Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng FGM bằng phần tử ES MTTC3+

Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng FGM bằng phần tử ES MTTC3+ Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng FGM bằng phần tử ES MTTC3+ Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng FGM bằng phần tử ES MTTC3+ Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng FGM bằng phần tử ES MTTC3+ Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng FGM bằng phần tử ES MTTC3+ Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng FGM bằng phần tử ES MTTC3+

TĨM TẮT Phân tích kết cấu phân lớp chức FGMs phần tử ES-MITC3+ Luận văn phát triển công thức phần tử tam giác nút ES-MITC3+ dùng để phân tích tĩnh phân lớp chức FGMs theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) Phần tử đề xuất có có trƣờng biến dạng uốn đƣợc làm trơn miền chung cạnh phần tử (ES) trƣờng biến dạng cắt mặt phẳng đƣợc xấp xỉ theo kỹ thuật MITC3+ để khử tƣợng khóa cắt Độ xác hiệu phần tử ES-MITC3+ đƣợc đánh giá thơng qua phân tích độ võng ứng suất số toán FGMs điển hình có hình học, tỉ số chiều dày cạnh tấm, điều kiện biên, tải trọng số thể tỉ lệ thành phần vật liệu FGMs thay đổi Kết so sánh với phần tử loại lời giải tham khảo cho thấy tính xác phần tử đề xuất iv ABSTRACT Analysis of FGMs plates by using the 3-node triangular element ES-MITC3+ In this thesis, the formula of the 3-node triangular element ES-MITC3+ is developed to statically analyze the FGMs plates based on the higher-order shear deformation theory (HSDT) In the proposed element, the bending strain fields are smoothed over the edge-based domains of the two elements sharing the edge and the transverse shear strains are approximated by MITC3+ technique to remove the shear-locking phenomenon The accuarcy and robustness of the element ES-MITC3+ are verified by analyzing the deflection and stresses of some benchmark FGMs plates with different shapes, ratios of the thickness and length, boundary conditions, loadings FGMs indexes Comparison with the results given by the similar elments or reference solutions points out the accuracy of the proposed el v MỤC LỤC LÝ LỊCH KHOA HỌC I LỜI CAM ĐOAN II LỜI CẢM ƠN III TÓM TẮT IV ABSTRACT V DANH SÁCH CÁC CHỮ VIẾT TẮT VIII DANH SÁCH CÁC HÌNH IX DANH SÁCH CÁC BẢNG XI CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN 12 1.1 GIỚI THIỆU CHUNG 12 1.2 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGOÀI NƢỚC 15 1.3 NÉT MỚI CỦA ĐỀ TÀI: 16 1.4 MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI 16 1.5 NHIỆM VỤ VÀ GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI 16 1.6 PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 17 CHƢƠNG 2: LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO CHO TẤM PHÂN LỚP CHỨC NĂNG (FGMS) 18 2.1 ĐẶC TRƢNG VẬT LIỆU PHÂN LỚP CHỨC NĂNG (FGMS) CHO TẤM 18 2.2 LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO CHO TẤM FGMS 19 2.2.1 Trƣờng chuyển vị 19 2.2.2 Nội lực 22 CHƢƠNG 3: CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN ES-MITC3+ CHO TẤM FGMS THEO HSDT 25 3.1 CÔNG THỨC PTHH TẤM TAM GIÁC NÚT MITC3+ CHO TẤM FGMS 25 3.2 CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN ES-MITC3+ CHO TẤM FGMS 30 vi CHƢƠNG 4: CÁC VÍ DỤ SỐ 34 4.1 BÀI TỐN TẤM VNG FGMS CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU 34 4.2 BÀI TỐN TẤM FGM CHỊU TẢI TRỌNG HÌNH SIN 43 4.3 BÀI TOÁN TẤM XIÊN FGM CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ ĐỀU 46 CHƢƠNG 5: KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 vii DANH SÁCH CÁC CHỮ VIẾT TẮT Phần tử hữu hạn PTHH Lý thuyết cổ điển CPT Lý thuyết nhiều lớp cổ điển CLPT Lý thuyết biến dạng cắt bậc FSDT Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao HSDT Phƣơng pháp nội suy hỗn hợp thành phần ten-xơ MITC Tấm vật liệu phân lớp chức FGMs viii DANH SÁCH CÁC HÌNH Hình 2-1: Tấm vật liệu FGMs (Functionally Graded Materials) 18 Hình 2-2: Đồ thị thể hàm phân phối Vc theo chiều dày z/h 19 Hình 2-3: Các chuyển vị u, v, w góc xoay x, y với chiều dƣơng qui ƣớc 20 Hình 3-1: (a) Rời rạc phần tử tam giác nút (b) Nút chuyển vị nút qui ƣớc dấu dƣơng phần tử MITC3+ 26 Hình 3-2: Vị trí điểm buộc phần tử MITC3+ 28 Hình 3-3: Phân chia miền làm trơn cạnh phần tử 30 Hình 3-4: Véc-tơ pháp tuyến với biên miền làm trơn 31 Hình 4-1: Tấm FGM với biểu diễn hình học, tải trọng, điều kiện biên 35 Hình 4-2: Độ võng không thứ nguyên wc tâm Al/ZrO2-1 37 Hình 4-3: Độ võng khơng thứ ngun wc tâm Al/ZrO2-1 37 Hình 4-4: Độ võng tâm AL/ZrO2-1 với h/L = 0.2, biên tựa đơn ứng với tỷ lệ vật liệu n thay đổi 38 Hình 4-5: Độ võng tâm AL/ZrO2-1 với h/L = 0.2, biên ngàm ứng với tỷ lệ vật liệu n thay đổi 39 Hình 4-6: Độ võng khơng thứ ngun wc tâm FGMs Al/ZrO2-1 với tỷ số h/L giảm dần, số n thay đổi biên tựa đơn 40 Hình 4-7: Độ võng không thứ nguyên wc tâm FGMs Al/ZrO2-1 với tỷ số h/L giảm dần, số n thay đổi biên ngàm 41 Hình 4-8: Độ võng khơng thứ ngun wc tâm FGMs Al/ZrO2-1 với số n thay đổi tỷ số h/L = 0.25 (tấm dày) 41 Hình 4-9: Độ võng không thứ nguyên wc tâm FGMs Al/ZrO2-1 với số n thay đổi tỷ số h/L = 0.1 (tấm dày vừa) 42 Hình 4-10: Độ võng khơng thứ nguyên wc tâm FGMs Al/ZrO2-1 với số n thay đổi tỷ số h/L = 0.01 (tấm mỏng) 42 Hình 4-11: Hình học tải trọng FGMs Al/Al2O3 43 ix Hình 4-12: Biểu đồ ứng suất tâm  xx dọc theo chiều dày 45 Hình 4-13: Biểu đồ ứng suất tiếp  xy dọc theo chiều dày 45 Hình 4-14: Biểu đồ ứng suất  xz dọc theo chiều dày 46 Hình 4-15: Hình học tải trọng xiên FGMs Al/ZrO2-1 47 Hình 4-16: So sánh độ võng khơng thứ nguyên tâm xiên có góc xiên Ψ số vật liệu n thay đổi với nghiên cứu khác 48 Hình 4-17: Ứng suất dọc ϭxx chiều dày tâm xiên 49 Hình 4-18: Ứng suất ϭxx dọc chiều dày tâm xiên 49 x DANH SÁCH CÁC BẢNG Bảng 3-1: Tọa độ điểm buộc phần tử MITC3+ với d = 1/10000 28 Bảng 4-1: Đặc trƣng vật liệu thành phần FGMs 34 Bảng 4-2: Độ võng không thứ nguyên wc  100wc Ec h3 /12(1  )qL4 36 Bảng 4-3: So sánh độ võng không thứ nguyên wc  100wc Em h / 12(1   ) qL4 38 Bảng 4-4: Độ võng không thứ nguyên wc  100wc Ec h3 /12(1  ) p0 L4 40 Bảng 4-5: Giá trị độ võng thành phần ứng suất không thứ nguyên FGMs Al/Al2O3 chịu tải trọng hình sin 44 Bảng 4-6: Độ võng không thứ nguyên wc  100wc Ec h3 /12(1  ) p0 L4 47 xi Chƣơng 1: TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu chung Đi đôi