Hàm số mô tả SIM ở dạng tuyến tính: Rit = +α βi i tI +εit (1)
Trong đó, số hạng αi biểu thị một bộ phận lợi suất cố định gắn liền của
chứng khoán i. Theo nghĩa đó, αi là hằng số và không có quan hệ phụ thuộc
gì vào tập chỉ số It.
i
β là hệ số đo mức độ nhạy cảm của lợi suất chứng khoán i đối với
hành vi của tập chỉ số It . Nếu β >i 1 thì tài sản i tương ứng được gọi là năng
Và cuối cùng, εit đại diện cho phần lợi suất đặc thù của chứng khoán i
đang xét, không có tương quan với chỉ số It cũng như mức lợi suất của các loại chứng khoán khác đang tồn tại trên thị trường.
Các mô hình đơn chỉ số dạng tương tự xét về bản chất đơn thuần là các mô hình hồi quy, với giả định rằng các mức lợi suất quan sát của chứng khoán i nào đó chính là hàm tuyến tính của một chỉ số thị trường nhất định. Coi các mô hình quan hệ đơn chỉ số là đáng tin cậy trong công tác phương sai và hiệp phương sai cho chứng khoán và chỉ số đang xét được giản lược đi đáng kể.
Với ý nghĩa thực tiễn trên, các SIM có những tác dụng tích cực: giảm bớt các thông số và tính toán đầu vào cho việc phân tích portfolio. Mô hình SIM rất hữu ích trong dự báo lợi suất và rủi ro portfolio hay chứng khoán đơn lẻ.
SIM được dùng vào việc tạo nên và ứng dụng các mô hình trạng thái cân bằng, như CAPM hay APT.
Điều chỉnh trong các nghiên cứu và chương trình kiểm định.
Dựa trên mô hình SIM, có thể mô phỏng mức lợi suất kỳ vọng của chứng khoán i hay portfolio P như là:
[ ]i i i. [ ]
E R = +α β E I
Hoặc E R[ ]P =αP +βP.E P[ ]
Để tiện lợi và ngắn gọn, có thể sử dụng ký hiệu toán tử kỳ vọng E[ ]. để thay cho dấu sigma:
[ ].E [ ] E [ ] 1 . n i P = ∑ Như vậy ta có : [ ] [ ] [ ] 1 1 n n i i i i i i i i E R R P α β I P = = =∑ = + ∑
[ ] 22 2
i E Ri E Ri
σ = −
Biểu diễn phương sai chứng khoán hàm số của chỉ số:
( ) ( [ ]) 2 ( ( ) ) 2 2 ( i E i iI i i iE I E i I E I i σ = α β+ +ε − α β− = β − +ε [ ] ( )2 ( [ ]) 2 2 2( 2 2 i E i I E I i i I E I i σ = β − + β ε − +ε
Biểu thức được rút gọn lại thành:
[ ]( )2 ( [ ] ( )) ( )2 ( [ ] ( )) 2 2( 2 2 2 0 i E i I E I i i E I E I E i σ = β − +ε =β − + ε − Từ (1) suy ra : 2 2 2 2 i i I εi σ =β σ +σ
Đối với việc đầu tư một chứng khoán i, rủi ro của chứng khoán bằng tổng rủi ro chỉ số và rủi ro đặc thù của công ty. Như vậy, một portfolio P được đa dạng hóa hợp lý (kết hợp khoa học nhiều loại chứng khoán) sẽ có tác dụng làm giảm số hạng rủi ro của các công ty cụ thể trong tổng rủi ro của P, tức là phương sai tiến tới 0, khi đó phương sai của cả danh mục sẽ có dạng tối ưu:
2 2 2
i i I
σ =β σ
Mô hình SIM cho phép giảm đáng kể khối lượng công việc tính toán cho các hiệp phương sai trong công tác quản lý rủi ro của danh mục. Nếu ta có những chứng khoán trong P, số lượng hiệp phương sai phải tính là n2.
Ta có : [ ] ( )2 ( [ ])2 , ( ) i j E i j I E I i j i j I E I E i j σ = β β − +ε ε =β β − + ε ε
Sau một thời gian phát triển, các chỉ số phản ánh mức giao dịch thị trường sẽ ngày càng đa dạng, và có thể sử dụng được cho mục đích tính phương sai chỉ số và rủi ro của danh mục. Thông thường, phương pháp tính β
quá khứ là dựa trên các hiệp phương sai và phương sai được suy luận dựa trên một giai đoạn quá khứ khoảng 45-60 tháng. Thực tế là việc ước lượng β quá
khứ đã tồn tại sai số do chọn mẫu và phương pháp đo. Một phương pháp hiệu chỉnh đã được nhà nghiên cứu Blume đề xuất năm 1975 theo công thức :
, 0 1 ,
i F i H
β = +γ γ β
Trong đó, βi H, là dự báo của β trong một giai đoạn tương lai 5 năm, và ,
i H
β là β trong quá khứ được ước lượng dựa trên phương pháp tính β đã trình
bày ở trên. Tuy vậy, hai hệ số mới xuất hiện là γ γ0, 1 được xác định thông qua
việc tiến hành hồi quy với các giá trị của β cho 5 năm dựa vào tập hợp giá trị
của β quá khứ đã được ước lượng của một giai đoạn 5 năm ngay trước đó.
Thường thì tổng của các hệ số điều chỉnh này có giá trị xung quanh 1.