Toán cơ sở dành cho Vật Lý 3

Đây là bài giảng toán Lý 3 có bài giảng và bài tập vận dụng các cấp độ, thích hợp với sinh viên năm 2, Phù hợp với các sinh viên thầy cô bên khoa vật khí khi đang học toán cơ sở dnahf cho vật lý .

CHƢƠNG 1: GIẢI TÍCH VÉC TƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC 1.1 TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.1.1 TRƢỜNG VƠ HƢỚNG Giả sử miền V cho trường vô hướng u =u(M)= u(x,y,z);M(x,y,z)V a Mặt đẳng trị hay mặt mức trường u ứng với giá trị u0 tập hợp điểm miền V hàm u có giá trị khơng đổi có phương trình: u(x,y,z) = u0 (1.1) b Đạo hàm hàm u(x,y,z) điểm M0(x0,y0,z0) V theo hƣớng véc tơ giới hạn (nếu có) tỉ số u u ( M )  u ( M )    M dần tới M0 (hay   ) theo phương đường thẳng chứa véc tơ u ( M ) , ký hiệu (Ý nghĩa:Cho biết tốc độ biến thiên hàm u theo hướng )  u ( M ) u(M )  u(M )  lim   M M  xác định từ hệ thức M M   * Nếu u(x,y,z) khả vi M0 điểm có đạo hàm theo hướng u ( M ) u ( M ) u ( M ) u ( M )  cos  cos  cos (1.2) x y y  cos,cosβ, cos cosin phương c Gradien trường u(x,y,z) M0(x0,y0,z0) véc tơ, ký hiệu gradu(M0), xác định sau u ( M ) u ( M ) u ( M ) gradu ( M )  i j k (1.3) x y y * Gradien trường u(x,y,z) M0 có phương vng góc với mặt mức trường qua điểm M0, theo phương tốc độ biến thiên trường u lớn * Với C1, C2 số; u, u1, u2 hàm vô hướng thì: grad (C1u1  C2u2 )  C1 gradu1  C2 gradu2 grad (u1u2 )  u1 gradu2  u2 gradu1 gradf (u )  f ' (u ) gradu (1.4) 1.1.2 TRƢỜNG VEC TƠ Giả sử miền  cho trường véc tơ F (M )  F ( x, y, z )  Fx ( x, y, z )i  Fy ( x, y, z ) j  Fz ( x, y, z )k a Đƣờng véc tơ hay đƣờng dòng trường F ( M ) đường mà tiếp tuyến điểm trùng với véc tơ trường điểm Hệ phương trình vi phân họ đường véc tơ dx dy dz   (1.5) Fx Fy Fz b Thông lƣợng F ( M ) qua mặt định hướng S,(S hữu hạn, trơn miền , có véc tơ đơn vị pháp tuyến dương tương ứng n( M )  (c os ,c os ,c os  )) theo hướng pháp tuyến dương (1.6)    Fx dydz Fy dzdx  Fz dxdy S dạng tích phân mặt loại    ( Fx cos Fy cos  Fz c os )dS= S   F (M )n (M )dS   Fn dS   F (M )dS S S (1.7) S Fn hình chiếu F ( M ) phương n( M ) * Nếu mặt S kín biên miền V, hàm số Fx, Fy , Fz liên tục với đạo hàm riêng cấp miền V theo cơng thức ostrogradski F F F    ( x  y  z )dxdydz   divF ( M )dxdydz (1.8)  x  y  z V V c Dive trƣờng véc tơ F ( M ) điểm M, ký hiệu divF (M ) , vô hướng định nghĩa F F F divF ( M )  x  y  z (1.9) x y z * Với C1, C2 số; u hàm vô hướng; F,F1,F hàm véc tơ div(C1 F1  C F )  C1divF1  C 2divF (1.10) div(uF)  udivF  F.gradu d Lƣu thông trường véc tơ F ( M ) dọc theo đường L(L đường kín, trơn nằm ), ký hiệu C, định nghĩa: C   Fx dx  Fy dy  Fz dz (1.11) L * Nếu S mặt định hướng hữu hạn, trơn miền  có biên đường L theo cơng thức stốc F F F F F F (1.12) C   ( z  y )dydz  ( x  z )dzdx  ( y  x )dxdy  y  z  z  x  x  y S e Rôta trƣờng véc tơ F ( M ) điểm M, ký hiệu rot F (M ) , véc tơ i j   rot F ( M )  x y Fx Fy k F F  F F F F  ( z  y )i  ( x  z ) j  ( y  x ) k (1.13) z y z z x x y Fz * Trường véc tơ F ( M ) gọi trường ống divF (M )  M; gọi trường rot F (M )  M Vì rot ( gradu(M ))  M nên trường F ( M )  gradu(M ) trường hàm u(M) gọi hàm vị trường F ( M ) Hàm u(M) xác định sau: x y z u ( x, y, z )   Fx ( x, y0 , z0 )dx   Fy ( x, y, z0 )dy   Fz ( x, y, z )dz  C x0 y0 (1.14) z0 M ( x0 , y0 , z0 ) điểm hàm Fx , Fy , Fz liên tục Điểm M gọi điểm xoáy rot F (M )  ; gọi điểm khơng xốy rot F (M )  1.1.3 TOÁN TỬ VI PHÂN    i j k x y z * Toán tử Haminton mang đặc trưng: Véc tơ đạo hàm; Đặc trưng đạo hàm thể sau: Toán tử tác động lên hàm(vô hướng véc tơ) theo quy tắc đạo hàm Đặc trưng véc tơ thể sau: thực phép tốn véc tơ Nabla véc tơ bình thường khác * Ta quy ước: Hàm số viết đằng trước toán tử khơng chịu tác động tốn tử; hàm số viết đằng sau tốn tử chịu tác động toán tử Trường hợp hàm số đứng sau toán tử khơng chịu tác động tốn tử ta quy ước viết thêm dấu (*) phía bên phải hàm số * Dùng tốn tử Nabla ta viết grad, div, rot dạng đơn giản hơn, từ giúp cho việc tính tốn đại lượng thuận tiện gradu  u , (Tích véc tơ  với vơ hướng u(x,y,z)); a Toán tử Haminton hay Nabla véc tơ tượng trưng   DivF  .F , (Tích vơ hướng véc tơ  với véc tơ F (x,y,z)); rotF  ;F , (Tích có hướng véc tơ  với véc tơ F (x,y,z)); b Toán tử Laplace, ký hiệu , tích vơ hướng  với     =  =2 =   x  y  z * Div(gradu) =  (  u) =(   )u =u CHƢƠNG 2: GIẢI TÍCH VÉC TƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG 2.1 HỆ TOẠ ĐỘ CONG 2.1.1 Tọa độ cong Vị trí diểm M khơng gian thường xác định bán kính véc tơ r  0M Trong hệ toạ độ Đề vng góc r  xi  y j  zk , nghĩa điểm M xác định số (x,y,z).(Mỗi điểm M ứng với ba (x, y, z) ngược lại) Trong nhiều tốn để xác định vị trí M thuận tiện ta dùng số khác (q 1, q2, q3) gọi (q 1,q2,q3) toạ độ cong điểm M.( Mỗi điểm M ứng với ba (q1 ,q2 ,q3 ) ngược lại ; ý nghĩa tọa độ qi ta tùy chọn) Hệ tọa độ vị trí điểm M xác định tọa độ cong(q1,q2,q3) gọi hệ tọa độ cong 2.1.2 Mối liên hệ toạ độ Đề toạ độ cong điểm M Có thể biểu diễn tọa độ cong (q1,q2,q3) điểm M hàm toạ độ Đề (x,y,z) ngược lại, nghĩa q1  q1 (x,y,z) x  x(q1,q ,q )   (2.1) q  q (x,y,z) y  y(q1,q ,q ) q  q (x,y,z) z  z(q ,q ,q ) 3   2.1.3 Mặt tọa độ - Đƣờng tọa độ * Tập hợp điểm không gian cho điểm toạ độ q khơng đổi (có giá trị q10 đó)tạo thành mặt (cong phẳng) gọi mặt toạ độ q1 * Theo định nghĩa mặt tọa độ q mặt đẳng trị trường vơ hướng xác định hàm vơ hướng q1= q1(x,y,z), phương trình mặt tọa độ q1 ứng với giá trị q 10 có dạng q1 = q10 hay q1(x, y, z) = q 10, q10 số * Từ định nghĩa ta thấy tính chất mặt tọa độ q1: Trên mặt tọa độ q = q10 tọa độ cong q có giá trị khơng đổi(ln nhận giá trị q10), cịn tọa độ cong q 2, q3 có giá trị thay đổi Chẳng hạn, có biểu diễn tọa độ cong q qua tọa độ Đề sau q1 = x2  y  z mặt tọa độ q ứng với giá trị q 10 = đường q q1 = hay x2  y  z =  x2 + y2 +z2 = Đó mặt cầu tâm O bán kính r = q1 = Các mặt toạ độ q 2, q3 định nghĩa tương tự phương trình chúng tương ứng có dạng q2 = q20 hay q2(x, y, z) = q 20, q20 số; q3 = q30 hay q3(x, y, z) = q 30, q30 số Các mặt tọa độ có tính chất tương tự mặt tọa độ q Qua điểm M có mặt tọa độ thuộc họ mặt tọa độ qua mặt q1 z  M0 z0 mặt q3 đường q1 M(q1,q2,q3)  đường q3 M1 (q1+q1,q2,q3) x0 y0 y x mặt q2 Hình 2.1 Các đường mặt tọa độ * Giao mặt toạ độ gọi đường toạ độ(đường cong thẳng) Đường tọa độ q1 giao mặt tọa