MH, MK xuống các cạnh tơng ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q.
1. Chứng minh tam giác ABC cân. 2. Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp . nội tiếp .
3. Chứng minh MI2 = MH.MK. 4. Chứng minh PQ ⊥ MI.
Lời giải:
1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AB = AC => ∆ABC cân tại A. tại A.
2. Theo giả thiết MI ⊥ BC => ∠MIB = 900; MK ⊥ AB => ∠MKB = 900. 900.
=> ∠MIB + ∠MKB = 1800
mà đây là hai góc đối => tứ giác BIMK nội tiếp
* ( Chứng minh tứ giác CIMH nội tiếp tơng tự tứ giác BIMK )
. Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp => ∠KMI + ∠KBI = 1800; tứ giác CHMI nội tiếp
=> ∠HMI + ∠HCI = 1800. mà ∠KBI = ∠HCI ( vì tam giác ABC cân tại A) => ∠KMI = ∠HMI (1).
Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp => ∠B1 = ∠I1 ( nội tiếp cùng chắn cung KM); tứ giác CHMI nội tiếp => ∠H1 = ∠C1 ( nội tiếp cùng chắn cung IM). Mà ∠B1 = ∠C1 ( = 1/2 sđ BMẳ ) => ∠I1 = ∠H1 (2).
Từ (1) và (2) => ∆MKI ∆MIH => MI MK
MH = MI => MI2 = MH.MK
4. Theo trên ta có ∠I1 = ∠C1; cũng chứng minh tơng tự ta có ∠I2 = ∠B2 mà ∠C1 + ∠B2 +
∠BMC = 1800 => ∠I1 + ∠I2 + ∠BMC = 1800 hay ∠PIQ + ∠PMQ = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác PMQI nội tiếp => ∠Q1 = ∠I1 mà ∠I1 = ∠C1 => ∠Q1 = ∠C1 => PQ // BC ( vì có hai góc đồng vị bằng nhau) . Theo giả thiết MI ⊥BC nên suy ra IM ⊥ PQ.
Bài 49. Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD ⊥ AB ở H. Gọi M là điểm chính giữa của cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là giao điểm của AM và CB. Chứng minh :
1.
ABAC AC KB
KC= 2. AM là tia phân giác của ∠CMD. 3. Tứ giác OHCI nội tiếp