sinh
Định nghĩa2.11. ([4]- Tr.17) Cho phân thớ ξ = (E, p, B), Alà một không gian con của B. Khi đó sự hạn chế của ξ trên A, kí hiệu ξ|A, là phân thớ
(E0, p0, A) trong đó E0 = p−1(A) và p|E0 = p0.
Ví dụ 2.6. ([4]- Tr.17,18) Cho ξ = (B ìF, p, B) là một phân thớ tích trên
B với thớ F và A là một tập con của B. Khi đó ξ|A = (AìF, p, A) là một thớ tích trên A với thớ F.
Sự thu hẹp của phân thớ thỏa mãn tính chất bắc cầu. Nếu A1 ⊂A ⊂ B
và ξ là một phân thớ trên B, thì ta có ξ|A1 = (ξ|A)|A1 và ξ|B = ξ. Nếu u : ξ −→ η là B−cấu xạ và A ⊂B. Khi đó:
30
là một A−cấu xạ. Nếu v : η −→ ξ là một B−cấu xạ thứ hai, ta có
(vu)A = vAuA và (1ξ)A = 1ξ|A. Do đó, các hàm ξ 7−→ ξ|A và u 7−→ uA
được xác định như các hàm tử BunB −→BunA.
Định nghĩa 2.12. ([4]- Tr.18) Cho phân thớ ξ = (E, p, B), f : B1 −→ B
là một ánh xạ liên tục. Phân thớ cảm sinh của ξ qua ánh xạ f, kí hiệu
f∗(ξ), là một phân thớ có không gian cơ sở là B1, không gian tổng E1 là một không gian con của không gian bao gồm các cặp (b1, x) ∈ B1 ìE với
f(b1) =p(x), và phép chiếu p1 : (b1, x) 7→b1. Ví dụ 2.7.
1. Cho ξ là một phân thớ trên B và A là một không gian con của B với phép nhúng j : A −→ B. Khi đó ξ|A = (E(ξ|A), p, A) và j∗(ξ) =
(E(j∗(ξ)), p0, A) là A−đẳng cấu. Thật vậy ta xét
u : E(ξ|A) −→E(j∗(ξ))
x 7−→u(x) = (p(x), x)
Ta có p0u(x) =p0(p(x), x) = p(x) ⇒ u là A−cấu xạ Mặt khác xét:
u0 : E(j∗(ξ)) −→ E(ξ|A)
(p(x), x) 7−→ u0(p(x), x)) = x
Ta có u0 là A−cấu xạ, và uu0 = 1E(j∗(ξ)), u0u = 1E(ξ|A)
Do đó u là A−đẳng cấu. Hay ξ|A và j∗(ξ) là A−đẳng cấu. 2. Cho f∗(ξ) là phân thớ cảm sinh của ξ = (E, p, B) dưới ánh xạ
f : B1 −→ B, và fξ : E(f∗(ξ)) −→ E(ξ) xác định bởi fξ(b1, x) = x. Khi đó fξ cùng với f xác định một cấu xạ (fξ, f) : f∗(ξ) −→ ξ, nó được gọi là cấu xạ chuẩn tắc của phân thớ cảm sinh.
Thật vậy E(f∗(ξ)) p1 // fξ B1 f E p //B ∀(b1, x) ∈ E(f∗(ξ)) ⇒pfξ(b1, x) =p(x) = f(b1) =f p1(b1, x) Mệnh đề 2.5. ([4]- Tr.18) Cho ξ = (E, p, B), và (fξ, f) : f∗(ξ) −→ ξ là cấu xạ chuẩn tắc của phân thớ ξ dưới ánh xạ f : B1 −→ B. Khi đó với mỗi b1 ∈ B1 thì hạn chế fξ : p1−1(b1) −→ p−1(f(b1)) là một phép đồng phôi. Hơn nữa nếu η là một phân thớ bất kì trên B1, và (v, f) : η −→ ξ là một cấu xạ phân thớ bất kì, khi đó tồn tại một B1−cấu xạ w : η −→f∗(ξ)
thỏa mãn fξw = v. Cấu xạ w là duy nhất theo mối quan hệ trên.
Chứng minh. ([4]- Tr.18) Giả sử f∗(ξ) = (E1, p1, B1), trong đó E1 là tập hợp tất cả các cặp (b1, x) ∈ B1 ìE với f(b1) =p(x), p1 : (b1, x) 7→b1.
Với mỗi b1 ∈ B1 thớ p1−1(b1) ⊂ b1 ìE là không gian con bao gồm tất cả các cặp (b1, x) ∈ b1 ìE với p(x) =f(b1) ⇔x ∈ p−1(f(b1)).
fξ : p−11(b1) −→ p−1(f(b1)) được viết lại như sau:
fξ : b1 ìp−1(f(b1)) −→p−1(f(b1)) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(b1, x) 7−→x
Đây rõ ràng là phép đồng phôi.
Bây giờ xét η = (E2, p2, B1), và (v, f) : η −→ ξ là một cấu xạ phân thớ bất kì, suy ra pv = f p2.
32 Xét ánh xạ w xác định như sau:
w : E2 −→E1
y 7−→w(y) = (p2(y), v(y))
Khi đó ta có p1w(y) = p2(y) nên w là một B1−cấu xạ. Mặt khác ta có
fξw(y) = fξ(p2(y), v(y)) = v(y) ⇒ fξw = v, và theo cách định nghĩa w ta có w là duy nhất theo tính chất trên.