với phát triển khoa học địi hỏi ngƣời cần phải tìm kiếm sáng tạo nên nhiều loại vật liệu có tính chất ƣu việt vƣợt trội so với loại vật liệu truyền thống nhƣ đất, đá, gỗ, … nhằm đáp ứng đòi hỏi khắt khe ngành kỹ thuật công nghệ cao nhƣ nhẹ, bền, chịu va đập, chịu nhiệt, ẩm độ …và có khả đặc biệt phù hợp tùy theo nhu cầu ngƣời sử dụng, không gây ảnh hƣởng đến môi trƣờng tự nhiên Vật liệu FGMs (Functionally Graded Materials) loại vật liệu đáp ứng đƣợc yêu cầu Vật liệu FGMs đƣợc đề xuất năm 1984 [1] kết hợp từ thành phần vật liệu khác nhau, có dạng gồm mặt giàu kim loại mặt lại giàu ceramic với mục đích có khả cách nhiệt chịu tải trọng cao Vật liệu FGMs có tính chất dị hƣớng, khơng đồng có đặc trƣng vật liệu biến thiên liên tục theo chiều dày tính chất vật liệu thay đổi từ bề mặt sang bề mặt khác tùy vào tỷ lệ vật liệu ban đầu Ngồi ra, vật liệu FGMs cịn hạn chế đƣợc tập trung ứng suất, bong tách lớp rạn nứt thƣờng gặp vật liệu nhiều lớp thông thƣờng Nhờ vào ƣu điểm bật mà vật liệu FGMs đƣợc ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học: không gian vũ trụ, hạt nhân, lƣợng, y học, khí, xây dựng, hàng khơng, giao thơng vận tải, hóa học, vật lý … Tuy nhiên, Với loại kết cấu làm việc điều kiện khác nhau, thuận lợi hay khắc nghiệt, thông qua kết tính tốn phân tích mơ hình thực nghiệm đƣa lựa chọn loại cấu tạo vật liệu FGMs phù hợp Cho nên để ứng dụng rộng rãi loại vật liệu FGMs này, phát triển vƣợt bậc lĩnh vực khoa học công nghệ đại ngày nhiều nhà khoa học giới tập trung nghiên cứu vấn đề liên quan đến xây dựng mơ hình tính tốn phù hợp nhằm phân tích dự đốn xác ứng xử tĩnh, dao động ổn định 12 kết cấu sử dụng vật liệu FGMs Từ đó, đƣa phƣơng án cấu tạo vật liệu FGMs tốt nhất, phù hợp với nhu cầu sử dụng hạn chế thấp rủi ro xảy trình sử dụng đƣợc đề xuất Hiện nay, ứng xử kết cấu làm vật liệu FGMs đƣợc phân tích cách sử dụng lý thuyết tƣơng đƣơng phổ biến sau: + Lý thuyết biến dạng cắt cổ điển (CPT) đƣợc tác giả đề xuất dựa giả thuyết ban đầu Love – Kirchhoff [2]–[5] cho kết tốt toán mỏng bỏ qua biến dạng cắt thẳng góc xz, yz Tuy nhiên, với trƣờng hợp dày dày trung bình có giá trị biến dạng cắt thẳng lớn lý thuyết biến dạng cắt cổ điển cho kết lại không tốt + Lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT) đƣợc Mindlin [6] Reissener [7] nghiên cứu đề xuất nhằm khắc phục hạn chế lý thuyết biến dạng cắt cổ điển (CPT) với giá trị xz, yz số bất biến theo chiều dày sử dụng hệ số hiệu chỉnh lực cắt nhằm đáp ứng đƣợc u cầu lực cắt khơng bề mặt phía dƣới phía Một số tác giả nhƣ Nguyen cộng [8]–[10] công bố nghiên cứu áp dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT) nhƣng kết số trƣờng hợp tấm, đặc biệt loại không đồng nhất, không thõa đáng phụ thuộc nhiều vào hệ số hiệu chỉnh lực cắt + Hạn chế lý thuyết biến dạng cắt cổ điển (CPT) lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT) động lực thúc đẩy đời phát triển lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) sử dụng thêm hàm biểu diễn thay đổi ứng suất thẳng góc theo chiều dày nên khơng dùng hệ số điều chỉnh lực cắt nhƣng cho kết ứng suất cắt thẳng góc xác ổn định lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT)… Hiện nay, có nhiều lý thuyết bậc cao đƣợc đề xuất tùy thuộc vào hàm bậc cao nhƣ Akavci [11] sử dụng hàm biến dạng cắt với hàm dạng hyperbolic (HDT) để phân tích ứng xử kết cấu đàn hồi chịu tải trọng học nhiệt độ, Thai võ [12] sử dụng hàm dạng hình sin để phân tích ứng xử kết cấu tấm, Kang Xiang [13] sử dụng hàm dạng đa thức bậc n để phân tích thành phần ứng suất biến dạng 13 Hình 4-12: Biểu đồ ứng suất tâm  xx dọc theo chiều dày Hình 4-13: Biểu đồ ứng suất tiếp  xy dọc theo chiều dày 45 Độ dày z/h 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 -0.1 0.0 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3 Ứng suất pháp τxz n=0 n=0.5 n=1 n=5 n=10 Quasi-3D [45] Hình 4-14: Biểu đồ ứng suất  xz dọc theo chiều dày Ngoài ra, kết so sánh phân tích độ võng, thành phần ứng suất chuẩn hóa số vật liệu n = 0, 0.5, 1, 5, 10 Hình 4-12, Hình 4-13, Hình 4-14 cho thấy hệ số đặc trƣng vật liệu n tăng độ võng lớn, điều hoàn toàn phù hợp mật độ ceramic giảm dần ảnh hƣởng đến độ cứng nên chuyển vị tăng theo giá trị n 4.3 Bài toán xiên FGM chịu tải trọng phân bố Xét xiên FGMs Al/ZrO2-1 nhƣ Hình 4-15 Tấm tựa đơn, chịu tải trọng phân bố P0 với thơng số hình học gồm chiều dài cạnh L, tỷ số chiều dày h/L = 0.1 Bài toán khảo sát ảnh hƣởng góc xiên độ võng khơng thứ nguyên tâm thành phần ứng suất không thứ nguyên giá trị góc xiên thay đổi lần lƣợt ψ = 150, 300, 450, 600, 750 tƣơng ứng với số vật liệu n = 0.5, 1, 2, 4, 10 Kết giá trị tính tốn độ võng ứng suất phân bố theo chiều dày cho phần tử ES-MITC3+ phần tử ES-MITC3 [40], CS-MITC3+ [38] lần lƣợc cho Bảng 4-6, Hình 4-16, Hình 4-17, Hình 4-18 46 Hình 4-15: Hình học tải trọng xiên FGMs Al/ZrO2-1 Bảng 4-6: Độ võng không thứ nguyên wc  100wc Ec h3 /12(1  ) P0 L4 tâm xiên FGMs Al/ZrO2-1 với góc xiên ψ số n thay đổi Góc xiên ψ n 0.5 10 Phƣơng pháp 150 300 450 600 750 ES-MITC3 [38] 0.4803 0.2890 0.1290 0.0376 0.0048 CS-MITC3+ [39] 0.4688 0.2741 0.1207 0.0350 0.0045 ES-MITC3+ 0.4858 0.2941 0.1320 0.0393 0.0052 ES-MITC3 [38] 0.5628 0.3386 0.1511 0.0440 0.0056 CS-MITC3+ [39] 0.5493 0.3210 0.1413 0.0410 0.0052 ES-MITC3+ 0.5693 0.3446 0.1547 0.0460 0.0061 ES-MITC3 [38] 0.6445 0.3899 0.1748 0.0513 0.0066 CS-MITC3+ [39] 0.6297 0.3703 0.1636 0.0478 0.0062 ES-MITC3+ 0.6518 0.3967 0.1790 0.0536 0.0073 ES-MITC3 [38] 0.7049 0.4304 0.1946 0.0579 0.0078 CS-MITC3+ [39] 0.6897 0.4099 0.1824 0.0540 0.0073 ES-MITC3+ 0,7125 0,4376 0,1992 0,0605 0,0085 ES-MITC3 [38] 0.7825 0.4799 0.2177 0.0651 0.0088 CS-MITC3+ [39] 0.7662 0.4577 0.2043 0.0607 0.0083 ES-MITC3+ 0.7906 0.4876 0.2228 0.0630 0.0096 47 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 ES-MITC3, n=0,5 ES-MITC3, n=1 ES-MITC3, n=2 ES-MITC3, n=4 ES-MITC3, n=10 CS-MITC3+, n=0,5 CS-MITC3+, n=1 CS-MITC3+, n=2 CS-MITC3+, n=4 CS-MITC3+, n=10 ES-MITC3+, n=0,5 ES-MITC3+, n=1 ES-MITC3+, n=2 ES-MITC3+, n=4 ES-MITC3+, n=10 60o 75o Góc xiên Ψ 15o 30o 45o Hình 4-16: So sánh độ võng không thứ nguyên tâm xiên có góc xiên Ψ số vật liệu n thay đổi với nghiên cứu khác Kết thể Hình 4.16 cho thấy góc xiên Ψ lớn độ võng tâm xiên giảm dần, ngƣợc lại số vật liệu n lớn độ võng tăng dần Ngoài kết so sánh