Phân tích Wavelet [20][12] - IăCAMăĐOAN

L IăCAMăĐOAN

3.2 Phân tích Wavelet [20][12]

Phân tích các hìnhădángădaoăđ ng t do theoăph ngăphápăphơnătíchăWaveletă s xácăđnh chính xác đ c v trí v t n t xu t hi n trong t m, Wavelet là nh ng sĩng nh , cĩ th phát hi năđ c m t s thayăđ i r t nh , đ nh y nĩ r t cao dùng nhi u trong phân tích nh và kh nhi u trong các tín hi u âm, trong lu n vĕn này tác gi s ng d ngăWaveletăvƠoătrongălƿnhăv căc ăh c, áp d ngăph ngăphápă phơnătíchăWaveletăđ phân tích mode daoăđ ngc a t măFGMăđ tìm v trí v t n t.

Trong ph n này tác gi s l năl t phân tích các hình dáng daoăđ ngt do trong 2 bài tốnđƣătrìnhăbƠyă m c trên bằngăph ngăphápăphơnătíchăWavelet.

Đ cĩ th phơnătíchăhìnhădángădaoăđ ng t do c a t m theo các d li uăđƣătínhă tốn, tác gi s tách thành ph n chuy n v do u n gây ra trong vector tr riêng, sau đĩăsắp x p thành m t ma tr n cĩ kích cỡ (nxx, nyy) b iăvìăđ u vào c a phân tích wavelet 2D là d ng d li u ma tr n.

Trong khuơn kh c a lu năvĕnănƠyătácăgi s phân tích wavelet 2D bằng cơng c h tr cĩ s n trong toolbox c aămatlab,ădùngăhƠmă„ădwt2ă‟ăđ phân tích và dùng hƠmă„idwt2‟ăđ tái t o l i chi ti t sau khi phân tích.

Phân tích wavelet:

[ca,ch,cv,cd]=dwt2(Zz,strcat('bior',ind)) Trong đĩ:

ca: h s x p x c a chi ti t; cb: h s chi ti t ngang;cv: h s chi ti tăđ ng; cd: h s chi ti t chéo.

Zz: tín hi u c n phân tích

Stract(x,y): hàm ch a 2 tham s ; x: h wavelet; y: m c phơnătíchă(y=1,2,3ầ) Tái t o chi ti t sau khi phân tích:

D1=idwt2(ca,ch,cv,cd,strcat('bior',ind),n);

V i các kí hi uăca,ăch,ăcv,ăcd,ăstracat()ăt ngăt nh ătrên,ăn:ăkíchăcỡ c a ma tr n Zz. Trong quá trình tái t o ta cĩ th ch tái t o m t ph n c a chi ti t

D1=idwt2([],[],cv,[],strcat('bior',ind),n);ăD1ătrongătr ng h p này là h s chi ti tăđ ng.

3.2.1 Phơn tích wavelet cho t m h̀nh vuơng

Trong ph n này tác gi s trình bày cách phân tích Wavelet cho 3 modeăđ u tiên c a t m hình vuơng cĩ các thu c tính gi ngănh ăbƠiătốnă1.

K t qu vector tr riêng c a t măđ c sắp x p l i thành m t ma tr n, sauăđĩăđ aăvƠoă phân tích wavelet, phép phân tích s phân tách chi ti t thành 4 thành ph n: h s x p x , h s chi ti tăđ ng, h s chi ti t ngang, h s chi ti t chéo, l năl t tái t o chi ti t t các h s , do v t n tătheoăph ngăngangănênăchiăti t tái t o t thành ph n h s chi ti tăngangălƠăcĩăỦănghƿaănh t, nĩ mang thơng tin c a s b t liên t c,ăđĩă chínhălƠăn i cĩ v t n t.