Định nghĩa 2.13. ([4]- Tr.18) Cho u : ξ −→ η là một B−cấu xạ và
f : B1 −→ B là một ánh xạ liên tục, khi đó định nghĩa B1−cấu xạ f∗(u)
như sau:
f∗(u) : f∗(ξ) −→f∗(η)
(b1, x) 7−→(b1, u(x))
Từ định nghĩa trên ta có f∗(1ξ) = 1f∗(ξ) và nếu v : η −→ ξ là một
B−cấu xạ thứ 2 thì f∗(uv)(b1, x) = (b1, vu(x)) = f∗(v)f∗(u)(b1, x). Do đó ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.6. ([4]- Tr.19) Với mỗi ánh xạ f : B1 −→ B, họ các hàm
f∗ : BunB −→ BunB1 là một hàm tử. Hơn nữa, với mỗi B−cấu xạ
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh ufξ = fηf∗(u). Thật vậy,∀(b1, x) ∈ E(f∗(ξ)), ta có:
ufξ(b1, x) = u(x) =fη(b1, u(x)) =fηf∗(u)(b1, x)
Do đó ta có: ufξ = fηf∗(u)
Mệnh đề 2.7. ([4]- Tr.19) Cho g : B2 −→ B1 và f : B1 −→ B là 2 ánh xạ liên tục, và ξ là một phân thớ trên B. Khi đó 1∗(ξ) và ξ là B−đẳng
cấu, g∗(f∗(ξ)) và (f g)∗(ξ) là B2−đẳng cấu.
Chứng minh. Ta có1∗(ξ) = (E0, p0, B), trong đóE0 = {(p(x), x) ∈ BìE}
và p0 là phép chiếu lên thành phần thứ nhất. Xét ánh xạ:
u : E −→ E0
x 7−→ (p(x), x)
Ta có: ∀x ∈ E : p0(u(x)) = p0(p(x), x) = p(x) ⇒ p0u = p. Mặt khác u là phép đồng phôi nên 1∗(ξ) và ξ là B−đẳng cấu.
Bây giờ ta chứng minh g∗(f∗(ξ)) và (f g)∗(ξ) là B2−đẳng cấu. Ta có:
+) f∗(ξ) = (E1, p1, B1) trong đó:
(b1, x) ∈ E1 ⊂ B1 ìE ⇔ f(b1) =p(x) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
và p1 là phép chiếu lên phần tử đầu tiên.
+) g∗(f∗(ξ)) = (E2, p2, B2) trong đó:
(b2, b1, x) ∈ E2 ⊂ B2 ìB1 ìE ⇔g(b2) = p1(b1, x) =b1
34
+) (f g)∗(ξ) = (E3, p3, B2) trong đó:
(b2, x) ∈ E3 ⊂ B2 ìE ⇔f g(b2) = p(x)
và p3 là phép chiếu lên phần tử đầu tiên. Xét ánh xạ: v : E3 −→ E2 (b2, x) 7−→ (b2,(g(b2), x)) Khi đó v là phép đồng phôi. Mặt khác ∀(b2, x) ∈ E3 ta có: p2(v(b2, x)) =p2(b2, g(b2), x) =b2 = p3(b2, x) ⇒p2v = p3 Do đó ta có g∗(f∗(ξ)) và (f g)∗(ξ) là B2−đẳng cấu. Hệ quả 2.2. ([4]- Tr.19) Cho f : (B1, A1) −→ (B, A) là một ánh xạ cặp,
đặt g = f|A1 : A1 −→ A, và ξ = (E, p, B) là một phân thớ trên B. Khi
đó g∗(ξ|A) và f∗(ξ)|A1 là A1−đẳng cấu.
Chứng minh. ([4]- Tr.19) Ta có Mệnh đề hiển nhiên đúng vì g∗(ξ|A) =
f∗(ξ)|A1 = (A1ìK, p1, A1) trong đóK ⊂E thõa mãn(a1, x) ∈ A1ìK ⇔
f(a1) = p(x), và p1 là phép chiếu lên phần tử đầu tiên.
Mệnh đề 2.8. ([4]- Tr.19)([4]) Cho phân thớ ξ = (E, p, B), f : B1 −→ B
là một ánh xạ, và f∗(ξ) = (E1, p1, B1) là phân thớ cảm sinh của ξ dưới f. Khi đó nếu p là ánh xạ mở thì p1 là ánh xạ mở.
Chứng minh. ([4]- Tr.19,20) Cho W là một lân cận mở của (b1, x) ∈ E1, E1 ⊂ B1 ì E. Ta cần tìm một lân cận mở V của b1 = p1(b1, x) với
V ⊂p1(W).
Từ định nghĩa của tôpô của E1 (tôpô tích) thì tồn tại một lân cận mở V1 của
Đặt V = V1 ∩ f−1(p(U)) ⇒ V mở do p mở và f liên tục. Khi đó với mỗi b1 ∈ V tồn tại x ∈ U với p(x) = f(b1), do đó, (b1, x) ∈ W và
b1 = p1(b1, x) ∈ V. Cho nên V ⊂ p1(W).
Mệnh đề 2.9. ([4]- Tr.20) Cho ξ = (E, p, B) là một phân thớ, và ánh xạ
f : B1 −→B, (fξ, f) : f∗(ξ) −→ ξ là cấu xạ chuẩn tắc của ξ.
Nếu s là một nhát cắt của ξ thì ta có σ : B1 −→E(f∗(ξ)) xác định bởi
σ(b1) = (b1, sf(b1)) là một nhát cắt thỏa mãn fξσ = sf.
Chứng minh. ([4]- Tr.20) Ta có p1s(b1) = p1(b1, sf(b1)) = b1 và f(b1) = psf(b1). Do đó σ là một nhát cắt của f∗(ξ). Mặt khác ta có:
fξσ(b1) = fξ(b1, sf(b1)) = sf(b1)