Tích Phân: Chương 1 Phần 2

Đường bậc hai trong mặt phẳng Oxy có phương trình tổng quát là       2 2 0 Ax By Cxy Dx Ey F Tương tự: Mặt bậc hai trong không gian Oxyz có phương trình tổng quát là           2 2 2 0 Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Kz L Rút gọn pt tổng quát, ta có pt chính tắc của đường bậc 2 là:

Cho x = 0, y = 0, z = 0 ta nhận được giao tuyến của mặt với 3 mặt tọa độ là các đường Ellipse

3 Cách vẽ hình

Vẽ 3 giao tuyến của S với 3 mặt tọa độ

Nếu cả 3 giao tuyến của 1 mặt cong S với 3 mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ đều là ellipse thì ta sẽ

gọi mặt S là mặt Ellipsoid

Trong MatLab, để vẽ ellipsoid trên, ta dùng lệnh

ellipsoid(x,y,z,a,b,c)

1.8 Mặt bậc hai

(a,0,0) (0,0,c)

(0,b,0)

II. Mặt Paraboloid Elliptic: 1 Phương trình chính tắc :

tọa độ thứ 3 là 1 đường Ellipse

Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt

song song với các mặt tọa độ là2 Parabol, giao tuyến còn lại là1 Ellipsethì ta gọi mặt S làParaboloid Elliptic

1.8 Mặt bậc hai

Vẽ đường parabol y2 = z

trên mặt phẳng x = 0 3 Vẽ hình

Vẽ đường ellipse

x2+y2 = 1 trên mặt phẳng z = 1

Vẽ mặt parabolid z = x2+y2

1.8 Mặt bậc hai

Vẽ thêm đường parabol x2 = z trên mặt phẳng y = 0

1.8 Mặt bậc hai

III. Mặt Paraboloid Hyperbolic (Mặt Yên ngựa): 1 Phương trình chính tắc :

2 Cách gọi tên mặt:

Cho x = 0, y = 0 thì được 2 giao tuyến với 2 mặt tọa độ là 2 đường Parabol, cho z=c ta được giao tuyến với mặt tọa độ thứ 3 là 1 đường Hyperbol

Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt

song song với các mặt tọa độ là2 Parabol, giao tuyến còn lại là1 Hyperbolthì ta gọi mặt S làParaboloid Hyperbolic

Vẽ parabol trên mp y=0 2

Vẽ parabol trên mp x=0

1.8 Mặt bậc hai

Vẽ hyperbol trên mp z=k

k

III. Mặt Paraboloid Hyperbolic (Mặt Yên ngựa): 1 Phương trình chính tắc : 2 2

IV. Mặt Hyperboloid Elliptic: 1 Phương trình chính tắc :

Khi cho z=0: có 2 trường hợp

TH1: Nếu vế phải bằng +1 thì giao tuyến là ellipse TH 2: Nếu vế phải bằng -1 thì cho z=k với

ta có giao tuyến là ellipse | k | c1.8 Mặt bậc hai

VP là 1: 2 giao tuyến với x=0, y=0

VP là - 1: 2 giao tuyến với x=0, y=0

1.8 Mặt bậc hai

Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt

song song với các mặt tọa độ là 2 Hyperbol, giao tuyến còn lại là1 Ellipsethì ta gọi mặt S làHyperboloid Elliptic

Căn cứ vào hình dạng của 2 mặt Hyperboloid Elliptic trên mà ta gọi tên 2 mặt là:

Vẽ đường tròn x2+y2=1, trên mặt z=0 (đường chuẩn)

Vẽ các đường thẳng song song với Oz và tựa lên đường tròn trên (các đường sinh)

Ta gọi đây là mặt trụ tròn xoay

theo tên của đường chuẩn

1.8 Mặt bậc hai

Vẽ hình:

Trong MatLab, để vẽ trụ tròn xoay có thể dùng lệnh cylinder

1.8 Mặt bậc hai

Ví dụ: Mặt trụ Ellipse x2+4z2 = 4

z=x2 ở trên

đường chuẩn là parabol z=x2 trên mặt

phẳng y=0 nên ta gọi đây là mặt trụ parabol

1.8 Mặt bậc hai

Cách vẽ hình

1.8 Mặt bậc hai

Ví dụ: Mặt trụ Hyperbol y2 - z2 = 1

đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt nón và điểm cố định gọi là đỉnh của nón

1.8 Mặt bậc hai Vẽ 2 đt trên mp x=0, zcy

z = 0 : 0 = x2+y2-2x là pt đường tròn (ellipse) Suy ra mặt đã cho là mặt Paraboloid Elliptic

NHẬN DẠNG

1.8 Mặt bậc hai (Tự đọc)

VẼ HÌNH:

