III. CÁC THUẬT TOÁN KIỂM TRA SỰ TƯƠNG QUAN GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC
11. Tính diện tích đa giác
Cơ sở toán học:
Việc tính một đa giác đơn phẳng bất kỳ xuất phát từ việc tính diện tích tam giác. Diện tích tam giác được tính dựa vào tích hai vector như sau:
S =(1/2) |a x b|
Trong đó các vector a, b là các vector cạnh của tam giác.
Với một đa giác n đỉnh, ta có thể phân thành n - 2 tam giác bằng cách từ một đỉnh nào đó của tam giác ta vẽ các cạnh nối đến tất cả các cạnh còn lại của đa giác. Khi đó diện tích đa giác bằng tổng diện tích của các tam giác con này. Lấy đỉnh P1 làm chốt, lập (n- 1) vector chốt vector a1=P2- P1, a2= P3- P1, an-1=Pn - P1. Các vector này dùng để tính diện tích mỗi tam giác. Hai cạnh của tam giác i được xác định bởi hai vector ai và ai+1.
Nhưng nếu đa giác là lõm, thì không phải mọi đa giác đều có diện tích dương. Do đó để hình thành công thức tổng quát tính diện tích một đa giác bất kỳ ta phải biến đổi công thức tính diện tích tam giác một chút.
Trong công thức tính diện tích tam giác trên, thay vì dùng trị tuyệt đối của tích hai vector, ta nhân nó với un, chuẩn hướng (độ dài đơn vị) ra của mặt chứa đa giác (nếu đa giác nằm trong mặt xy, un là k). Vector chuẩn hướng ra của mặt chứa đa giác được xác định bằng cách tính tích hữu hướng hai vector cạnh của tam giác. Nhân với chuẩn hướng ra un là để lọc ra diện tích âm và diện tích dương, nó không ảnh hưởng đến bản thân từng diện tích tam giác. Lúc này diện tích tam giác được tính theo công thức:
S = (ax.by-ay.bx)/ 2
trong đó a, b là hai vector cạnh của tam giác.
P P4 P2 P P6 P
Luận văn tốt nghiệp
Thiết kế hệ thống kiểm tra cácc quan hệ hình họctrang 45 trang 45
Khi đó diện tích của đa giác là:
S = 2 1 N i i S
trong đó Si là diện tích (có dấu) của tam giác thứ I
Giải thuật:
- i bắt đầu = 2
- Diện tích đa giác = 0 - Lặp lại
{
. Tính diện tích tam giác có 3 đỉnh là : đỉnh 1,đỉnh i, đỉnh i+1 . Diện tích đa giác = Diện tích đa giác + Diện tích tam giác . Inc (i,1)
}
Cho đến khi i=N-1
- Diện tích đa giác = Abs (diện tích đa giác)
III.2. CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN (3D)1- Các phép biến hình 3 chiều 1- Các phép biến hình 3 chiều
Cơ sở toán học:
Một trong những ưu điểm quan trọng của đồ họa là cho phép dễ dàng tác động lên các đối tượng đồ họa. Tất cả các biến đổi trên đồ họa máy tính đều có thể thỏa mãn một cách tương đối dễ dàng vì các hình ảnh khi đưa vào xử lý đã được số hoá, do đó nó có thể thay đổi dễ dàng bằng các phép biến đổi toán học. Phép biến đổi hình học thường được dùng là phép biến đổi Affine.
Có hai quan điểm về phép biến đổi, đó là: Biến đổi đối tượng.
Biến đổi hệ tọa độ.
Luận văn tốt nghiệp
Thiết kế hệ thống kiểm tra cácc quan hệ hình họctrang 46 trang 46
Biến đổi hệ tọa độ: sẽ tạo ra một hệ tọa độ mới và tất cả các điểm mô tả đối tượng sẽ được chuyển về hệ tọa độ mới này. Phần này ta sẽ mô tả một số phép biến đổi đối tượng. Phép biến đổi affine 3D biến đổi điểm P(Px,Py,Pz) thành điểm Q:
Q = PM
Với P = (Px, Py, Pz), Q = (Qx, Qy, Qz) và M là ma trận biến hình 4x4
Một số phép biến đổi Affine cơ sở, đó là: phép tịnh tiến, phép co dãn, phép quay. a/ Phép tịnh tiến: Dịch chuyển đối tượng từ vị trí này sang vị trí khác. Tịnh tiến với các độ dời tx, ty, tz.
b/Phép co dãn: Với hệ số co Sx , Sy, Sz. Ma trận M là m11 m12 m13 m14 m21 m22 m23 m24 M M = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 tx ty tz 1 Sx 0 0 0 0 Sy 0 0 0 0 Sz 0 0 0 0 1 M =
Luận văn tốt nghiệp
Thiết kế hệ thống kiểm tra cácc quan hệ hình họctrang 47 trang 47
c/Phép quay quanh trục x gócA: Tọa độ x của vật thể không đổi. Ma trận M là
d/Phép quay quanh trục y góc A: Tọa độ y của vật thể không đổi. Ma trận M là:
e/Phép quay trục z gócA: Tọa độ z của vật thể không đổi. Ma trận M là
*Tổng hợp các phép biến hình Phép biến hình T1: PQ’ có ma trận M1. Phép biến hình T2 : Q’Q có ma trận M2. Tổng hợp 2 phép biến hình T1, T2 là phép biến hình T: PQ Phép biến hình T có ma trận M = M1 x M2 1 0 0 0 0 cos(A) sin(A) 0 M = cos(A) 0 - sin(A) 0 0 1 0 0 M = cos(A) sin(A) 0 0 -sin(A) cos(A) 0 0 M =
Luận văn tốt nghiệp
Thiết kế hệ thống kiểm tra cácc quan hệ hình họctrang 48 trang 48
Giải thuật:
- Tính các phần tử của ma trận M.
- Xác định các điểm mới của đối tượng qua phép biến hình. -Vẽ lại đối tượng.