Định nghĩa 2.14. ([4]- Tr.20) Hai phân thớ ξ và η trên B là đẳng cấu địa phương nếu với mỗi b∈ B thì tồn tại một lân cận mở U của b sao cho
ξ|U và η|U là U−đẳng cấu.
Từ định nghĩa trên ta thấy hai phân thớ trên B đẳng cấu với nhau thì đẳng cấu địa phương.
Định nghĩa 2.15. ([4]- Tr.20) Một phân thớ ξ trên B là tầm thường địa phương với thớ F nếu ξ là đẳng cấu địa phương với phân thớ tích (B ì F, p, B).
Mệnh đề2.10. ([4]- Tr.20) Quan hệ đẳng cấu địa phương là quan hệ tương đương trên lớp các phân thớ trên B.
Chứng minh. Cho ξ, η, γ là các phân thớ trên B. Ta chỉ cần chứng minh tính chất bắc cầu. Thật vậy, giả sử U và V là hai lân cận mở của b ∈ B sao
36
cho ξ|U và η|U là U−đẳng cấu và η|V và γ|V là V−đẳng cấu. Xét các phép nhúng:
j1 :U ∩V −→U
j2 : U ∩V −→V
Theo Ví dụ 2.7 ta có các (U ∩V)−đẳng cấu sau:
ξ|(U ∩V) ∼= j∗ 1(ξ|U) η|(U ∩V) ∼= j∗ 1(η|U) η|(U ∩V) ∼= j∗ 2(η|V) γ|(U ∩V) ∼= j∗ 2(η|V)
Mặt khác do ξ|U và η|U là U−đẳng cấu nên tồn tại U−đẳng cấu
u : ξ|U −→ η|U
Xét ánh xạ:
u0 :E(j1∗(ξ|U)) −→ E(j1∗(η|U))
(x, x0) 7−→ (x, u(x0))
Khi đó ta có u0 là một (U ∩ V)−đẳng cấu. Do đó j1∗(ξ|U) và j1∗(η|U) là
(U ∩V)−đẳng cấu.
Tương tự ta chứng minh được j2∗(η|V) và j2∗(η|V) là (U ∩V)−đẳng cấu. Do đó ta có ξ|(U ∩V), η|(U ∩V), γ|(U ∩V) là (U ∩V)−đẳng cấu.
Hệ quả 2.3. ([4]- Tr.20) Nếu ξ là đẳng cấu địa phương với một phân thớ tầm thường địa phương thì ξ là tầm thường địa phương.
Tính chất địa phương của phân thớ là một tính chất bất biến giữa các phân thớ đẳng cấu địa phương.
Mệnh đề 2.11. ([4]- Tr.20) Cho ξ và η là hai phân thớ trên B, và f : B1 −→ B là một ánh xạ liên tục. Nếu ξ và η là đẳng cấu địa phương thì
f∗(ξ) và f∗(η) là đẳng cấu địa phương trên B1.
Chứng minh. ([4]- Tr.21) Theo Mệnh đề 2.2 ta cóf∗(ξ|U) ∼= f∗(ξ)|f−1(U)
với mỗi tập mở U ⊂ B. Nếu ξ|U và η|U là U−đẳng cấu ta có f∗(ξ)|f−1(U)
và f∗(η)|f−1(U) là f−1(U)−đẳng cấu.
Hệ quả 2.4. ([4]- Tr.21) Cho ξ và η là hai phân thớ đẳng cấu địa phương trên B, A ⊂ B. Khi đó ξ|A và η|A là đẳng cấu địa phương.
Chứng minh. Xét ánh xạ nhúng j : A −→ B. Theo Mệnh đề 2.11 ta có
j∗(ξ) và j∗(η) đẳng cấu địa phương trên A. Mặt khác theo Ví dụ 2.7 ta có:
j∗(ξ) ∼= ξ|A
j∗(η) ∼= η|A
Do đó ra có ξ|A và η|A là đẳng cấu địa phương
Hệ quả 2.5. ([4]- Tr.21) Cho ξ là một phân thớ tầm thường địa phương trên B với thớ F, f : B1 −→ B là một ánh xạ, A ⊂ B. Khi đó f∗(ξ) và
ξ|A là tầm thường địa phương với thớ F. Chứng minh. Giả sử ξ = (E, p, B). Đặt
η = (B ìF, q, B), γ = (B1 ìF, q1, B1)
là các phân thớ tích. Theo giả thiết ta có ξ và η đẳng cấu địa phương. Do đó theo Mệnh đề 2.11 ta có f∗(ξ) và f∗(η) là đẳng cấu địa phương.
Mặt khác ta có f∗(η) = (B1 ìB ìF, q0, B1), trong đó mọi phần tử của
38 Xét ánh xạ:
u: E(f∗(η)) −→ B1 ìF
(b1,(f(b1), x)) 7−→ (b1, x)
Ta có u là phép đồng phôi và do q1u = q0 nên f∗(η) vàγ là B1−đẳng cấu. Suy ra f∗(η) tầm thường địa phương. Do đó f∗(ξ) tầm thường địa phương.
Bây giờ ta sẽ chứng minh ξ|A là tầm thường địa phương với thớ F. Thật vậy theo Hệ quả 2.4 ta có ξ|A và η|A là đẳng cấu địa phương. Mặt khác ta có η|A = (A ì F, q, A), suy ra ξ|A đẳng cấu địa phương với thớ tích
(AìF, q, A). Cho nên ξ|A là tầm thường địa phương với thớ F.