độ q2 với mặt tọa độ q3 Tương tự với đường tọa độ q2 đường tọa độ q3 * Có thể thấy đường tọa độ q tọa độ cong q 2, q3 có giá trị khơng đổi, có tọa độ q thay đổi Các đường tọa độ q2, q3 có tính chất tương tự 2.1.4 Hệ tọa độ cong trực giao * Hệ toạ độ cong gọi trực giao điểm đường toạ độ đôi vng góc Chẳng hạn hệ tọa độ Đề hệ tọa độ cong trực giao Trong thực hành ta dùng định nghĩa để khảo sát tính trực giao hệ tọa độ cong mà thường dùng điều kiện trực giao sau * Cần đủ để hệ toạ độ cong trực giao x x y y z z    víi i  j (2.2) q i q j q i q j q i q j q i q j q i q j q i q j    víi i  j x x y y z z (2.3) 2.1.5 Hệ số lame * Trong không gian ta xét điểm M(q 1, q2, q3) M1(q1 + q1 ,q2, q3) nằm s đường tọa độ q Ký hiệu độ dài cung MM1 s xét tỉ số Nếu tồn q1 giới hạn Lim s1 giới hạn gọi hệ số Lame tọa độ q q  q 1 điểm M kí hiệu h1 h1 (q1 ,q ,q3 ) Theo định nghĩa s1  Lim q Tương tự ta có định nghĩa hệ số Lame tọa độ q 2, q3 điểm M Một s h (q ,q ,q )  Lim ; i = 1, 2, cách tổng quát q1 0 i i qi 0 qi * Với hệ toạ độ cong trực giao số lame M theo toạ độ qi xác định theo công thức sau x y z (2.4) h i  ( )  ( )  ( ) , (i  1,2,3) qi qi qi 1  q q q  h i   ( i )2  ( i )  ( i )  ,(i  1,2,3) (2.5)  x  y  z   2.1.6 Các thơng số vi phân hạng SV tự tìm hiểu 2.1.7 Bài tập áp dụng Cho biết tọa độ cong (,,z) hệ tọa độ cong có mối liên hệ với tọa độ Đề sau: x = .cosφ; y = .sinφ; z = z a) Khảo sát tính trực giao hệ tọa độ cong cho? b) Tính hệ số Lame hệ tọa độ cong cho? 2.2 HỆ TOẠ ĐỘ CẦU Cùng với hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu hệ tọa độ cong thường xuyên sử dụng nhiều toán 2.2.1 Các tọa độ cầu Tọa độ cầu điểm M ba (, , r) đó: +  góc tia 0x 0M1, (M1 hình chiếu M mặt phẳng 0xy) Khoảng biến thiên chính:    2 (Trong số trường hợp lấy -    ) Với M thuộc 0z M1 trùng với O, lúc ta quy ước  lấy giá trị tùy ý +  góc vectơ OM hướng dương 0z ; Khoảng biến thiên:    ; Với M trùng với ( OM  ) ta quy ước  lấy giá trị tùy ý + r = OM (  x2  y  z ) Khoảng biến thiên:  r  + ; r =  M  O; 2.2.2 Mối liên hệ tọa độ cầu tọa độ Đề z er M r  z x  y e y M1 x Hình 2.2 Các tọa độ cầu  x = OM1.cosφ = r sin cosφ  Từ hình vẽ dễ thấy  y = OM1.sinφ = r sin sinφ z = r.cos  Ngược lại ta có e  r = x  y  z   y  = arctg x  z   = arc cos x  y2  z2  2.2.3 Các mặt đƣờng tọa độ hệ tọa độ cầu a) Các mặt tọa độ + Mặt tọa độ  - Phương trình  = 0(0 số thỏa  0  2); - Mặt tọa độ  = 0 nửa mặt phẳng bờ 0z(suy từ ý nghĩa ); + Mặt tọa độ  - Phương trình  = 0(0 số thỏa  0  ); - Mặt tọa độ  = 0 mặt nón đỉnh O, trục đối xứng 0z; + Mặt tọa độ r (2.6) (2.7) - Phương trình r = r0(r0 số thỏa r  0); - Mặt tọa độ r = r0 mặt cầu tâm O, bán kính r0; z z  M r M   y M1 y x x Hình 2.3 Mặt tọa độ (nửa mặt phẳng) Hình 2.4 Mặt tọa độ (Mặt nón) z z Đường r Đường  M  r M r y x  y x Đường  Hình 2.5 Mặt tọa độ r (mặt cầu) Hình 2.6 Các đương tọa độ b) Các đƣờng tọa độ * Đƣờng tọa độ : Là giao mặt tọa độ  (Mặt nón đỉnh O trục 0z) với mặt tọa độ r (mặt cầu tâm O) nên đường trịn tâm thuộc Oz nằm mặt phẳng vng góc với 0z(Đường trịn vĩ tuyến) * Đƣờng tọa độ : Là giao mặt tọa độ  (Nửa mặt phẳng bờ 0z) với mặt tọa độ r (mặt cầu tâm O) nên nửa