Vi»c t½nh to¡n h m gi¡ trà cõa b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n bªc hai mët c¡ch tèt nh§t ang g°p nhi·u khâ kh«n. Hi»n nay mët sè t¡c gi£ ¢ · xu§t thuªt to¡n trong c¡c tr÷íng hñp cö thº, ch¯ng h¤n Kong v cëng sü [7].
Düa tr¶n c¡c þ t÷ðng sû döng trong tr÷íng hñp tuy¸n t½nh, trong möc n y chóng ta tr¼nh b y 2 thuªt to¡n º x¥y düng c¡c h m gi¡ trà cõa b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n bªc hai câ chùa tham sè.
Gi£ sû A1 v A2 £m b£o t½nh húu h¤n cõa B1 v B2 (xem kþ hi»u ð möc 2.3.1).
Kþ hi»u
B := β | z(β) húu h¤n ,
trong â z(β) l h m gi¡ trà cõa b i to¡n (P QIP), cæng thùc (2.10) möc 2.2.2.
Do vªy ta x²t tham sè cõa b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n bªc hai tham sè tr¶n mët tªp húu h¤n c¡c v¸ ph£i β ∈ B. Nh÷ vªy ð ¥y
Trong gi£ thi¸t A2 v A3 c¡c h m gi¡ trà trong c£ hai giai o¤n ψ(β1)
v φ(β2) ·u húu h¤n vîi måi β1 ∈ B1 v β2 ∈ B2. Vªy n¶n ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng z(β) húu h¤n vîi måi β ∈ B.
i·u ki»n câ k¸t c§u ri¶ng. Thuªt to¡n ¦u ti¶n düa v o c¡c giîi h¤n ÷ñc °t ra ð trong möc 2.2 vîi h m gi¡ trà b i to¡n quy hoach nguy¶n bªc hai t«ng. Thuªt to¡n ti¸p theo ÷a ra º gi£i b i to¡n ma trªn i·u ki»n khæng ¥m G. Thuªt to¡n thù hai ¡p döng cho c¡c b i to¡n vîi ÷íng ch²o Q 0. Thuªt to¡n ¦u ti¶n sau ¥y câ t¶n chung l : Thuªt to¡n t«ng ch½nh x¡c.
Trong thuªt to¡n n y ta gi£ ành z(.) t«ng. °t l(.) v u(.) l¦n l÷ñt l giîi h¤n d÷îi v giîi h¤n tr¶n cõa z(.). Ta câ l(β) ≤ z(β) ≤ u(β) vîi måi β ∈ B trong c£ thuªt to¡n. Khi l(β) = u(β), s³ t¼m ÷ñc z(β) v thuªt to¡n s³ k¸t thóc khi z(β) ÷ñc x¡c ành vîi måi β ∈ B. Ngo i c¡c giîi h¤n tø möc 2.2 chóng ta cán sû döng c¡c thuëc t½nh sau ¥y cõa h m gi¡ trà. Vi»c chùng minh c¡c Bê · sau ¥y câ thº xem trong [8]
Bê · 2.3.2.1. Gi£ sû z(.) t«ng v cho bx∈ opt(β) th¼ z(β) = 0 vîi måi β sao cho 0≤ β ≤ β−Gbx.
Bê · 2.3.2.2. Gi£ sûz(.) khæng gi£m v choxb∈ opt(β) th¼z(β) = z(β)
vîi måi β sao cho Gbx ≤β ≤ β.
Trong thuªt to¡n ta x¡c ành l(β) v u(β) vîi mët sè β ∈ B b¬ng c¡ch thüc hi»n hai thao t¡c cì b£n sau:
1. Gi£i ch½nh x¡c mët b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n bªc hai vîi v¸ ph£i β ∈ B v thu ÷ñc ph÷ìng ¡n tèi ÷u xb.
2. Cho bx, nhªp c¡c giîi h¤n tr¶n v giîi h¤n d÷îi cõa tªp hñp con v· ph£i trong B sû döng :
i) C¡c thuëc t½nh cõa h m gi¡ trà trong Bê · 2.3.2.1 v 2.3.2.2
ii) C¡c thuëc t½nh khæng gi£m v t«ng cõa h m z(.) (M»nh · 2.2.2.8 v M»nh · 2.2.2.9) giîi h¤n tø M»nh · 2.2.2.15 v mët sè lþ luªn cì b£n (xem chi ti¸t d÷îi ¥y).