biểu đồ biểu diễn thành ứng suất dọc theo chiều dày xiên FGMs Al/ZrO2-1 tâm với h/L = 0.1 n = 0.5, Hình 4-17 Hình 4-18 cho thấy góc nghiêng Ψ lớn ứng suất phát sinh không thay đổi nhiều Qua biểu đồ so sánh phƣơng pháp khác có kết tốt, đƣờng biểu đồ gần nhƣ trùng chứng minh đƣợc khả năng, mức độ đáng tin cậy phƣơng pháp đề xuất việc phân tích ứng xử độ võng ứng suất toán xiên FGMs Al/ZrO2-1 48 0.5 0.4 0.3 0.2 Tỷ lệ Z/h 0.1 0.0 -0.3 -0.3 -0.2 -0.2 -0.1 -0.1 -0.1 0.0 0.1 0.1 0.2 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 ES-MITC3 ψ=30 ES-MITC3 (ψ=45) ES-MITC3 (ψ=75) CS-MITC3+ (ψ=30) CS-MITC3+(ψ=45) CS-MITC3+ (ψ=75) ES-MITC3+ (ψ=30) ES-MITC3+ (ψ=45) ES-MITC3+ (ψ=75) Hình 4-17: Ứng suất dọc ϭxx chiều dày tâm xiên (với L/h = 0.1 n = 0.5) 0.5 0.4 0.3 Tỷ lệ Z/h 0.2 0.1 0.0 -0.3 -0.2 -0.1 -0.1 0.0 0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 ES-MITC3 (ψ=30) CS-MITC3+ (ψ=30) ES-MITC3+ (ψ=30) CS-MITC3+(ψ=45) ES-MITC3+ (ψ=45) CS-MITC3+ (ψ=75) ES-MITC3+ (ψ=75) ES-MITC3 (ψ=75) ES-MITC3 (ψ=45) Hình 4-18: Ứng suất ϭxx dọc chiều dày tâm xiên (với L/h = 0.1 n = 2) 49 0.2 0.2 Chƣơng 5: KẾT LUẬN Với đề tài nghiên cứu ứng xử kết cấu phân lớp chức FGMs phần tử ES-MITC3+ theo lý thuyết biến dạng cắt bậc ba Reddy, luận văn giải đƣợc vấn đề nhƣ sau: - Xây dựng công thức phần tử ES-MITC3+ có trƣờng biến dạng uốn đƣợc làm trơn miền chung cạnh phần tử (ES) trƣờng biến dạng cắt mặt phẳng đƣợc xấp xỉ theo kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+ Phần tử đề xuất đƣợc sử dụng để phân tích FGMs hình vng hình thoi Luận văn khảo sát ảnh hƣởng mật độ vật liệu phân bố tấm, tỉ lệ chiều dày cạnh h/L thay đổi từ nhỏ đến lớn, điều kiện biên, tải trọng khác đến ứng xử độ võng ứng suất FGMs So sánh kết chuyển vị ứng suất ứng với giá trị thay đổi trị số vật liệu n với kết tham khảo cho thấy - Các trƣờng hợp chiều dày thay đổi: dày, vừa, mỏng phần tử đề xuất cho kết xác hợp lý Điều chứng minh khả khử tƣợng khóa cắt phần tử ES-MITC3+ tốt - Kết giải pháp nghiên cứu luận văn có độ tin cậy phù hợp với giá trị tính toán lời giải theo lý thuyết HSDT loại phần tử làm trơn khác, lời giải theo lý thuyết Quasi-3D, phƣơng pháp kp-Ritz công bố trƣớc ứng với nhiều dạng toán khác - Ngồi kết tốn cịn cho thấy ảnh hƣởng số vật liệu đến độ võng, hệ số đặc trƣng vật liệu n tăng độ võng lớn, điều hoàn toàn phù hợp mật độ ceramic FGMs giảm dần ảnh hƣởng đến độ cứng nên chuyển vị tăng theo giá trị n Tuy nhiên, quỹ thời gian hạn hẹp, nên luận văn khảo sát đƣợc độ xác phần tử ES-MITC3+ phân tích tĩnh FGMs theo lý thuyết 50 biến dạng cắt bậc Reddy mà chƣa đánh giá đƣợc khả phần tử đề xuất phân tích dao động ứng xử FGMs tải trọng nhiệt, độ ẩm, 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Koizumi, “FGM activities in Japan,” Composites Part B: Engineering, vol 28, no 1, pp 1–4, Jan 1997 [2] E Feldman and J Aboudi, “Buckling analysis of functionally graded plates subjected to uniaxial loading,” Composite Structures, vol 38, no 1, pp 29–36, May 1997 [3] M Mohammadi, A R Saidi, and E Jomehzadeh, “Levy Solution for Buckling Analysis of Functionally Graded Rectangular Plates,” Appl Compos Mater, vol 17, no 2, pp 81–93, Apr 2010 [4] E Feldman and J Aboudi, “Buckling analysis of functionally graded plates subjected to uniaxial loading,” Composite Structures, vol 38, no 1, pp 29–36, May 1997 [5] C.