de sus contrapartes activas de manera local [4] una trayectoria de referencia en función del tiempo, de tal forma que al seguir las mismas consignas en cada paso se logra un movimiento periódico y estable Otro método implementado en este ámbito es el presentado en [5], en donde haciendo uso de algoritmos de aprendizaje, es posible hacer un seguimiento de las trayectorias del caminante pasivo y al mismo tiempo disminuir la energía usada si ésta se incluye en la función objetivo, sin embargo de nuevo se restringe el objetivo de control al seguimiento de las señales dadas 24 AMRob Journal, Vol 2, 1:2014 Gracias a la estabilidad inherente de los caminantes pasivos es posible controlar las versiones activas, incluso en lazo abierto, una máquina de estados [6] y lograr caminatas que utilizan una cantidad mínima de energía Sin embargo, este tipo de técnicas se pierde versatilidad para tareas que requieran modificar características del caminado como velocidad o dirección de la caminata En el ámbito de la optimización de las trayectorias de caminado hay trabajos bastante completos, algunos de los cuales incluyen el uso de algoritmos evolutivos para determinar las trayectorias de caminado, en el caso de control usando ZMP [7] Control de sistemas cíclicos La naturaleza cíclica de la caminata resulta evidente, por lo que la aplicación de técnicas de control que saquen provecho de las características periódicas de los sistemas para reducir el costo energético de los actuadores resulta por demás beneficioso a nuestros objetivos En la descripción de los algoritmos de este capítulo se considera x (t) ∈ Rn n = pues el sistema en el que se implementaron es el oscilador de Van der Pol descrito en el capítulo IV 3.1 Control por retroalimentación de estados El enfoque tradicional de regulación usando retroalimentación de estados puede aplicarse exitosamente al problema de seguimiento de una referencia periódica mediante la correcta selección de las ganancias de retroalimentación Sin embargo, encontrar la ganancia óptima que minimice la energía consumida no es una tarea fácil El uso de técnicas como LQR tan sólo ayudará a encontrar una aproximación ya que el modelo lineal aproximado sólo tendrá cierta validez para ángulos suficientemente cercanos al punto de interés En este caso la ley de control τr (t) tiene la forma de la ecuación 1, la cual corresponde a un control PD ya que el vector de estados x (t) esta formado por las posiciones y velocidades del sistema τr (t) = − k1 k2 e(t) (1) donde e(t) = x (t) − xd (t) Con la finalidad de que la comparativa a realizarse fuera valida, se utilizaron las mismas ganancias en todas las consignas que utilizarán una retroalimentación de estados como parte de su ley de control: k1 = 0.1 y k2 = Adicionalmente a este enfoque se pueden encontrar en la literatura las siguientes alternativas: www.amrob.org 3.2 Control por aprendizaje [8] En este método el objetivo de control consiste en seguir una trayectoria y a la vez minimizar alguna función por aprendizaje (que puede ser el error de seguimiento o el par utilizado, incluso una combinación de estas) Para lograrlo se hace una secuencia de intentos en la que el error obtenido en los intentos anteriores se retroalimenta en la señal de control, por lo general en estos intentos se permite la re inicialización de las condiciones iniciales La ley de control correspondiente, mostrada en la ecuación 2, se forma por una retroalimentación de estados y un término de aprendizaje τl (t) = τr (t) + ul (t) (2) En la implementación, el término de aprendizaje ul (t) corresponde a la actualización de la sal de control en función de los errores de seguimiento registrados en los ciclos anteriores, dado por: ul (t) = ul (t − T ) − k l1 k l2 ( x (t − T ) − xd (t)) En este caso las ganancias usadas fueron: k l1 = 0.05 y k l2 = 1.2 3.3 Esquema de control repetitivo [9] Por