Đang tải... (xem toàn văn)
Vì coi caùc ñieän töû töï do trong kim loaïi coù theå coi laø moät chaát khí neân theo thuyeát ñoäng hoïc chaát khí:. K = CV.[r]
(1)CHƯƠNG V
(2)I LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ KHÍ
ĐIỆN TỬ CỦA DRUDE
Kim loại gồm ion dương
nặng nằm nút mạng
Các điện tử hóa trị tách khỏi
nguyên tử chuyển động tự kim loại tạo thành khí điện tử tự
(3)Theo Drude electron dẫn điện kim loại hạt cổ điển chuyển động tự
do “ hộp tinh thể”
và dùng thuyết động học phân tử để
(4)Các điện tử khi chuyển động ln bị va
chạm.
Giữa va chạm điện tử chuyển động
tuaân theo định luật Newton.
Thời gian bay tự trung bình
điện tử khơng phụ thuộc vào vị trí vận tốc
của nó.
Khi va chạm vận tốc điện tử bị thay đổi
đột ngột cơ chế làm điện tự cân bằng nhiệt với môi trường xung quanh hay trở
lại trạng thái cân ngưng ngoại lực tác
(5)E Khi ñieän
trường:
Các electron chuyển động nhanh thường xuyên thay đổi chiều
Khi có điện trường :
1 Vẫn có chuyển động hỗn loạn Thêm chuyển động trung bình
(6)Khi đặt lên vật dẫn điện điện trường điện tử tự kim loại chịu tác dụng lực điện trường
chuyển động có hướng với vận tốc trung bình vd (vận tốc cuốn)
E
=
Với = độ dẫn điện riêng vật dẫn
j
E
Lực điện trường tác dụng lên điện tử là:
= - e
e
F E
Do đó, vật xuất dịng điện có mật độ tn theo định luật Ohm:
Trong điện trường, electron có hai loại vận tốc : vT vd
Vì vd << vT nên chuyển động có hướng tập thể electron khơng ảnh hưởng đáng kể đến thời gian bay tự
(7)Mặt khác q trình chuyển động điện tử ln bị tán xạ mạng tinh thể tương đương với
lực ma sát có dạng:
1
v
ms
F = - m
Theo định luật II Newton ta có: + = m
e
F Fms a
dv dt
1
(8)Chọn điều kiện đầu t = : v (0) = ta có nghiệm phương trình có dạng:
Dưới tác dụng lực vật chuyển động nhanh dần tăng dần ổn định thì:
e
F
eE m
1 exp
v =
ms
F
Ban đầu v (0) = =
điện tử chuyển động với vận tốc
không đổi vd
e
(9) mv1 d = - eE vd = -
eE m
Ta coù:
J = neevd = nee =
2 e
n e E m eE
m Mặt khác:
J = E = = nee
2 e
n e m
= = độ linh động điện tử
= thời gian hồi phục; ne = nồng độ điện tử
e m
Với j ~ A/cm2; n ~ 1022 cm-3 v
d ~ 10-3 cm/s
Nếu coi điện tử tự kim loại khí điện tử vận tốc nhiệt vT điện tử tính theo cơng thức:
mvT = kT
2
(10)Ý nghóa :
có thứ nguyên thời gian đặc trưng cho tốc độ thiết
lập cân hệ
coi thời gian trung bình lần va chạm
điện tử Hay thời gian tự trung bình điện tử
phụ thuộc vào vận tốc chuyển động nhiệt vT điện tử,
vT lớn nhỏ
khơng phụ thuộc vào vận tốc vd điện tử, tức
khơng phụ thuộc vào điện trường ngồi Do độ dẫn điện nói chung khơng phụ thuộc vào điện trường
nhỏ hệ nhiễu loạn trở lại cân nhanh = Thời gian mà sau vd giảm e = 2,718 lần,
gọi thời gian hồi phục.