đường tròn tâm gốc O(Đường tròn kinh tuyến) * Đƣờng tọa độ r: Là giao mặt tọa độ  (Nửa mặt phẳng bờ 0z) với mặt tọa độ  (Mặt nón đỉnh O trục 0z) nên nửa đường thẳng gốc O 2.2.4 Tính trực giao hệ tọa độ cầu * Trên hình 2.6 ta thấy đường tọa độ hệ tọa độ cầu đôi vng góc nên theo định nghĩa hệ tọa độ cầu hệ tọa độ cong trực giao * Ta kiểm tra kết luận cách sử dụng điều kiện trực giao Từ hệ thức biết Ta tính Từ có  x = r.sin cosφ   y = r.sin sinφ z = r.cos  x x  r sin sinφ;  r.cos cosφ ;   y y  r.sin cosφ;  r.cos sinφ ;   z z  0;  -r.sin ;   x x y y z z   0       x x y y z z   0  r  r  r x x y y z z   0  r  r  r x  sin cosφ r y  sin sinφ r z  cos r (2.8) Vậy hệ tọa độ cầu hệ tọa độ cong trực giao 2.2.5 Các hệ số Lame hệ tọa độ cầu * Có thể dùng định nghĩa kết hợp với hình 2.6 để tính(SV tự làm) * Tính theo cơng thức (2.4) kết hợp với (2.8) h1 = h = (r sin sinφ)2  (r.sin cosφ)2  02  r sin  h = h θ  (r.cos cosφ)2  (r.cos sinφ)2  (-r.sin )2  r h3 = h r = (sin cosφ)2  (sin sinφ)2  (cos )2  Chú ý: - Đường tọa độ thẳng hệ số Lame tương ứng - Đường tọa độ tròn hệ số Lame tương ứng bán kính - Các hệ số Lame hệ tọa độ Đề (2.9) e Biểu thức gradu, divF , rotF , u hệ toạ độ cong trực giao (với u = u(q 1,q2,q3) trường vô hướng, F = F(q1 , q2 , q3 ) trường véc tơ) u u u * (1.19) gradu  e1  e2  e3 h1 q1 h q h q3  (Fh (F2h 3h1 ) (F3h1h )  2h ) * (1.20) divF      h1h h  q1 q q3  * Rot F có thành phần   (F3h ) (F2 h )  R1     h h  q q  R2    (F1h1 )  (F3h )     h 3h1  q q1  R3    (F2 h )  (F1h1 )     h1h  q1 q  (1.21)   h 2h u  h 3h1 u  h1h u  ( )  ( )  ( )  (1.22)  h1h 2h  q1 h1 q1 q h q q3 h q3  f Thông lƣợng trƣờng véc tơ F(q1,q ,q3 ) qua mặt S Cho S mặt cong nằm mặt toạ độ q3 q3 không đổi S  Giả sử S q1 biến thiên từ a đến b, với q1 cố định, toạ độ q2 biến thiên từ q1 đến  q1 Khi thơng lượng F(q 1,q 2,q 3) qua mặt S xác định sau * u  b    F3ds   dq1 S a  (q1 )  F3 (q1 ,q ,q3 )h1 (q1 ,q ,q3 )h (q1 ,q ,q )dq (1.23) (q1 ) Thông lượng F(q1 , q2 , q3 ) qua mặt S nằm mặt toạ độ q1 q2 tính tương tự 1.2 CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ Tìm mặt đẳng trị trường u(x,y,z) = x2 + y2 – z2 qua điểm a) M0(1;1;1); b) M1(0;0;0) Bài giải Theo (1.1) phương trình mặt đẳng trị trường có dạng x2 + y2 – z2 = C a) để mặt qua M0(1;1;1) ta phải có 1+1-1=C  C=1 nên phương trình mặt đẳng trị qua M0 x2 + y2 – z2 = Đó mặt hypeboloit trịn xoay tầng 2     Fn ds   Fr ds   d  a aa sin d  a S S 0   a 2  d(cos)  2a cos    2    d   sin d  0  -  cosd   2a sin   z       2a a y x a Hình 1.13 Ví dụ 25 Tính  a    r  r ,   r  hàm vô hướng, a véc tơ khơng đổi, r véc tơ bán kính r  xi  y j  zk Giải: C1: Dùng toán tử  a    r  r   a    r  r   a    r  r        r  (a a a )r  r  a    r     r  a  r  a    r   x y z * *   '  r    '  r       r  a  r a    r       r  a  r a  r     r  a  (ar)r   r     r 1.3 BÀI TẬP CHƢƠNG 1.1 Tìm đường hay mặt mức trường vô hướng sau 1/ u  x2  y 2y 2/ u  x 3/ u  2x  y2  z 4/ u  x +3y +z 5/ u  arcsin 1.2 z x +y Tính : a/ gradf f = x2 - 2xy + 3y – z -1 A(1,2,0); b/ gradf f = 5x2y - 3xy3 + y4 + z2 A(1,2,0); 1.3 Tính gradf f   er  sin r, víi r = x +y +z r 1.4 Cho u  xy  z Tính độ lớn