otro lado este enfoque propone añadir en el lazo de control un término que corresponde al error de seguimiento retardado, generalmente el del ciclo anterior, esto puede apreciarse en la figura 2, de modo que este enfoque puede considerarse dentro de la categoría de los esquemas de control por aprendizaje de señales que deben proporcionarse previamente, las constantes usadas en esta combinación son actualizadas al final de cada ciclo en función del error medio de los ciclos anteriores Esta estrategia de control fue diseñada para sistemas lineales por lo que su aplicación en caminantes requiere de una aproximación lineal alrededor de cada uno de los puntos usados para definir la trayectoria Dada la restricción de utilizar puntos de equilibrio en la definición de la trayectoria a seguir, este esquema no funcionó adecuadamente en la implementación ya que la caminata, de la manera en la que se modeló, es un movimiento continuo en el que nunca se cumple que x˙ = 3.5 Optimización por ajuste de rigidez [11] En el contexto de la minimización de la energía se encuentran los trabajos sobre optimización de la rigidez de elementos elásticos para el seguimiento de una sal periódica Esta estrategia hace uso de las técnicas de control adaptable para variar la rigidez de resortes montados en las articulaciones del sistema la finalidad de que la frecuencia natural de la planta y de la señal de referencia sean igualadas De esta forma sólo se requiere que los actuadores induzcan al sistema la energía necesaria para compensar las pérdidas por fricción o calor El efecto de adir los resortes de rigidez variable K (t) se ve reflejado como un par externo en la señal de control, la cual queda descrita por la ecuación 5: τs (t) = τr (t) + K (t) x1 (t) (5) Para encontrar la rigidez óptima, es decir, aquella que produce el menor requerimiento de energía para seguir una trayectoria cíclica, se introduce la dinámica de la rigidez en función del error de seguimiento Figure Esquema del control repetitivo K˙ (t) = k a x1 (t) k s1 k s2 e(t) Para este caso la ley de control está dada por: τ (t) = kr1 kr2 ur ( t ) (3) 3.6 Ajuste de rigidez + optimización temporal [12] Donde el termino repetitivo ur (t) está dado por: ur ( t ) = ur ( t − T ) − e ( t ) En este caso k s1 = 0.6 y k s2 = y la constante de adaptación k a = 0.1 (4) De acuerdo a las definiciones anteriores y tomando T como el periodo de la señal de referencia 3.4 Control cíclico [10] En este tipo de control se requiere que el sistema sea operado sobre un ciclo definido sobre una secuencia finita de puntos de equilibrio, en la que las condiciones iniciales y finales de cada ciclo sean las mismas Cada uno de los puntos usados para definir la trayectoria debe estar ligado a un instante de tiempo La ley de control se forma por una retroalimentación de estados más una combinación lineal Una variante del algoritmo anterior consiste en ajustar la frecuencia de la señal de referencia previo al paso de la optimización de la rigidez, la finalidad de encontrar la frecuencia óptima obteniendo una reducción ẳn mayor La frecuencia óptima ω ∗ de la sal de referencia será aquella que le permita al sistema usar la menor cantidad de energía en la tarea de seguimiento, por ejemplo, en un péndulo esto es equivalente a igualar la frecuencia de la señal de referencia la frecuencia natural del péndulo Para obtener ω ∗ se utiliza una regla de gradiente descendente, mostrada en la ecuación 6: ωi = ωi −1 − k g Ji−1 − Ji−2 ωi −1 − ωi −2 (6) 25 www.amrob.org : Diseño de estrategias de control para caminantes basados en bípedos pasivos En este caso se usó k g = 0.005 y Ji corresponde al valor de la función de costo del control para el ciclo i 3.7 Control Periódico [13] Una estrategia que incluso ya se implementado a modelos de caminantes bípedos es el control por estabilización periódica Esta estrategia se implementa