Vẽ 2 giao tuyến với 2 mặt z = 0, y = 0

Vẽ bằng Matlab: x=0:.1:2;

z=0*x;

y=sqrt(2*x-x.^2); plot3(x,y,z)

hold on

y=-sqrt(2*x-x.^2); plot3(x,y,z)

Ta được giao tuyến với z=0

1.8 Mặt bậc hai (Tự đọc)

-1-0.500.511.522.53hold on

y=-2:.2:2; x=1+0*y; z=-1+y.^2; plot3(x,y,z)

1.8 Mặt bậc hai (Tự đọc)

>> [r p]=meshgrid(linspace(0,1,20),linspace(0,2*pi,20)); >> mesh(r.*cos(p),r.*sin(p),r.^2)

1.8 Mặt bậc hai (Tự đọc)

1.8 Mặt bậc hai (Tự đọc)

-1 -0.5 0 0.5

>> theta=linspace(0,pi,20); >> phi=linspace(0,2*pi,20); >> [t p]=meshgrid(theta,phi);

>> mesh(sin(t).*cos(p),sin(t).*sin(p),1+cos(t)) 1.8 Mặt bậc hai (Tự đọc)

=meshgrid(linspace(-1,1,20),linspace(-4,-2,20)); >> z1=sqrt(y1.^2+2*y1); >> mesh(x,y1,z1)

>> hold on

>> mesh(x,y1,-z1)

Tương tự, ta vẽ nửa còn lại ứng với 0<y2<2 1.8 Mặt bậc hai (Tự đọc)

Ví dụ: Nhận dạng và vẽ các mặt bậc 2 sau:

1 y2-z2+2x2=0

2 x2+2x+2z2-3y=0 3 xy=z2

1 2 trong 3 giao tuyến là 2 cặp đt, giao tuyến thứ 3 là ellipse nên ta có mặt nón ellipse

2 2 trong 3 giao tuyến là 2 parabol, giao tuyến thứ 3 là ellipse nên ta có mặt Paraboloid elliptic

3 2 trong 3 giao tuyến là 2 đt

Đặt x=u+v, y=u-v thì ta được pt u2-v2=z2

Cho z=c, ta được pt của hyperbol Vậy đây là pt mặt nón hyperbol

1.8 Mặt bậc hai (Tự đọc)

3 2 trong 3 giao tuyến là 2 đt

Ta còn có thể gọi tên là

mặt nón ellipse vì ta viết cách khác cho pt: u2=v2+z2

1.8 Mặt bậc hai (Tự đọc)

1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do

Định nghĩa : Hàm f(x,y) được gọi là đạt cực đại chặt tại

M0(x0,y0) nếu tồn tại hình tròn mở B(M0,r) sao cho

Tức là: r0,M d M M,, 0 r : ( , )f x yf x y( 0, 0)

Định nghĩa : Hàm f(x,y) được gọi là đạt cực đại không chặt

tại M0(x0,y0) nếu tồn tại hình tròn mở B(M0,r) sao cho

Chú ý: Khái niệm cực trị chỉ mang tính địa phương, nó khác với khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trong một miền (Xem hình vẽ)

1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do

Ví dụ: Hàm f(x,y) = x2 + y2 đạt cực tiểu bằng 0 tại (0,0) vì

(x2 + y2) ≥ 0, với mọi (x,y)

Ta còn gọi đây 0 còn là giá trị nhỏ nhất của hàm trong toàn MXĐ vì :

f x yx yf

1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do

Điều kiện cần của cực trị : Nếu hàm f(x,y) có cực trị tại điểm M0(x0,y0) thì tại M0 hàm có các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 hoặc không tồn tại

Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 thì gọi là điểm dừng của hàm

Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 hoặc không tồn tại thì gọi là điểm tới hạn của hàm tức là điểm nghi ngờ có cực trị

Điểm M mà tại đó các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 và trong 1 lân cận bất kỳ của nó tồn tại các điểm M1, M2 sao cho f(M1)<f(M)<f(M2) được gọi là điểm yên ngựa

1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do

Ví dụ: Khảo sát cực trị của hàm f(x,y) = y2 – x2 Giải:

Ta có : f’x = -2x , f’y = 2y Điểm dừng của hàm là (0,0) Với mọi y, ta có

Điểm yên ngựa

1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do

Điều kiện đủ của cực trị :

Cho hàm f(x,y) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong 1 lân cận của điểm dừng Mi(xi,yi)

Ta viết công thức Taylor của hàm đến bậc 2 tại Mi (lưu ý

df(Mi)=0)

1,

1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do Ta viết lại:

22

1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do

Nếu gặp TH4, ta sẽ phải dùng định nghĩa để khảo sát cực trị

Điều kiện đủ của cực trị :