Bằng thực nghiệm ta đo (dựa vào định luật Ohm)
(11)Quãng đường bay tự trung bình điện tử
Ta coù:
= vT
Trong đó:
Trong đó:
vT 107 cm/s ; 10-14 10-15s
10
o
A
THỰC NGHIỆM CHO THẤY
Ở nhiệt độ thấp
Đối với tinh thể kim loại tinh khiết độ dẫn điện
nhiệt độ thấp lớn nhiệt độ phòng
Các tinh thể kim loại tinh khiết lớn nhiều
(12)Một số kim loại khác nhiệt độ 40K: 10 cm
VÍ DỤ
Đồng
(4oK) = 105(3000K) = 3.10-9s; v = 1,5.108 cm/s
(40K) = v = 0,3 cm
Nếu coi tán xạ e- mạng tinh thể
thì angstrom Khơng phù hợp với kết thực
nghiệm Mô hình Drude chưa phù hợp với thực
(13)Theo lý thuyết cổ điển, nhiệt độ cao:
T -3/2
Thuyết cổ điển không phù hợp với thực nghiệm
Ở nhiệt độ cao
Thực nghiệm cho thấy nhiệt độ cao:
1 T
(14)Kim loại Độ dẫn điện (.m)-1
Baïc 6,8 107
Đồng 6,0 107
Vaøng 4,3 107
Nhôm 3,8 107
Sắt 1,0 107
Đồng thau (70Cu-30Zn) 1,6 107
Baïch kim 0,94.107
(15)SỰ DẪN NHIỆT CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ
Điện tử kim loại vừa hạt tải điện vừa hạt tải nhiệt
Wiedemann Franz thực nghiệm Lorentz lí thuyết thiết lập cơng thức liên hệ hệ số dẫn điện hệ số dẫn nhiệt K sau:
Trong đó:
L = const = soá Lorentz
LT K
(16)VÍ DỤ
Sự phụ thuộc hệ số dẫn nhiệt K vào độ dẫn điện số kim loại 200C
LT
(17)Kim loại 273 K 373 K
Cu Mo
Pd Ag
Sn Pt Bi
2,23 2,61 2,59 2,31 2,52 2,51 3,31
2,33 2,79 2,74 2,37 2,49 2,60 2,89
Giá trị thực nghiệm số Lorentz
(18)K = c 1 v = vT.(vT.)
3 v
1
3 nk2 B
Theo thuyết động học phân tử:
2 B k 3 2 e L = B k 3 T 2 e K = B nk
K = v2
(19)NHẬN XÉT
Giá trị L theo công thức tương đối phù hợp với thực nghiệm
Với kết nên thuyết Drude chấp nhận lịch sử phát triển lí thuyết kim loại
Tuy nhiên, theo thuyết CV lấy từ kết thuyết cổ điển (đã không phù hợp với thực nghiệm) Kết trùng hợp L ngẫu
nhiên.Quãng đường tự trung bình theo thuyết Drude nhỏ (angstrom) với thực nghiệm (cm)
Để khắc phục cần lí thuyết mới.
(20)II LÝ THUYẾT VỀ KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO CỦA SOMMERFELD
MÔ HÌNH CỦA SOMMERFELD
Các điện tử tự kim loại tạo nên khí điện
tử chuyển động tự kim loại
Các điện tử tuân theo phân bố Fermi – Dirắc
điện tử coi chuyển động tự hố
(21)TÍNH SỐ TRẠNG THÁI CĨ NĂNG LƯỢNG E
CÁCH I
Đơn giản: Xét tinh thể đẳng hướng dạng khối lập phương cạnh L
Áp dụng điều kiện biên Born von Karman,véc tơ sóng k nhận giá trị gián đoạn:
ki =
Với i = x, y, z; ni = 0, 1, 2,
3
i
2 n L
Do lượng trở nên gián đoạn: E = 2(k2x k2y k )2z
2m
(22)Từ công thức lượng E ta thấy với số
lượng tử khác ta có giá trị lượng Suy biến
Ví dụ:
Ví dụ:
Với trạng thái có: E1 = có trạng thái chưa tính đến spin
2
2m
Với trạng thái có: E2 = 2E1 có 12 trạng thái chưa tính đến spin
Mặt đẳng năng.
Như vậy, trạng thái điện tử tinh thể
(23)(24)Trạng thái điện tử mơ tả phương
trình Schrodinger:
2 E
2m
Nghiệm phương trình có dạng sóng phẳng:
= C exp i k.r Với k = 2
Trị riêng: E =
Tốn tử xung lượng:
2 2k
2m
P i
Ta có: = m Vận tốc điện tử:
P k v
k v
m
TÍNH SỐ TRẠNG THÁI CĨ NĂNG LƯỢNG E
(25)Trong không gian k, mặt đẳng
năng E mặt cầu bán kính k tích:
Vk = k3
3
Mỗi trạng thái ứng với giá
(26)kz
ky
kx
E
k 2
L
Số giá trị phép Nk k thể tích hình
cầu có k từ k là:
Nk = =
3
4 k
2 L
3
V k 6
g(k) = = dNk = hàm mật độ trạng thái
dk
2
(27)Tương tự, số trạng thái NE có lượng E
khoảng từ E:
NE =
3
3
2
2
V 2m E