en dos etapas: La primera consiste en estabilizar un ciclo inestable mediante una retroalimentación de estados siguiendo el método LQR En la segunda parte se minimiza la energía usada en los actuadores al modificar las condiciones iniciales del ciclo de referencia mediante una ley de adaptación Con la finalidad de conservar algo de la naturaleza pasiva del sistema, el control sólo se aplica dentro una región V definida en función del estado: V = { x ∈ X | < x1 < 0, x2 < 0} Fuera de esta región los actuadores no introducen energía al sistema En este enfoque no se busca que el sistema siga una trayectoria definida, sólo que al final del ciclo se repitan las condiciones iniciales para mantener un movimiento periódico La ley de adaptación usada para sintonizar el estado de referencia objetivo al final del ciclo, lo que produce variaciones en la amplitud y frecuencia de las trayectorias en el siguiente ciclo del sistema El sistema no lineal está representado por: x˙ = f ( x, u) La función de costo a minimizar está definida por: J= T e(t) T Q e(t) + τ (t) T R τ (t) dt Comparación de estrategias de control Con la finalidad de decidir de una manera objetiva la estrategia a aplicar en el modelo obtenido para el caminante actuado se hizo una comparativa del desempeño de los algoritmos presentados en la sección IV usando como modelo de prueba (al igual que en [13] ) el sistema conocido como "Van der Pol System in Reverse Time" que es un oscilador inestable en lazo abierto definido por las siguientes ecuaciones: x˙1 = − x2 x˙2 = x1 − ε(1 − x12 ) x2 + u Con la finalidad de que los resultados de los distintos algoritmos pudieran ser comparables, se utilizaron las mismas condiciones iniciales y la misma trayectoria de referencia: x (0) = −0.5 xd (t) = sin ωt −2ω cos ωt Utilizando los parámetros ω = 0.8 y ε = 0.15 se obtuvieron los resultados mostrados en la tabla Los parámetros utilizados en la implementación de cada algoritmo pueden consultarse en el primer apéndice Algoritmo Error Retro de estados 1.7 Learning < 0.05 Repetitive 0.05 Cyclic ∼ 0.7, ∼ 0.2 Stifness 0.3 Stifness w temporal < 0.05 Periodic ∼0 Costo Convergencia 2.25 10 2.25 20 >3 > 50 0.2 10 0.25 30 < 0.1 20 Table Comparación Para la implementación se usó: 1.1 0 60 Q= R= Con la información obtenida mediante esta comparación se decidió usar un algoritmo para el control de la caminata las siguientes características: 0.07 0 La aproximación lineal del sistema queda descrita de la forma: z˙ = A z + B v donde: A = A= ∂f ∂x yB= ∂f ∂u que al evaluarse se obtiene: 1 + 2ε x1 x2 −ε(1 − x12 ) B= 00 01 La ley de adaptación para este caso se reduce a la ecuación 7: xd,i+1 = xd,i − ε a T −eψt ψ−1 B − ψ−1 A × R e(t) dt (7) Donde ψ = A + B En este caso se utilizó ε a = 0.05 • Será un esquema de control de regulación, es decir, se tendrá que proporcionar un conjunto de trayectorias articulares a seguir y se corregirá el error de seguimiento haciendo uso de una retroalimentación de estados • Las ganancias del controlador deben sintonizarse de tal forma que se minimice la función objetivo propuesta, se utilizará como ganancia inicial la obtenida mediante el método LQR a partir de una aproximación lineal del sistema (como en el caso reportado en [13]) • Las señales de referencia deben ajustarse de tal forma que contribuyan a minimizar la función objetivo, inicialmente se tomarán como referencia las trayectorias del caminante pasivo (como en [3]) y después se ajustará la frecuencia y la amplitud de estas sales (como en [12]) • El algoritmo debe evitar la necesidad de reinicializar el sistema en cada iteración, por lo que las trayectorias deben modificarse cuidando de conservar la continuidad 26 AMRob Journal, Vol 2, 1:2014 www.amrob.org Optimización de la energía en el caminado Un aspecto básico para obtener una buena optimización de alguna función es identificar correctamente los