Cho hàm f(x,y) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong 1 lân cận của điểm dừng Mi(xi,yi)

TH1: Hàm đạt cực đại tại Mi nếu

TH2: Hàm đạt cực tiểu tại Mi nếu D 0,A 0

TH3: Điểm Mi là điểm yên ngựa nếu D 0

TH4: Không sử dụng được đk đủ nếu D 0

Các bước khảo sát cực trị hàm nhiều biến

1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do

Bước 1: Tìm điểm tới hạn Mi(xi,yi), i=1, 2, … bằng cách cho tất cả các đạo hàm riêng của hàm f cùng bằng 0, ta được hệ phương trình, giải ra ta được điểm dừng hoặc tìm những điểm mà tại đó các đạo hàm riêng không tồn tại

Bước 2: Tại các điểm dừng thì áp dụng điều kiện đủ Tại

các điểm mà các đhr không tồn tại thì dùng định nghĩa để

xét dấu f(x,y)-f(xi,yi)

Bước 3: Kết luận

xyxy

Ta có : Δf(M)= f(x,y) – f(M)

Δf(M)=(x2+y2 –2xy+2x–2y) – (x02+(1+x0)2 –2x0(x0+1)+2x0 - 2(1+x0))

Δf(M)=(x2+y2 –2xy+2x–2y) +1 Δf(M) = (x-y+1)2 ≥ 0

Vậy theo định nghĩa, hàm đạt cực tiểu không chặt tại mọi

điểm dừng M0 và fct = f(M0) = f(x0,x0+1) = -1

f(x,y) ≥ f(M)

1.9 Cực trị hàm nhiều biến (Tự đọc)

Vậy ta sẽ tính đạo hàm riêng của f tại (0,0) bằng định nghĩa:

1.9 Cực trị hàm nhiều biến (Tự đọc)

Do vai trò x, y như nhau trong hàm f, nên tương tự ta cũng có

Vậy tại (0,0) các đhr không tồn tại hữu hạn nên(0,0) chỉ là điểm tới hạn của hàm, tức là điểm nghi ngờ có cực trị

Tại M3(0,0): A = B = C = -2, Δ = 0

Ta phải xét dấu Δf = f(x,y)–f(0,0) = x4+y4–x2–y2–2xy, với mọi

(x,y) gần với (0,0) bằng cách chọn 2 điểm N1(1/n,1/n), N2(1/n,-1/n) và tính Δf(N1), Δf(N2)

Khoảng cách từ điểm M đến mp (P) là khoảng cách ngắn nhất từ M đến 1 điểm N bất kỳ thuộc mp (P)

với x, y, z thỏa điều kiện : x+2y+z=4

1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện

tiểu là điểm thấp nhất

Điểm cực đại là điểm cao nhất

1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện

Tuy nhiên, nếu ta cắt mặt phẳng trên bởi hình trụ tròn xoay x2+y2 = 1 ta được giao tuyến là 1 đường ellipse

Tập hợp các điểm trên đường ellipse trên là những điểm thuộc tập xác định của hàm f(x,y) thỏa điều kiện x2+y2 =1

Định nghĩa cực trị có điều kiện : Hàm f(x,y) được gọi là đạt cực đại chặt tại M0(x0,y0) với điều kiện φ(x,y) = 0 nếu Δf = f(x,y) – f(x0,y0)<0, với mọi M nằm trong hình cầu B(M0,r) và thỏa điều kiện trên

Thay dấu “<“ bởi dấu “≤” ta được cực trị không chặt có điều kiện, và lấy dấu ngược lại ta có khái niệm cực tiểu có điều kiện

1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm f(x,y) = x2-9y2+3xy+6x-5 với điều kiện 2x – 3y = 0

1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện

Tuy nhiên, hầu hết các trường hợp cực trị có điều kiện, ta không dễ dàng rút ra y theo x hoặc x theo y như trên Vì vậy, ta sẽ xây dựng phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện 1 cách tổng quát hơn

Bài toán: Tìm cực trị hàm z=f(x,y) với x, y thỏa điều kiện

Rõ ràng, c có giá trị lớn nhất khi đường mức f(x,y)=c tiếp xúc với đường cong g(x,y)=k tức là khi 2 đường cong có tiếp tuyến chung

Phương pháp nhân tử Lagrange

Do đó, 2 đường cong có pháp tuyến tại tiếp điểm M0(x0,y0) như nhau

1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện

Ta gọi λ là nhân tử Lagrange Ta có phương pháp nhân tử Lagrange như sau:

Tìm nghiệm của hpt (ta cũng gọi là tìm điểm dừng):

Phương pháp nhân tử Lagrange

Suy ra, 2 vecto gradient tại tiếp điểm M0(x0,y0) tỉ lệ với nhau:

