Trước hết ta chứng minh rằng, nếu Q(z) là đa thức có hệ số thuộc số mũ cao nhất bằng 1 (monic polynomial) mà Q(0) = 0 và Q0(z) 6= 0 trong D(1; 1 +δ) với δ ≥0 ta có
với |z| = λ ≤ (1 +δ) sinπn.
Theo Bổ đề 2.2.1, Q(z) là đơn nhất (univalence function) trong đĩa D 0; (1 +δ) sinπ n . Giả sử z0 với |z0| = λ mà |Q(z0)| = min
|z|=λ
|Q(z)|. Ta chỉ cần chứng minh (2.43) cho z = z0.
Đặt: γ : z = z(t),0≤ t ≤1 là ảnh của đoạn [0;Q(z0)] dưới ánh xạ Q(z) trong đĩa D 0; (1 +δ) sinπn Vì argQ (z(t)) là hằng số trên 0≤ t≤ 1 nên ta có: |Q(z0)| =
1
R
0
|Q0(z(t))| |z0(t)|dt.
Theo giả thiết, với |z| ≤ 1 +δ ta có |Q0(z)| > n(1 +δ − |z|)n−1. Do đó: |Q(z0)| > n 1 Z 0 (1 +δ − |z(t)|)n−1|z0(t)|dt ≥ n Z (1 +δ − |z(t)|)n−1d(|z(t)|) =(1 +δ)n −(1 +δ −λ)n.
Điều này đã chứng minh (2.43). Chứng minh Định lí 2.2.1
Giả sử phản chứng. Khi đó có một nghiệmzv, kí hiệu làa, sao choP0(z) 6= 0trong D(a;ρn) ở đóρn := (1 +|z1z2...zn|)1/n. Ta có thể coi: |a| > ρn−1. Áp dụng (2.43) cho đa thức Q(z) := P (z+a) với λ = δ = ρn−1ta được:
|P (z)| > (1 +δ)n −1 = |z1z2...zn| với |z −a| = δ.
Vì P (0) = (−1)nz1z2...zn nên P (z) đạt giá trị tại một điểm z ∗ nào đó trong {z : |z −a| < δ}.
Theo bổ đề 2.2.2, ta kết luận rằng P0(z) có ít nhất một nghiệm ζ trong nửa mặt phẳng H := {z : |z−z∗| ≤ |z|}.
Do đó, ζ ∈ H ∩D(0; 1) vì theo phản chứng, tất cả các nghiệm của P0(z) nằm trong đĩa đơn vị.
Từ |ζ −z∗| ≤ 1 và |ζ −a| ≤ 1 +δ = ρn suy ra mâu thuẫn.
Định lí được chứng minh. Chứng minh Hệ quả 2.2 Theo bổ đề 2 [30] rằng tất cả các nghiệm của đa thức P(z) bậc n≥ 2 nằm trong D(0; 1) và nếu a ∈ [0; 1] là một nghiệm thì P0(1) 6= 0 và: ReP 00(1) P0(1) ≥ n−1 2 . n+ 2−a(n−2) n+ 1−a(n−1). (2.44) Nếu P0(z) = n n−1 Q v=0 (z−ζv) 6= 0 trong đĩa D 1+a n+2−a(n−2); nn+1+2−−aa((nn−−1)2) có đoạn h 1−2nn+1+2−−aa((nn−−1)2); 1 i là đường kính thì Rep 00(1) p0(1) = n−1 X v=1 Re 1 1−ζv < n−1 X v=1 1 2 n+ 2−a(n−2) n+ 1−a(n−1) ReP 00(1) P0(1) = n−1 X v=1 Re 1 1−ζv < n−1 X v=1 1 2 n+ 2−a(n−1) n+ 1−a(n−1) =n−1 2 n+ 2−a(n−2) n+ 1−a(n−1). Mâu thuẫn với (2.44).
Do đó P0(z) phải có nghiệm trong D
1+a n+2−a(n−2);nn+1+2−−aa((nn−−1)2) . Xét σn(a) := nn+2+2a−−aa2(n(n−−2)2).