Thªt to¡n 1 (Thuªt to¡n t«ng ch½nh x¡c).
1, ..., n n¸u gj ∈ B, °t l0(gj) = 12qjj + cj. Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta gi£ thi¸t r¬ng khæng câ nhúng cët tròng l°p. Xªy düng giîi h¤n tr¶n u0(β) = +∞ vîi måi β ∈ B. °t Lk := ∅ v k ←1.
B÷îc 1. Chuyºn êilk(β) ← lk−1(β)v uk(β) ← uk−1(β) vîi måiβ ∈ B. Chån βk ∈ B\ Lk. Gi£ b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n bªc hai vîi v¸ ph£i βk º nhªn ÷ñc ph÷ìng ¡n tèi ÷u bxk. Lóc n y ta thüc hi»n tu¦n tü:
(1a) Vîi måi β ∈ B \ Lk m Gxbk ≤ β ≤ βk °t lk(β) = uk(β) = cTxbk +
1
2xbkTQbxk v Lk ← Lk ∪ {β}.
(1b) Vîi måi β ∈ B\ Lk m 0 ≤ β ≤ βk −Gxbk °t lk(β) = uk(β) = 0 v Lk ← Lk ∪ {β}.
(1c) Vîi måi β ∈ B \ Lk m β ≥ βk °t lk(β) ← max{lk(β), lk(βk)}. N¸u β −βk ∈ B\Lk, lk(β) ← max{lk(β), lk(βk) +lk(β−βk)}.
(1d) Vîi måi β ∈ B\ Lk m β ≤ βk °t uk(β) ← min{uk(β), uk(βk)}. N¸u βk −β ∈ B\Lk, uk(β) ←min{uk(β), uk(βk)−lk(βk−β)}.
(1e) Vîi måi β ∈ B\ Lk, n¸u β +βk ∈ B\Lk, uk(β) ← min{uk(β), uk(β +
βk)−lk(βk)}.
B÷îc 2: Chån t§t c£ x ∈ Zn
+ m x ≤ xbk. N¸u Gx∈ B, chuyºn êi: (2a) lk(Gx) ←max{lk(Gx), cTx+ 12xTQx}.
(2b) uk(Gx) ← min{uk(Gx), cTx+ 12xTQx+ xTQ(xb−x)}. N¸u βk −Gx ∈ B °t
(2c) lk(βk−Gx) ←max{lk(βk−Gx), lk(Gbxk)−xTQ(xbk−x)−cTx−12xTQx}. (2d) uk(βk −Gx) ← min{uk(βk −Gx), uk(Gxbk)−cTx− 12xTQx}.
B÷îc 3: N¸u lk(β) = uk(β) vîi måi β ∈ B th¼ k¸t thóc vîi z(.) =
º ¡nh gi¡ t½nh hi»u qu£ cõa thuªt to¡n, ta ph¡t biºu v chùng minh Bê · 2.3.2.3 s¥u ¥y.
Bê · 2.3.2.3. T¤i b§t k¼ l¦n l°p thù k n o cõa thuªt to¡n t«ng ch½nh x¡c, lk(β) ≤ z(β) ≤ uk(β) vîi måi β ∈ B.
Chùng minh. C¡c giîi h¤n d÷îi trong B÷îc 0 th§y ÷ñc tø M»nh · 2.2.2.7.
