Trờn hỡnh 2.26, tớn hiệu PSK tại đầu vào của mạch vũng Costas cú thể biểu thị như dưới đõy khi số liệu giả sử là được thực hiện một sự chuyển dịch pha (±.../2) một cỏch ngẫu nhiờn trong mỗi sự chuyển dịch số liệu.
(2-15)
ở đõy d(t) biểu thị số liệu và cú giỏ trị ±1. Hơn nữa, giỏ trị rms của tớn hiệu là A. Khi đú viết lại biểu thức ở trờn như sau
(2-16)
Trong biểu thức trờn, nếu giả sử rằng mạch vũng đó bị khoỏ, hai bộ lọc thụng thấp gạt bỏ cỏc thành phần tần số cao và do đú đầu ra của bộ lọc cú thể biểu thị như sau:
(2-17)
(2-18)
ở đõy 0i-00 chỉ thị lỗi pha. Y1 và Y2 đúng vai trũ như là đầu vào của vũng lọc thụng thấp và do đú biểu thức sau đõy trở thành đỳng:
Hỡnh 2.26: Mạch vũng khụi phục súng mang Costas
(2-19)
Trong biểu thức trờn km là hệ số của bộ nhõn cú đơn vị là Volt/radian. Hơn nữa, do d(t) = ±1 nờn d2(t) trở thành 1. Do đú biểu thức 2.19 cú thể biểu diễn như sau:
(2-20)
Ghi nhớ rằng biểu thức ở trờn giống như là đối với tiờu chuẩn PLL. Sự khỏc nhau giữa chỳng là sin2(0i-00) bằng 0 ở 00 và 1800. Nghĩa là, mạch vũng cú thể bị khoỏ trong khi VCO cú 2 gúc khỏc nhau liờn quan đến pha của tớn hiệu vào. Số liệu thu được nhờ biểu thức Y2(t) = d(t)cos(0i-00) ~~ d(t). Nếu mạch vũng bị khoỏ tại cỏc pha cũn lại khỏc thỡ số liệu sẽ xuất hiện ở phớa đối diện. Mạch vũng Costas thực hiện việc khụi phục đồng bộ pha của súng mang bị triệt và việc tỏch số liệu đồng bộ tại cựng một thời điểm.
Thờm nữa, mạch vũng Costas cú thể sử dụng cho giải điều chế tớn hiệu QPSK. Trờn hỡnh 2.26, tớn hiệu QPSK f(t) cú thể thu được với biểu thức sau:
(2-21)
Khi so sỏnh biểu thức trờn với trường hợp BPSK thỡ d1(t) xuất hiện phớa trờn của mạch vũng Costas cũn d2(t) sẽ xuất hiện phớa dưới.