hướng gradu P(-9, 12,10) ;Tìm theo hướng phân giác góc toạ độ x0y 1.5 1.6 1.7 1.8 Tính góc  gradien trường u ( x, y, z) x điểm 2 x y z A(1,2,3) v¯ B(3,1,0) Theo hướng biến thiên trường ux,y,z = xsinz-ycosz gốc toạ độ lớn Tính đạo hàm theo hướng  PQ với P(0, 2, 1) v¯ Q(12, 1, 3) điểm P trường vô hướng u = xy  yz  zx 2 Cho trường vô hướng u  ln , r  (x  a) +(y  b) +(z  c) , r điểm có đẳng thức gradu   1.9 u  2 x y z Tính đạo hàm trường u  + + theo hướng bán kính véc a b c  tơ r = (x, y, z) Khi đạo hàm gradu ? 1 1.10 Tính đạo hàm trường u   theo hướng véc tơ r x +y +z  (cos,cos,cos) Khi đạo hàm triệt tiêu  u 1.11 Cho u = x2y2z2 Tính gradu M0(1,-1,3) biết xác  định véc tơ M0 M1 với M1(0,1,1) 1.12 Cho trường vô hướng 2 u  ax  by  dxy , a > 0, b > 0, d > 1/ Tìm độ lớn hướng gradien trường vô hướng u điểm M(2,1) 2/ Xét xem điểm gradu = điểm vng góc với trục 0y  1.13 Tính gradien hàm u  điểm M(x,y,z)  số r với r  x2 +y +z 1.14 Tính div a;r  ; rot a;r  với a véc tơ không đổi, r  xi  y j  zk 1.15 Tính divgrad  với r  x2 +y +z r  xi + y j +zk 1.16 Tìm div F F  M(3, 4,5) ; Thông lượng F qua 2 x +y mặt cầu vô bé (x  3)2 +(y  4)2 +(z  5)2  ε gần bao nhiêu 2 1.17 Tính divgradfr, r  x +y +z ;f hàm cho trước có đạo hàm hai lần Khi divgradfr = 0 r 1.18 Tính dive trường véc tơ: F  f (r) r  xi  y j  zk, r  r r f hàm khả vi 1.19 Tìm hàm f(r) khả vi cho f(1) = div(f(r) r ) = điểm M(x,y,z), r = 0M 1.20 Tính rot (r.a)r  với a  i  j  k , r  xi  y j  zk 1.21 Tính rota trường véc tơ: 1) F  f (r)c với c  c1i  c2 j  c3 k véc tơ, r  xi  y j  zk, r  r f hàm khả vi 2) F  f (r)r , r  xi  y j  zk, r  r f hàm khả vi 3) F  (z  y)i  x j  yk 1.22 Cho hàm véc tơ F(x, y, z)  xf (r)i  yf (r) j zf (r)k, đó: r  x2 +y +z , f(1) = Tìm hàm f cho tồn véc tơ G thoả mãn: F  rotG 1.23 Tính thơng lượng F  xyi + yz j +zxk qua phía phần mặt cầu x +y2 +z  R góc phần tám thứ 1.24 Tính thơng lượng trường F  x i + y3 j +z3 k qua 2 x +y z  ,0  z  H a/ phía ngồi mặt xung quanh hình nón R H b/ phía ngồi mặt tồn phần hình nón 1.25 Tính thơng lượng trường F  r  xi + y j +zk qua phía ngồi 2 a mặt nón z   x + y ,0  z  ; b mặt cầu z  1- x + y2 ,0  z  1.26 Tính thơng lượng trường F  x i + y3 j +z3 k qua phía ngồi mặt cầu x +y2 +z  x 1.27 Tính thơng lượng trường F  (0, 0, z) qua phía ngồi phần mặt cầu x +y2 +z2  a , x  0, y  0, z  1 1.28 Tính thơng lượng trường F  i + j + k qua phía ngồi mặt x y z 2 x y z + +  a b c mr 1.29 Tính dive thơng lượng trường lực hấp dẫn F   chất r điểm có khối lượng m đặt gốc toạ độ qua mặt kín tuỳ ý bao điểm gốc toạ độ 1.30 Chứng minh trường véc tơ sau trường Tìm hàm số vị trường   e x x  1) F(x,y)  e   ln(x  y)  i  j x  y x  y   2) F(x,y,z)  yz(2x  y  z)i  zx(x  2y  z)j  xy(x  y  2z)k 3) F(x,y,z)  yzi  zxj  xyk 4) F(x,y,z)  (y  x)i  (x  z)j  (z  y)k 1.31 Tính lưu thơng  lưu số  véc tơ ;r  theo vịng trịn bán kính r0 nằm mặt phẳng vng góc với véc tơ  khơng đổi, biết tâm vòng tròn trùng với gốc toạ độ 1.32 Tính lưu thơng trường véc tơ F   yi + x j +ck (c số) dọc theo đường tròn 1/ x2  y  1, z = 0; 2/ (x  2)  y  1, z = 1.33 Tính lưu thơng trường véc tơ F  (y  z)i +(z + x) j +(x + y)k dọc theo giao tuyến