Điều dễ dàng chỉ ra rằng σn(a) đạt được giá trị lớn nhất trên khoảng đơn vị tại an := n+2−2
√
n
n−2 và là giảm trên [an; 1].
D(a;rn) chứa ít nhất một nghiệm của P0(z) thì rn ≤ max an≤a≤1min (1 +a)1/n, σn(a) =: τn. Tính toán cụ thể ta được: τ6 = σ6(a6) = 1.05051025..., τ7 ≈ 1.08331641... τ8 ≈ 1.08228584... Và tất nhiên τn ≤ 21/n ≤ 21/9 < 1.08006 với n ≥ 9.
Từ giả thuyết Sendov đúng với đa thức bậc n ≤ 8 nên ρ∗ ≤ τ7 = 1.08331641.
2.2.4 Một số nhận xét
Nhận xét 2.7. Nếu cv được xác định bởi: 2v1 = 1 + v1cv thì với n ≥v ta có 2n1 ≤ 1 + n1cv.
Do đó, ta nhận được đánh giá sau đây cho số rn: rn ≤2n1 ≤1 + 0.72053766
n với n ≥9. Rõ ràng đánh giá sau đây đúng với n≤ 8:
rn ≤1 + 0.72053766 n =: ρ
∗
n. (3)
Nhận xét 2.8. Vì ρ∗n = 1 + 0.72053766n → 1 khi n → ∞ nên ta có thể khẳng định rằng, Giả thuyết Sendov đúng theo nghĩa tiệm cận.
Luận văn trình bày tổng quan về giả thuyết Sendov dựa chủ yếu theo các tài liệu [1], [9], [31], [32], có kết hợp với các bài báo trong Tài liệu tham khảo.
Nội dung cơ bản của luận văn gồm hai chương. Chương 1 trình bày tổng quan về giả thuyết Sendov. Chương 2 trình bày chứng minh giả thuyết Sendov cho đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 8 và một số công thức đánh giá bán kính khoảng cách giữa điểm nghiệm của đa thức và điểm dừng của nó.
Hy vọng luận văn sẽ là tài liệu tham khảo tốt cho những ai quan tâm đến Giả thuyết Sendov.
[1] Bojanov, B. D., Rahmann, Q. I., Szynal, J.: On a Conjecture of Sendov about the Critical Points of a Polynomial, Mathematische Zeitschrift 190 (1985), 281–286.
[2] JBorcea, J.: On the Sendov conjecture for polynomials with at most six distinct zeros, J. Math. Anal. Appl. 200, No 1 (1996), 182 – 206. [3] Borcea, J.: The Sendov conjecture for polynomials with at most
seven distinct roots, Analysis 16 (1996), 137 – 159.
[4] Brannan, D. A.: On a conjecture of Ilieff, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 64 (1968), 83 – 85.
[5] J. E. Brown: On the Illieff-Sendov conjecture, Pacific Journal of Mathematics Vol. 135, No 2 (1988), 223– 231.
[6] J. E. Brown: On the Sendov conjecture for sixth degree poly-nomials,
Proc. Amer. Math. Soc. 113, No 4 (1991), 939– 946.
[7] J. E. Brown: A proof of the Sendov conjecture for polynomials of degree seven, Complex Variables Theory Appl. 33, No 1– 4 (1997), 75– 95.
[8] J. E. Brown: On the Sendov’s Conjecture for polynomials with real critical points, Contemporary Math. 252 (1999), 49– 62.
nomials of degree at most eight, J. Math. Anal. Appl. 232 (1999), No2, 272– 292.
[10] G. L. Cohen, G. H. Smith: A proof of Iliev’s conjecture for polyno- mials with four zeros, Amer. Math. Monthly 95 (1988), 734– 737. [11] Cohen, G. L. and G. H. Smith: A proof of Iliev’s conjecture for
polynomials with four zeros, Elem. d. Math. 43 (1988), 18– 21. [12] Gacs, G.: On polynomials whose zeros are in the unit disk, J. Math.
Anal. Appl. 36 (1971), 627 – 637.