Hình 3.5Mơăhìnhăt măch aăv tăn t

Hình 3.6 Phân tích wavelet cho chi ti tă ăm căm t- chiăti tăngangăậ Mode I

Nh năxét:ă

Đ iăv iămodeăI,ăkhiăquanăsátăbằngămắtăth ngătaăkhơngăth ănƠoăphátăhi năraăđ căv ă tríăc aăv tăn tă ăđơuătrongăt m,ăkhiăquanăsátăhìnhă nhăc aămodeădaoăđ ngăđ căphơnă tíchăbằngăphépăphơnătíchăbằngăphépăphơnătíchăWavelet,ăhìnhă nhăc aăv tăn tăhi nărõă trongăhình.ăNgayăt iăv ătríăcĩăn tăchuy năv ăt iăđĩălƠăb tăliênăt c,ănh ngădoăchuy năv ă nh ănênăkhơngăth ăphơnăbi tăbằngămắtăth ngăđ c, khi quaăbi năđ iăwaveletăs ăđ tă bi năđĩăđ căkhu chăđ i vƠăcĩăth ăxácăđ nhăv ătríăc aăv tăn tăm tăcáchăd ădƠng.

V t n t th hi n rõ trên chi ti t ngang Khơng phát hi n

Hình 3.7 Phơnătíchăwaveletăchoăchiăt tă ăm căm t- chiăti tăngangăậ Mode II

Nh năxét:

Trongăhìnhăbi uădi năc aămodeăII,ăchúngătaăcĩăth ăquanăsátăth yăm tăcáchătr căquană t iăv ătríăv tăn tăcĩăs ăđ tăbi năv ăchuy năv ,tuyănhiênăhìnhă nhăsau khi phân tích waveletv tăn tăth ăhi nărõărƠngăh n.

V t n t th hi n rõ ràng Cĩ d u hi u c a

Hình 3.8 Phơnătíchăwaveletăchoăchiăt tă ăm căm t- chiăti tăngangăậ Mode III

Nh năxét:ă

Khi quan sát hình d ngdaoăđ ngăt ădoc aămodeăIII,ăchúngătaăkhơngăth ănƠoăphátă hi năđ căv ătríăc aăv tăn t,ăti năhƠnhăphơnătíchăwaveletăv iăd ăli uăđ uăvƠoălƠăcácă thơngăs ăc aădaoăđ ngăt ădo,ăsauăkhiăphơnătíchălo iăb ăđiăcácăthƠnhăph năkhơngă mangăthơngătin,ătáiăt oăl iăchiăti t,trênăhìnhă nhăđ cătáiăt oăl iăchúngătaăth yăcĩăs ă đ tăbi nătrênăchiăti tătáiăt o,ăđĩăchínhălƠăv ătríăc aăv tăn t.

V t n t th hi n rõ ràng

Khơng phát hi n v t n t

3.2.2 Phơn tích wavelet cho t m h̀nh ch nh t

Hình 3.9 Phơnătíchăwaveletăchoăchiăt tă ăm căm t- t măhìnhăch ănh tậ Mode I

Nh n xét:

Khi quan sát hình d ng c aădaoăđ ng t do c a mode I, chúng ta khơng th nào phát hi năđ c v trí c a v t n t, quan sát hình nh c aădaoăđ ngăđĩăquaăphépăbi năđ i wavelet chúng ta nh n th y rõ s b t liên t c,ăđĩăchínhălƠăv trí c a v t n t

V t n t th hi n rõ ràng Khơng phát hi n

Hình 3.10 Phơnătíchăwaveletăchoăchiăt tă ăm căm t- t măhìnhăch ănh tăậ Mode II

Nh năxét:ă

Quanăsátăhìnhă nhăc aădaoăđ ngăt ădoc a mode II, chúngătaăcĩăth ăphátăhi năđ căv ă tríăv tăn t,ăvìăph ngăv tăn tăd cătheoăph ngăyănênăs ăb tăliênăt căs ăxu tăhi nă trong mode II, tuy nhiên qua phép phân tích wavelet 2D thìăv ătríăc aăv tăn tăth ă hi nărõăvƠătr căquanăh n.

