5
được giới hạn bởi các mặt z = x” + y”,x” + y” =l,x>0,y>0,z>0.
4.4 Công thức Stokes:
Định lý 4: Giả sứ (S) là mặt có hướng, trơn có biên (C) là đường đóng, Jordan, trơn
hoặc trơn từng khúc. Nếu trên (S) cho các hàm P=P(x,y,z),Q=Q(x.,y,z),
R =R(x,y,z) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng thì:
dR doQ dP. ởR Q dP
P R ——-- ———— =“——
ị dx + Qdy + Rdz = ÍÍ 3y 0z tem >> }z zdx { 3x 0y #
-IŠ-X} IS Tan siai,
dy ởdz Jdz ởx dởx dy
trong đó tích phân đường được lấy theo hướng dương tương ứng với phía của (S).
Công thức Stokes còn được viết dưới dạng “hình thức”
* dzdx mơ cosŒ cosj] cosy
g 9 d d
| Pỏx + Quy + Rdz = HỆ x.% = "ll|s ¬- S.
Chứng minh: chỉ cần chứng minh lÏ lỆ zdx Toà Ỉ Pdx.
(C)
ởy
Nhận xét: 1. Nều(S) C Oxy fhì công thức Stokes trở thành công thức Green.
2. Giả sử miễn TC¡ ` có tính chất mọi đường kín (C) trơn từng khúc trong T đêu là biên của một mặt trơn từng mảnh năm hoàn toàn trong T. Nếu các hàm P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z) liên tục và có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong T thì điễu kiện cần và đủ để tích phân lấy theo đường cong không gian Ỉ Pdx+Qdy+Rdz không phụ thuộc vào đường lấy tích phân, chỉ
C(A,®)
phụ thuộc vào điểm đầu A và điểm cuối B, trong đó C(A,B) là đường cong không đóng bất kỳ, trơn hoặc trơn từng khúc nằm hoàn toàn trong T là
2R_2Q 3P _3R 2Q_3P ví vung 4)
y
(4) cũng là điều kiện cần và đủ để biểu thức Pdx + Qảy + Rdz là vì phân toàn
phần của hàm u(x,y,z) nào đó trong miên T và nếu Mạ (xạ,yạ,z¿) là một điểm bất kỳ
thuộc T thì
X M Z
u(x,y,z)= |P(x.yo.Za)dx+ J|9(x. y,zạ)dy + JR(x y,z)dz+C,
Xọ Ÿo Z0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
trong đó C = conat.