-S Chen, T.-J Chen, and R.-D Chien, “Nonlinear vibration of initially stressed functionally graded plates,” Thin-Walled Structures, vol 44, no 8, pp 844–851, Aug 2006 [6] R D Mindlin, R D., and R D., “Influence of rotatory inertia and shear flexural motions of isotropic elastic plates,” Jan 1951 [7] E Reissner, “On the Theory of Bending of Elastic Plates,” International Journal of Solids and Structures, vol 12, pp 545–554, Dec 1976 [8] T.-K Nguyen, K Sab, and G Bonnet, “Shear Correction Factors for Functionally Graded Plates,” Mechanics of Advanced Materials and Structures, vol 14, no 8, pp 567–575, Nov 2007 [9] T.-K Nguyen, K Sab, and G Bonnet, “First-order shear deformation plate models for functionally graded materials,” Composite Structures, vol 83, no 1, pp 25–36, Mar 2008 52 [10]T.-K Nguyen, T P Vo, and H.-T Thai, “Static and free vibration of axially loaded functionally graded beams based on the first-order shear deformation theory,” Composites Part B: Engineering, vol 55, pp 147–157, Dec 2013 [11]S S Akavci, “Thermal Buckling Analysis of Functionally Graded Plates on an Elastic Foundation According to a Hyperbolic Shear Deformation Theory,” Mech Compos Mater, vol 50, no 2, pp 197–212, May 2014 [12]H.-T Thai and T P Vo, “A new sinusoidal shear deformation theory for bending, buckling, and vibration of functionally graded plates,” Applied Mathematical Modelling, vol 37, no 5, pp 3269–3281, Mar 2013 [13]S Xiang and G Kang, “A nth-order shear deformation theory for the bending analysis on the functionally graded plates,” European Journal of Mechanics A/Solids, vol 37, pp 336–343, Jan 2013 [14]J N Reddy, “A Simple Higher-Order Theory for Laminated Composite Plates,” J Appl Mech, vol 51, no 4, pp 745–752, Dec 1984 [15]M Karama, K S Afaq, and S Mistou, “A new theory for laminated composite plates,” Proceedings of the IMechE, vol 223, no 2, pp 53–62, Apr 2009 [16]T Kant and B N Pandya, “A simple finite element formulation of a higherorder theory for unsymmetrically laminated composite plates,” Composite Structures, vol 9, no 3, pp 215–246, Jan 1988 [17]T Kant, R V Ravichandran, B N Pandya, and B N Mallikarjuna, “Finite element transient dynamic analysis of isotropic and fibre reinforced composite plates using a higher-order theory,” Composite Structures, vol 9, pp 319–342, Dec 1988 [18]M Touratier, “An efficient standard plate theory,” International Journal of Engineering Science, vol 29, no 8, pp 901–916, Jan 1991 [19]V.-H Nguyen, T.-K Nguyen, H.