mặt 2 2 x + y + z  b v¯ x+ y+ z  2 1.34 Tính lưu thơng trường véc tơ F  (y  z)i +(z- x) j +(x-y)k dọc theo giao tuyến mặt 2 x + y  v¯ x+ z  1 1 1.35 Tính lưu thơng trường véc tơ F  i + j + k dọc theo đoạn y z x thẳng nối điểm M(1,1,1) , N(2,4,8) y 1.36 Tính lưu thơng trường véc tơ F  grad(arctg ) dọc theo đường L x 1/ L không bao quanh trục 0z; 2/ L bao quanh trục 0z 1.37 Tính lưu thơng trường véc tơ F  (y  z)i +(z+ x) j +(x+y)k dọc theo cung tròn bé đường tròn lớn mặt cầu 2 x + y + z  25 cung nối điểm M(3,4,0) , N(0,0,5) 1.38 Tính lưu thơng trường véc tơ F  r  xi + y j +zk qua đường xoắn x = acost, y = bsint, z = kbt, 0 t  2, a, b, c, số 1.39 Tìm điểm khơng xốy trường 2 2 F  (x y  y z)i +(xyz) j +(yz +xy )k 1.40 Tính rota trường vận tốc v vật thể rắn quay với vận tốc góc khơng đổi  quanh trục cố định kq 1.41 Tính thơng lượng véc tơ cường độ điện trường E  r điện r tích điểm q qua mặt S kín bao điện tích 2 1.42 Cho trường vơ hướng u  x + y + z u a Tính đạo hàm điểm M(1,1, 2) theo hướng  OM với O  gốc toạ độ b Tính thơng lượng gradu qua mặt cầu x2 + y2 + z2  hướng 1.43 Chứng tỏ trường sau trường ống a) F  r c;r  ; c véc tơ b) F  k r ; k số r 2 y x y 1.44 Cho hệ toạ độ cong q1  ; q   ; q  z x Khảo sát tính trực giao hệ toạ độ cong tính hệ số Lame 1.45 Cho hệ toạ độ cầu tổng quát x = arsincos y = brsinsin z = crcos với  r   ;    2;     Khảo sát tính trực giao hệ toạ độ cong tính hệ số Lame 1.4 LỜI GIẢI- HƢỚNG DẪN- ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƢƠNG 1.1 1/ u   x  c ; cx 2/ y  ; 2 3/ z   2x  y  c ; 4/ z   c  x  3y 2 5/ z  c x +y mỈt nãn 1.2 a/ gradf = -2, 1,-1; b/ gradf =10xy - 3y3, 5x2 - 9xy2 + 4y3, 2z 1 r 1.3 gradf  (  er  cosr) r r 1.4 gradu(M)  12i  9j  20k; gradu(M)  25 cos   1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 12 9 20 4 u(M)  ; , cos   , cos    25 25 25  cos   Hướng trường u biến thiên lớn hướng âm trục 0y u 25  13  r =1 u 2u  ; a  b  c r r u cos( ,r)  ; triƯt tiªu  r r2  u 1.11 gradu(M ) =18i -18j + 6k; (M )  22  u u  2ax  dy,  2by  dx 1.12 x y 1.10 / gradu(M)=(4a  d)i+(2b  2d), gradu(M)  (4a  d)2 +4(b  d)2 2ax  dy  / a XÐt hÖ  dx+2by   d 4ab gradu điểm (0,0),  nÕu d = 4ab th× gradu  đường y= a x b b gradu vng góc với trục 0y điểm đường thẳng y= 1.13 gradu    (x  y  z )3 (xi  y j  zk) 1.14 Tính div a;r  ; rot a;r  với a véc tơ không đổi, r  xi  y j  zk Giả sử a  x1i  y1 j  z1 k , x1, y1,z1 số Khi đó a;r   (y1z  yz1;z1x  zx1;x1y  xy1)    Theo định nghĩa ta có (y1z  yz1 ) (z1x  zx1 ) (x1y  xy1 ) div a;r   + +  x y z Cũng tính div a;r  sau div a;r   r.rota  a.rotr  0,(do rota  rotr  0)  Theo định nghĩa rot a;r  có thành phần (x1y  xy1 ) (z1x  zx1 ) Rx    2x1 y z d x 2b  (y1z  yz1 ) (x1y  xy1 )   2y1 z x  (z1x  zx1 )  (y1z  yz1 ) Rz    2z1 x y rot a;r   2a Nghĩa Cũng dùng tốn tử Haminton để tính rot a;r  Ta có Ry  * * rot a;r   ; a;r    ; a;r    ; a ;r               (r.)a  r(.a)  a(.r)  (a.)r Vì a  x1i  y1 j  z1 k véc tơ nên .a  diva     (r.)a  (x  y  z )a  x y z Còn .r  divr     (a.)r  (x1  y1  z1 )r  a x y z Do rot a;r   3a  a  2a 1 1 r 1.15 div(grad )  div( gradr)  div( )  r r r r 1 1 3 3 r  divr + r grad  + r gradr  + r  