Gi£ sû ð l¦n l°p thù k −1 ≥ 0, Bê · 2.3.2.3 óng. H¢y xem x²t ð l¦n l°p thù k. • C¡c b÷îc (1a) v (1b) óng l¦n l÷ñt do Bê · 2.3.2.1 v Bê · 2.3.2.2. • C¡c b÷îc (1c) ¸n (1e) óng l do t½nh khæng gi£m v t½nh t«ng cõa h m z(.). • B÷îc (2a) óng v¼ x ∈ S(Gx). • B÷îc (2b) óng theo M»nh · 2.2.2.15. • B÷îc (2c) óng do (xbk−x) ∈ S(βk−Gx) v h m z(.) khæng gi£m. Cö thº l z(β −Gx) ≥ z(G(xb−x)) ≥ cT(bx−x) + 1 2(xb−x)TQ(xb−x), (2.29)
sau c¡c bi¸n êi ìn gi£n ta câ ÷ñc B§t ¯ng thùc n y. • B÷îc (2d) óng do x ∈ S(Gx) v z(.) t«ng. Cö thº l
z(β −Gx) ≤ z(Gxb)−z(Gx) ≤ z(Gbx)−cTx− 1
2x TQx.
V¼ vªy ta ¢ chùng minh ÷ñc Bê ·.
M»nh · 2.3.2.4. Thuªt to¡n t«ng ch°t ch³ l m xu§t hi»n giîi h¤n húu h¤n vîi nhúng ph÷ìng ¡n tèi ÷u cho z(.) vîi måi β ∈ B.
Chùng minh. Xem x²t ð b§t cù l¦n l°p k ≥ 1. Sau B÷îc 1, tçn t¤i ½t nh§t mët β ∈ B sao cho lk(β) = uk(β) = z(β) trong â lk−1(β) 6= z(β)
ho°c uk−1(β) 6= z(β). Theo Bê · 2.3.2.3, lk(β) ≤ z(β) ≤ uk(β) vîi måi β ∈ B t¤i b§t k¼ l¦n l°p k v v¼ B húu h¤n n¶n ta câ k¸t qu£ tr¶n.
B¥y gií chóng tæi tr¼nh b y thuªt to¡n thù hai. Thuªt to¡n n y câ t¶n l : Thuªt to¡n theo ma trªn ÷íng ch²o Q 0.
Trong ph¦n n y ta gi£ ành Q = diag(q11, ..., qnn) 0 ngh¾a l Q l ma trªn ÷íng ch²o v t§t c£ qii khæng ¥m. Do â, theo M»nh · 2.2.2.8 z(.)
t«ng. çng thíi ta gi£ thi¸t r¬ng G l ma trªn khæng ¥m.
V¼ B húu h¤n n¶n s³ tçn t¤i B khæng ¥m thuëc B. °t b := (b1, ..., bm)
¤i di»n cho v²ctì lîn nh§t trong B. º d¹ gi£i th½ch ta °t B := B ∩Zm
+, cán B = {[0, b1]×[0, b2]×...×[0, bm]}. Ta dòng c¡c k½ hi»u t÷ìng tü trong thuªt to¡n 1.
Ti¸p theo ta tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£ chùng minh (ch¯ng h¤n Gilmore v Gomory) ÷ñc sû döng trong c¡c nëi dung ti¸p theo.
°t Bj ¤i di»n cho tªp hñp t§t c£ β ∈ B m β ≥gj. M»nh · 2.3.2.5. Vîi måi β ∈ B\∪n
j=1Bj, ta câ ζ(β) = 0 v z(β) = 0. ành lþ 2.3.2.6. èi vîi b§t k¼ β ∈ ∪n
j=1Bj, ta câ
ζ(β) = max{0, γj +ζ(β −gj)|gj ∈ B, j = 1, ..., n}. (2.30)
ành lþ n y câ thº mð rëng cho b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n bªc hai tham sè (PQIP) vîi ma trªn ÷íng ch²o Q 0 nh÷ sau:
ành lþ 2.3.2.6'. èi vîi b§t ký βSn j=1Bj, °t z(β) = max µ;j=1,...,n n 0, cjµ+1 2qjjµ 2 +z(β−µgj) | µ∈ Z++, β−µgj ≥ 0, gj ∈ B o . (2.31)
Ng÷ñc vîi thuªt to¡n 1, thuªt to¡n d÷îi ¥y ch¿ ÷a ra ành ngh¾a l(.)
v khæng gi£i b§t ký b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n bªc hai n o. Möc ½ch ch½nh cõa thuªt to¡n l º bi¸n êi l(.) v sû döng t½nh ch§t t«ng cõa z(.)
Thuªt to¡n 2 (Thuªt to¡n theo ma trªn ÷íng ch²o).