, 1,2,

yy i

xy

Ví dụ: Người ta làm 1 hồ nuôi cá thể tích 0.5m2 với đáy là đá granit và 4 mặt bên bằng thủy tinh Nếu giá 1m2 đá granit cao gấp 5 lần giá 1m2 thủy tinh thì cần làm hồ có kích thước thế nào để chi phí làm hồ nhỏ nhất

Gọi kích cỡ 3 chiều của hồ các cần làm là x, y, z

Cách 1: Từ điều kiện, ta được thay vào hàm f ta được hàm 2 biến, tìm cực trị hàm 2 biến

Ta đưa yêu cầu trên thành bài toán:

Tìm cực tiểu hàm f(x,y,z)=5xy+2yz+2zx với điều kiện xyz = 0.5

Cách 2: Tìm cực trị hàm bằng pp Lagrange

1.9 Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện

Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x,y,z) = x - 2y + 2z với điều kiện x2+y2+z2=1

Giải : Ta cũng làm theo các bước như với hàm 2 biến

Ta được 2 điểm dừng M1(1/3,-2/3,2/3) , λ1 = -3/2 M2(-1/3,2/3,-2/3) , λ2 = 3/2

Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x,y) = x2+2y2+12xy với điều kiện 4x2+y2 = 25

Giải:

Khử λ từ 2 pt (1) và (2), ta được:

2 12 8 (1)4 12 2 (2)

Ta thay vào pt (3), ta được 4 điểm dừng

Định nghĩa: Cho hàm f(x,y) xác định trong miền D đóng và bị chặn Hàm f được gọi là đạt giá trị lớn nhất (GTLN) tại điểm

1.9 Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN

Cách tìm GTLN - GTNN

1 Tìm điểm dừng trong miền D

3 Tìm các giao điểm của các đường biên của D

4 Tính giá trị của hàm f tại các điểm dừng và các giao điểm So sánh để tìm GTLN,GTNN

1.9 Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN

Ví dụ: Tìm GTLN GTNN của hàm f(x,y) = x2+y2-xy trong miền

|x| + |y| ≤ 1 Giải:

Trước hết, ta xác định miền D là hình vuông ABCD như hình vẽ

D(0-1) C(-1,0)

B(0,1)

A(1,0) Tìm điểm dừng trong hình vuông

Ta được điểm dừng M1(0,0)

Tìm điểm dừng trên biên tức là lần lượt trên 4 cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông

1.9 Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN

D(0-1) C(-1,0)

M2(1/2,1/2)

Cuối cùng, ta tính giá trị của hàm tại 5 điểm dừng vừa tìm:

f(M1)=0, f(M2) = f(M4) = 1/4, f(M3) = f(M5) = 3/4

Và tại 4 điểm đặc biệt: f(A) = f(B) = f(C) = f(D) = 1

Vậy: fmax = f(A) = f(B) = f(C) = f(D) = 1, fmin = f(M1) = 0 1.9 Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN

Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm

f(x,y) = (x-6)2+(y+8)2 thỏa điều kiện x2+y2 ≤ 25

Giải:

Miền D là hình tròn, bao gồm cả

đường tròn tâm O(0,0) bán kính r = 5 Tìm điểm dừng trong hình tròn tức là giải hpt

    

Tìm điểm dừng trên biên D tức là tìm điểm dừng có điều kiện bằng cách giải htp

1 Tìm điểm dừng trong miền D :

Ví dụ : Tìm GTLN, GTNN của hàm f(x,y) = x2+y2 trên miền

Giải:

Trước tiên, ta xác định miền D là phần hình tròn nằm trên đường thẳng

I(1,2) B(0,4)

A(2,0)

Ta KHÔNG nhận điểm này vì nó nằm ngoài của miền D 1.9 Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN (Tự đọc)

2 Tìm điểm dừng trên biên của D gồm 2 đường : đoạn thẳng AB và nửa trên đường tròn ACB

Trên đoạn thẳng, ta có điều kiện: 2x+y = 4 ↔ y = -2x+4 ,

A(2,0)

1.9 Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN (Tự đọc)

  

  

M1 I(1,2)

B(0,4)

A(2,0) M2

Cuối cùng, ta tính giá trị f tại 2 điểm đặc biệt (giao của đt và đường tròn) và tại 2 điểm dừng

f(M1) = 80/25, f(M2) = 20, f(A) = 4, f(B) = 16

và so sánh để được

fmax=f(2,4)=20, fmin = f(8/5,4/5) = 80/25

1.9 Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN (Tự đọc)

Bài tập tham khảo I Tìm cực trị các hàm sau

442222

Bài tập tham khảo

II Tìm cực trị các hàm sau với điều kiện tương ứng

Bài tập tham khảo

III Tìm GTLN, GTNN các hàm sau trong miền tương ứng