-T Thai, and T P Vo, “A new inverse trigonometric shear deformation theory for isotropic and functionally graded sandwich plates,” Composites Part B: Engineering, vol 66, pp 233–246, Nov 2014 53 [20]G R L Nguyen Thoi Trung, “Smoothed Finite Element Methods,” CRC Press, 08-Jun-2010 [21]T Nguyen-Thoi, P Phung-Van, C Thai-Hoang, and H Nguyen-Xuan, “A cellbased smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) using triangular elements for static and free vibration analyses of shell structures,” International Journal of Mechanical Sciences, vol 74, pp 32–45, Sep 2013 [22]P Phung-Van, T Nguyen-Thoi, T Bui-Xuan, and Q Lieu-Xuan, “A cell-based smoothed three-node Mindlin plate element (CS-FEM-MIN3) based on the C0type higher-order shear deformation for geometrically nonlinear analysis of laminated composite plates,” Computational Materials Science, vol 96, pp 549–558, Jan 2015 [23]P.-S Lee and K.-J Bathe, “Development of MITC isotropic triangular shell finite elements,” Computers & Structures, vol 82, no 11, pp 945–962, May 2004 [24]H.-M Jeon, P.-S Lee, and K.-J Bathe, “The MITC3 shell finite element enriched by interpolation covers,” Computers & Structures, vol 134, pp 128– 142, Apr 2014 [25]K.-J Bathe, F Brezzi, and S W Cho, “The MITC7 and MITC9 Plate bending elements,” Computers & Structures, vol 32, no 3, pp 797–814, Jan 1989 [26]Y Ko, P.-S Lee, and K.-J Bathe, “The MITC4+ shell element and its performance,” Computers & Structures, vol 169, pp 57–68, Jun 2016 [27]Y Lee, P.-S Lee, and K.-J Bathe, “The MITC3+ shell element and its performance,” Computers & Structures, vol 138, pp 12–23, Jul 2014 [28]H Nguyen-Xuan, G R Liu, C Thai-Hoang, and T Nguyen-Thoi, “An edgebased smoothed finite element method (ES-FEM) with stabilized discrete shear gap technique for analysis of Reissner–Mindlin plates,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol 199, no 9, pp 471–489, Jan 2010 [29]H Nguyen-Xuan, T Rabczuk, N Nguyen-Thanh, T Nguyen-Thoi, and S Bordas, “A node-based smoothed finite element method with stabilized discrete 54 shear gap technique for analysis of Reissner–Mindlin plates,” Comput Mech, vol 46, no 5, pp 679–701, Oct 2010 [30]C D Thanh, V N Tuyen, and N H Phuc, “A cell-based smoothed three-node plate finite element with a bubble node for static analyses of both thin and thick plates,” Vietnam Journal of Mechanics, vol 39, no 3, pp 229–243, Sep 2017 [31]T Chau-Dinh, Q Nguyen-Duy, and H Nguyen-Xuan, “Improvement on MITC3 plate finite element using edge-based strain smoothing enhancement for plate analysis,” Acta Mech, vol 228, no 6, pp 2141–2163, Jun 2017 [32]T Châu Đình and D Nguyễn Văn, “Phân tích tĩnh dao động riêng composite nhiều lớp phần tử MITC3 có biến dạng đƣợc trung bình miền nút phần tử (NS-MITC3),” Tuyển tập cơng trình Hội nghị khoa học tồn quốc “Vật liệu Kết cấu Composite: Cơ học, Công nghệ Ứng dụng, pp 613–620, 2016 [33]T Nguyen-Thoi, T Bui-Xuan, P Phung-Van, H Nguyen-Xuan, and P NgoThanh, “Static, free vibration and buckling analyses of stiffened plates by CSFEM-DSG3 using triangular elements,” Computers & Structures, vol 125, pp 100–113, Sep 2013 [34]H Nguyen-Xuan, L V Tran, T Nguyen-Thoi, and H C Vu-Do, “Analysis of functionally graded plates using an edge-based smoothed finite element method,” Composite Structures, vol 93, no 11, pp 3019–3039, Oct 2011 [35]S Natarajan and G Manickam, “Bending and vibration of functionally graded material sandwich plates using an accurate theory,” Finite Elements in Analysis and Design, vol 57, pp 32–42, Sep 2012 [36]C H Thai, L V Tran, D T Tran, T