B÷îc 0: Khäi t¤o giîi h¤n d÷îi l0(β) = 0,∀β ∈ B. èi vîi j = 1, ...n, n¸u gj ∈ B, l0(µgj) ← max{l0(µgj), cjµ+ 12qjjµ2},∀µ m b−µgj ≥ 0, µ ∈ Z+. Ch±n µgj v o danh s¡ch v²ctì L. °t l1(β) = l0(β) vîi måi β ∈ B. °t k ← 1.
B÷îc 1: Kþ hi»u v²ctì thù k ∈ L l βk v ph¦n tû thù i cõa v²ctì β b¬ng βi. °t β = βk. T¤o c¡c v²ctì β0 m β0 ∈ B v β0 ≥ βk vîi c¡c b÷îc d÷îi ¥y:
(1a) °t β1 ← β1 + 1 v lk(β) ←max{lk(β), lk(βk) +lk(β −βk)}.
(1b) N¸u β1 ≥ b1 th¼ chuyºn ¸n B÷îc (1c), n¸u khæng th¼ trð l¤i B÷îc (1a). (1c) N¸u vîi måi i = 1, ..., m, βi ≥ bi th¼ chuyºn sang B÷îc 2. N¸u khæng, °t s = min{i : βi < bi}. °t βi ← βik vîi i = 1, ..., s − 1. °t βs ←βs + 1 v qua trð l¤i B÷îc (1a).
B÷îc 2: N¸u k = |L| k¸t thóc b i to¡n vîi k¸t qu£ z(.) = lk(.). N¸u khæng °t lk+1(β) ← lk(β) vîi måi β ∈ B, °t k ← k + 1 v quay trð l¤i B÷îc 1.
C¡c k¸t qu£ sau ¥y cho th§y ë phùc t¤p t½nh to¡n cõa thuªt to¡n 2. M»nh · 2.3.2.7. Thuªt to¡n ma trªn ÷íng ch²o Q cho ph÷ìng ¡n tèi ÷u vîi h m gi¡ trà z(.) ð B÷îc 0 câ nhi·u nh§t l nµmax l¦n l°p.
Chùng minh. èi vîi b§t ký β ∈ B\ ∪n
j=1Bj , chóng ta bt ¦u l0(β) = 0
trong B÷îc 0 v khæng thay êi sau â.
Theo M»nh · 2.3.2.5 th¼ z(β) = 0 vîi β ∈ B\ ∪n j=1Bj.
Gi£ sû r¬ng thuªt to¡n k¸t thóc ð l¦n l°p k∗ = |L|. Sau â lk∗(β) = z(β)
vîi måiβ ∈ B\ ∪n
j=1Bj. Gi£ sû câ tçn t¤iβ ∈ B\ ∪n
j=1Bj m lk∗(β) 6= z(β), v vîi måi β0 ≤ β, β0 ∈ B \ ∪n
j=1Bj, ta câ lk∗(β0) = z(β0) th¼ rã r ng lk∗(β) < z(β) (theo Bê · 2.3.2.3). Do vªy tçn t¤i mët j∗ ∈ {1, ..., n} v µ∗ ≥ sao cho lk∗(β) < cj∗µ∗ + 12qj∗j∗µ2∗ + z(β−gj∗µ∗) (theo Bê · 2.3.2.7).
Tø lk∗(gj∗µ∗) ≥ cj∗µ∗ + 12qj∗j∗µ2∗ v lk∗(β − gj∗µ∗ = z(β − g∗µ∗)), suy ra lk∗(gj∗µ∗) +lk∗(β −gj∗µ∗) ≥ cj∗µ∗ + 12qj∗j∗µ2∗ +z(β −gj∗µ∗) > lk∗(β), i·u n y tr¡i vîi t½nh t«ng cõa lk∗(.). Do â lk∗(β) = z(β) vîi måi β ∈ ∪n
j=1Bj.
Tø â ch¿ ra r¬ng k∗ = |L| ≤ nµmax.
ành lþ 2.3.2.8. ë phùc t¤p thíi gian gi£i cõa thuªt to¡n ma trªn ÷íng ch²o Q l O(nµmax|B|).
