Ta t¡i ành d¤ng l¤i b i to¡n (P1) sû döng h m gi¡ trà b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n bªc hai ð c£ hai giai o¤n. °t B1 l tªp hñp c¡c vectì
β1 ∈ Rm2 sao cho tçn t¤i x ∈ X thäa m¢n β1 = T x, tùc l
B1 = β1 ∈ Rm2 | ∃x ∈ X, β1 = T x , trong â X ⊆ Zn1
+. Ngo i ra, °t B2 l tªp hñp c¡c v²ctì β2 ∈ Rm2 sao cho β1 ∈ B1 v ω ∈ Ω thäa m¢n β2 = h(ω)−β1, t¡c l B2 = [ β1∈B1 [ ω∈Ω h(ω)−β1 .
Chó þ r¬ng måi v²ctì trong B1 ·u nguy¶n bði T ∈ Zm2×n1. Còng vîi i·u ki»n h(ω) ∈ Zm2,∀ω ∈ Ω, vîi måi v²ctì trong B2 công nguy¶n.
Vîi b§t k¼ β1 ∈ Zm2, ta câ h m gi¡ trà ð giai o¤n 1 nh÷ sau: ψ(β1) = maxn1
2x
T ∧x+cTx|x ∈ S1(β1)}, S1(β1) ={x ∈ X|T x ≤ β1o.
(2.26)
Chó þ r¬ng i·u ki»n T x = β1 trong ành ngh¾a cõa B1 ÷ñc thay b¬ng T x ≤ β1 trong (2.26). i·u n y hñp lþ v¼ t½nh ch§t khæng t«ng cõa h m gi¡ trà trong M»nh · 2.2.2.8. Dòng b§t ¯ng thùc thay v¼ ¯ng thùc cho ph²p ta ùng döng t½nh ch§t · cªp trong Ph¦n 2.2.2 º ph¡t triºn thuªt to¡n.
Ti¸p theo, vîi b§t k¼ β2 ∈ Zm2, ta câ h m gi¡ trà ð giai o¤n 2 nh÷ sau: φ(β2) = max n1 2y TΓy+ dTy|y ∈ S2(β2) o , S2(β2) = y ∈ Zn2 +|W y ≤ β2 . (2.27) Tø â chóng ta t¡i ành d¤ng (P1) th nh: (P2) : max{ψ(β) +Eωφ(h(ω)−β) | β ∈ B1}. (2.28)
C¡c bi¸n β trong (P2) ÷ñc gåi l bi¸n chu©n. Thay v¼ t¼m X ta câ thº t¼m c¡c bi¸n tr¶n º câ k¸t qu£ tèi ÷u.
K¸t qu£ d÷îi ¥y t¤o mèi quan h» giúa c¡c ph÷ìng ¡n tèi ÷u b i to¡n
ành lþ 2.3.1.1. Gi£ sû β∗ l ph÷ìng ¡n tèi ÷u cõa b i to¡n (P2). Khi â bx ∈ opt(β∗) l ph÷ìng ¡n tèi ÷u cõa b i to¡n (P1).
Ngo i ra, c¡c gi¡ trà h m möc ti¶u tèi ÷u cõa hai b i to¡n ·u nh÷ nhau. C¡ch chùng minh ành lþ 2.3.1.1 t÷ìng tü ành lþ 3.2 cõa Ahmed còng çng sü (xem [5]) n¶n ÷ñc bä qua ð ph¦n n y. Vi»c t¼m ki¸m h m gi¡ trà trong c£ hai giai o¤n l i·u c¦n thi¸t º gi£i b i to¡n (P2). Ph¦n ti¸p theo s³ nâi v· thuªt to¡n t¼m h m gi¡ trà ψ(.) v φ(.). º d¹ tr¼nh b y ta v¨n ti¸p töc sû döng h m z(.) l h m gi¡ trà chung.