[13] Robert “Dr.Bob” Gardner: The Ilieff- Sendov Conjecture, Fall 2011, 1– 13.
[14] Goodman, A. G., Q. I. Rahman and J. Ratti: On the zeros of a polynomial and its derivative, Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1969), 273 - 274.
[15] Hayman, W. K.: Research Problems in Function Theory, Althlone Press, London, 1967.
[16] Joyal, A.: On the zeros of a polynomial and its derivative, J. Math. Anal. Appl. 25 (1969), 315– 317.
[17] Katsoprinakis, E. S.: On the Sendov-Ilieff conjecture, Bull. London Math. Soc. 24 (1992), 449– 455.
[18] Katsoprinakis, E. S.: Erratum to "On the Sendov-Ilieff conjecture",
[19] Kumar, S. and B. G. Shenoy: On the Sendov-Ilieff conjecture for polynomials with at most five zeros, J. Math. Anal. Appl. 171 (1992), 595– 600.
[20] Kumar, S. and B. G. Shenoy: A note on the Ilyeff-Sendov conjecture for polynomials of arbitrary degree with multiple zeros, Indian J. Pure Appl. Math. 25, No5 (1994), 489– 495.
[21] Moris Marden: Conjectures on the Critical Points of a Polynomial, The American Mathematical Monthly, Vol.90, No4 (1983), 267-276. [22] Meir, A. and A. Sharma: On Ilieff’s conjeture, Pacific J. Math. 31
(1969), 459– 467.
[23] Miller, M. J.: Maximal polynomials and the Ilieff-Sendov conjeture,
Trans. Amer. Math. Soc. 321 (1990), 285 - 303.
[24] Milovanovic, G. V., D. S. Mitrinovic and Th. M. Rassias: Topics in Polynomials: Extremal Problems, Inequalities, Zeros, World Scien- tific Publishing, Singapore, 1994, 78 – 83; 1999, 218– 242.
[25] Phelps, D. and R. S. Rodriguez: Some properties of extremal poly- nomials for the Ilieff conjecture, Kodai Math. Sem. Rep. 24 (1972), 172 - 175.
[26] Victor Prasolov: Polynomial in Algorithms and computation in mathematics, Vol.11, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2004, 2010. In Russian: 1999, 2001.
[27] Q. I. Rahman and G. Schmeisser: Analytic Theory of Polynomials, Oxford University Press, Oxford, 2002.
[28] Rubinstein, Z., On a problem of Ilyeff, Pacific Journal of Mathe- matics, Vol. 26 (1968), No 1, pp. 159–161.
[29] Saff, E. B. and J. B. Twomey: A note on the location of critical points of polynomials, Proc. Amer. Math. Soc. 27, No 2 (1971), 303–308. [30] Schmeisser, G.: Bemerkungen zu einer Vermutung von Ilieff, Math.
Z. 111 (1969), 121–125.
[31] Schmeisser, G: On Ilieff’s conjecture, Math. Z.156 (1977), 165 –173. [32] Schmeisser, G: The Conjecture of Sendov and Smale, in Approxima- tion Theory: A Volume dedicated to Blagovest Sendov (B. Bojanov, Ed.), DARBA, Sofia, 2002, 353–369.
[33] Bl. Sendov: Generalization of a conjecture in the geometry of poly- nomials, Serdica Math. J. 28 (2002), 283–304.
[34] Bl. Sendov, A. Andreev and N. Kjurkchiev, Numerical Solution of Polynomial Equations (in Handbook of Numerical Analysis, Vol. III, 1994, P. G. Ciarlet and J. L. Lions Eds.), Elsevier Science 1994. [35] Tariq, Q. M.: On the zeros of a polynomial and its derivative, J.
Univ. Kuwait (Sci.) 13 (1986), 17–19.
[36] Tariq, Q. M.: On the zeros of a polynomial and its derivative II, J. Univ. Kuwait (Sci.) 13, (1986), 151–155.
[37] Todorov, P. G.: A natural verification of the Sendov conjecture for the canonical cubic equation and other results for the location of its roots, Bull. de la Classe des Sciences, VII (1996), 387–403.