parámetros a minimizar de dicha función, en este aspecto las estrategias presentadas muestran diferentes enfoques: En [8] y [10] la optimización se hace en función de las consignas de control, por otro lado en [11] , [12] y [13] los parámetros los que se logra la minimización representan algún parámetro físico o bien las trayectorias de caminado Sin embargo todos estos enfoques son parciales, una expresión más general para describir los parámetros de los que depende la energía requerida por el sistema en el paso k sería el mostrado en la ecuación Uk = f ( xk (0), xr,k (t), Kk , p, η ) (8) en donde xk (0) representa el vector de condiciones iniciales del caminante, xr,k (t) es el vector de trayectorias articulares en función del tiempo, Kk es la matriz de ganancias de retroalimentación, p representa el vector de parámetros físicos que definen en su totalidad al caminante entre los que se incluyen: la longitud de las piernas, el ancho de la cadera, la masa y el tensor de inercia de los eslabones, etc Finalmente η representa el vector de parámetros inherentes a la arquitectura empleada para construir el robot, entre los que se tiene: el coeficiente de fricción de las articulaciones, la eficiencia de los motores, la energía consumida por el sistema de cómputo, etc El subíndice k representa el índice del ciclo Idealmente, para encontrar la estrategia de caminado que utilice la menor cantidad de energía se tendría que utilizar un algoritmo que pudiera sintonizar todos los parámetros de la ecuación En una primera tentativa de solución se restringe el problema bajo las siguientes consideraciones: • xk (0) = xr,k (0), es decir las condiciones iniciales del sistema coinciden la sal inicial de referencia • La sal de referencia xr,k (t) es sintonizable en dos parámetros amplitud ( A) y frecuencia ( F ), la referencia obtenida de las trayectorias del caminante pasivo se consideran como la señal nominal:A0 = 1, F0 = • La ganancia de retroalimentación inicial será la obtenida por el método LQR a partir de una aproximación lineal en algún punto intermedio de la trayectoria del caminante pasivo, sólo los elementos correspondientes a las ganancias PD serán sintonizables • Los parámetros dentro del vector p son lo suficientemente cercanos a los valores óptimos (debido al diseño de los caminantes pasivos) por lo que no se requiere de su sintonización • Los parámetros incluidos dentro del vector η no son sintonizables Con estas restricciones y a partir de la ecuación se obtiene la ecuación Ur,k = f ( P1,k , P2,k , P3,k , D1,k , D2,k , D3,k , Ak , Fk ) (9) donde Pi,k y Di,k representan las ganancias P y D del lazo de control para la articulación i y el paso k La eficiencia energética (cmt ) de un mecanismo suele medirse mediante una cantidad conocida como costo específico de transportación y se define en la ecuación 10: cmt = umt mr gdc (10) en la que mr es la masa total del robot, g es la constante gravitacional y dc es la distancia total recorrida en el trayecto, umt es la energía consumida en el trayecto, durante todos los ciclos hasta el paso actual k c , es decir: kc umt = ∑ Ur,k k =0 De esta forma, el fin de evitar caminatas inestables o demasiado lentas, se decidió que la función objetivo a minimizar incluyera un término que dependiera del error y otro de la eficiencia energética de la manera mostrada en la ecuación 11 Ju = | xk (t f ) − xr,k (t f )| + cmt (11) De esta forma el problema de optimización abordado en este trabajo se puede plantear de la siguiente manera: Minimizar la función 11 sujeto a las ecuaciones 10 , 9, las siguientes condiciones iniciales: x1 (0) = x0 xr,k (.) = x p K1 = Klqr A1 = A p F1 = Fp Debido a que no se cuenta una ecuación explícita del modelo de la caminata ni de su gradiente, no es viable el uso de teorías de optimización convencionales Es por esto que el problema se abordará mediante el uso de