V t n t th hi n rõ ràng Cĩ d u hi u c a

Hình 3.11 Phơnătíchăwaveletăchoăchiăt tă ăm căm t- t măhìnhăch ănh tăậ Mode III

Nh năxét:ăKhiăquanăsátăhình nhădaoăđ ngăc aămodeăIII,ăchúngătaăkhơngăth ănƠoă phátăhi năđ căv ătríăc aăv t,ănh ngăquaăphépăphơnătíchăwavelet,ăchúngătaăd ădƠngă quanăsátăđ căv ătríăc aăv tăn tăxu tăhiênătrongăt m.

3.2.3 Nh n xét chung

 Khi quan sát hìnhăv ăcácmodeădaoăđ ng,ăđ iăv iăcácămodeăI,IIIăc aăt măhìnhă vuơngăvƠăhìnhăch ănh t,ăchúngătaăkhơngăth ăphátăhi năđ căv ătríăc aăv tăn tă ăđơuă trongăt m,Chúngătaăch ăcĩăth ănh năraăđ căv ătríăn tătrongăt mănh ăvƠoămodeăxéă (mode II).

 Khiăphơnătíchăđ iăv iămodeăIIăchúngătaăth yăđ căs ăt ngăquanăgi aăv tăn tă th ăhi nătrongăhìnhă nhămodeădaoăđ ngăvƠăv ătríăc aăv tăn tăkhiăphơnătíchăbằngă wavelet.

 Quaănh ngăhìnhă nhăphơnătíchăWaveletăchúngătaăth yăr tărõăv ătríăv tăn t,ăv iă b tăkỳăm tămodeănƠoăthìăv ătríăv tăn tăcũngăth ăhi nărõ.Vìăt iăn iăx yăraăn tăcĩăs ă b tăliênăt cădoăđĩăs ăt ngăquanăgi aătínăhi uăphơnătíchăvƠăhƠmăwaveletăr tăl n,ădoă đĩăgiáătr ăc aăcácăh ăs ăchiăti tăt iăđơyăr tl nădoăđĩăb cănh yăth ăhi năr tărõărƠng.

V t n t th hi n rõ ràng Khơng phát hi n v t n t

Ch ng 4

K T QU VĨ H NG PHỄT TRI N

4.1 Tĩm t t các k t qu đƣ đ tđ c

Trong lu năvĕnănƠyătácăgi đƣăth c hi n thành cơng m t s cơng vi c sau:

 Nghiên c uăcácăđ c tính c a t m v t phân lo i theo ch cănĕngăFGM,ăch ra đ c t m quan tr ng và nh ng ng d ng th c ti n c a v t li u FGM.  Nghiên c u các lý thuy t v ph n t h u h n m r ng XFEM đ c bi t là

ph ngăphápăXFEMădùngăph n t MITC4, t đĩă ng d ng đ xây d ng ch ngătrình tính tốn cho t m FGM.

 Nghiên c u lý thuy t bi n d ng, lý thuy t t măđƠnăh iầăph c v cho vi c tính tốn trong lu năvĕn,ătrongălu năvĕnătácăgi đƣă ng d ng lý thuy t Reissner ậ Mindlin đ tính tốn cho t m FGM.

 Tác gi đƣăl pătrìnhăvƠătínhătốnăđ cădaoăđ ng t do c a t m FGM bằng ph ngăphápăXFEMădùngăph n m m Matlab, trong lu năvĕnătácăgi đƣăsoă sánh k t qu tính tốn v i m t s bƠiăbáoăđƣăcơngăb trên các t p chí, k t qu tính tốn c a tác gi cĩ sai s so v iăcácăbƠiăđĕngătr căđĩăkho ng 10%, đi u này ch ng t mơ hình tốn tác gi xây d ng phù h p v i mơ hìnhătr căđĩă mà các tác gi khácăđƣăxơyăd ng.

