Nếu đa thức bậc n có ít hơn n nghiệm phân biệt, thì một trong các nghiệm của nó phải là điểm dừng. Hầu hết các kết quả cho đa thức bậc thấp có thể mở rộng được cho các đa thức bậc bất kì với điều kiện là các hạn chế đặt lên bậc của đa thức được thay bằng hạn chế tương ứng lên
thuyết Sendov và có tối đa k nghiệm phân biệt. Giả thuyết Sendov đã được chứng minh cho Q3 bởi Saff và Twomey [29], cho Q4 bởi Cohen và Smith [10] và độc lập bởi Brown, cho Q5 bởi Kumar và Shenoy [19], và cho Q6 bởi Borcea [2]. Trong [3] Borcea đã chứng minh một trường hợp riêng cho Q7.Cuối cùng, Brown và Xiang ([9], Định lí 5.1) đã chứng minh Giả thuyết Sendov cho Q8. Năm 1988, G. L. Cohen và G. H. Smith, đã chứng minh giả thuyết Sendov đúng cho cho mọi đa thức bậc n với m nghiệm phân biệt, nếu n ≥2m−1.
Ta cũng có Định lí sau đây. Định lý 1.3.12. ([32]) Giả sử đa thức P (z) = j Q k=1 (z−zk)mk là đa thức bậc 2≤ n:= j P k=1
mk ≤ 8 với tất cả các nghiệm nằm trong đĩa đơn vị đóng. Khi ấy mọi đĩa đóng D¯ (zk,1) đều chứa điểm dừng của đa thức P(z).
Kết luận của Định lí 1.3.9 là hiển nhiên cho các nghiệm có bội lớn hơn 1. Do đó Tariq [35] đã nêu câu hỏi sau đây: Tìm số ρm nhỏ nhất có thể, sao cho với mỗi nghiệm zk bội m, đĩa đóng D¯ (zk, ρm) chứa tối thiểu ρm điểm dừng.
Một số kết quả riêng trong [34], [35] dẫn đến giả thuyết sau đây. Giả thuyết 3([32])
ρm = 2m m+ 1.
Giả thuyết này mở rộng Giả thuyết Sendov và trở về Giả thuyết Sendov khi các nghiệm là nghiệm đơn.