Nguyen-Thoi, and H Nguyen-Xuan, “Analysis of laminated composite plates using higher-order shear deformation plate theory and node-based smoothed discrete shear gap method,” Applied Mathematical Modelling, vol 36, no 11, pp 5657–5677, Nov 2012 [37]D Nguyễn-Văn, “Phân tích kết cấu phần tử biến dạng trơn NSMITC3,” Luận Văn Thạc sĩ, 2016 55 [38]T Châu- Đình, M La-Tấn, “Phân tích kết cấu phân lớp chức năng(FGM) chịu tải trọng nhiệt phần tử CS-MITC3+,” Luận Văn Thạc sĩ, 2018 [39]H Luong-Van, T Nguyen-Thoi, G R Liu, and P Phung-Van, “A cell-based smoothed finite element method using three-node shear-locking free Mindlin plate element (CS-FEM-MIN3) for dynamic response of laminated composite plates on viscoelastic foundation,” Engineering Analysis with Boundary Elements, vol 42, pp 8–19, May 2014 [40]H N.-V T Châu Đình, “Phân tích kết cấu vật liệu phân lớp chức (FGMs) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao dùng phần tử MITC3 đƣợc làm trơn cạnh,” Luận Văn Thạc sĩ, 2017 [41]H Nguyen-Xuan, L V Tran, C H Thai, and T Nguyen-Thoi, “Analysis of functionally graded plates by an efficient finite element method with node-based strain smoothing,” Thin-Walled Structures, vol 54, pp 1–18, May 2012 [42]K.-J Bathe and E N Dvorkin, “A four-node plate bending element based on Mindlin/Reissner plate theory and a mixed interpolation,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 21, no 2, pp 367–383, 1985 [43]Y Y Lee, X Zhao, and K M Liew, “Thermoelastic analysis of functionally graded plates using the element-free kp-Ritz method,” Smart Mater Struct., vol 18, no 3, p 035007, Jan 2009 [44]D F Gilhooley, R C Batra, J R Xiao, M A McCarthy, and J W Gillespie, “Analysis of thick functionally graded plates by using higher-order shear and normal deformable plate theory and MLPG method with radial basis functions,” Composite Structures, vol 80, no 4, pp 539–552, Oct 2007 [45]C.-P Wu and K.-H Chiu, “RMVT-based meshless collocation and elementfree Galerkin methods for the quasi-3D free vibration analysis of multilayered composite and FGM plates,” Composite Structures, vol 93, no 5, pp 1433– 1448, Apr 2011 56 [46]H.-T Thai and S.-E Kim, “A simple higher-order shear deformation theory for bending and free vibration analysis of functionally graded plates,” Composite Structures, vol 96, pp 165–173, Feb 2013 [47]A M Zenkour, “Generalized shear deformation theory for bending analysis of functionally graded plates,” Applied Mathematical Modelling, vol 30, no 1, pp 67–84, Jan 2006 57 58 S K L 0 ... phân tích kết cấu vật liệu phân lớp chức (FGMs) phân tử ES- MITC3+ So sánh đánh giá độ xác phần tử đề xuất với phần tử loại việc phân tích FGM chịu tải trọng 16 Đề tài giới hạn phân tích kết cấu. .. tam giác nút chuyển từ tích phân diện tích phần tử thành tích phân đƣờng cạnh phần tử Kết quả, phần tử làm trơn nhƣ CS-DSG3 [21], ES- DSG3 [28], NS-DSG3 [29], CS-MITC3+ [30], ES- MITC3 [31], NS-MITC3... DẠNG CẮT BẬC CAO CHO TẤM PHÂN LỚP CHỨC NĂNG (FGMS) 18 2.1 ĐẶC TRƢNG VẬT LIỆU PHÂN LỚP CHỨC NĂNG (FGMS) CHO TẤM 18 2.2 LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO CHO TẤM FGMS 19 2.2.1 Trƣờng