 Nghiên c u lý thuy t v sĩng Wavelet, và phép bi năđ i Wavelet, t phép bi năđ i m t chi uăđƣăđ c m t s tác gi khác ng d ng tính tốn và phép bi năđ i hai chi u ng d ngătrongălƿnhăv c x lý nh s , tác gi đƣă ng d ng ph ngăphápăbi năđ i Wavelet hai chi u đ phân tích các hình nh v mode daoăđ ng c a t m FGM cĩ ch a v t n t.

 Trong cácbài tốn minh h a, khi phơnătíchămodeădaoăđ ng t do c a t m FGM ch a v t n t bằngăph ngăphápăbi năđ i Wavelet hai chi utác gi đƣă ch ra chính xác v trí c a v t n t trong t m.

75 4.2 K t lu n

Trong ngành cơng ngh v t li u, vi c tính tốn và tìm ra các qui lu t c a v t li u là m tăđi u r t c n thi t m t khác vi c ch t o các v t li u khơng bao gi cĩ th hồn thi n 100% v c u trúc, các khuy t t t t n t i trong s n phẩm s làm suy gi m kh nĕngăch u t iăc ăh c c a k t c u, h năn a trong quá trình ch u t iăc ăh c liên t c trong m t th i gian dài, v t li u c a k t c u s cĩ hi năt ngă“m i”ădoăđĩă s sinh ra nh ng v t n t và phá h y chi ti t, k t c u.

Vi c tìm ra khuy t t t trong k t c u và d đốnăkh nĕngălàm vi c c a k t c u là m t vi c c p thi t,ăthơngăth ngăng i ta hay dùng cách th căđo, xácăđnh v t n t bằng siêu âm, trong lu năvĕnănƠyătácăgi đƣăcungăc p thêm m t cơng c phân tích bằngăWaveletăđ tìmăraăcácăđi m b tăth ng trong k t c u.

Lu năvĕnă“Phơnătíchădaoăđ ng và dị tìm v t n t trong t m FGM cĩ n t bằng XFEMăvƠăWavelet”ăđƣăcungăc p m t cách th c m iăđ phát hi n v t n t thơng qua vi căphơnătíchămodeădaoăđ ng t do, m t cách ti n hành ít tác gi s d ng do khơng cĩ tính tr c quan n u khơng cĩ thêm s h tr c a phân tích Wavelet 2D.

4.3 H ng phát tri n

Trong lu năvĕnătácăgi ch th c hi n vi căphơnătíchămodeădaoăđ ng c a h th ng bằng cách tính tốn mơ ph ng t m bằng lý thuy t, v t n t trong t măcũngăđ c tác gi choătr c, d aătrênăcácămodeăđƣăcĩătácăgi ti năhƠnhăphơnătíchăWaveletăđ tìm ra v trí v t n t, cách th c ti n hành trên v n cịn h n ch :

 B s li u tính tốn c a tác gi là s li u t v c phân tích lý thuy tănênăch aă sát v i th c t , vì v yăđ k t qu cĩ tính th c t h năchúngătaăc n ph i ti n hƠnhăđoăđ c b s li u th c t vƠăđ aăvƠoăphơnătích.

 Xây d ng thu t tốn cho các d ng n t khác, ví d :ăhìnhătrịn,ăđaătuy nầ.t đĩătìmăcáchăv ra hình d ng chính xác c a v t n t.

 Phát tri n thu t tốn x lý v t n t trên mơ hình kh i  T iă uăhĩaăkhíchăth c c a v t n t

 K t h p phân tích wavelet và các cơng c h tr nh ăXquang,ăđoănhi u x ầđ phát hi n các sai h ng c a các cơng trình t đĩăd dƠngăxácăđ nh v trí các v t n tăsauăđĩăs cĩ gi i pháp x lý phù h p.

TĨIăLI UăTHAMăKH O

[1] AlfredăMertins,ă“Wavelets,ăFilterăBanks,ăTime-Frequancey Transforms and Applications", University of Wollongong, Australia.