r r r r r r r Ta giải sau '' '' '' 1 1 1 1 div(grad )  ( )    +     r r  r  xx  r  yy  r  yy 1 ' 1 x 1    rx  r r r  r x ' 1 x 3x 1  1      x   +x   r r r r  r  xx  r  x r '' '' Tương tự ' '' 3y   3z 1 r   3, r   r r r r  yy  zz 2 (x +y +z )   r r 18 24 1.16 divF(M)  ;  ; 125 125 Hướng dẫn  Theo công thức ostrogradski thông lượng qua mặt cầu vô bé tâm M xác định sau F F F    ( x  y  z )dxdydz   divF ( x, y, z )dxdydz x y z V V nên u= V hình cầu vơ bé; divF (x , y , z ) dive trường điểm x,y,z hình cầu vơ bé Có thể xem divF ( x, y, z ) không đổi 18 divF ( x, y, z )  divF ( M )  125 18 18 24 Từ    divF ( x, y, z )dxdydz  dxdydz      125 125 125 V V '' ' 1.17 div(gradf )  f + f ; r '' ' Hướng dẫn  Xét phương trình f + f  Đặt f '  p r 2p dp 2p dp 2dr dp dr C p'  0       2  lnC1  p  21 r dr r p r p r r df C1 C ' Từ f    f  C2  dr r r ' 1.18 divF  f + f r r ' ' 1.19 Ta có divf(r)r  f(r)divr + r.gradf(r)  3f(r) +r.f (r)  r f (r) +3f(r) r Từ div(f(r) r ) = df 3f(r) df dr C '  r f (r)  3f(r)     -3  ln C  f  dr r f r r f(1) = nên f  r 1.20 a.r  x  y  z  (a.r)r  x(x  y  z)i  y(x  y  z) j  z(x  y  z)k Theo định nghĩa, rot  (a.r)r có thành phần (xz  yz  z ) (xy  y  zy) Rx   zy y z 2  (x  xy  xz) (xz  yz  z ) Ry   xz z x  (xy  y  yz) (x  xy  xz) Rz   yx x y f ' (r)  r;c ; 1.21 1 rotf(r)c= r   f ' (r)  r;r   ;0 2 rotf(r)r r   3 rot F (1,1,0) ; 1.22 Hướng dẫn Để tồn véc tơ G cho F  rotG ta phải có divF  div(rotG)  Từ tìm f (r)  r 3πR 1.23 16 z 1.24 a) πR 2H(3R +2H ); b) πR 2H(R +2H ) 10 10 1.25 a Thông lượng F  r  xi  y j  zk qua phía M n ngồi mặt nón r M1    Fn dS S Hình chiếu Fn F  r  OM phương n OM1  nên x Hình 1.14 1  dS  2dxdy   dxdy  π  x  2 S +y 1 x +y  1 b Thông lượng F  r  xi  y j  zk qua phía ngồi nửa mặt cầu    Fn dS S Hình chiếu Fn F  r  OM phương n OM  nên y z M x Hình 1.15 r n y    dS  2π S π Hướng dẫn Dùng hệ toạ độ cầu Thơng lượng cần tính xác định sau: 3    x dydz  y dzdx  z dxdy 1.26 S Áp dụng công thức Ostrogradski, 2   3 (x  y  z )dxdydz V Cách Chuyển sang tọa độ cầu thông thường  /2 3    /2  d  d  /2 sin  cos  r sin  dr    /2   cos2   d  sin  cos5 d   cos 4 d(sin  )  ( ) d  5  /2  /2 0   /2   (1-sin  ) d(sin  ) 0 (1  cos2  3cos 2  cos 2 )d   2  /2  31  cos4   (1-2sin 2  sin 4 )d(sin  )  (1  cos2   cos3 2 )d  58  (1   )   4.5 5 Cách Chuyển sang tọa độ cầu suy rộng   x  /  r sin  cos   J  r sin   y  r sin sin z  rcos  x  y2  z2   r sin  cos  r 2    (  r sin  cos  r )r sin  d d dr = V 2   1/2  d  d  (  r sin  cos  r 0 2 )r sin  dr =  1 1 1 =  d  (  sin  cos  )sin  d  12 16 32 0 2   d  ( sin   sin  cos )d   32 15 2 16    (  cos )d   32 15 15 1.27 πa  bc ca ab  1.28   4     Hướng dẫn Dùng hệ toạ độ cực suy rộng b c   a 1.29 Hướng dẫn Sử dụng toạ độ cầu (,,r) m m Do r  rer nên F   er  Fr   ,F  F  r r Dùng cơng thức tính dive toạ độ cầu  (Fr r sin ) (Fr) (Fr sin )  divF(r, , )      r   r sin    divF  điểm M khác gốc Do divF  điểm M khác gốc nên trường F có thơng lượng bảo tồn Vậy thơng lượng F qua mặt kín bao gốc không phụ thuộc vào dạng mặt cong Ta chọn mặt kín bao gốc mặt cầu tâm 0, bán kính R dùng cơng thức tính thơng lượng toạ độ cầu m m m    Fn ds   Fr ds    