métodos de búsqueda directa [14] Algoritmo de optimización Los métodos de búsqueda directa no son bien aceptados por la comunidad de optimización matemática básicamente por tres razones: estos métodos fueron desarrollados de forma heurística, no se han desarrollado pruebas de convergencia para ellos y algunas veces la velocidad de convergencia puede ser muy lenta No obstante estos métodos han demostrado ser bastante eficientes para aplicaciones en las comunidades de ingeniería y ciencia aplicada particularmente en los 27 www.amrob.org : Diseño de estrategias de control para caminantes basados en bípedos pasivos campos de la química, la ingeniería mecánica y en la medicina Específicamente se hará uso del método conocido como Algoritmo Simplex de Nelder-Mead Una iteración de este método puede describirse de la forma mostrada por el Algoritmo 10 del segundo apéndice según la referencia [15] El algoritmo de Nelder-Mead [16] fue propuesto como un método para minimizar una función escalar de variable real f ( x ) para x ∈ Rn , usando únicamente evaluaciones de la función a minimizar para formar un simplex Un simplex es una figura geométrica cuya cantidad de vértices es igual a uno más que la dimensión del vector de estados del sistema El simplex representa una aproximación tangencial a la superficie que representa la salida del sistema En el caso de un sistema de dimensión dos un simplex sería equivalente a un triángulo Este método de búsqueda forma parte de los algoritmos de ”operación evolutiva” o EVOP por sus siglas en inglés y consiste en desplazar el simplex inicial mediante cuatro operaciones que dependen de cuatro coeficientes: reflexión (ρ), expansión (χ), contracción (γ) y encogimiento (σ) La figura muestra el efecto de las operaciones de Reflejar, Expandir, Contraer y Encoger Estas operaciones permiten expandir el simplex en las direcciones favorables y comprimirlo en las direcciones desfavorables En el caso de nuestra aplicación los simplex están formados por los parámetros de la ecuación 9; las ganancias PD del simplex inicial se tomaron por medio del algoritmo LQR usando una aproximación lineal del sistema en el punto medio de la trayectoria obtenida por el bípedo pasivo; por su parte la amplitud y frecuencia iniciales se tomaron unitarias ya que la trayectoria original es la del caminante pasivo Los coeficientes usados en la implementación de este método fueron: ρ = 1, χ = 1.65 y γ = 0.8, la operación de encogimiento no se implementó ya que un análisis del algoritmo permite darse cuenta de que las iteraciones que no utilizan esta operación resultan en la modificación de un solo vértice, por lo que el algoritmo puede reescribirse para que sólo sea necesaria una evaluación por iteración, de tal forma que el algoritmo pueda implementarse en línea para optimizar la caminata del robot Resultados en simulación En las figuras y se puede apreciar la convergencia de los parámetros de la función de costo y la convergencia del costo de transportación por paso obtenidos mediante la aplicación del método simplex durante la simulación de la caminata La disminución del costo de transportación equivale a un 35% y la velocidad de la caminata sigue siendo muy parecida El método propuesto produce mejores resultados debido a que considera un mayor número de variables de decisión en el planteamiento del problema de optimización que los métodos vistos De acuerdo a los datos de la figura la solución del algoritmo sugiere que la articulación 3, que describe el movimiento de la pierna oscilante respecto a la cadera, necesita de una actuación tan pequa que casi podría considerarse como una articulación pasiva Figure Operaciones de i) reflexión, ii) expansión, iii) contracción y iv) encogimiento, el simplex original se muestra en líneas punteadas En cada iteración de este algoritmo el vértice que produzca la evaluación mayor