[2] Chen DH, Nisitani H, Mori K ,“Stress-intensity factors for an internal semi-

elliptical surface crack in cylindrical pressure vessels”, Journal of Pressure Vessel Technology; Journal Volume: 117; Journal Issue: 3; Other Information: PBD: Aug 1995.

[3] D.ăBroek,ă“ElementaryăEngineeringăFractureăMechanics”,ăMartinusăNijhoffă Pubilshers, The Hague, 1984

[4] G.E.P. Box, M.E. Muller. A Note on the Generation of Random Normal Deviates. The Annals of Mathematical Statistics 1958; 29:610-611.

[5] H. Nguyen-Xuan , Loc V. Tran , T. Nguyen-Thoi, H.C. Vu-Doă,ă“Analysisăofă functionally graded plates using an edge-basedăsmoothedăﬁniteăelementă method”.

[6] John Dolbow Nicolas Moes, Ted Belytschko, Modeling facture in Mindlin- Reissner plates with the extended finite element method. PERGAMON- International Journal of Solids and Structure 37(2000).

[7] Miyamoto Y (1999) Functionally graded materials: design, processing and applications. Kluwer Academic Publisher

[8] Martin Vetterli, Jelena Kovacevic, “WaveletsăandăSubbandăCoding”,ă Prentice Hall PRT, 1995

[9] NASSERăS.BAJABA,ă“DamageăidenttificationăinăPlantesăUsingăWaveletă Transforms”.

[10] N. Moes, J. Dolbow, T. Belytschko. A finite element method for crack growth without remeshing. International Journal for numerical methods in Engineering 1999; 46: 131-150.

[11] Nguyen Vinh Phu, An Object-Oriented approach to the Extended Finite Element Method with Application to Fracture Mechanics.

[12] Nguyen Vinh Phu, How to implement XFEM into SYSTUS, Laboratorie de Tribologic et Dynamique des Sytèmes(LTDS),ENISE, June 6, 2006.

[13] S.ăLoutridis,E.Douka,L.J.ăHadjileontiadis,A.Trochidis,ă“Atwo-dimensional waveletătransformăforădetectionăofăcracksăinăplates”.

[14] S.Natarajan, P.M.Baiz, S.bordas, T. Rabczuk, P. Kerfridene,ă“Naturală frequencies of cracked functionally graded material plates by the extended ﬁniteăelementămethod”

[15] SoheilMohammadi, Extended Finite Element Method for Fracture Analysis of Structures, School of Civil Engineering University of Tehran, Tehran,Iran [16] T. Belytschko, T. Black. Elastic Crack Growth in Finite Element with

minimal Remeshing. International Journal for numerical methods in Engineering 1999; 45: 601-620.

[17] Trung Kien Nguyen, Karam Sab, Guy Bonnet, First order Shear deformation plate models for funtionally graded materials, ScienceDrirect, composite Structers 83, 2008

[18] Bùi Qu c Bình, Khoa Cơng trình thuỷ,ătr ngăđ i h c Hàng H i,ă“mơăhìnhă hĩa t m v t li u ch cănĕngănĕng”.

[19] Lâm Phát Thu n, Lê H uăPhúc,ăđ i h căSPKTăTP.HCM,ă“Phơnătíchătr ng ng su t t m cĩ v t n t bằng FEM ậWavelet”.

[20] Nguy n Hồng H i, Nguy n Vi t Anh, Ph m Minh Tồn, Hà Tr năĐ c, “Cơngăc phân tích wavelet và ng d ngătrongăMatlab”,ăNXBăKhoaăh c và Kỹ thu t, Hà N i, 2005.

[21] Nguy n Qu n,ă“Nghiênăc u s phát tri n v t n t trên chi ti tăc ăkhíăbằng FEMăvƠăWavelet”,ăăTr ngăĐHSPKT,ănĕmă2007

[22] Nguy n Th Bích Li u,ăĐ i H căSPKTăTP.HCM,ă“Phơnătíchăđ ng l c h c t m cĩ v t n t bằngăph ngăphápăFEMăậ WAVLET”.