Chùng minh. B÷îc 0 ái häi t½nh O(nµmax). B÷îc 1 cõa thuªt to¡n ái häi t½nh O(|B|) lîn nh§t. V¼ B÷îc 1 ÷ñc thüc hi»n nµmax h¦u h¸t thíi gian n¶n têng thíi gian gi£i cõa thuªt to¡n l O(nµmax|B|).
Thuªt to¡n 1 v 2 ¢ cho ta gi¡ trà h m möc ti¶u cõa b i to¡n theo tham sè β. Tø â câ thº suy ra ÷ñc ph÷ìng ¡n tèi ÷u cõa b i to¡n theo sü bi¸n êi cõa β ∈ B.
K¸t luªn
Luªn v«n ¢ n¶u ÷ñc mët sè nëi dung ch½nh nh÷ sau:
1. Tr¼nh b y mët c¡ch h» thèng nhúng kh¡i ni»m v k¸t thùc cì sð v· lþ thuy¸t x¡c su§t, v· b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n ng¨u nhi¶n hai giai o¤n.
2. Tr¼nh b y ÷ñc c¡c t½nh ch§t cõa h m gi¡ trà cõa b i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh ng¨u nhi¶n tham sè v b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n ng¨u nhi¶n bªc hai ch÷a tham sè v¸ ph£i i·u ki»n buëc.
3. Tr¼nh b y ÷ñc c¡c t½nh ch§t cõa h m gi¡ trà b i to¡n ¢ cho.
4. N¶u ÷ñc 2 thuªt to¡n x¥y düng l¤i h m gi¡ trà ð giai o¤n hai. Tr¶n cì sð â · xu§t h÷îng ti¸p cªn gi£i.
· t i câ thº ÷ñc ti¸p töc nghi¶n cùu theo h÷îng:
Mð rëng x²t vîi mët sè b i to¡n thüc t¸ câ h¼nh thùc nh÷ b i to¡n
(P QIP) ¢ n¶u trong luªn v«n.
Nghi¶n cùu chi ti¸t thuªt to¡n gi£i, tr¶n cì sð c¡c thuªt to¡n ành d¤ng l¤i h m gi¡ trà.
T i li»u tham kh£o
[1]. Nguy¹n V«n Qu£ng (2007), Gi¡o tr¼nh x¡c su§t, NXB ¤i håc Quèc gia, H Nëi.
[2]. Tr¦n Xu¥n Sinh (2004), C¡c ph÷ìng ph¡p ng¨u nhi¶n gi£i b i to¡n quy ho¤ch, ¤i håc Vinh.
[3]. Nguy¹n Duy Ti¸n - Vô Vi¸t Y¶n (2001), Lþ thuy¸t x¡c su§t, NXB Gi¡o döc, H Nëi.
[4]. S. Ahmed, M. Tawarmalani, and N. V. Sahinidis, (2004), A finite branch and bound algorithm for two-stage stochastic integer programs, Mathemat- ical Programming, 100(2), 355-377.
[5]. Anand Bhalgat (2011), A (2 + ε)-Approximation Algorithm for the Stochastic Knapsack Problem; Department of Computer and Information Science, University of Pennsylvania, Philadelphia PA, 19104.
bhalgat@seas.upenn.edu
[6]. B. C. Dean, M. X. Goemans and J. Vondr¡k (2008), Approximating the Stochastic Knapsack Problem: The Benefit of Adaptivity, Mathematics of Operations Research Vol. 33, No. 4, November 2008, pp. 945-964, issn0364- 765X.eissn1526-5471.08.3304.0945.
[7]. N. Kong, A. J. Schaefer, and B. Hunsaker, (2006), Two-stage integer programs with stochastic right-hand sides: a superadditive dual approach, Math-ematical Programming, 108(2):275-296.
[8]. G. L. Nemhauser and L. A. Wolsey, (1988), Integer and Combinatorial Optimization, Wiley, NewYork, NY.
[9]. O. Y. Ozaltm, O. Prokopyev v A. J. Schaefer, (2007), Two-Stage¨
Quadratic Integer Programs with Stochastic Right-Hand Sides, Department of Industrial Engineering, Uni. of Pittsburgh, Pittsburgh, PA 15261 USA.