magnitud es reflejado y escalado de acuerdo a las operaciones antes mencionadas En el caso de que el nuevo vértice produzca una evaluación mayor que todos los vértices existentes se procede a hacer un encogimiento del simplex Sin embargo, no es conveniente eliminar por completo la actuación en esa articulación ya que las ganancias de retroalimentación obtenidas mediante este método sólo sirven para mantener al caminante dentro del ciclo límite Para llevar al caminante de un estado de reposo x˙ = a las condiciones del ciclo límite x = x ∗ será necesario inducir al sistema una cantidad mayor de energía En la figura también puede apreciarse el costo de transportación de otros mecanismos [6], los datos del caminante propuesto se basan en la suposición de un 50% de eficiencia en la transmisión de los motores Conclusiones y trabajo futuro Estas modificaciones al simplex inicial producen nuevos simplex desplazados cuya posición tiende al mínimo de la función y cuya forma se adapta a la superficie local de la función 28 AMRob Journal, Vol 2, 1:2014 El uso del método simplex en la búsqueda del lazo de retroalimentación y de las trayectorias óptimas de caminado presenta grandes ventajas respecto a otros esquemas de control, principalmente en el ahorro en www.amrob.org Figure Convergencia del costo de transportación [3] S Sukuzi, K Furuta, Y Pan, S Hatakeyama, Biped Walking Robot Control with Passive Walker Model by new VSC servo, in Proc Amer Control Conf., Arlington, VA, Jun 2001, pp 107-112 [4] S Anderson, M Wisse, C G Atkeson, J.K Hodgins, G J Zeglin, B Moyer, Powered Bipeds Based on Passive Dynamic Principles, IEEE-RAS International Conference on Humanoid Robots pp 110-116, 2005 [5] R Tedrake, T W Zhang, H S Seung, Learning to Walk in 20 Minutes, Proceedings of the Fourteenth Yale Workshop on Adaptive and Learning Systems, Yale University, New Haven, CT, 2005 Figure Convergencia de los parámetros el consumo energético del caminante, conservando el caminado natural de los caminantes pasivos Como trabajo futuro se pretende hacer un análisis mas exhaustivo de los elementos usados en el diseño de la estrategia de control propuesta, es decir, se implementaran en el modelo del caminante los elementos básicos de las técnicas de control aplicadas a sistemas cíclicos como la optimización de la amplitud y frecuencia de la señal de referencia, la rigidez en los resortes y el efecto que produce el termino de aprendizaje en las leyes de control, de manera independiente, todo esto previo a implementar el esquema de control presentado en un prototipo funcional que demuestre los beneficios prácticos del ahorro de energía Con la finalidad de obtener un caminado robusto ante perturbaciones producidas por el ambiente, se pretende complementar este esquema de control un sistema de detección de perturbaciones que permita modificar las ganancias del controlador a aquellas que permitan recuperar las trayectorias para evitar la caída References [1] T McGeer, Passive Dynamic Walking, The International Journal of Robotics Research April 1990 vol no pp 62-82 [2] R S Núđez, J M Ibarra, Desarrollo de Bípedos Pasivos, Memorias del CoMRob 2011, XIII Congreso Mexicano de Robótica de la AMRob Matehuala, SLP (2011) pp en CD 19-22 de Octubre de 2011 [6] S Collins, A Ruina, A Bipedal Walking Robot with Efficient and Human - Like Gait in IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA ˘ S1988, April 2005 2005), pp 1983âA¸ [7] J Y Lee, J J Lee, Optimal Walking Trajectory Generation for a Biped Robot using Multi -objective Evolutionary Algorithm, Asian Control Conference, pp 357-364, 2004 [8] G Heinzinger, D Fenwick, Fumio, B P 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Aplication to Walking Robots-, IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, pp 980-985, 2001 29 www.amrob.org : Diseño de estrategias de control para caminantes