[23] Nguy năHoƠiăS nă(ch biên),ă“ ng d ngăph ngăphápăph n t h u h n trong tính tốn k t c u”,ăNXBăĐ i h c Qu c gia Tp. HCM, 2008.

[24] VũăCơngăHịaă,ăNguy năCơngăĐ t , ng D ng Ph n T H u H n M R ng Trong Vi c Tính H S C ngăĐ ng Su t, T p Chí Phát Tri n KH&CN, t p 13, s K5-2010

Ph L c Code matlab:

% purpose to compute linear frequencies for plate using MITC4 element. %there's crack in the model. The material can be isotropic.

%The crack is modeled using XFEM. Special tip enrichments are used to %capture the tip singularity.

% CHUONG TRINH TINH TOAN CHO TAM FGM

%--- clear all close all clc format long tic path(path,'./MeshTools') path(path,'./PlotTools') path(path,'./Crackprocessing') path(path,'./Routines') %global variables global a b h global node element elemType numnode numelem global ndof nnel global rho E nu fac Db Ds mfactor global numcrack deltaInc numstep global bcNodes edgNodes global plotmesh plotNode boundary global A B D Cs % Vat lieu FGM %% material and model details % Al/Al2O3 E_m=70e9; E_c=380e9; % unit N/m2 nu_m=0.3; nu_c=0.3; % rho_m=2702; rho_c=3800; % kg/m3 % % Al/ZrO2-1 % E_m=70e9; E_c=200e9; % nu_m=0.3; nu_c=0.3; % an_m=23e-6; an_c=10e-6 ; % k_m=204; k_c=2.09 ; % rho_m=2707; rho_c=5700; %% ===========================================================

shcof = 5/6; a = 1; b = 1; h = 1/10;

boundary = 'SS'; %options - SS/CC/CAN

% ====== MEMBRANE, BENDING, CURVATURE, SHEAR, MASS MATRIX ================= t=h; n=1; % membrane matrix A11=@(z)((E_c-E_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(1-((nu_c-nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).^2); % E/(1- v^2) A12=@(z)((nu_c-nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).*((E_c-E_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(1-((nu_c- nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).^2); A66=@(z)((E_c-E_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(2.*(1+((nu_c-nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m))); a11=(quad(A11,-t/2,t/2)); a12=(quad(A12,-t/2,t/2)); a66=(quad(A66,-t/2,t/2)); A=[a11 a12 0; a12 a11 0; 0 0 a66]; %bending matrix B11=@(z)z.*((E_c-E_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(1-((nu_c-nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).^2); B12=@(z)z.*((nu_c-nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).*((E_c-E_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(1-((nu_c- nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).^2); B66=@(z)z.*((E_c-E_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(2.*(1+((nu_c-nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m))); b11=(quad(B11,-t/2,t/2)); b12=(quad(B12,-t/2,t/2)); b66=(quad(B66,-t/2,t/2)); B=[b11 b12 0; b12 b11 0; 0 0 b66]; %curvature matrix D11=@(z)z.^2.*((E_c-E_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(1-((nu_c-nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).^2); D12=@(z)z.^2.*((nu_c-nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).*((E_c-E_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(1-((nu_c- nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).^2); D66=@(z)z.^2.*((E_c-E_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(2.*(1+((nu_c-nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m))); d11=(quad(D11,-t/2,t/2)); d12=(quad(D12,-t/2,t/2)); d66=(quad(D66,-t/2,t/2)); D=[d11 d12 0; d12 d11 0; 0 0 d66]; % shear Cs=shcof*[a66 0; 0 a66]; % mass matrix M11=@(z)(rho_c-rho_m).*(1/2+z./t).^n+rho_m; M12=@(z)z.*((rho_c-rho_m).*(1/2+z./t).^n+rho_m);