g(E) = =dNdEE = hàm mật độ trạng thái
3
2
2
V 2m E
Số điện tử thể tích V có lượng nằm
trong khoảng E E + dE là:
dN = 2g(E)f(E) dE
Trong f(E) hàm phân bố Fermi – Dirắc Thừa số trạng thái chứa
(28)f E
E E kT F ( )
exp
1
1
Hàm phân bố Fermi - Dirac
Theo lý thuyết Sommerfeld, chỉ electron gần mức Fermi tham gia vào trình trao đổi nhiệt
Hàm phân bố Fermi-Dirac nhiệt độ T 0oK
(29)Theo nguyên lí Pauli
Trong chất rắn điện tử phân bố theo
mức lượng từ thấp đến cao
Ở OoK, mức lượng cao có điện tử chiếm
là mức Fermi EF
Vec tơ sóng ứng với mức Fermi kF
Mặt có lượng EF gọi mặt Fermi
Nếu mặt Fermi mặt cầu có bán kính kF số
trạng thái mặt cầu là: F
3
4 k 3
2 L
3 F k
6 V
(30)Gọi N số điện tử có thể tích V tinh
thể ta có:
N =
kF =
3 F
V k 6
1
1
2 N 3
3 n
V
Trong n = nồng độ điện tử kim loại
Suy ra: EF = ; TF = ; vF =
2 F
k 2m
F
B
E
k F
k m
(31)5,48 3,75 2,46 2,15 1,83 8,12 6,36 6,39 16,41 8,27 5,43 4,58 4,24 10,90 8,66 13,49 12,01 9,98 10,87 11,64
Hóa trị Kim loại n 1028
( m-3 )
kF 108
(cm-1)
vF 106
(m/s)
EF (eV)
TF 104
( K ) Li Na K Rb Cs Cu Ag Au Be Mg Ca Sr Ba Zn Cd Al Ga In Pb Sn (traéng)
4,70 2,65 1,40 1,15 0,91 8,45 5,85 5,90 24,2 8,60 4,60 3,56 3,20 13,10 9,28 18,06 15,30 11,49 13,20 14,48 1,11 0,92 0,75 0,70 0,64 1,36 1,20 1,20 1,93 1,37 1,11 1,02 0,98 1,57 1,40 1,75 1,65 1,50 1,57 1,62 1,29 1,07 0,86 0,81 0,75 1,57 1,39 1,39 2,23 1,58 1,28 1,18 1,13 1,82 1,62 2,02 1,91 1,74 1,82 1,88 4,72 3,23 2,12 1,85 1,58 7,00 5,48 5,51 14,14 7,13 4,68 3,95 3,65 9,39 7,46 11,63 10,35 8,60 9,37 10,03 Moät số
(32)1 NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ
III ÁP DỤNG LÝ THUYẾT SOMMERFELD
Theo lí thuyết Sommerfeld điện tử gần mức Fermi tham gia vào trình trao đổi nhiệt
Ở nhiệt độ T, chuyển động nhiệt, số điện tử mức Fermi nhảy lên mức làm thay đổi phân bố trạng thái chúng
(33)Trong khoảng nhiệt độ mà lượng chuyển động nhiệt kT << EF: điện tử dải lượng E = kBT gần mức Fermi Số điện tử dải
đó là:
n = 2g(EF).f (E) E
Trong đó:
Trong đó: g(EF) = = = dNE
dE
3
1
2 F
2
V 2m E
F
3N 2E
Với: N = để đơn giản lấy f(E) =
n =
3 F
V k 6
E
3 N T T
(34)Năng lượng mà khí điện tử thu nhiệt độ T:
U = n.kBT = B
E
3 Nk T T
2 T
Do nhiệt dung:
C = T = T
Với: =
B F
3Nk U
T T
B F
(35)NA = số Avogađrô Z = hoá trị kim loại
Vậy thuyết Sommerfeld cho kết phù hợp
với thực nghiệm
Tuy nhiên số trường hợp TN LT Đó điện tử chuyển động tinh thể có khối lượng khác với khối lượng của điện tử tự
Neáu dùng hàm f(E) hàm phân bố Fermi – Dirắc :
=
2 A B
F
N k Z 2E
(36)2 SỰ DẪN NHIỆT VÀ DẪN ĐIỆN CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ
TÍNH HỆ SỐ DẪN NHIỆT
Vì coi điện tử tự kim loại coi chất khí nên theo thuyết động học chất khí:
K = CV.1
3
Với:
Với: C = T; v = vF; = vF.F K = vF2 FT
3
Ở nhiệt độ phòng, kim loại thường có độ dẫn nhiệt lớn chất điện môi từ 10 100 lần
điện tử đóng vai trị trội q trình dẫn
(37)TÍNH ĐỘ DẪN ĐIỆN
Mật độ dịng điện tính cơng thức: E
j e v(E)g(E)f dE E
f(E) = hàm phân bố điện tử có điện trường
Tương tự ta suy độ dẫn điện:
2 F
ne m
F = thời gian bay tự trung bình điện tử gần
(38) Kết công thức phù hợp với nhiều
kim lọai khoảng nhiệt độ từ 0oC – 100oC
Ở nhiệt độ thấp (T << D): L giảm
Nguyên nhân có sự sai khác thời
gian hồi phục trình nhiệt
điện.
TÍNH SỐ LORENTZ
2
B
k K
T e