basados en bípedos pasivos [14] T G Kolda, R M Lewis, V Torczon, Optimization by Direct Search: New perspectives on Some Classical and Modern Methods SIAM Review, pp 385-482, 2003 [15] J C Lagarias, J A Reeds, M H Wright, P E Wright, Convergence properties of the Nelder - Mead Simplex Method in low dimensions,SIAM J Optim , (1998), pp 112-147 [16] J A Nelder, R Meald, A simplex method for function minimization Computer Journal (1965), 308-313 10 Algoritmo de Nelder-Mead En esta sección se muestra una iteración de método Simplex, en el la descripción se omitió el superindice k [H] [1] Vk = [ x1k x2k xnk +1 ] Simplex de entradaVk+1 = [ x1k+1 x2k+1 xnk+ +1 ] Simplex de salidaOrdenar Ordena los n + vertices tal que satisfagan f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ≤ ≤ f ( xn+1 ) Reflejar Evaluar el punto reflejado f r = f ( xr ) donde xr = x + ρ( x − xn+1 ) y x = ∑in=1 xi /n es el centroide de los n mejores puntos f ≤ f r < f n Return(Vk+1 ) Formar el simplex Vk+1 a partir de Vk y reemplazando xn+1 por xr f r < f Expandir Evaluar el punto expandido f e = f ( xe ) donde : xe = x + ρχ( x − xn+1 ) f e < f r Return(Vk+1 ) Formar el simplex Vk+1 a partir del Vk y reemplazando xn+1 por xe Return(Vk+1 ) Formar el simplex Vk+1 a partir del Vk y reemplazando xn+1 por xr f n ≤ f r f n ≤ f r < f n+1 Contraer hacia afuera Evaluar el punto contraído hacia afuera f c = f ( xc ) donde : xc = x + ργ( x − xn+1 ) f c ≤ f r Return(Vk+1 ) Formar el simplex Vk+1 a partir del Vk y reemplazando xn+1 por xc Encoger Evalua f en los n puntos vi = xi + σ ( xi − x1 ) , i = 2, , n + Return(Vk+1 ) Formar el simplex Vk+1 a partir de x1 , v2 , , vn+1 Contraer hacia adentro Evaluar el punto contraído hacia adentro f cc = f ( xcc ) donde : xcc = x − ργ( x − xn+1 ) f cc < f n+1 Return(Vk+1 ) Formar el simplex Vk+1 a partir del Vk y reemplazando xn+1 por xcc Encoger Evalua f en los n puntos vi = xi + σ ( xi − x1 ) , i = 2, , n + Return(Vk+1 ) Formar el simplex Vk+1 a partir de x1 , v2 , , vn+1 30 AMRob Journal, Vol 2, 1:2014 www.amrob.org Registro de contribuciones:    Registrarse en la página:    h0p://comrob.org/2014/informacion‐de‐ autores/    en donde se pedirán los siguientes datos:    ¥  Nombre del ar+culo,  ¥  Nombre de autores  ¥  Autor de correspondencia  ¥  Ins6tución de los autores  ¥  Correos electrónicos  ¥  Tipo de par6cipación  ¥  Disciplina  ¥  Palabras clave    La  revista  AMRob  Journal,  RoboΕcs:  Theory  and  ApplicaΕons  invita  a  estudiantes,  invesΕgadores,  académicos,  profesionistas  y  a  quienes  se  encuentren  interesados  en  el  campo  de  la  RobóΕca, a colaborar con la presentación de arΚculos técnicos,  originales e inéditos de alguna de las siguientes áreas:  ¥  Control de robots  ¥  Modelado de robots  ¥  Realidad virtual  ¥  RobóΕca aplicada  ¥  RobóΕca de rehabilitación  ¥  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eventos  relacionados  con  la  RobóΕca,  los  recursos  económicos  suficientes  para  cumplir  con los fines de la asociación.  6.  Promover  ante  las  diferentes  autoridades  y  organismos  públicos  o  privados,  municipales,  estatales,  federales  e  internacionales  y  sus  programas  de  robóΕca,  el  interés,  colaboración  y  modos  de  apoyo  económico  para  realizar  proyectos  concretos  relacionados  con  el  objeto  de  esta  asociación.  7.  Asociarse con otros organismos o asociaciones que perciban  un fin parecido al de esta asociación, así como parΕcipar con  redes  de  organizaciones  de  la  sociedad  civil,  que  realicen  trabajos de apoyo a la asociación de cualquier índole.  8.  Otorgar  reconocimientos  a  personas  y  asociaciones  que  se  disΕngan  por  coadyuvar  a  la  conservación,  protección,  y  difusión de la robóΕca.  9.  La Asociación no persigue fines de lucro y en lo más general  promueve la robóΕca en sus diferentes manifestaciones.