Trƣờng hữu hạn (trƣờng Galois)

Trƣờng với một số hữu hạn các phần tử đƣợc gọi là trƣờng hữu hạn, với định nghĩa:

Định nghĩa 2.5.1 [14]: Một trường hữu hạn {F,,} gồm có một tập hữu hạn F, và hai phép toán + và  thỏa mãn các tính chất sau:

Trang 58 1. a,bF,abF,abF 2. a,bF,abba,abba 3. a,b,cF,(ab)ca(bc),(ab)ca(bc) 4. a,b,cF,a(bc)abac 5. 0,1F,a00aa,a11aa 6. aF,(a)F sao cho a(a)(a)a0 a  F a1F , 0 sao cho  1 1 1 a a a a

Trƣờng hữu hạn còn có tên gọi khác là trường Galois (Galois Field). Số phần tử trong một trƣờng Galois có thể là một số nguyên tố hoặc lũy thừa của một số nguyên tố. Chẵng hạn GF(7), GF(8)GF(23) và GF(28) có số phần tử tƣơng ứng là 7, 8 và 256 là các trƣờng Galois, còn GF(6) có số phần tử là 6 không phải là một trƣờng Galois. Từ đây trở đi ta ký hiệu p là số nguyên tố. GF(pm) là trƣờng hữu hạn với pm

phần tử, còn đƣợc gọi là trường mở rộng của GF(p) và p đƣợc gọi là đặc số

(characteristic) [14][21].

Một số định nghĩa khác liên quan đến trƣờng hữu hạn GF(pm):

Định nghĩa 2.5.2 [14]: Bậc của một trường hữu hạn là số phần tử trong trường hữu hạn đó.

Định nghĩa 2.5.3 [14]: Cho  là một phần tử khác 0 của GF(pm), bậc của  là số nguyên dương nhỏ nhất, ký hiệu ord(), sao cho ord()

là phần tử đơn vị của

) (pm

Trang 59

Định nghĩa 2.5.4 [14]: Khi ( ) m 1

p

ord  ,  được gọi là một phần tử cơ bản của

) (pm

GF .

Định nghĩa 2.5.5 [14]: Đa thức với các hệ số của nó là các phần tử của GF(pm) được gọi là đa thức trên GF(pm).

Định nghĩa 2.5.6 [14]: Một đa thức trên GF(pm) là đa thức bất khả quy nếu nó không thể được phân tích thành nhân tử của các đa thức không tầm thường (bậc > 0) trên trường tương tự (GF(pm)).

Trong một số tài liệu tiếng Việt, đa thức bất khả quy còn có tên gọi khác là đa thức nguyên tố.