ds    ds   4R2  4m R S R S S S R   e x 1.30 1 Đặt P(x,y)  e   ln(x  y)  ;Q(x,y)  xy x  y   1 P(x,y)  1  x   e x     e    (x  y)2 (x  y)  y  (x  y) (x  y)    x Q(x,y) e  x (x  y)  e  x 1  P(x,y) x     e   (x  y)2 (x  y)   y x (x  y)2   VËy tr-êng F(x,y) lµ tr-êng thÕ  Vì hàm P(x,y) Q(x,y) liên tục điểm (0,1) nên hàm vị u(x,y) F(x,y) đ-ợc cho bëi: e  x dx   u(x,y)   e   ln(x  1)  dx    x  x  y   x y x e x dx    e x ln(x  1)dx  e  x ln(x  y) 1y  x 1 0 x x x x   e d ln(x  1)   e  x ln(x  1)dx  e  x ln(x  y) 1y  x 0 x x  e ln(x  1)   ln(x  1)de   e x d ln(x  y)  e  x ln(x  y) 1y  x x x 0 x x  e x ln(x  1)   e x ln(x  1)dx   e x d ln(x  y)  e  x ln(x  y) 1y  x x  e ln(x  1)  e ln(x  y)  e ln(x  1)  C  e x ln(x y) C Vậy hàm th vị lµ: u(x,y)  e x ln(x  y)  C 2 u x ,y,z = xyzx  y  z  C 3 u x ,y,z = xyz  C; 4 u x ,y,z = xy  yz  z x  C 1.31 Hướng dẫn Đặt F  ;r  lưu thơng cần tính C   Fx dx+Fydy+Fzdz L z Áp dụng công thức stốc, chọn mặt S mặt trịn có biên đường trịn cho  C   R n dS , Rn hình chiếu S x r0 x n y  rotF  rot ;r   2 phương véc tơ pháp n   Do n hướng  nên R n   Vậy C 2  dS    r Hình 1.16 S 1.32 1/ 2; 2/ 2 1.33 1.34 -4 188 ln 1.35 21 1.36 1/ 0; 2/ 2 1.37 -12 1.38 2π b2 1.39 x  t, y  t, z  t 1.40 rotv  20 ez Hướng dẫn Sử dụng hệ toạ độ trụ 1.41 4kq Hướng dẫn Khơng dùng định lý O-G hàm không liên tục gốc kq E  r có div E =0 điểm M ≠ nên E trường có thơng lượng bảo r tồn Nghĩa thơng lượng qua mặt kín bất kì(khơng chứa gốc 0) Xét miền V không chứa nằm mặt cho mặt cầu bán kính R Thơng lượng E qua biên miền V(gồm mặt cầu mặt cho) phải nên suy thông lượng qua mặt thơng lượng qua mặt cầu bán kính R Vậy ta cần tính thơng lượng qua mặt cầu Dùng cơng thức tính thơng lượng kq kq kq    En ds   ds   ds  4R2  4kq R S R S S R 1.42 u x u u z    ;   x M r M y M y M r M u  1 1 2    1 2 2 2 M x y y  gradu  i + j+ k Theo định nghĩa thông lượng gradu qua r r r mặt cầu tính sau x y y    dydz+ dzdx+ dxdy , S phía ngồi mặt cầu r r r S 2 x + y + z  Do S r khơng đổi nên    xdydz+ydzdx+zdxdy  4π S 1.43 1.44 1.45 x 'r  a sin  cos  ;x'  ar cos cos  ;x'  ar sin  sin  ; y r  bsin  sin  ; y  brcos sin  ; y  br sin  cos  ; ' ' ' z 'r  ccos ;z'  crsin ;z'  Hệ toạ độ cong trực giao  x 'r x'  y'r y'  z 'r z'   ' ' ' ' ' '  x r x  y r y  z r z    ' ' ' ' ' '  x x  y y  z z  a r sin  cos cos   b r sin  cos sin   c 2rcos sin   2 2 a r sin  sin  cos  b r sin  sin  cos   2 2 a r sin  cos sin  cos  b r sin  cos sin  cos  a cos   b sin   c   2  a  b2  c2  a  b   2 a  b  Khi hệ số Lame là h r  (x'r )2  (y'r )2  (zr' )2  a h  (x )  (y )  (z )  a r sin  ' ' ' h  (x )  (y )  (z )  a r ' ' ' ... y j  zk Giả sử a  x1i  y1 j  z1 k , x1, y1,z1 số Khi đó a;r   (y1z  yz1;z1x  zx1;x1y  xy1)    Theo định nghĩa ta có (y1z  yz1 ) (z1x  zx1 ) (x1y  xy1 ) div a;r   + +... r Hình 1. 16 S 1. 32 1/ 2; 2/ 2 1. 33 1. 34 -4 18 8 ln 1. 35 21 1.36 1/ 0; 2/ 2 1. 37 -12 1. 38 2π b2 1. 39 x  t, y  t, z  t 1. 40 rotv  20 ez Hướng dẫn Sử dụng hệ toạ độ trụ 1. 41 4kq Hướng... )1 Giả sử a  x 1i  y 1j z 1k  a;r  (y z1 yz ;z x 1 y1 xy Khi đó, rot a;r  có thành phần (x1y  xy1 ) (z1x  zx1 ) Rx    2x1 y z  (y1z  yz1 )  (x1y  xy1 ) Ry    2y1