80 M22=@(z)z.^2.*((rho_c-rho_m).*(1/2+z./t).^n+rho_m); m11=(quad(M11,-t/2,t/2)); m12=(quad(M12,-t/2,t/2)); m22=(quad(M22,-t/2,t/2)); mfactor=[m11 0 0 0 m12; 0 m11 0 m12 0; 0 0 m11 0 0; 0 m12 0 m22 0; m12 0 0 0 m22]; clear t;

%element detail and mesh generation

elemType = 'Q4' ; nnx = 28 ; nny = nnx ; pt1 = [0 0]; pt2 = [a 0]; pt3 = [a b]; pt4 = [0 b]; [node,element] = meshRectangularRegion(pt1,pt2,pt3,pt4,nnx,nny,elemType) ; numnode = size(node,1) ; numelem = size(element,1); % break nnel = 4 ; ndof = 5 ; % --- %identify boundary nodes

uln = nnx*(nny-1)+1 ; urn = nnx*nny ; lrn = nnx ; lln = 1 ;

cln = nnx*(nny-1)/2+1 ;

rightEdge = [lrn:nnx:(uln-1); (lrn+nnx):nnx:urn ]' ; leftEdge = [ uln:-nnx:(lrn+1); (uln-nnx):-nnx:1 ]' ; topEdge = [ uln:1:(urn-1); (uln+1):1:urn ]' ; botEdge = [ lln:1:(lrn-1); (lln+1):1:lrn ]' ; botNodes = unique(botEdge) ;

rightNodes = unique(rightEdge) ; topNodes = unique(topEdge) ; leftNodes = unique(leftEdge) ;

bcNodes = {botNodes rightNodes topNodes leftNodes} ; edgNodes = {botEdge rightEdge topEdge leftEdge} ;

%crack properties % c = 0.6;

% xCr(1).coor = [a/2-c/2*cosd(theta1) 0.5-c/2*sind(theta1); % a/2+c/2*cosd(theta1) 0.5+c/2*sind(theta1)] ; xCr(1).coor =[-0.25 0.5; 0.5 0.5]; % xCr(1).coor =[-0.1 0.5; % 1 0.5]; deltaInc = 0 ; numstep = 1 ; numcrack = size(xCr,2) ;

%--- Plot mesh and check before proceeding

plotmesh = 'YES' ; plotNode = 'no' ;

if( strcmp(plotmesh,'YES') ) plotNode='no' ;

xd = node(:,1); yd = node(:,2) ;

plotMesh(node,element,elemType,'b-',plotNode); title(' Domain discretized with finite elements')

end

%% FREQUENCY

% [frequency]=mainPlateXFEM(xCr)

xCrk=xCr;

Enrdomain = [ ] ; tipElem = [ ] ; splitElem = [ ] ; vertexElem = [ ] ;

%loop over number of steps of crack growth

for ipas = 1:numstep

%find elements within a small region

[Enrdomain] = crackDetect(xCrk,ipas,tipElem,splitElem,vertexElem,Enrdomain) ;

%find type of element: tip, split, vertex

[typeElem,elemCrk,tipElem,splitElem,vertexElem,xTip,xVertex,enrichNode]=...

nodeDetect(xCrk,Enrdomain) ;

%plot mesh with crack and enriched nodes

plotCrack(xCrk,enrichNode,plotmesh);

%initialize stiffness matrix, force vector

%each split node is enriched by ONE function, H(x)

%each tip node is enriched by FOUR functions, B_i(x), i=1,2,3,4

%total dof = numnode*ndof + numsplitnode*1*ndof + numtipnode*4*ndof

split = 0 ; tip = 0 ;

for k=1:size(xCrk,2)

split = split + size(find(enrichNode(:,k) == 2), 1) ; tip = tip + size(find(enrichNode(:,k) == 1),1 ) ;

end

K = sparse(totalUnknown,totalUnknown) ;

M = sparse(totalUnknown,totalUnknown) ; %--- %stiffness matrix computation